Lezioni di Geometria

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Maria Scafati Tallini e Maurizio Iurlo
Luglio 2006
Indice
Introduzione
v
1 La geometria analitica
1
2 Coordinate cartesiane
4
2.1
2.2
Ascisse sulla retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Rette orientate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Distanze orientate sopra una retta . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Ascisse sulla retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Uso delle ascisse sopra la retta . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Punto medio di un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Cambiamento di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Coordinate cartesiane nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Angolo di due semirette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Angolo di due rette orientate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Angolo di due rette non orientate . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3
Riferimenti cartesiani nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Riferimenti cartesiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Coordinate di un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
i
M. Scafati Tallini e M. Iurlo
Equazione di una retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Forme notevoli dell’equazione di una retta . . . . . . . . . . . 19
Forma segmentaria dell’equazione della retta . . . . . . . . . . 19
Retta per due punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Punto di intersezione e condizione di parallelismo di due rette
22
Retta per un punto parallela a una retta data . . . . . . . . . 23
Fascio di rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 Nozioni metriche
33
3.1
Distanza di due punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2
Coseni direttori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3
Equazione normale di una retta orientata
3.4
Espressione dei coseni direttori di una retta orientata in fun-
. . . . . . . . . . . 36
zione di a, b, c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5
Coefficiente angolare di una retta . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.6
Distanza di un punto da una retta . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.7
Angolo di due rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.8
Condizione di perpendicolarità di due rette . . . . . . . . . . . 44
3.9
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4 Lo spazio ampliato e le coordinate omogenee
49
4.1
Punti impropri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2
Coordinate cartesiane omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3
Ampliamento della retta e del piano . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4
Equazione di una retta in coordinate omogenee . . . . . . . . 52
4.5
Interpretazione geometrica dei punti impropri come direzioni . 53
Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie “G. Tallini”- n. 153
ii
4.6
La retta impropria del piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.7
Retta per due punti in coordinate omogenee . . . . . . . . . . 55
4.8
Retta proiettiva e piano proiettivo . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.9
Trasformazione delle coordinate cartesiane . . . . . . . . . . . 56
4.10 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5 Ampliamento complesso dello spazio reale
58
5.1
Considerazioni preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2
Elementi complessi coniugati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.3
Rette isotrope. Punti ciclici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6 Coordinate polari
6.1
63
Trasformazione delle coordinate cartesiane in polari e viceversa 65
7 La circonferenza
67
7.1
L’equazione cartesiana di una circonferenza . . . . . . . . . . . 67
7.2
Intersezioni di una circonferenza con una retta . . . . . . . . . 69
7.3
Intersezioni di una circonferenza con la retta impropria . . . . 70
7.4
Tangente a una circonferenza in un suo punto . . . . . . . . . 71
7.5
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8 La parabola - L’ellisse - L’iperbole
77
8.1
La parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.2
L’ellisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.3
L’iperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
9 Teoria generale delle coniche
9.1
87
Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
iii
9.2
Intersezioni di una retta con una conica . . . . . . . . . . . . . 88
9.3
Classificazione della coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9.4
Tangente in un punto a una conica . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.5
Polarità rispetto a una conica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9.6
Significato geometrico della polare . . . . . . . . . . . . . . . . 93
10 Riduzione a forma canonica delle coniche
95
10.1 Centro e diamentri di una conica . . . . . . . . . . . . . . . . 95
10.2 Fuochi e direttrici di una conica . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
10.3 Equazioni canoniche delle coniche a centro . . . . . . . . . . . 99
10.4 Equazione canonica e proprietà della parabola . . . . . . . . . 99
10.5 Fuochi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
11 Fasci di coniche
102
11.1 Intersezione di due coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
11.2 Coniche degeneri di un fascio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
11.3 Numero dei punti che individuano una conica . . . . . . . . . 103
11.4 Configurazione dei punti base di un fascio di coniche . . . . . 104
11.5 Il metodo del fascio di coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
11.6 Equazione di una conica sottoposta a condizioni . . . . . . . . 108
12 Luoghi geometrici e curve piane
112
12.1 Rappresentazione grafica di una curva . . . . . . . . . . . . . . 112
12.2 Luoghi geometrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
13 Elementi di calcolo vettoriale
120
13.1 Concetto di vettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
13.2 Somma di due vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
iv
13.3 Prodotto di un vettore per un numero reale . . . . . . . . . . 125
13.4 Angolo di due vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
13.5 Prodotto scalare di due vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
13.6 Prodotto vettoriale e prodotto misto di due vettori . . . . . . 128
14 Geometria analitica dello spazio
131
14.1 Riferimenti cartesiani nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . 131
14.2 Stella di piani di centro un punto . . . . . . . . . . . . . . . . 134
14.3 Piano per tre punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
14.4 Parallelismo di due piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
14.5 Equazione cartesiana di una retta nello spazio . . . . . . . . . 135
14.6 Fasci di piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
14.7 Parallelismo di retta e piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
14.8 Complanarità di due rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
14.9 Piano per un punto parallelo a due rette . . . . . . . . . . . . 140
14.10Piano per un punto perpendicolare a una retta data . . . . . . 141
14.11Perpendicolarità di due piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
15 Linee e superficie nello spazio
143
15.1 Equazione di una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
15.2 Classi notevoli di superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
15.3 Superficie di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
15.4 Superficie algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
15.5 Equazioni particolari di una superficie . . . . . . . . . . . . . . 146
15.6 Rappresentazione di curve nello spazio . . . . . . . . . . . . . 147
15.7 Proiezioni piane di una curva dello spazio . . . . . . . . . . . . 147
15.8 Curve tracciate sopra una superficie . . . . . . . . . . . . . . . 148
v
Introduzione
La matematica che si studia nelle scuole secondarie fin dai primi anni si
differenzia in geometria e aritmetica prima e successivamente in algebra.
Sostanzialmente, la geometria riguarda il contenuto degli Elementi di Euclide, mentre l’algebra riguarda il calcolo letterale e lo studio delle equazioni
di primo e secondo grado e i sistemi di equazioni lineari. Si parte dallo studio
delle espressioni numeriche e poi si sostituiscono ai numeri le lettere con il
loro opportuno algoritmo. Si attua, cioè, un primo processo di astrazione:
quello di sostituire ai numeri le lettere.
Nell’algebra, a livello di primo corso universitario, si va molto oltre questo
primo processo di astrazione.
Precisamente l’algebra concerne - se si vuol dire in breve - lo studio delle
strutture algebriche, ove con questo nome si intende un insieme dotato di
una o piú operazioni soddisfacenti a determinate proprietà, o assiomi, della
struttura.
Quindi è tipico dell’algebra un procedimento che astrattizza e assiomatizza. Per comprendere meglio le finalità e i contenuti dell’algebra è opportuno
dare un cenno storico al suo sviluppo.
Algebra è una parola araba (al-giabr : al articolo, giabr “mettere a posto”),
usata per al prima volta dal matematico arabo Al-Khuwaritzmı̄ del nono
vi
secolo d. C. per indicare il trasporto di un termine da un membro all’altro,
in un espressione letterale:
a − b = c =⇒ a = b + c.
È chiaro che il significato di questa parola “algoritmo” si è andato via via
ampliando e ramificando.
Si parla talora di algebra elementare per indicare il complesso delle regole
del calcolo letterale e la teoria delle equazioni algebriche (ossia polinomi
uguagliati a zero). I greci erano pervenuti a risolvere le equazioni di secondo
grado e alcuni casi particolari di equazioni di grado superiore al secondo,
usando considerazioni geometriche. Infatti, l’equazione di secondo grado era
concepita come una relazione tra aree di rettangoli, in cui appare un lato
incognito, da costruirsi geometricamente.
Gli indiani si interessarono piú della parte pratica, cioè della numerazione
decimale, introducendo anche i numeri negativi.
Gli arabi si considerarono allievi dei greci, ma trassero dagli indiani il
sistema di numerazione (cifre arabiche). Il contributo essenziale degli arabi
è dato da quel complesso di regole ed espressioni (algoritmo) che costituisce
appunto l’algebra elementare. L’algebra araba fu introdotta nel mondo ad
opera di Leonardo Fibonacci (il suo liber abaci è del 1202).
Queste nuove idee diedero i loro frutti a opera della scuola bolognese
(secolo 16◦ ). Scipione dal Ferro (1465-1526) diede la formula risolutiva dell’equazione cubica ridotta (ossia priva del termine di 2◦ grado) e questo fu il
primo passo decisivo dell’algebra, nuovo risultato rispetto a quelli dei greci e
degli arabi. Niccolò Tartaglia, bresciano (seconda metà del ’500), dell’ateneo
di Padova e Cardano (1501-1576) milanese, sempre in quel periodo, diedero
vii
la formula risolutiva per radicali dell’equazione cubica generale. Cardano
scrisse un volume, l’Ars Magna, nel 1545, in cui appunto pubblicò la formula
dell’equazione di 3◦ grado, riscoprendo e generalizzando la formula di dal Ferro e diede per la prima volta la formula risolutiva dell’equazione generale di
4◦ grado, dovuta al suo allievo Ferrari, formula implicante radicali quadratici
e cubici. A tali studi contribuí pure R. Bombelli di Bologna che introdusse i
numeri complessi (quantità silvestri). Successivamente la scuola francese con
Viète, Girard e Cartesio (17◦ secolo) riprese tali questioni, introducendo le
notazioni moderne per i concetti suddetti e calcolando le formule per la somma e il prodotto delle radici a partire dai coefficienti dell’equazione stessa.
Cartesio, in particolare, con la sua “Géométrie” dà all’algebra una posizione
autonoma, la considera un nuovo mezzo per creare e risolvere nuovi problemi
geometrici, fondando in tal modo la geometria analitica. Successivamente,
si tentò di dare una formula risolutiva per radicali anche all’equazione di 5◦
grado, ma solo nella prima metà dell”800 Ruffini e Abel dimostrarono che
ciò è impossibile. Nello studio delle equazioni algebriche da questo punto di
vista il risultato piú importante risale a Galois, il quale appunto nella metà
dell”800 dimostrò che un’equazione algebrica è risolubile per radicali allora e
soltanto allora, che il gruppo di Galois associato a essa è un gruppo risolubile, secondo un’opportuna definizione. Altro risultato notevole nel settore
delle equazioni algebriche fu il Teorema fondamentale dell’algebra, dovuto a
Gauss (fine ’700), secondo cui ogni equazione algebrica ammette almeno una
radice (e quindi n, se n è il suo grado). Da quanto detto si comprende come
l’algebra per molto tempo ruotò intorno al problema della risoluzione delle
equazioni.
L’algebra moderna, ossia lo studio delle strutture algebriche nacque col
viii
concetto di gruppo che risale appunto ad Abel, Galois, Jordan, Frobenius,
Klein. Essa cominciò a imporsi in Germania agli inizi del ’900 con Dedekind,
E. Noether, Steinitz e in America con Wedderburn, Albert. All’algebra si
affiancò a un certo punto, quasi contemporaneamente, la geometria algebrica, ossia la teoria geometrica delle equazioni algebriche, disciplina questa
che prende le mosse dalla concezione cartesiana dello studio delle curve nel
piano, cioè dal metodo delle coordinate. La geometria algebrica, intesa appunto come studio geometrico di enti rappresentati algebricamente, nacque
soprattutto in Italia a opera di grandi matematici quali Corrado Segre, Federigo Enriques, Guido Castelnuovo, Francesco Severi. A un certo punto,
la geometria algebrica passò da una visione intuitiva geometrica verso un
punto di vista piú astratto e rigoroso. I prodromi di ciò si ebbero si ebbero
con il matematico tedesco B. L. van der Waerden e altri. Egli, nel 1931,
pubblicò un famoso trattato “Moderne Algebra” in cui codifica e applica la
teoria delle strutture algebriche alla geometria algebrica astratta, ossia non
piú intesa alla maniera cartesiana, bensí introducendo a rappresentare gli enti geometrici opportune strutture algebriche. Il Severi criticò in parte questo
indirizzo che poi prevalse, perché assolutamente rigoroso, anche se meno fecondo di intuizioni e risultati. A proposito del volume di Van der Waerden, il grande matematico aretino Francesco Severi ebbe a dire che piuttosto
che algebra moderna avrebbe preferito chiamarla senz’altro algebra, perché
avrebbe avuto lunga vita, talché si sarebbe poi chiamata algebra antica.
La geometria algebrica astratta diede nuovo impulso all’algebra, portando
al sorgere di nuove branche e nuove teorie.
Il concetto informatore dell’algebra è quello di struttura algebrica, ossia
di operazione introdotta in un insieme, e quindi alla base di tutto stanno i
ix
concetti di insieme e quello di operazione.
In algebra si assume come primitiva, ossia non riconducibile ad altra
piú semplice, la nozione di oggetto o elemento, inteso come individuo, e la
nozione di classe, o aggregato di oggetti. Si riserva poi la parola insieme a
una classe di oggetti tale che esista una legge ben precisa, senza equivoci o
contraddizioni logiche che affermi quando un oggetto appartiene a esso.
Per esempio, la classe di tutti gli insiemi non è un insieme, come mostra
il famoso Paradosso di Russel, di cui merita di parlare.
Chiamiamo normale ogni insieme che non contenga se stesso come oggetto
e anormale ogni insieme che invece contenga se stesso come oggetto. Consideriamo la classe degli insiemi normali, N . Essa non si può chiamare in-
sieme, nel senso che la sua definizione porta a una contraddizione logica.
Chiaramente, un insieme o è normale o è anormale.
Proviamo a supporre N normale. Allora N non contiene se stesso come
oggetto, ma essendo N normale, esso deve appartenere a se stesso, classe di
tutti gli elementi normali, quindi N è anormale, contro l’ipotesi.
Proviamo ora a supporre N anormale. Allora N contiene se stesso come
oggetto, ma allora N deve essere normale, in quanto in N si trovano come
oggetti tutti gli insiemi normali, quindi N è normale, ancora una volta contro
l’ipotesi.
Quindi, N non può essere né normale, né anormale, il che è assurdo. L’as-
surdo proviene dall’aver considerato N come un insieme. La sua definizione
porta a un assurdo.
Altro concetto fondamentale è quello di operazione (binaria) intesa come
legge che associa a due elementi di un insieme un elemento ancora dell’insieme, operazione godente di opportune proprietà, che sono gli assiomi di
x
quella data struttura algebrica.
Una teoria algebrica è il complesso delle deduzioni logiche (o teoremi) da
quegli assiomi.
xi
Capitolo 1
La geometria analitica
La geometria, nel significato che a noi interessa, significa di fatto Geometria analitica, ossia il metodo delle coordinate che consente di interpretare
algebricamente problemi geometrici, risolverli con i metodi dell’algebra e interpretarli di nuovo geometricamente. La geometria classica fu introdotta
dai matematici greci la cui produzione scientifica culminò con gli Elementi
di Euclide, geometra di Alessandria d’Egitto del III secolo a.C..
Egli riassunse e organizzò con rigore logico per la prima volta nella storia
del pensiero umano nozioni acquisite ed elaborate dai geometri dei secoli
precedenti, al punto tale che gli argomenti trattati negli elementi di Euclide
costituiscono ancora oggi, sia pure presentati con un linguaggio piú moderno,
la parte fondamentale della cosiddetta geometria elementare, insegnata e
studiata nelle scuole di tutto il mondo.
Quasi contemporaneamente a Euclide, Apollonio e Archimede (intorno al
200 a.C.) si dedicarono il primo allo studio delle coniche, intese come sezioni
piane del cono rotondo, il secondo ai problemi della rettificazione della circonferenza, dell’area del cerchio e del volume della sfera. Dopo l’epoca aurea
1
della geometria greca, riassunta dai tre grandi nomi di Euclide, Apollonio
e Archimede, la geometria subí una crisi dovuta da un lato all’insufficienza
dei metodi euclidei e dall’altro alla generale decadenza della cultura che si
protrasse per gran parte del medioevo.
Spetta agli arabi il merito di aver assimilato e diffuso il bagaglio di nozioni
della cultura matematica greca e non soltanto. Attraverso gli arabi la cultura scientifica greca e orientale ritornò in Europa e anzi essa fu elaborata e
permise successivamente nuovi sviluppi. Come detto, primi importanti risultati nuovi rispetto alla Matematica greca furono ottenuti in Italia a partire
dal 1500, dagli algebristi Cardano, milanese, Tartaglia, bresciano, Ferrari e
Bombelli, di Bologna, che si dedicarono alla risoluzione delle equazioni di terzo e quarto grado. I risultati nell’algebra suggerirono l’idea di tradurre i problemi geometrici in problemi algebrici o analitici, tramite il calcolo letterale,
nel risolverli algebricamente, per poi risalire all’interpretazione geometrica
dei risultati ottenuti. Questo fa sí che i problemi possono essere trattati in
modo generale e uniforme superando le difficoltà della geometria euclidea,
nella quale ogni problema richiede una trattazione a sé. La geometria analitica si sviluppò appunto con l’introduzione del metodo delle coordinate dovuto
a Cartesio e Fermat nel 1600 ed è lo strumento indispensabile per risolvere
un qualunque problema matematico sia teorico che applicativo.
Il metodo delle coordinate consiste nell’associare a ogni punto del piano
euclideo una coppia ordinata di numeri reali e conseguentemente di rappresentare mediante equazioni o sistemi di equazioni, rette, circonferenze,
coniche. Tale metodo si estende allo spazio tridimensionale, o spazio ordinario, e agli spazi di dimensione superiore, o iperspazi.
In tempi piú recenti il metodo delle coordinate ha subito un’ulteriore gene-
2
ralizzazione estendendo la rappresentazione analitica dei vari enti geometrici
mediante insiemi numerici, detti campi, nei quali sono possibili le quattro
operazioni fondamentali di somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione.
In particolare tali campi possono essere costituiti da un numero finito di
elementi (Campi di Galois). Prendendo le coordinate nei campi di Galois,
si origina la Geometria discreta, nella quale possono essere utilizzati oltre ai
metodi geometrici quelli dell’algebra e dell’aritmetica.
3
Capitolo 2
Coordinate cartesiane
Gli enti geometrici che qui considereremo, piú precisamente punto, retta,
piano e spazio, sono intesi nel senso della geometria euclidea classica
2.1
Ascisse sulla retta
Rette orientate
Una retta r, sia nel piano che nello spazio è una linea aperta, che si può
immaginare percorsa da un punto mobile su di essa in due versi opposti.
Una retta r si dice orientata se su di essa è fissato uno dei due versi come
positivo. Il verso opposto sarà detto negativo (Figura 2.1).
r
A
B
Figura 2.1
4
C
Distanze orientate sopra una retta
Sia r una retta e u un’unità di misura per i segmenti, ad esempio il metro.
Dato un segmento A1 A2 la sua misura è un numero reale positivo, che indicheremo con A1 A2 , che dicesi lunghezza del segmento di estremi A1 e A2 ,
ovvero distanza dei due punti A1 e A2 e che è dato dal rapporto tra il segmento A1 A2 e il segmento unitario. Se r è orientata si parlerà di distanza
orientata, o con segno, tra i punti A1 e A2 , che risulterà positiva o negativa
a seconda che il punto A2 segua o preceda il punto A1 nel verso fissato come
positivo su r, ovvero a seconda che il verso che porta da A1 a A2 sia concorde o discorde con il verso positivo su r. Indicheremo con A1 A2 la distanza
orientata, che pertanto sarà un numero reale relativo.
Si avrà precisamente
A1 A2 = A1 A2
ovvero A1 A2 = −A1 A2 .
Si ha
A1 A2 = 0 ⇐⇒ A1 = A2 ,
A1 A2 = A2 A1
e A1 A2 = −A2 A1 .
Inoltre si ha
A1 A2 + A2 C = A1 C,
qualunque sia la posizione reciproca dei tre punti A1 , A2 , C sulla retta.
Se sulla retta r sono dati n punti qualsiasi A1 , A2 , . . . , An , si ha
A1 A2 + A2 A3 + . . . + An−1 An = A1 An .
5
Ascisse sulla retta
Sulla retta r si scelgano un punto O detto origine e un punto U , distinto da
O, detto unitario. Tali due elementi costituiscono un riferimento cartesiano
R(O, U ), o un sistema di ascisse cartesiane sulla retta. Piú precisamente,
in tal modo si viene a stabilire una biezione, o corrisponenza biunivoca, tra i
punti della retta e i numeri reali. Fissiamo come positivo il verso che porta da
O verso U . Per ogni punto P di r, si definisce ascissa di P , rispetto al riferimento R(O, U ), il numero reale x distanza orientata tra O e P , assumendo
come unità di misura la lunghezza del segmento OU .
Uso delle ascisse sopra la retta
Fissati sulla retta r un’origine O e un punto unitario U , siano A1 e A2 due
punti, rispettivamente di ascisse x1 e x2 , che indicheremo con A1 (x1 ) e A2 (x2 ).
Si ha
x1 = OA1 ,
x2 = OA2 ,
e quindi
A1 A2 = x2 − x1 ,
A1 A2 = |x2 − x1 | ,
dove |x2 − x1 | indica il valore assoluto di x2 − x1 , con
|x2 − x1 | = ±(x2 − x1 ).
Punto medio di un segmento
Sia M il punto medio del segmento A1 A2 . Sarà allora:
A1 M = M A2
6
Detta x l’ascissa di M , si ha:
x − x1 = x2 − x,
ossia:
x=
x1 + x2
.
2
Si può quindi enunciare:
• L’ascissa del punto medio di un segmento è data dalla semisomma delle
ascisse degli estremi del segmento.
Cambiamento di riferimento
Se passiamo dal riferimento R(O, U ) al riferimento R′ (O′ , U ′ ), un qualsiasi
punto P di r avrà un’ascissa x rispetto al riferimento R(O, U ) e un’ascissa
x′ rispetto al riferimento R′ (O′ , U ′ ) (Figura 2.2).
Si ha
O
r
U
O′
U′
P
Figura 2.2
x=
OP
,
OU
x′ =
O′ P
O′ U ′
e inoltre O′ P = O′ O + OP onde
O′ O
OP OU
O′ O + OP
=
+
,
x =
O′ U ′
O′ U ′ OU O′ U ′
′
cioè
x′ = mx + a,
(2.1)
7
posto
m=
OU
,
O′ U ′
a=
O′ O
.
O′ U ′
I due numeri reali m e a, rappresentano rispettivamente il rapporto tra le
due unità di misura e l’ascissa dell’origine O nel riferimento R′ (O′ , U ′ ). La
(2.1) si chiama formula di trasformazione delle coordinate da un riferimento
cartesiano a un altro.
Viceversa, ogni relazione del tipo della (2.1) si può interpretare come
formula di trasformazione delle ascisse passando da un riferimento a un altro.
Le (2.1) si invertono in
(2.2)
x = m ′ x ′ + a′ ,
con
m′ =
O′ U ′
1
=
,
m
OU
a′ = −a =
OO′
.
OU
La (2.1) e la sua inversa (2.2) si possono interpretare in modo diverso come
ascisse di due punti qualora non si effettui un cambiamento di riferimento
e allora rappresentano una biezione di r in sé, che dicesi similitudine. Si
dimostra che esiste una e una sola similitudine nella quale a due punti distinti
A1 e A2 corrispondono due dati punti distinti A′1 e A′2 . Infatti,

 x′ = mx + a,
1
1
 x′ = mx2 + a.
2
Risolvendo il sistema si ottiene
m=
x′1 − x′2
,
x1 − x2
a=
x1 x′2 − x2 x′1
.
x1 − x2
8
2.2
Coordinate cartesiane nel piano
Il piano della geometria elementare è una superficie aperta avente due facce
opposte. Si orienta un piano fissando una delle due facce come positiva, di
solito quella rivolta verso l’osservatore.
Angolo di due semirette
Dato un piano, le semirette di esso uscenti da un suo punto O costituiscono
fascio di semirette di origine O, centro del fascio.
In un fascio si distinguono due distinti versi di rotazione attorno al punto
O. Se ne sceglie uno come positivo, il fascio si dice orientato. Fissato un
verso positivo di rotazione attorno a un punto O tale verso rimane fissato
in ogni altro punto del piano, in modo tale che si può parlare di verso di
rotazione positivo del piano. Di solito esso coincide con il verso antiorario,
ossia quello contrario al verso di rotazione delle lancette di un orologio.
La coppia ordinata di due semirette r ed s appartenenti a uno stesso
fascio orientato di centro O, determina un angolo orientato che si indicherà
con rs.
b Scelta un’unità di misura per gli angoli, per esempio il radiante (che
è la misura dell’angolo al centro che insiste su un arco di lunghezza uguale al
raggio) si definisce come misura dell’angolo orientato rs,
b la misura dell’angolo
che una semiretta, inizialmente coincidente con r e ruotante intorno a O,
deve percorrere per sovrapporsi a s. Osserviamo che l’angolo rs
b è definito a
meno di multipli di 2π; infatti, la retta r si sovrappone una prima volta a s
dopo la rotazione di un certo angolo ϕ0 < 2π (vedi Figura 2.3), si ha cioè
rs
b = ϕ = ϕ0 + 2kπ, con k intero, positivo negativo o nullo.
Se si dicono congrui modulo 2π due angoli ϕ e ψ, i quali differiscono tra loro
9
per un multiplo intero di 2π e si esprime tale relazione scrivendo:
ϕ ≡ ψ mod 2π,
si può anche dire che due misure qualsiasi dell’angolo rs
b sono congrue modulo
2π.
s
O
ϕ0
r
Figura 2.3
Angolo di due rette orientate
→
→
Siano −
r e−
s due rette orientate di un piano, che si incontrano in un punto
−
−
O. Indicheremo con ←
r ed ←
s le stesse due rette orientate in verso opposto.
→
→
[
Fissato un verso di rotazione positivo nel piano, l’angolo −
r−
s è l’angolo
→
formato dalla semiretta di −
s , che consta di tutti i punti che seguono O,
→
con la semiretta di −
r , valutato tenendo conto del verso di rotazione indotto
intorno a O dal verso positivo delle rotazioni del piano. Tenuta presente la
10
ϕ2
←
−
r
ϕ1
ϕ4
←
−
s
−
→
s
ϕ3
−
→
r
Figura 2.4
→
→
[
Figura 2.4 (in cui l’angolo −
r−
s è indicato con ϕ1 ), si ha

→
→
[

ϕ1 = −
r−
s,




→
−
 ϕ =−
[
r←
s ≡ (ϕ1 + π) mod 2π,
2
−
→
[


ϕ3 = ←
r−
s ≡ (ϕ1 + π) mod 2π,




−
−
[
ϕ4 = ←
r←
s ≡ ϕ1 mod 2π.
Detto ϕ uno qualunque degli angoli ϕi (i = 1, . . . , 4) si ha
sin ϕ + π = − sin ϕ
cos ϕ + π = − cos ϕ
tan ϕ + π = tan ϕ
da cui segue che il seno e il coseno dell’angolo di due rette orientate cambiano
entrambi di segno o rimangono inalterati a seconda che si inverta il verso su
una o su entrambe le rette. Pertanto la tangente dell’angolo di due rette
orientate di un fascio orientato non muta se su una o entrambe di tali rette
si inverte il verso.
11
Angolo di due rette non orientate
Siano r e s due rette non orientate di un piano, che si incontrano in punto
O. I quattro angoli ϕi (i = 1, . . . , 4) della Figura 2.4 possono tutti essere
definiti come angolo delle due rette non orientate r e s.
Dal punto di vista trigonometrico
• se r e s sono due rette non orientate in un fascio orientato, il seno e
il coseno sono definiti a meno del segno, mentre la tangente è univocamente determinata.
Piú precisamente, se cos rs
b = ±a e sin rs
b = ±b, si ha:
b
tan rs
b = ,
a
con a2 + b2 = 1.
2.3
Riferimenti cartesiani nel piano
Riferimenti cartesiani
Si fissino nel piano due rette x, y, intersecantisi in un punto O, e un punto
U non appartenente né a x né a y (vedi Figura 2.5).
Tali dati individuano nel piano un riferimento cartesiano R(O, U, x, y), nel
quale le rette x e y si dicono assi, il punto O si dice origine e il punto U si
dice punto unitario.
Si tracci dal punto U la parallela all’asse y (all’asse x), fino a incontrare
l’asse x (y) nel punto Ux (Uy ) (vedi Figura 2.6). Si orienti l’asse x (y) fissando
come verso positivo su di esso quello che porta da O a Ux (Uy ). Sull’asse x (y)
12
y
U
O
x
Figura 2.5
y
U
O
x
Figura 2.6
resta cosí definito il riferimento cartesiano R(O, Ux ) (R′ (O, Uy )). In sostanza,
per dare un riferimento cartesiano R(O, U, x, y), si scelgono i due assi x e y
orientati intersecantisi nell’origine O e le unità di misura OUx e OUy con le
quali misurare i segmenti sugli assi x e y rispettivamente.
Un riferimento cartesiano si dice monometrico o dimetrico a seconda che
le unità di misura per i due assi siano uguali o distinte. Si dice ortogonale o
obliquo a seconda che gli assi siano tra loro ortogonali o meno.
D’ora in poi, salvo contrario avviso, utilizzeremo riferimenti ortogonali
monometrici.
13
Coordinate di un punto
Si fissi in un piano un riferimento cartesiano R(O, U, x, y). Sia P un punto
qualunque del piano. Si tracci da P la parallela all’asse y (x), fino a incontrare
l’asse x (y) nel punto Px (Py ).
Si chiama ascissa (ordinata) del punto P il numero reale x (y) dato dalla
lunghezza del segmento OPx (OPy ) assumendo OUx (OUy ) come unità di
misura. I due numeri reali x e y si chiamano coordinate di P e si scriverà
y
P (x, y)
Py
Uy
O
U
Ux
Px x
Figura 2.7
P (x, y).
Viceversa, fissata una coppia ordinata di numeri reali (x, y), rimane univocamente determinato il punto P del piano che le ammette come coordinate,
ossia il riferimento cartesiano dato stabilisce una biezione tra i punti del piano e le coppie ordinate di numeri reali. Si dice quindi che il piano euclideo
reale P2,R è un ente geometrico a due dimensioni.
Pertanto possiamo dire che un punto è una coppia ordinata di numeri
reali.
Se supponiamo che le due coordinate x e y anziché variare nell’insieme
14
dei numeri reali R, appartengano all’insieme dei numeri complessi C, avremo
il piano complesso P2,C .
Piú in generale, possiamo supporre che le coordinate di un punto del
piano varino in un qualsiasi corpo K.
Ricordiamo che si definisce corpo una terna (K, +, ·) in cui sono definite due
operazioni binarie, +, ·, dette rispettivamente prodotto e somma, tale che
siano soddisfatti gli assiomi seguenti.
∀x, y ∈ K,
x+y =y+x∈K
∃0 ∈ K : x + 0 = x,
∀x ∈ K ∃ − x ∈ K : x + (−x) = 0
∀x, y, z ∈ K,
∀x, y ∈ K,
x + (y + z) = (x + y) + z
x·y ∈K
∃1 6= 0 ∈ K : x · 1 = 1 · x = x
∀x, y, z ∈ K,
∀x ∈ K\ {0}
x · (yz) = (xy) · z
∃x−1 ∈ K : x · x−1 = x−1 · x = 1
∀x, y, z ∈ K,
x · (y + z) = (x · y) + (x · z).
∀x, y, z ∈ K,
(y + z) · x = (y · x) + (z · x).
I primi quattro assiomi definiscono la coppia (K, +) come gruppo abeliano (o
commutativo) denotato additivamente.
In defintiva un corpo K è un insieme tale che in esso si possono effettuare
le quattro operazioni elementari, addizione sottrazione, moltiplicazione e divisione.
Un corpo in cui il prodotto è commutativo si dice campo.
15
Osserviamo che l’insieme (R, +, ×) dei numeri reali è un campo rispetto alle
ordinarie operazioni di somma e di moltiplicazione.
Anche l’insieme dei numeri complessi (C, +, ×) è un campo.
Nel caso in cui le coordinate di un punto varino in un corpo K si ha un piano
costruito sul corpo K o a coordinate in K, denotato P2,K .
È chiaro che le proprietà algebriche del corpo K si rifletteranno sulle
proprietà geometriche di P2,K , e viceversa.
Equazione di una retta
Siano P1 (x1 , y1 ) e P2 (x2 , y2 ) due punti distinti del piano. Vogliamo determinare le coordinate del punto P (x, y) variabile sulla retta r = P1 P2 .
Per il Teorema di Talete, se r non è parallela a nessuno degli assi, si ha
(vedi Figura 2.8):
A1 A
P1 P
=
= k,
P2 P
A2 A
(2.3)
con k ∈ R. Tenuto conto della definizione di coordinate di un punto si ha
x − x1
y − y1
=
= k.
x − x2
y − y2
Da queste si ricava
x=
x1 − kx2
,
1−k
y=
y1 − ky2
.
1−k
Se r è parallela all’asse y (x), si ha ovviamente x1 = x2 (y1 = y2 ) e quindi
tutti i punti di r hanno la stessa ascissa (ordinata) dei punti P1 e P2 onde il
punto P di r ha in tal caso un’ascissa (ordinata)
x = x1 = x2
(y = y1 = y2 ).
16
y
r
B2
P2
B
P
B1
P1
O
A1
A2
A
x
Figura 2.8
Per il punto P (x, y) della retta r = P1 P2 vale allora la relazione
y − y1
x − x1
=
x − x2
y − y2
ossia
x(y1 − y2 ) − y(x1 − x2 ) = x2 y1 − x1 y2 .
(2.4)
La (2.4) è soddisfatta da tutti e soli i punti della retta P1 P2 e pertanto
si chiama l’equazione della retta r = P1 P2 . Se la retta r è parallela all’asse y
(x), essa ha equazione x = x1 (y = y1 ).
Posto
a = y1 − y2 ,
b = −(x1 − x2 ),
c = x2 y1 − x1 y2 ,
(2.5)
la (2.4) è della forma
ax + by + c = 0,
(2.6)
17
con a e b non contemporaneamente nulli, perché i punti P1 e P2 sono distinti.
Essa è un’equazione lineare, cioè di primo grado, nelle due variabili x e
y.
Viceversa, ogni equazione lineare in x e y rappresenta l’equazione di una
retta per i due punti
c
P1 − − b, a ,
a
P2
c
a
,0 ,
qualora sia a diverso da zero. Infatti, posto
c
x1 = − − b,
a
y1 = a,
c
x2 = ,
a
y2 = 0,
sono soddisfatte le (2.5). Se invece a = 0, sarà b 6= 0 e allora la (2.6) è
l’equazione della retta per i due punti
c
P1 (−b, − ),
b
c
P2 (0, − ).
b
Si può quindi affermare che
• ogni equazione lineare in x e y, nella quale i coefficienti di x e y siano
entrambi non nulli, rappresenta l’equazione di una retta.
Se una retta è rappresentata dalla (2.6), la stessa retta, ossia lo stesso
luogo o insieme di punti, è rappresentata da tutte le equazioni della forma
λax + λby + λc = 0.
Si può perciò affermare che le rette del piano dipendono da tre parametri
omogenei (cioè definiti a meno di un comune fattore di proporzionalità non
nullo), a, b e c, con a e b non simultaneamente nulli, ovvero da due parametri
essenziali.
18
Forme notevoli dell’equazione di una retta
Osserviamo che le rette di equazione
ax + by = 0
sono tutte e sole quelle passanti per l’origine delle coordinate, le rette di
equazione
by + c = 0
sono tutte e sole le rette parallele all’asse x, le rette di equazione
ax + c = 0
sono tutte e sole le rette parallele all’asse y.
Se la retta r di equazione ax + by + c = 0 non è parallela all’asse y, è
b 6= 0 e l’equazione di r può scrivere nella forma
y = mx + q,
posto
a
m=− ,
b
c
q=− .
b
Forma segmentaria dell’equazione della retta
Se r non passa per l’origine e non è parallela agli assi si ha
a 6= 0,
b 6= 0,
c 6= 0
e l’equazione della retta può scriversi nella forma
x y
+ = 1,
p q
(2.7)
19
posto
c
q=− .
b
c
p=− ,
a
La (2.7) si chiama equazione segmentaria di r perché i numeri p e q rappresentano le misure dei segmenti staccati dalla retta rispettivamente sugli assi
x e y. Ciò equivale a dire che la retta r passa per i punti
(p, 0),
(0, q).
Retta per due punti
Siano P1 (x1 , y1 ) e P2 (x2 , y2 ) due punti distinti. La retta per essi deve essere
tale che siano soddisfatte le due condizioni

 ax + by + c = 0,
1
1
 ax2 + by2 + c = 0.
(2.8)
La (2.8) è un sistema di due equazioni lineari omogenee nelle tre incognite a, b, c, dal quale a, b, c vengono determinate a meno di un fattore di
proporzionalità.
Dalle (2.5) si ha che l’equazione della retta assume la forma
(2.9)
(y1 − y2 ) x − (x1 − x2 ) y + (x1 y2 − x2 y1 ) = 0.
La (2.9) si
x y
x1 y1
x2 y2
può anche scrivere nella forma
1 1 = 0,
1 (2.10)
20
come si ha sviluppando il determinante secondo gli elementi della prima riga.
Infine, se x1 e y1 sono distinti rispettivamente da x2 e y2 , l’equazione della
retta P1 P2 si può scrivere nella forma
y − y1
x − x1
=
.
x2 − x1
y2 − y1
(2.11)
La (2.11) si chiama anche equazione della retta in forma di rapporti uguali.
Posto
y − y1
x − x1
=
= t,
x2 − x1
y2 − y1
per il punto variabile sulla retta P1 P2 , si ha

 x = x + t(x − x ),
1
2
1
 y = y1 + t(y2 − y1 ).
(2.12)
La (2.11), posto
l1 = x2 − x1 ,
l2 = y2 − y1 ,
si scrive:
x − x1
y − y1
=
.
l1
l2
I due numeri l1 , l2 si dicono parametri direttori della retta
l2 (x − x1 ) = l1 (y − y1 ).
Dalla (2.12), si ha

 x = x + l t,
1
1
 y = y1 + l2 t.
(2.13)
21
Le (2.12) e le (2.13) si sicono equazioni parametriche di una retta e da
esse risulta che i punti di una retta dipendono da un parametro.
La (2.10) dà automaticamente la condizione di allineamento di tre punti
P1 (x1 , y1 ),
x1
x2
x3
P2 (x2 , y2 ), P3 (x3 , y3 ), data da
y1 1 y2 1 = 0.
y3 1 Punto di intersezione e condizione di parallelismo di due rette
Siano date due rette r ed s, le cui equazioni rispettive siano ax + by + c = 0
e a′ x + b′ y + c′ = 0. Determinare il punto di intersezione delle due rette
equivale a risolvere il sistema

 ax + by + c = 0,
 a′ x + b′ y + c′ = 0.
(2.14)
Viceversa, il problema algebrico di risolvere il sistema (2.14) nelle incog-
nite x e y, si può interpretare geometricamente come il problema di determinare il punto comune a due rette. Se e soltanto se il determinante dei
coefficienti ab′ − a′ b è non nullo, il sistema (2.14) ammette una e una sola
coppia di soluzioni data da
bc′ − b′ c
,
x= ′
ab − a′ b
a′ c − ac′
y= ′
,
ab − a′ b
e il sistema si dice determinato.
Se è
ab′ − a′ b = a′ c − ac′ = bc′ − b′ c = 0
22
ciò equivale alle condizioni
b
c
a
= ′ = ′
′
a
b
c
e quindi le due rette r e s coincidono e il sistema (2.14) è indeterminato. Se
è ab′ − a′ b = 0, e a′ c − ac′ e bc′ − b′ c non sono contemporaneanente nulli, il
sistema (2.14) è impossibile, cioè le due rette sono parallele e distinte.
Quindi, per il sistema (2.14) i tre casi: determinato, indeterminato, impossibile, corrispondono dal punto di vista geometrico al fatto che le due
rette siano incidenti, coincidenti o parallele e distinte.
Poiché la coincidenza di due rette si considera come caso particolare del
parallelismo, si può affermare che
• Condizione necessaria e sufficiente affinché due rette siano parallele è
b
a
che sia ab′ − a′ b = 0, cioè ′ = ′ .
a
b
Pertanto se e soltanto se due rette sono parallele, le loro equazioni differiscono per il solo termine noto.
Retta per un punto parallela a una retta data
La retta parallela alla retta r : ax + by + c = 0 e passante per il punto
P0 (x0 , y0 ), ha equazione
a(x − x0 ) + b(y − y0 ) = 0.
(2.15)
Infatti, la retta (2.15) passa per il punto P0 (x0 , y0 ) ed è parallela alla retta r.
23
Fascio di rette
Dicesi fascio di rette la totalità delle rette del piano passanti per un punto,
ovvero parallele a una retta data.
Nel primo caso il fascio si dice proprio e il punto comune a tutte le rette
del fascio si dice centro del fascio. Nel secondo caso il fascio si dice improprio
e si dice che le rette hanno tutte la stessa direzione.
Si osservi ora che due rette distinte r ed s individuano un fascio di rette,
a cui esse appartengono. Se infatti r ed s sono incidenti, il fascio da esse
individuato è il fascio delle rette passanti per il loro punto di intersezione e
a tale fascio appartengono r ed s. Se invece r ed s sono parallele, il fascio
da esse individuato è il fascio di tutte le rette parallele a r (e a s), al quale
appartengono anche r ed s.
Si supponga che le due equazioni (2.14) siano rispettivamente le equazioni
di r ed s. Allora tutte e sole le rette del fascio hanno equazione
λ(ax + by + c) + µ(a′ x + b′ y + c′ ) = 0,
(2.16)
con λ e µ non ambedue nulli.
Diremo che l’equazione del fascio individuato da r ed s è data dalla combinazione lineare, con i parametri omogenei λ e µ, delle equazioni di r ed
s.
Infatti se il fascio individuato da r ed s è proprio, le coordinate del punto
P = r ∩ s, soddisfano a entrambe le equazioni (2.14) e, quindi, alla (2.16),
qualunque siano λ e µ. Se il fascio è improprio, sarà
ab′ − a′ b = 0,
(2.17)
ma allora ogni retta della forma (2.16) è parallela a r, perché dalla (2.17)
24
segue
a(λb + µb′ ) − (λa + µa′ )b = 0,
qualunque siano λ e µ. Pertanto, ogni retta del tipo (2.16) appartiene al
fascio individuato da r ed s.
Viceversa, se t è una retta del fascio individuato da r ed s, essa si può
sempre scrivere nella forma (2.16). Infatti, se P0 (x0 , y0 ) è un punto di t
distinto da P = r ∩ s, se il fascio è proprio, vi è una e una sola retta del
tipo (2.16) che passa per P0 . Infatti, imponendo alla (2.16) il passaggio per
il punto P0 , si ottiene l’equazione
(2.18)
λ(ax0 + by0 + c) + µ(a′ x0 + b′ y0 + c′ ) = 0,
che è un’equazione di primo grado, nel rapporto
λ
µ
o
µ
.
λ
Pertanto la (2.18)
determina λ e µ a meno di un fattore di proporzionalità non nullo. Rimane
cosí individuata una retta del tipo (2.16) che coincide con t, avendo con essa
in comune i due punti distinti P e P0 , se il fascio è proprio, ed essendo la
parallela a r per P0 , se il fascio è improprio.
Pertanto le rette di un fascio dipendono da due parametri omogenei,
ovvero da un parametro essenziale (il rapporto
2.4
λ
µ
o µλ ).
Esercizi
Esercizio 2.1. Scrivere l’equazione della retta congiungente i punti P1 (2, 3)
e P2 (5, −2).
Soluzione n. 1. L’equazione di una retta congiungente due punti P1 (x1 , y1 ),
25
P2 (x2 , y2 ) è
y − y1
x − x1
=
.
x2 − x1
y2 − y1
Con semplici calcoli, si ottine l’equazione
(2.19)
5x + 3y − 19 = 0.
Si può verificare che i punti dati appartengano all’equazione sostituendo
i valori delle loro coordinate al posto di x e y. Si ha per P1 e P2 ,
rispettivamente:
5 · 2 + 3 · 3 − 19 = 0,
5 · 5 − 3 · 2 − 19 = 0.
Soluzione n. 2 L’equazione della retta cercata è del tipo
ax + by + c = 0.
(2.20)
Affinché il punto P1 appartenga alla retta (2.20), le sue coordinate
devono soddisfare all’equazione della retta stessa. Allora, deve essere
2a + 3b + c = 0.
Procedendo analogamente per P2 si ha:
5a − 2b + c = 0.
In definitiva si ha il sistema

 2a + 3b + c = 0,
 5a − 2b + c = 0.
Si tratta di un sistema di due equazioni lineari in tre incognite, pertanto
i valori delle incognite non possono essere univocamente determinati.
26
D’altronde, ciò è ovvio se si pensa che una retta determina i coefficienti
della sua equazione a meno di un coefficiente di proporzionalità non
nullo. Ne segue, quindi, che a uno dei coefficienti può essere dato
un valore arbitrario non nullo. Posto, per esempio, c = 1, il sistema
diviene:

 2a + 3b = −1,
 5a − 2b = −1.
Si trova:
a=−
5
,
19
b=−
3
,
19
c=1
e, quindi, l’equazione
−
3
5
x − x + 1 = 0.
19
19
(2.21)
Moltiplicando la (2.21) per 19 essa si riduce alla (2.19).
Esercizio 2.2. Verificare che i tre punti P1 (2, 3), P2 (3, −5), P3 (4, 12 ) non
sono allineati.
Soluzione n. 1 Il problema può essere risolto determinando l’equazione della retta, ad esempio, per i punti P1 e P2 , e quindi verificando che le
coordinate di P3 non soddisfano all’equazione trovata.
Soluzione n. 2 Il problema può essere facilmente risolto verificando che i
tre punti non soddisfino alla condizione di allineamento di tre punti,
cioè verificando che non è nullo il determinante
2 3
1 3 −5 1 .
4 21
1 Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie “G. Tallini”- n. 153
27
Sviluppando il determinante si ha che esso vale
27
,
2
per cui i tre punti
non sono allineati.
Esercizio 2.3. Determinare il punto di intersezione delle due rette di equazioni
2x + 3y − 13 = 0, 5x + 7y − 31 = 0.
Soluzione. Determinare il punto di intersezione delle due rette equivale a
determinare la coppia di numeri x, y soddifacenti al sistema:

 2x + 3y − 13 = 0,
 5x + 7y − 31 = 0.
Tale coppia esiste certamente ed è univocamente determinata (se le due
rette sono non parallele e non coincidenti). Ciò equivale, dal punto di
vista analitico a che il determinante dei coefficienti sia non nullo.
Risolviamo il sistema con il metodo di Cramer. Si ha:
13 3 2 13 31 7 5 31 = 2,
= 3.
x = y = 2 3 2 3 5 7 5 7 Il punto (2, 3) è il punto di intersezione delle due rette date. Come
verifica del risultato, si può provare che sostituendo al posto di x e y
rispettivamente 2 e 3, nelle equazioni delle rette date, si ottengono due
identità.
Esercizio 2.4. Detto P il punto di intersezione delle rette
r : 2x + y − 17 = 0,
s : 3x − 7y + 34 = 0,
28
scrivere l’equazione della retta passante per P e
a) parallela all’asse x o all’asse y (Sol.: y − 7 = 0,
x − 5 = 0);
b) passante per il punto Q(2, 3) (Sol.: 4x − 3y + 1 = 0);
c) passante per il punto M (3, 11) (Sol.: 2x + y − 17 = 0);
d) staccante il segmento −5 sull’asse x (Sol.: 7x − 10y + 35 = 0);
e) staccante sugli assi x e y rispettivamente due segmenti che stanno fra
loro come 6 : 7 (Sol.: 7x + 6y − 77 = 0).
Soluzione. a) Si calcolino le coordinate del punto di intersezione delle
due rette, come nell’esercizio precedente. Si trova che il punto
ha coordinate (5, 7). Le infinite rette per P hanno equazione
del tipo:
a(x − 5) + b(y − 7) = 0.
Una retta parallela all’asse x ha equazione del tipo y = k, con
k costante. Se tale retta deve passare per P (5, 7) deve essere
k = 7.
L’equazione della retta per il punto P parallela all’asse x ha
dunque equazione:
y = 7.
Analogamente nel secondo caso.
Il problema proposto può essere risolto senza calcolare preliminarmente le coordinate del punto P. Il fascio di rette di
29
centro P ha equazione:
λ(2x + y − 17) + µ(3x − 7y + 34) = 0.
Dividendo per µ e posto λ/µ = k, si può scrivere l’equazione
del fascio in forma non omogenea:
3x − 7y + 34 + k(2x + y − 17) = 0.
Si deve ora determinare k soddisfacente alla condizione imposta. Se la retta del fascio deve essere parallela all’asse x,
deve essere nullo il coefficiente della x, cioè deve aversi:
3
3 + 2k = 0 =⇒ k = − .
2
Sostituendo nell’equazione del fascio, si ottiene:
−
119
17
y+
= 0,
2
2
ossia, molptiplicando per −
2
:
17
y − 7 = 0.
b) Se la retta del fascio
λ(2x + y − 17) + µ(3x − 7y + 34) = 0
deve passare per il punto Q(2, 3), ponendo
x = 2,
y = 3,
nell’equazione del fascio, si ottiene
4x − 3y + 1 = 0.
30
c) Operando come nell’esercizio precedente si ottiene l’assurdo:
−34 = 0.
Il presentarsi dell’equazione assurda è conseguenza dell’aver
scritto l’equazione del fascio in forma non omogenea, cioè
dell’aver posto
k=
λ
.
µ
Tale posizione è possibile solo per µ = 0, per cui l’equazione
del fascio in forma non omogenea non rappresenta tutte le
rette del fascio, ma solo quelle per cui µ 6= 0. Se si pone µ = 0
in
λ(2x + y − 17) + µ(3x − 7y + 34) = 0,
si ottiene la retta
2x + y − 17 = 0,
che è la retta cercata, come si può ad esempio dimostrare
partendo dalla generica equazione per il punto P :
a(x − 5) + b(y − 7) = 0
e ivi sostituendo le coordinate di M.
Se invece si fosse partiti dall’equazione omogenea del fascio
λ(2x + y − 17) + µ(3x − 7y + 34) = 0,
sostituendo in essa x = 3 e y = 11, si sarebbe ottenuto
−34µ = 0 =⇒ µ = 0,
31
che sostituito nell’equazone omogenea del fascio, avrebbe dato:
2x + y − 17 = 0,
in accordo con quanto per altre vie trovato.
32
Capitolo 3
Nozioni metriche
Le nozioni metriche sono quelle coinvolgenti i concetti di distanza di due
punti, angolo di due rette, aree di figure piane, nozioni legate al concetto di
misura. Nel seguito supporremo di usare riferimenti cartesiani ortogonali e
monometrici. Il piano sarà orientato positivamente verso l’osservatore e il
verso positivo delle rotazioni nel piano sarà quello antiorario. Ogni fascio
proprio di rette del piano risulterà allora automaticamente orientato.
3.1
Distanza di due punti
Dati due punti P1 (x1 , y1 ) e P2 (x2 , y2 ) (vedi Figura 3.1), si tracci da P1 la
parallela all’asse x fino a incontrare in P ′ la perpendicolare all’asse x da P2 .
Essendo gli assi ortogonali, la retta P2 P ′ è parallela all’asse y. Ne segue che la
lunghezza del segmento P2 P ′ è misurata dalla differenza delle ordinate di P2
e P1 , ossia da |y2 − y1 |. Similmente, si ha P1 P ′ = |x2 − x1 |. Per Il Teorema
di Pitagora, applicato al triangolo P1 P ′ P2 , rettangolo in P ′ , si ha
2
2
2
P1 P2 = P1 P ′ + P ′ P2 ,
33
y
P2
P′
P1
O
x
Figura 3.1
ossia
P1 P2 =
p
(x2 − x1 )2 − (y2 − y1 )2 .
Pertanto
• la distanza di due punti in un riferimento cartesiano ortogonale e monometrico è data dalla radice quadrata positiva della somma dei quadrati
delle differenze delle coordinate omonime dei due punti.
3.2
Coseni direttori
→
−
Sia −
r una retta orientata, ←
r la stessa retta orientata in verso opposto. Siano
−
→
→
→
→
[
x e−
y gli assi x e y, orientati positivamente. Le due quantità cos −
x−
r e
→
→
→
[
cos −
y−
r si chiamano coseni direttori della retta orientata −
r.
→
Se si inverte il verso fissato come positivo sulla retta −
r , si ha
→
−
→
→
[
[
cos −
x←
r = − cos −
x−
r,
→
−
→
→
[
[
cos −
y←
r = − cos −
y−
r,
34
−
→
y
−
→
r
−
→
x
O
Figura 3.2
sicché si ha che:
→
• Cambiando il verso su −
r i suoi coseni direttori cambiano simultaneamente di segno.
Quindi se la retta r è non orientata, i suoi coseni direttori sono determinati
a meno di un simultaneo cambiamento di segno.
→
Tra i coseni direttori di una retta −
r , vale la relazione:
→
→
−
→
→
[
cos2 −
x−
r + cos 2\
y−
r = 1.
→
Infatti, supposto −
r passante per l’origine, si ha
→
→
[
sin −
x−
r = sin
π
2
→
→
→
→
→
→
[
[
[
−−
r−
y = cos −
r−
y = cos −
y−
r,
(3.1)
onde
→
→
−
→
→
→
→
→
→
[
[
[
cos2 −
x−
r + cos 2\
y−
r = cos2 −
x−
r + sin2 −
x−
r = 1.
35
3.3
Equazione normale di una retta orientata
Come si è visto, la (2.6) è l’equazione di una retta. Vogliamo ora determinare
l’equazione di una retta orientata.
→
→
Sia −
r una retta orientata; orientiamo la normale alla retta −
r in modo
→
→
→
→
[
n−
r sia sovrapche sia −
n−
r = π , ossia orientata in modo tale che la coppia −
2
→
→
ponibile in direzione e verso alla coppia −
x−
n . Per un punto P (x, y) (vedi
−
→′
y
−
→
y
−
→
n
−
→
r
K
P (x, y)
Py
H
O
Px
−
→
x
Figura 3.3
→
Figura 3.3) della retta −
r si ha, con le notazioni in figura:
OK = OH + HK
e
→
→
[
OH = x cos −
x−
n,
→
→
→
→
[
[
HK = y sin −
x−
n = y cos −
y−
n.
Quindi, posto OK = p (distanza di O da r, valutata sulla normale orientata
36
nel modo anzidetto), si ha:
→
→
→
→
[
[
x cos −
x−
n + y cos −
y−
n = p.
(3.2)
→
La precedente equazione è detta equazione normale della retta orientata −
r,
in quanto i coefficienti della x e della y sono, rispettivamente, i coseni direttori
→
→
→
[
della normale alla retta −
r orientata in modo tale che sia −
n−
r = π.
2
Se la (3.2) e la (2.6) rappresentano la stessa retta, deve esistere un numero
ρ non nullo tale che:
→
→
[
cos −
x−
n = ρa,
→
→
[
cos −
y−
n = ρb,
(3.3)
p = −ρc,
per cui, si ha
1
.
ρ2 a2 + b2 = 1 =⇒ ρ = √
a2 + b 2
(3.4)
Da (3.3) e (3.4), risulta:
a
,
+ b2
→
→
[
cos −
x−
n = ±√
a2
→
→
[
cos −
y−
n = ±√
b
,
a2 + b 2
c
.
+ b2
La doppia scelta dei segni (tutti i superiori o tutti gli inferiori) corrisponde
p = ∓√
a2
alle due possibili orientazioni della retta.
Possiamo quindi concludere che
• I coefficienti a e b dell’equazione ax + by + c = 0 di una retta sono proporzionali ai coseni direttori della normale alla retta data e tali coseni
direttori valgono
→
→
[
cos −
x−
n = ±√
a
,
a2 + b 2
→
→
[
cos −
y−
n = ±√
b
,
a2 + b 2
(3.5)
37
dove sono da prendere simultaneamente i segni superiori o quelli inferiori.
3.4
Espressione dei coseni direttori di una retta
orientata in funzione di a, b, c
→
→
→
Se −
r è una retta orientata ed −
n è la normale alla −
r per O, orientata in
→
→
→
→
modo che la coppia −
n−
r sia sovrapponibile alla coppia −
x−
y , dalla Figura
3.4 risulta subito la relazione
−
→
y
−
→
r
−
→
x
O
−
→
n
Figura 3.4
3
→
→
−
→
→
[
[
x−
n mod 2π,
x−
r + π≡−
2
dalla quale si ricava:
3
→
→
−
→
−
→
[
x−
n,
sin [
x r + π = sin −
2
3
→
→
[
cos −
x−
r + π
2
→
→
[
= cos −
x−
n.
38
Tenendo presente le formule

 sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
e che
 cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
3
cos π = 0,
2
3
sin π = −1,
2
si trova:
→
→
→
→
[
[
− cos −
x−
r = sin −
x−
n,
→
→
→
→
[
[
sin −
x−
r = cos −
x−
n.
(3.6)
Ma, per la (3.1) è
→
→
→
→
[
[
sin −
x−
r = cos −
y−
r,
→
→
→
→
[
[
sin −
x−
r = cos −
y−
n,
sicché le (3.6) divengono:
→
→
→
→
[
[
cos −
x−
r = − cos −
y−
n,
→
→
→
→
[
[
cos −
y−
r = cos −
x−
n.
(3.7)
Tenute presenti le (2.6), le (3.7) divengono:
b
a
→
→
[
,
cos −
,
y−
r = ±√
2
2
+b
a + b2
dove sono da prendere simultaneamente i segni superiori o inferiori.
→
→
[
cos −
x−
r = ∓√
a2
(3.8)
In conclusione:
• I coseni direttori di una retta di equazione ax + by + c = 0 sono pro-
porzionali ai numeri −b, a e sono dati dalle formule (3.8), dove sono
da prendere simultaneamente i segni superiori o inferiori. Rimane determinata una scelta dei segni ogni volta che alla retta si attribuisce un
deteminato verso come positivo.
Tale risultato conferma quanto già detto e cioè che per una retta non
orientata i due coseni direttori sono determinati a meno di un simultaneo
cambiamento di segno.
39
3.5
Coefficiente angolare di una retta
→
→
[
Dividendo la seconda delle (3.8) per la prima, tenuto conto che si ha sin −
x−
r =
→
→
[
cos −
y−
r , si ricava:
→
→
[
a
sin −
x−
r
→
→
[
= tan −
x−
r =− ,
→
→
b
[
cos −
x−
r
(3.9)
sia prendendo insieme i segni superiori che i segni inferiori nelle (3.8).
Ciò è conforme a quanto già stabilito e cioè che la tangente dell’angolo di
due rette è univocamente definita, indipendentemente dai versi fissati come
positivi sulle due rette.
Il quoziente
m=−
a
b
si dice coefficiente direttivo o angolare della retta r e rappresenta la tangente
trigonometrica dell’angolo formato dalla retta con l’asse x.
È evidente, inoltre, che due rette parallele hanno lo stesso coefficiente
angolare.
È bene osservare inoltre che la divisione in (3.9) è eseguibile solo se b 6= 0,
cioè solo se la retta non è parallela all’asse y. Si può dire che una retta
parallela all’asse y ha coefficiente angolare infinito.
Ricordando che l’equazione di una retta (non parallela all’asse y) è della
forma y = mx+q, si osserva che la retta per un punto P0 (x0 , y0 ) di coefficiente
angolare m ha equazione
y − y0 = m(x − x0 ).
40
3.6
Distanza di un punto da una retta
→
Sia −
r una retta orientata di equazione normale
→
→
→
→
[
[
x cos −
x−
n + y cos −
y−
n = p,
→
→
essendo −
n la normale per O alla retta −
r , orientata in modo che la coppia
→
di rette ortogonali formata dalla normale −
n orientata positivamente e dalla
→
→
→
retta −
r sia sovrapponibile alla coppia −
x −
y . Con le notazioni della Figura
−
→
r
−
→
n
y
K
P0 (x0 , y0 )
H
O
x
Figura 3.5
3.5 si avrà allora in valore e segno (vedi §3.3):
p = OK.
→
L’equazione della retta parallela alla retta −
r passante per il punto P0 (x0 , y0 )
→
e con verso concorde alla retta −
r , ha equazione:
→
→
→
→
[
[
x cos −
x−
n + y cos −
y−
n = p0 ,
dove p0 deve essere tale che l’equazione sia soddisfatta per x = x0 , y = y0 . Si
ha dunque:
→
→
→
→
[
[
p0 = x0 cos −
x−
n + y0 cos −
y−
n,
41
e, inoltre, p0 = OH. Ma
OH + HK = OK,
ossia
→
→
→
→
[
[
HK = p − p0 = p − x0 cos −
x−
n − y0 cos −
y−
n.
La misura δ del segmento HK dà la misura della distanza orientata del
→
punto p dalla retta −
r.
0
Tenuto conto delle espressioni dei coseni direttori di una retta e che
p = ∓√
c
,
a2 + b 2
si ottiene:
δ=∓
ax0 + by0 + c
√
.
a2 + b 2
Se interessa conoscere soltanto il valore assoluto della distanza δ, si ha la
formula:
ax0 + by0 + c .
|δ| = √
a2 + b 2 3.7
Angolo di due rette
−
→
−
→
→
→
Siano −
r , r′ due rette orientate e siano −
n , n′ le loro rispettive normali (condotte per fissare le idee, dal punto di intersezione delle due rette) orientate
−
→
−
→
[
[
→
→
come nel Paragrafo 3.3. Ovviamente, l’angolo −
r r′ uguaglia l’angolo −
n n′ .
Dalla Figura 3.6 segue subito:
−
→ →
−
→ →
[
[
−
→
→
[
n n′ ≡ −
x n′ − −
x−
n mod 2π.
42
−
→
y
−
→′
n
−
→
r
−
→′
r
−
→
n
−
→
x
O
Figura 3.6
Sarà anche:
−
→ →
−
→ →
[
[
−
→
→
[
r r′ = −
x n′ − −
x−
n,
da cui:
−
→
−
→
−
→
[
[
[
→
→
→
→
→
→
→
[
[
sin −
r r′ = sin −
x n′ cos −
x−
n − cos −
x n′ sin −
x−
n,
−
→
−
→
−
→
[
[
[
→
→
→
→
→
→
→
[
[
cos −
r r′ = cos −
x n′ cos −
x−
n + sin −
x n′ sin −
x−
n.
(3.10)
−
→
→
Le equazioni delle due rette, −
r e r′ , siano rispettivamente:
ax + by + c = 0,
(3.11)
a′ x + b′ y + c′ = 0.
Per le (3.5) e (3.1) si ha:

a

−
→
→

,
x−
n = ±√
 cos [
2
a + b2
−
→
a′
[

−
→

,
 cos x n′ = ± √ ′2
a + b′2
b
,
+ b2
−
→
b′
[
→
sin −
x n′ = ± √
,
a′2 + b′2
→
→
[
sin −
x−
n = ±√
a2
(3.12)
43
ossia, sostituendo nella (3.10):
−
→
[
→
sin −
r r′ = ± √
ab′ − a′ b
√
,
a2 + b2 a′2 + b′2
−
→
[
aa′ + bb′
→
√
cos −
r r′ = ± √
,
a2 + b2 a′2 + b′2
(3.13)
(3.14)
dove valgono simultaneamente i segni superiori o inferiori.
−
→
→
Se le due rette −
r e r′ , considerate come non orientate, sono parallele o
−
→
−
→
[
[
→
→
coincidenti, si ha −
r r′ ≡ 0 mod 2π, ovvero −
r r′ ≡ π mod 2π; e inversamente.
−
→
[
→
In entrambi i casi deve essere sin −
r r′ = 0, ossia, per la (3.13):
ab′ − a′ b = 0.
Si ritrova così la condizione per il parallelismo di due rette.
3.8
Condizione di perpendicolarità di due rette
−
→
→
Supponiamo che le due rette −
r e r′ , considerate come non orientate, siano
−
→
−
→
[
[
→
→
r r′ ≡ 3π mod 2π.
tra loro perpendicolari. Sarà allora −
r r′ ≡ π mod 2π, ovvero −
2
2
Inversamente se è soddisfatta una delle due precedenti congruenze, le due
rette sono tra loro perpendicolari.
−
→
[
→
Se sono soddisfatte le due congruenze, si ha cos −
r r′ = 0, onde da (3.14)
segue aa′ + bb′ = 0.
Vale quindi il risultato seguente.
• Condizione necessaria e sufficiente affinché due rette, di equazioni rispettive
ax + by + c = 0,
a′ x + b′ y + c′ = 0,
44
siano tra loro perpendicolari, è che sia
aa′ + bb′ = 0.
(3.15)
Se, data una retta di equazione ax + by + c = 0, si vogliono determinare
i coefficienti a′ e b′ dell’equazione di una qualunque retta perpendicolare a
una retta data (il termine noto c′ rimane arbitrario, perché tutte le perpendicolari sono parallele tra loro), si può porre b′ = a, dato che i coefficienti dell’equazione da trovare sono determinati a meno di un coefficiente di
proporzionalità non nullo, dopo di che si avrà:
a′ = b.
L’equazione della retta cercata ha quindi la forma:
bx − ay + c′ = 0,
(3.16)
con c′ arbitrario.
Ricordando l’espressione del coefficiente angolare di una retta, dalla (3.15)
si ottiene (se m ed m′ sono i coefficienti angolari di due rette date) che la
condizione di perpendicolarità di due rette può scriversi:
mm′ + 1 = 0,
cioè:
• Condizione necessaria e sufficiente affinché due rette siano perpendicolari è che il prodotto dei loro coefficienti angolari valga −1.
Se, in particolare, si vuole determinare la perpendicolare alla retta ax +
by + c = 0 per il punto P0 (x0 , y0 ), imponendo che il punto appartenga alla
45
retta (3.16), si ha:
bx0 − ay0 + c′ = 0,
dalla quale, ricavando e sostituendo c′ nella (3.16), si ha l’equazione:
b(x − x0 ) − a(y − y0 ) = 0.
3.9
Esercizi
Esercizio 3.1. Orientare la retta r di equazione x + 2y + 1 = 0 in modo
◦
che essa formi l’asse orientato delle x un angolo minore di 180 . Scrivere
l’equazione normale della retta.
Soluzione. Tenuta presente l’equazione segmentaria di una retta, si vede che
la retta data stacca sugli assi x e y i segmenti di lunghezze rispettive −1
e − 21 . Dalla figura si vede che la retta r forma con la direzione positiva
y
ϕ1
−1
ϕ2
−1/2
x
r
Figura 3.7
46
dell’asse x due angoli (< 2π), ϕ1 < π e ϕ2 = ϕ1 + π > π. L’angolo
−
→
→
[
x−
r deve quindi essere l’angolo ϕ1 e l’orientamento della retta quello
indicato in figura. Ricordiamo che i coseni direttori di una retta di
equazione ax + by + c = 0 sono dati da
→
→
[
cos −
x−
r = ∓√
b
,
+ b2
a2
→
→
[
cos −
y−
r = ±√
a
,
+ b2
a2
dove valgono simultaneamente i segni superiori o inferiori, a seconda
dell’orientamento fissato sulla retta. Nel caso in esame, si ha:
2
2
→
→
[
cos −
x−
r = ∓p
= ∓√ .
2
2
2
5
1 + (2 )
→
→
[
Poiché π < −
x−
r < 2π, deve essere
→
→
[
cos −
x−
r <0
e quindi si deve prendere il segno superiore. Si deve prendere il segno
superiore anche nelle
→
→
[
cos −
x−
n = ±√
a
,
+ b2
a2
→
→
[
cos −
y−
n = ±√
b
,
+ b2
a2
che dànno i coseni direttori della normale alla retta. Ricordiamo che l’equazione normale di una retta orientata si ottiene dividendo l’equazione
√
della retta (nella forma ax + by + c = 0) per ± a2 + b2 . L’equazione
richiesta è quindi:
x
2
1
√ + √ y + √ = 0.
5
5
5
Esercizio 3.2. Determinare l’equazione della retta passante per il punto
(1, 5) e parallela alla retta 2x − 3y + 7 = 0.
47
Soluzione. Risolvendo l’equazione della retta data rispetto alla y, si ha:
7
2
y = x+ .
3
3
2
Il coefficiente angolare vale . L’equazione di una generica retta paral3
lela alla retta data ha equazione
2
y = x+q
3
e per determinare q basta imporre che la retta passi per il punto (1, 5).
Deve aversi:
5=
13
2
+ q =⇒ q = .
3
3
Esercizio 3.3. Scrivere l’equazione della retta passante per il punto (2, 9) e
perpendicolare alla retta 7x − 8y − 11 = 0.
Soluzione. L’equazione di una generica retta per il punto (2, 9) ha equazione:
y − 9 = m(x − 2),
ovvero
y = mx + (9 − 2m).
Ricordiamo che la condizione affinché due rette siano perpendicolari
è che il prodotto dei loro coefficienti angolari valga −1. Deve quindi
aversi:
8
7
m = −1 =⇒ m = − .
8
7
L’equazione cercata è quindi:
8
79
y =− x+ .
7
7
48
Capitolo 4
Lo spazio ampliato e le coordinate
omogenee
4.1
Punti impropri
Sia data una retta r e un punto S non appartenente a essa. Proiettiamo i
S
r
p
r
P
Figura 4.1
punti P di r dal punto S, cioè congiungiamo ogni punto P di r con S. Le
rette che così si ottengono appartengono al fascio F di centro S. Se si fa
49
corrispondere a ogni punto P di r la retta p del fascio F congiungente P con
S e a ogni retta p del fascio F il punto P in cui essa interseca la retta r,
veniamo a stabilire una biezione tra i punti di r e le rette del fascio F che
ammette una sola eccezione (vedi Figura 4.1).
Infatti, mentre a ogni punto P di r corrisponde una ben determinata
retta del fascio, a ogni retta del fascio corrisponde un punto di r, con la
sola eccezione della retta r parallela a r per P , a cui non corrisponde nessun
punto di r.
Si osservi che quando il punto P si allontana indefinitamente su r, la
retta p, congiungente S con P tende alla posizione limite r e, viceversa,
quando la retta p del fascio F ruota in uno dei due versi possibili intorno
a S, tendendo alla posizione limite r, il punto di intersezione di p con r si
allontana indefinitamente, nell’uno o nell’altro verso.
Si può dire allora che quando la retta p coincide con r, il punto P diventa
il punto all’infinito della retta r o punto improprio.
Con tale convenzione, si dice che la retta r e la retta r hanno in comune
un punto improprio e che la corrispondenza tra i punti di r e le rette del
fascio F risulta biettiva.
Si osservi che le rette r ed r hanno la stessa “direzione”, cosicché la nozione
di punto improprio può identificarsi con quella di direzione.
In questo modo, si ha che due rette hanno sempre un punto in comune: un
punto proprio quando si intersecano (nel senso della geometria elementare),
improprio quando sono parallele.
Una retta possiede uno e un solo punto improprio e l’ente geometrico
costituito da una retta e dal suo punto improprio si dirà retta ampliata.
50
4.2
Coordinate cartesiane omogenee
Ci proponiamo ora di vedere come i punti e le rette, sia propri che impropri,
si possano rappresentare analiticamente nello stesso modo.
Sia fissato sulla retta un riferimento cartesiano, in modo che ogni punto
possieda una ascissa x e, inversamente, a ogni numero reale x corrisponda
un punto.
Si ponga
x=
x1
,
x2
(4.1)
x2 6= 0.
A ogni coppia di numeri reali (x1 , x2 ), tale che x2 6= 0, possiamo associare
il numero reale x dato da (4.1). D’altra parte, se consideriamo la coppia
(ρx1 , ρx2 ), con ρ 6= 0, al variare di ρ si ottiene lo stesso numero x.
Chiameremo coppia omogenea una coppia di numeri reali (6= (0, 0)) defini-
ta a meno di un fattore di proporzionalità non nullo.
Le coppie omogenee (x1 , x2 ), tali che x2 6= 0, sono quindi in corrispon-
denza biunivoca con i punti della retta e prendono il nome di coordinate
omogenee del punto P di ascissa x.
In modo analogo, nel piano fissiamo un riferimento R(0, U, x, y) e poniamo
x=
x1
,
x3
y=
x2
,
x3
x3 6= 0.
(4.2)
Le terne omogenee di numeri reali (x1 , x2 , x3 ), definite cioè a meno di un
fattore di proporzionalità non nullo, con x3 6= 0, sono in corrispondenza
biunivoca con le coppie (x, y) ottenute tramite (4.2) e, quindi, con i punti
del piano.
Esse prendono il nome di coordinate omogenee del punto P nel riferimento
R(0, U, x, y) e le coordinate x e y si chiamano anche coordinate non omogenee.
51
Analoghe considerazioni si fanno per lo spazio. Sulla retta, nel piano o
nello spazio possiamo quindi individuare i punti con coppie, terne o quaterne
di coordinate omogenee.
4.3
Ampliamento della retta e del piano
Sia fissata sulla retta un’ascissa x e siano (x1 , x2 ) le coordinate omogenee
associate a x tramite le (4.1). Se lasciamo cadere la condizione x2 6= 0
e consideriamo come punto anche la coppia (x1 , 0), con x1 6= 0, abbiamo
aggregato ai punti della retta un altro punto, il punto improprio (introdotto
nel Paragrafo 4.1).
Analogamente, è possibile effettuare un ampliamento del piano con i punti
all’infinito, in quali costituiscono la retta di equazione
x3 = 0.
4.4
Equazione di una retta in coordinate omogenee
Sia ax + by + c = 0 l’equazione di una retta in coordinate cartesiane ordinarie
o non omogenee. Tenute presenti le (4.2), l’equazione può scriversi nella
forma:
a
x2
x1
+b +c=0
x3
x3
ovvero, moltiplicando per x3 :
ax1 + bx2 + cx3 = 0.
(4.3)
52
È chiaro che la condizione necessaria e sufficiente perché un punto proprio
P (x1 , x2 , x3 ) appartenga alla retta di equazione (4.3) è tale che le sue coordinate omogeneee soddisfino l’equazione stessa. Ciò vale anche per il punto
improprio (x1 , x2 , 0). Da ciò segue:
• Ogni retta del piano possiede uno e un sol punto improprio.
Si ha quindi che:
• La retta di equazione ax + by + c = 0 o in coordinate omogenee di
equazione ax1 + bx2 + cx3 = 0 possiede uno e un sol punto improprio
di coordinate
x1 = b,
4.5
x2 = −a,
x3 = 0.
Interpretazione geometrica dei punti impropri come direzioni
Il punto improprio della retta ax1 +bx2 +cx3 = 0, come si è visto nel paragrafo
precedente, non dipende dal coefficiente c. Ne segue che tutte le rette che
sono parallele alla retta ax1 + bx2 + cx3 = 0 passano tutte per lo stesso punto
improprio.
Inversamente, sia P (x1 , x2 , 0), con x1 , x2 non simultaneamente nulli, un
dato punto improprio. Per i coefficienti a, b, c di una qualunque retta, deve
allora essere soddisfatta l’equazione:
ax1 + bx2 = 0.
53
Il rapporto
a
b
è dunque univocamente determinato, mentre c rimane arbi-
trario. Di conseguenza, tutte le rette per P sono tra loro parallele.
Si può dunque dire:
• Tutte le rette che passano per un dato punto improprio sono tra loro
parallele.
Vi è dunque corrispondenza biunivoca tra i punti impropri del piano e le
direzioni.
4.6
La retta impropria del piano
La condizione necessaria e sufficiente affinché un un punto di coordinate
P (x1 , x2 , x3 ) sia improprio è che sia soddisfatta l’equazione
x3 = 0.
(4.4)
Si osservi che l’equazione (4.4) è un caso particolare della (4.3), rappresentante l’equazione di una retta. Perciò, la totalità dei punti impropri del piano
costituisce una retta, la retta impropria, di cui la (4.4) ne è l’equazione.
In contrapposto alla retta impropria, le rette del piano nel senso ordinario
del termine sono dette proprie.
Come si è visto, una retta propria possiede un solo punto improprio. La
retta impropria è invece costituita da tutti e soli i punti impropri del piano.
54
4.7
Retta per due punti in coordinate omogenee
Si osservi preliminarmente che due punti, propri o impropri, individuano una
retta. Infatti, se i due punti sono entrambi propri, ciò è stato svolto nel n.
??. Se i due punti sono entrambi impropri, la retta da essi individuata è la
retta impropria. Se infine un punto è proprio e l’altro è improprio, e quindi
comune a tutte le rette parallele a una data retta r, la retta in questione è
la parallela alla retta r passante per il punto proprio.
′′
′′
′′
′′
Ciò premesso, siano P ′ (x′1 , x′2 , x′3 ) e P (x1 , x2 , x3 ) due punti distinti del
piano. L’equazione della retta che li congiunge, in coordinate omogenee, si
può porre
x1
′
x1
′′
x1
nella forma:
x2 x3 ′
′ = 0,
x2 x3
′′ ′′
x2 x3 equazione che si deduce da quella relativa al caso delle coordinate non omogenee.
In forma parametrica, cioè mettendo in evidenza i due parametri omogenei
da cui dipende il punto variabile sopra una retta, i punti di r hanno coordinate
date da



x = λx′1 + µx′′1 ,

 1
x2 = λx′2 + µx′′2 ,



 x3 = λx′ + µx′′ .
3
3
(4.5)
55
4.8
Retta proiettiva e piano proiettivo
La retta ampliata con il suo punto improprio si chiama retta proiettiva. Esiste
una biezione tra i punti di una retta proiettiva e le rette di un fascio ovvero
tra i punti di una retta proiettiva e i punti di una circonferenza.
Il piano euclideo ampliato con la retta impropria, ovvero con l’insieme
delle direzioni, si chiama piano proiettivo.
4.9
Trasformazione delle coordinate cartesiane
Analogamente al caso della retta, si dimostra che passando dal riferimento R(O, U, x, y) al riferimento R′ (O′ , U ′ , x′ , y ′ ) le coordinate sono legate da
relazioni della forma
x′ = a11 x + a12 y + a13
y ′ = a21 x + a22 y + a23
con kaij k 6= 0.
4.10
Esercizi
Esercizio 4.1. Determinare le coordinate omogenee del punto P1 (5, 7), del
punto improprio della retta 3x + 7y − 8 = 0 e del punto all’infinito dell’asse
x.
Soluzione. Le coordinate omogenee del punto (5, 7) sono date da tre numeri
x1 , x2 , x3 tali che
5=
x1
,
x3
7=
x2
.
x3
56
Bisogna notare che sono determinati soltanto i rapporti di x1 , x2 a x3 .
Una delle x1 , x2 , x3 può ricevere un valore arbitrario, non nullo, dopo
di che le altre sono determinate. Il modo piú semplice è quello di
porre x3 = 1. Ricordiamo che due terne che rappresentano lo stesso
punto sono proporzionali e viceversa. Per il punto della retta 3x + 7y −
8 = 0 ricordiamo che deve aversi x3 = 0. Scriviamo la retta in forma
omogenea. Otteniamo:
3x1 + 7x2 − 8x3 = 0.
Deve essere
3x1 + 7x2 = 0.
x2
x1
oppure
, ovvero x1 e x2 a
x2
x1
meno di un fattore di proporzionalità.
Posto x2 = 1, da 3x1 +7x2 = 0 si
7
7
ha x1 = − , per cui la terna − , 1, 0 rappresenta il punto improprio
3
3
della retta 3x + 7y − 8 = 0. L’equazione dell’asse x è in coordinate non
Tale equazione determina il rapporto
omogenee y = 0, ovvero in coordinate non omogeneex2 = 0. Per il punto
improprio dell’asse x deve essere dunque x3 = 0 e x2 = 0, mentre la
coordinata x1 rimane arbitraria, e la poniamo uguale a 1. Il punto
cercato è quindi (1, 0, 0).
57
Capitolo 5
Ampliamento complesso dello
spazio reale
5.1
Considerazioni preliminari
La trattazione dei problemi geometrici, la quale porti alla risoluzione di
equazioni algebriche di grado superiore al primo, può dar luogo a soluzioni
non tutte reali. Allo scopo di estendere alla geometria il vantaggio, ottenuto
dall’algebra con l’estensione dal campo reale a quello complesso di tutti i suoi
procedimenti, appare allora evidente l’opportunità di introdurre la nozione di
punti complessi, cioè a coordinate (cartesiane) complesse. Ciò avviene semplicemente stabilendo per convenzione che, fissato nel piano un riferimento
cartesiano, ogni coppia di numeri x, y rappresenti un punto, anche se x e
y non sono entrambi reali, ma uno o entrambi complessi. Ovviamente, un
punto a coordinate complesse non può essere rappresentato graficamente.
Successivamente, si estendono ai punti a coordinate complesse tutte le
58
locuzioni ed operazioni finora considerate per i punti a coordinate reali. Cosí,
per esempio, la condizione necessaria e sufficiente perché un punto a ccordinate comunque complesse, stia sopra una retta è che le sue coordinate
soddisfini all’equazione della retta. Inoltre, come si considerano rette, la
cui equazione sia a coefficienti reali, si possono piú in generale considerare
rette, nella cui equazione intervengono coefficienti complessi qualunque (rette
complesse).
5.2
Elementi complessi coniugati
Se un punto P ha le coordinate x = a + ib e y = c + id, essendo i l’unità
immaginaria e a, b, c, d reali, il punto P , che ha coordinate x = a − ib e
y = c − id, ossia le quantità complesse coniugate rispettivamente di x e y, si
dice il punto complesso coniugato di P.
Si noti che la retta congiungente due punti complessi coniugati è una retta
reale.
Se infatti nell’equazione della retta per due punti P1 (x1 , y1 ) e P2 (x2 , y2 ):
(y1 − y2 )x − (x1 − x2 )y + (x1 y2 − x2 y1 ) = 0,
poniamo
x1 = a + ib,
y1 = c + id,
x2 = a − ib,
y2 = c − id,
si ottiene l’equazione:
2idx − 2iby + ((a + ib)(c − id) − (a − ib)(c + id)) = 0,
ossia:
dx − by + bc − ad = 0,
59
che è l’equazione di una retta reale.
Se r è una retta di equazione
(a + ib)x + (c + id)y + (e + if ) = 0,
(5.1)
la retta r, avente coefficienti complessi coniugati a quelli di r, ossia la retta
di equazione
(a − ib)x + (c − id)y + (e − if ) = 0,
(5.2)
si dice la retta complessa coniugata di r.
L’intersezione delle due rette complesse coniugate è un punto reale. Infatti, sommando (e dividendo per 2) e poi sottraendo (e dividendo per 2i) le
equazioni
(a + ib)x + (c + id)y + (e + if ) = 0,
(a − ib)x + (c − id)y + (e − if ) = 0,
si ottengono le equazioni
ax + cy + e = 0,
bx + dy + f = 0,
(5.3)
che rappresentano due rette reali e distinte (perché se fossero coincidenti la
terna a, c, e sarebbe proporzionale alla terna b, d, f e quindi l’immaginario
nelle equazioni delle due rette entrerebbe solo apparentemente). Ogni punto
comune alle due rette di equazioni (5.1) (5.2) appartiene alle rette di equazioni
(5.3). In conseguenza di ciò vi è uno solo di tali punti ed è reale (proprio o
improprio).
Da quanto detto finora segue subito:
60
• Per ogni punto complesso passa una e una sola retta reale; su ogni retta
complessa esiste uno e un solo punto reale.
Infatti, per un punto complesso passa una retta reale, e cioè quella che lo
congiunge col punto complesso coniugato; questa retta è poi unica perché
se un punto complesso appartiene a una retta reale, a questa stessa appartiene anche il complesso coniugato. Similmente si dimostra la seconda parte
dell’enunciato.
Se per rappresentare i punti del piano si usano coordinate omogenee, nella
terna delle coordinate di un punto complesso dovranno figurare delle quantità
complesse. Tuttavia per effetto del fattore di proporzionalità che è insito nelle
coordinate omogenee, un punto a coordinate complesse può di fatto essere
reale. Per esempio, il punto (i, i, i) non differisce dal punto (1, 1, 1), ossia dal
punto unitario.
Infine, si potrà parlare anche di punti complessi impropri.
5.3
Rette isotrope. Punti ciclici
Si immagini di operare in un riferimento cartesiano ortogonale monometrico.
Si voglia stusiare la totalità dei punti che hanno da un punto fisso P (α, β)
distanza nulla.
I punti di tale totalità sono tutti e soli quelli le cui ordinate x, y soddisfanno all’equazione
(x − α)2 + (y − β)2 = 0.
(5.4)
Nel campo reale si ha solo il punto x = α, y = β.
61
Nel campo complesso si può invece scrivere:
(y − β)2 = −(x − α)2
y = ±i(x − α),
dalla quale viceversa si ricava la (5.4). L’equazione precedente rappresenta
ora l’equazione di due rette complesse coniugate, che si dicono le rette isotrope
uscenti dal punto P (α, β).
Da ogni punto reale proprio P del piano escono due rette, tra loro complesse coniugate, tutti i punti di ciascuna delle quali hanno dal punto P distanza nulla. I coefficienti direttori delle due rette isotrope uscenti da un punto
qualunque del piano sono sempre i e −i, sicché si può dire che le rette isotrope
del piano costituiscono due fasci di rette parallele. Corrispondentemente,
tutte le rette isotrope del tipo:
y − β = i(x − α)
passano per il punto improprio (1, i, 0), mentre quelle di equazione
y − β = −i(x − α)
passano tutte per il punto improprio (1, −i, 0).
I due punti impropri, tra loro complessi coniugati, di coordinate (1, ±i, 0),
si dicono i punti ciclici del piano.
La ragione di tale denominazione si vedrà piú avanti.
62
Capitolo 6
Coordinate polari
Il sistema delle coordinate cartesiane è soltanto uno dei possibili sistemi per
individuare la posizione di un punto nel piano mediante una coppia (ordinata)
di numeri. Un altro sistema è quello delle coordinate polari.
Il riferimento polare è costituito da (vedi Figura 6.1):
1. un punto O detto polo o origine;
2. una semiretta p per O detta asse polare;
3. un’unità di misura per i segmenti.
Se P è un punto proprio qualunque del piano, distinto da O, restano
individuati:
a) la distanza ρ = OP , misurata con la prefissata unità di misura;
b) l’angolo ϕ, misurato in radianti, che la semiretta uscente da O e
passante per P forma con l’asse polare.
L’angolo ϕ è valutato a meno di multipli di 2π, tenendo conto del verso
antiorario fissato come positivo nel piano.
63
u
P
θ
O
p
Figura 6.1
I numeri ρ e ϕ si chiamano le coordinate polari del punto P e si scrive
P (ρ, ϕ).
Più precisamente, il numero ρ si dice raggio vettore, mentre l’angolo ϕ si
dice l’anomalia del punto P .
Per l’origine O il raggio vettore è nullo, mentre l’anomalia è indeterminata.
Si osservi inoltre che il luogo dei punti che hanno un dato raggio vettore
ρ è la circonferenza di centro O e raggio ρ. Invece, il luogo dei punti che
hanno una data anomalia ϕ, è la semiretta per O che forma l’angolo ϕ con
l’asse polare.
Tali osservazioni dimostrano che (vedi Figura 6.2):
P
θ
O
ρ
Figura 6.2
64
• Ogni punto P del piano, distinto dal polo O, determina la coppia (ρ, ϕ)
delle sue coordinate polari. Inversamente, ogni coppia di numeri (ρ, ϕ)
è la coppia delle coordinate polari di un punto P univocamente determinato, dato dal punto di intersezione della circonferenza di centro O
e raggio ρ con la semiretta uscente da O che forma con l’asse polare
l’angolo ϕ.
6.1
Trasformazione delle coordinate cartesiane
in polari e viceversa
Dato un riferimento polare, come nel paragrafo precedente, associamo a esso
un riferimento cartesiano ortogonale con l’origine coincidente con il polo O,
il semiasse positivo x coincidente con l’asse polare e il verso dell’asse y in
modo che il verso positivo di rotazione del piano che ne risulta sia antiorario.
La comune unità di misura dell’asse x e dell’asse y sia coincidente con l’unità
di misura del riferimento polare.
Ogni punto P del piano distinto da O ha due coordinate cartesiane x, y e
due coordinate polari ρ, ϕ. Si hanno le seguenti formule di passaggio dalle
coordinate polari a quelle cartesiane (vedi Figura 6.3):

 x = ρ cos ϕ,
 y = ρ sin ϕ,
(6.1)
come si ricava facilmente dall’esame del triangolo OPx P (vedi figura) ret-
tangolo in Px .
Le formule inverse che dànno le coordinate polari in funzione delle coordinate cartesiane, si possono ottenere sia dall’esame del triangolo OPx P sia
65
y
P
y
θ
O
x
Px x
Figura 6.3
invertendo le (6.1). Si ha:

p
 ρ = x2 + y 2 ,
 ϕ = arctan y .
x
(6.2)
Si osservi che la seconda delle (6.2) determina ϕ a meno di multipli di π.
Si hanno cioè due distinte determinazioni di ϕ (ciascuna definita a meno di
multipli di 2π), ad esempio ϕ0 e ϕ0 + π. Per decidere quale determinazione
scegliere bisogna tener conto che vale quel valore di ϕ per cui, per esempio
sia
cos ϕ =
x
x
=p
,
ρ
x2 + y 2
cioè che cos ϕ abbia lo stesso segno di x.
66
Capitolo 7
La circonferenza
7.1
L’equazione cartesiana di una circonferenza
La circonferenza di centro O(α, β) e raggio r è l’insieme o luogo dei punti
che hanno distanza dal centro uguale al raggio (vedi Figura 7.1 nella pagina
seguente) Pertanto l’equazione della circonferenza sarà:
(x − α)2 + (y − β)2 = r2 ,
(7.1)
ossia è un’equazione del tipo
x2 + y 2 + ax + by + ac = 0,
(7.2)
posto
a = −2α,
b = −2β,
c = α2 + β 2 − r 2 .
L’equazione (7.2) è sempre l’equazione di una circonferenza di centro α =
√
− a2 e raggio r = 21 a2 + b2 − 4c, purché sia a2 +b2 −4c > 0. Se a2 +b2 −4c = 0,
la (7.1) diventa
(x − α)2 + (y − β)2 = [(x − α) + i(y − β)] [(x − α) − i(y − β)] = 0.
67
r
O
O
Figura 7.1
Tale equazione rappresenta due rette complesse coniugate (cioè l’una avente
i coefficienti complessi coniugati di quelli dell’altra) passanti per O(α, β) che
si chiamano rette isotrope. La coppia di tali rette si chiama circonferenza di
raggio nullo e ha un unico punto reale: il centro O(α, β). I punti impropri
delle rette isotrope hanno coordinate (1, ±i, 0) e si chiamano punti ciclici.
Se è a2 + b2 − 4c < 0 il raggio della circonferenza è immaginario e la
circonferenza è priva di punti reali.
Essa si chiama circonferenza di raggio immaginario.
Come si deduce dall’equazione, le circonferenze dipendono da tre parametri
indipendenti. Pertanto per tre punti non allineati passa una e una sola circonferenza, poiché imponendo a una circonferenza il passaggio per essi si
ottengono tre condizioni lineari e indipendenti. Con facili calcoli si prova che
68
siffatta circonferenza ha
x2 + y 2 x y
x2 + y 2 x y
1
1
1
1
x2 + y 2 x2 y2
2
2
x2 + y 2 x3 y3
3
3
equazione:
1 1 = 0,
1 1 ottenuta sviluppando il determinante secondo gli elementi della prima riga.
7.2
Intersezioni di una circonferenza con una
retta
Sia data la circonferenza
x2 + y 2 − 2αx − 2βy + α2 + β 2 − r2 = 0
e la retta di equazione
y = mx + q.
Determinare le intersezioni di una circonferenza con una retta significa, dal
punto di vista analitico, risolvere il sistema delle due equazioni indicate:

 x2 + y 2 − 2αx − 2βy + α2 + β 2 − r2 = 0
(7.3)
 y = mx + q.
Si tratta di un sistema di secondo grado, la cui equazione risultante può
avere due radici reali e distinte, due radici complesse e coniugate o due radici
reali e coincidenti. La retta si dirà corrispondentemente secante, esterna o
tangente alla circonferenza. Ciò accade a seconda che la distanza del centro
dalla retta sia minore, maggiore o uguale al raggio.
69
7.3
Intersezioni di una circonferenza con la retta impropria
Anche la retta impropria, come ogni altra retta del piano, ha due punti in
comune con ogni circonferenza.
Per trovare tali punti, occorre passare alle coordinate omogenee.
Posto
x=
x1
,
x3
y=
x2
x3
nella
x2 + y 2 + ax + by + c = 0,
moltiplicando per x23 , si ottiene l’equazione
x21 + x22 + αx1 x3 + bx2 x3 + cx23 = 0.
Per un punto improprio P (x1 , x2 , x3 ) della circonferenza deve essere x3 = 0
e quindi:
x21 + x22 = 0.
L’equazione precedente determina il rapporto
x2
.
x1
Infatti, essa si può scrivere
2
x2
= −1,
x1
70
x2
= ±i,
x1
ossia
x2 = ±ix1 .
Posto, per esempio, x1 = 1, si ha:
x2 = ±i.
Si conlude che i due punti impropri della circonferenza sono i punti
(1, ±i, 0), ossia i due punti ciclici del piano.
Abbiamo quindi dimostrato che:
• Tutte le circonferenze del piano passano per i punti ciclici.
Tale proprietà giustifica la denominazione di “punti ciclici”.
7.4
Tangente a una circonferenza in un suo punto
Data la circonferenza di centro O(α, β) di equazione
x2 + y 2 − 2αx − 2βy + c = 0,
la tangente nel punto P1 (x1 , y1 ) è la perpendicolare alla retta OP1 in P1 . La
retta OP1 ha equazione:
x(y1 − β) − y(x1 − α) = αy1 − βx1 .
71
La tangente cercata avrà quindi equazione:
(x1 − α)(x − x1 ) + (y1 − β)(y − y1 ) = 0,
con la condizione
x21 + y12 − 2αx1 − 2βy1 + c = 0,
sicché l’equazione della tangente diviene
xx1 + yy1 − α(x + x1 ) − β(y + y1 ) + c = 0.
In particolare, se P1 coincide con l’origine l’equazione della tangente è
αx + βy = 0.
Osserviamo che imporre a una circonferenza la condizione di tangenza a
una retta r in un suo dato punto P1 (x1 , y1 ), dà luogo a due condizioni lineari
per i coefficienti della circonferenza: il passaggio della circonferenza per il
punto e avere il centro sulla perpendicolare per P1 a t.
Imporre a una data retta di essere tangente a una circonferenza dà luogo a
una condizione di secondo grado, consistente nell’annullarsi del discriminante
dell’equazione risultante del sistema (7.3).
7.5
Esercizi
Esercizio 7.1. Equazione della circonferenza per i tre punti (0, 0), (0, 2),
(−4, 0).
Soluzione. Il passaggio di una circonferenza per un punto equivale a una
condizione lineare, che si scrive imponendo che le coordinate note del
72
punto, sostituite nell’equazione della circonferenza, rendano tale equazione soddisfatta. Si tratta di una condizione lineare nelle a, b, c perché
a, b, c intervengono a primo grado nell’equazione.
Poiché il passaggio per un punto è una condizione lineare, il problema
si riduce a un sistema di tre equazioni lineari nelle tre incognite a, b, c.
Ci si deve dunque aspettare una e una sola soluzione.
Sostituendo successivamente le coordinate dei tre punti nell’equazione
della circonferenza
x2 + y 2 + ax + by + c = 0,
si ottiene il sistema



c = 0,


4 + 2b + c = 0,



 16 + 4a + c = 0.
Si trova che la terna a = 4, b = −2, c = 0, è la soluzione del sistema.
Sostituendo i valori trovati nell’equazione della circonferenza, si ha:
x2 + y 2 + 4x − 2y = 0.
Esercizio 7.2. Circonferenza con un dato punto come centro.
Soluzione. Avere un dato punto come centro equivale a due condizioni
lineari. Infatti, se α e β sono le coordinate note del centro, deve essere
a
α= ,
2
b
β=− ,
2
ossia
a + 2α = 0,
b + 2β = 0.
73
Esercizio 7.3. Equazione della circonferenza tangente alla retta y = 3x
nell’origine e passante per il punto (2,7).
Soluzione. Il passaggio per il punto (2,7) si esprime con la condizione lineare:
2a − 7b + c = −53.
Per imporre la tangenza nell’origine alla retta y = 3x, si può imporre
il passaggio per l’origine, cioè imporre
c = 0,
e poi imporre che il centro
b
a
,
− ,−
2
2
della circonferenza stia sulla perpendicolare alla retta y = 3x, ossia
appartenga alla retta di equazione:
x + 3y = 0.
Si ottiene in tal modo la condizione lineare:
a + 3b = 0.
Si ha dunque il sistema



2a − 7b + c = −53,


a + 3b = 0,



 c = 0.
Si può anche ricordare che l’equazione della retta tangente nell’origine
a una circonferenza di centro (α, β) è data da
αx + βy = 0.
74
Esercizio 7.4. Equazione della circonferenza con il centro nel punto (5, 2) e
tangente alla retta y = 3x.
Soluzione. Si ponga l’equazione della circonferenza nella forma
(x − α)2 + (x − β)2 = r2 ,
dove α, β rappresentano le coordinate del centro e r il raggio. Sarà
allora in questo caso α = 5, β = 2, e tutto si riduce a calcolare il
raggio. Il raggio r è la distanza (in valore assoluto) del centro dalla
tangente y − 3x = 0.
Ricordiamo che la distanza di un punto di coordinate (x0 , y0 ) da una retta
di equazione ax + by + c = 0 è data da:
.
ax0 + by0 + c .
|δ| = √
a2 + b 2 In questo caso si ha:
2 − 3 · 5
= √13 .
r = √
10 10
Sostituendo i valori trovati nell’equazione della circonferenza, si ha
(x − 5)2 + (y − 2)2 =
169
.
10
Si può anche partire dall’equazione della circonferenza nella forma
x2 + y 2 + ax + by + c = 0,
75
e considerare come incognite a, b, c. Se allora il centro è il punto di coordinate
(5, 2), ciò si esprime con le due condizioni lineari
a + 10 = 0,
b + 4 = 0,
ricordando che
a
α=− ,
2
b
β=− ,
2
ossia
a + 2α = 0,
b + 2β = 0.
Per la terza condizione, che sarà quadratica, si ha il sistema

 x2 + y 2 + ax + by + c = 0,
 y = 3x.
Eliminando la y, si ottiene l’equazione
10x2 + (a + 3b)x + c = 0,
dalla quale dovendo essere nullo il discriminante, si ricava:
(a + 3b)2 − 40c = 0.
Tutto si riduce allora a risolvere il sistema



(a + 3b)2 − 40c = 0,


a + 10 = 0,



 b + 4 = 0.
76
Capitolo 8
La parabola - L’ellisse - L’iperbole
8.1
La parabola
Dati un punto F e una retta d non passante per F , si chiama parabola di
fuoco F e direttrice d il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da
F e da d.
La distanza fuoco-direttrice sarà indicata con la lettera p. Supponiamo
che la retta d sia parallela all’asse delle ascisse, cioè abbia equazione y = y0 ,
e sia F (x1 , y1 ) il fuoco (vedi Figura 8.1 nella pagina successiva). Un punto
P (x, y) appartiene alla parabola se, e soltanto se, si ha:
dist(F, P ) = dist(P, d),
ovvero:
q
(x − x1 )2 + (y − y1 )2 = |y − y0 | .
Elevando al quadrato, si ottiene:
(x − x1 )2 + (y − y1 )2 = y − y0 =⇒
77
y
b
F
P
b
x
y0
b
H
d
Figura 8.1
x2 − 2xx1 + x21 + y 2 − 2yy1 + y12 = y 2 − 2y0 y + y02 =⇒
2yy1 − 2y0 y = x2 − 2xx1 + x21 + y 2 + y12 − y02 =⇒
2y (y1 − y0 ) = x2 − 2x1 x + x21 + y12 − y02 .
Poiché P ∈
/ r, allora y1 6= y0 e quindi:
y=
1
x1
x2 + y12 − y02
x2 −
.
x+ 1
2 (y1 − y0 )
y1 − y0
2 (y1 − y0 )
a=
1
,
2 (y1 − y0 )
Posto
b=−
x1
x,
y1 − y0
c=
x21 + y12 − y02
,
2 (y1 − y0 )
(8.1)
l’equazione della parabola si può scrivere nella forma:
y = ax2 + bx + c,
(8.2)
con a, b, c ∈ R e a 6= 0.
78
Dalle (8.1) e (8.2), si ottiene:
x=−
b
,
2a
y1 = −
∆−1
,
4a
y0 = −
∆+1
,
4a
con ∆ = b2 − 4ac.
La retta a per F perpendicolare a r è chiaramente un asse di simmetria
e si chiama asse della parabola. L’asse interseca la parabola nel vertice V
(vedi Figura 8.2).
a
F
V
D
d
Figura 8.2
L’equazione di una parabola acquista la sua forma più semplice se si fa uso
di un riferimento con l’origine nel vertice e il semiasse positivo delle ascisse
passante per il fuoco F . Si ha allora
p
F = 0,
2
e l’equazione della direttrice è
y=−
p
2
(vedi Figura 8.3 nella pagina successiva).
79
y
y = ax2 , a > 0
x
Figura 8.3
8.2
L’ellisse
Fissati nel piano due punti F e F ′ , detti fuochi, e un numero reale positivo
2a, con 2a > F F ′ , si dice ellisse il luogo geometrico dei punti del piano
per cui è costante, e uguale a 2a, la somma delle distanze dai fuochi (vedi
Figura 8.4 nella pagina seguente).
Per determinare l’equazione dell’ellisse scegliamo un sistema di riferimento in cui i fuochi appartengano a uno degli assi cartesiani (per esempio l’asse
x) con l’origine O coincidente con il punto medio di F F ′ . Si avrà F (c, 0),
F ′ (−c, 0), con c > 0.
Un punto appartiene all’ellisse se P F + P F ′ = 2a, cioè se
p
p
(x − c)2 + y 2 + (x + c)2 + y 2 = 2a,
80
P
F′
F
Figura 8.4
da cui
p
a x2 + c2 + 2cx + y 2 = a2 + cx,
e ancora
a2 − c 2 x 2 + a2 y 2 = a2 a2 − c 2 .
Posto
a2 − c 2 = b 2
(8.3)
(la quantità a2 − c2 è positiva), si ottiene infine:
x2 y 2
+ 2 = 1,
a2
b
equazione che viene detta equazione canonica dell’ellisse.
La retta che contiene i fuochi è detta asse focale, l’origine è detta centro
dell’ellisse. I punti di intersezione dell’ellisse con l’asse focale e con la retta
a esso perpendicolare passante per il centro sono detti vertici dell’ellisse
81
B
A′
F′
F
A
B′
Figura 8.5
(A, A′ , B, B ′ in Figura 8.5). Il segmento AA′ è detto asse maggiore dell’ellisse,
il segmento BB ′ è detto asse minore.
Osservazione 1.
Se l’asse focale coincide con l’asse delle ordinate,
l’equazione dell’ellisse è
x2 y 2
+ 2 = 1,
b2
a
con a > b.
Se il centro dell’ellisse viene fissato nel punto (x0 , y0 ) e si sceglie come
asse focale la retta y = y0 , si trova facilmente che in questo caso l’equazione
dell’ellisse è
(x − x0 )2 (y − y0 )2
+
= 1.
a2
b2
Osservazione 2. Nella definizione di ellisse è necessario specificare la condizione
F F ′ < 2a.
82
Infatti, dall’esame del triangolo P F F ′ (vedi Figura 8.4 nella pagina 81), si
vede che se F F ′ = 2a si ottiene il segmento F F ′ , mentre se F F ′ > 2a, si
ottiene l’insieme vuoto.
8.3
L’iperbole
Siano dati nel piano due punti F e F ′ , detti fuochi, e un numero positivo 2a <
F F ′ . Si dice iperbole il luogo geometrico dei punti del piano per cui è costante
(e uguale a 2a) la differenza delle distanze dai fuochi (vedi Figura 8.6). La
P
F′
F
Figura 8.6
differenza delle distanze di un punto arbitrario P da due punti fissati F e F ′
non può evidentemente essere superiore alla distanza tra questi due punti.
Questa differenza è uguale alla distanza tra F e F ′ se e soltanto se il punto
M si trova su uno dei prolungamenti del segmento F F ′ . Di conseguenza,
il luogo geometrico dei punti per i quali la differenza delle distanze da due
83
punti fissati F e F ′ è una grandezza costante, uguale alla distanza tra F e F ′
è costituito dai due prolungamenti del segmento F F ′ . Se la differenza delle
distanze di un punto P dai punti F e F ′ è nulla, questo punto è equidistante
da F e F ′ .
Di conseguenza, il luogo geometrico dei punti per i quali la differenza delle
distanze dai due punti fissati F e F ′ è costante e uguale a zero, rappresenta
una retta perpendicolare al segmento F F ′ , passante per il punto medio del
segmento (asse del segmento).
Da ciò si vede la necessità della limitazione introdotta.
Nella derivazione dell’equazione canonica dell’iperbole bisogna considerare
due situazioni in quanto risulta P F − P F ′ = 2a se P F > P F ′ , oppure
′
P F − P F = 2a se P F < P F ′ . Questa differenza viene eliminata negli
elevamenti al quadrato.
Sia F = (c, 0) e F ′ = (−c, 0). Procedendo come nel caso dell’ellisse, si
trova l’equazione
c 2 − a2 x 2 − a2 y 2 = a2 c 2 − a2 .
Posto
b 2 = c 2 − a2
(si ricordi che c > a), si ottiene
x2 y 2
− 2 = 1.
a2
b
(8.4)
La retta che contiene i fuochi è detta asse focale o asse trasverso dell’iperbole, l’origine è detta centro dell’iperbole. Ponendo y = 0 nell’equazione
dell’iperbole, si trovano i punti di intersezione dell’iperbole con l’asse focale:
84
P′
P
H
F′
A′
A
F
K
Figura 8.7
sono i punti A′ = (−a, 0) A = (a, 0). Il numero 2a è la misura del segmento
AA′ .
La circonferenza di centro l’origine e raggio c contiene i fuochi dell’iperbole
e incontra la retta x = a in due punti: H, K (vedi Figura 8.7).
Poiché, per definizione, b2 = c2 −a2 , risulta H = H(a, b), come si dimostra
applicando il Teorema di Pitagora al Triangolo OAH. Le rette passanti per
l’origine, di equazioni
b
y = x,
a
b
y=− x
a
sono dette asintoti dell’iperbole. Si può dimostrare che dati un punto P (x, y),
appartenente all’iperbole, e un punto P ′ (x, bx/a) appartenente all’asintoto (e
con la stessa ascissa di P ), la distanza P P ′ diventa sempre più piccola quando
x aumenta (in valore assoluto).
Nel caso in cui a = b, la (8.4) diviene:
x 2 − y 2 = a2
85
i cui asintoti sono le rette y = x e y = −x (come in Figura 8.7), cioè
le bisettrici dei quadranti. In questo caso l’iperbole viene detta iperbole
equilatera (Figura 8.8) Altro caso notevole si ha quando i fuochi sono del tipo
5
4
F
3
2
1
0
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
−1
−2
F
′
−3
−4
−5
Figura 8.8
F (a, a) e F ′ (−a, −a) (vedi Figura 8.8). In questo caso l’equazione dell’ipebole
è data da
xy =
a2
,
2
i cui asintoti sono gli assi coordinati.
Osservazione. L’ipotesi F F ′ > 2a è necessaria. Se infatti fosse F F ′ =
2a otterremmo le semirette (−∞, c) e (c, +∞), mentre se fosse F F ′ < 2a
otterremmo l’insieme vuoto.
86
Capitolo 9
Teoria generale delle coniche
9.1
Generalità
Si definisce conica l’insieme dei punti del piano che soddisfano all’equazione
generale di secondo grado. Essa si suole scrivere nella forma:
a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0.
(9.1)
La stessa equazione in coordinate omogenee si scrive:
a11 x21 + 2a12 x1 x2 + a22 x22 + 2a13 x1 x3 + 2a23 x2 x3 + a33 x23 = 0.
(9.2)
Si ha che le coniche dipendono da 5 parametri indipendenti.
Una conica si dice riducibile se l’equazione (9.1) è spezzata nel prodotto di
due equazioni lineari, irriducibile in caso contrario, e si chiama semplicemente
degenere o doppiamente degenere, a seconda che le due rette siano distinte o
coincidenti.
87
9.2
Intersezioni di una retta con una conica
Intersecare una retta r con una conica C significa analiticamente risolvere il
sistema dato dalle rispettive equazioni.
Quindi una retta e una conica hanno in comune due punti. Se essi
coincidono la retta si dirà tangente alla conica.
Se P ′ (x′1 , x′2 , x′3 ) e P ′′ (x′′1 , x′′2 , x′′3 ) sono due punti di r le equazioni parametriche di r, ogni punto di r ha coordinate (vedi (4.5))



x = λx′1 + µx′′1 ,

 1
x2 = λx′2 + µx′′2 ,



 x3 = λx′ + µx′′ .
3
3
Poniamo
f (P ) = a11 x21 + 2a12 x1 x2 + a22 x22 + 2a13 x1 x3 + 2a23 x2 x3 + a33 x23 = 0,
f1 (P ) = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ,
f2 (P ) = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ,
f3 (P ) = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 ,
aik = aki ,
i, k = 1, 2, 3.
Si ha che f (P ) = 0 se e soltanto se P appartiene a C e per due qualsiasi
punti del piano P ′ (x′1 , x′2 , x′3 ) e P ′′ (x′′1 , x′′2 , x′′3 ) si pone
ϕ(P ′ , P ′′ ) = f1 (P ′ )x′′1 + f2 (P ′ )x′′2 + f3 (P ′ )x′′3 =
= f1 (P ′′ )x′1 + f2 (P ′′ )x′2 + f3 (P ′′ )x′3 = ϕ(P ′′ , P ′ )
Sostituendo le (4.5) nell’equazione (9.2) si ottiene
λ2 f (P ′ ) + 2λµϕ(P ′ , P ′′ ) + µ2 f (P ′′ ) = 0.
(9.3)
88
La (9.3) se non è identicamente soddisfatta è un’equazione di secondo grado
nel rapporto λ/µ (o µ/λ) le cui due radici forniscono le coordinate dei due
punti comuni a r e C. Se la (9.3) è identicamente soddisfatta, allora tutti i
punti di r appartengono a C, la quale pertanto degenera in r e in una retta
residua.
Quindi:
• Una conica e una retta hanno due punti comuni, tranne il caso in cui
la conica sia degenere e la retta sia una delle sue componenti.
A seconda che i due punti comuni a r e C siano reali e distinti, coincidenti
o complessi e coniugati, la retta si dirà secante, tangente o esterna alla conica.
9.3
Classificazione della coniche
Intersecando C con la retta impropria di equazione x3 = 0, si ottiene l’equazione di secondo grado nel rapporto x1 /x2 (o x2 /x1 )
a11 x21 + 2a12 x1 x2 + a22 x22 = 0.
Tale equazione, se non è un’identità ha due radici reali e distinte, reali e
coincidenti o complesse coniugate, a seconda che il suo discriminante a212 −
a11 a22 sia maggiore, uguale o minore di zero. Tuttavia si suole chiamare
discriminante △ di una conica l’espressione
△ = a11 a22 − a212 .
Se il discriminante △ di C è maggiore di zero, la conica ammette due
punti impropri complessi coniugati, cioè è esterna alla retta impropria, e si
chiama ellisse.
89
Se è △ = 0, la conica è tangente alla retta impropria e si chiama parabola.
Se è △ < 0, la conica C ha due punti impropri reali e distinti e si chiama
iperbole.
9.4
Tangente in un punto a una conica
Supponiamo, con le posizioni del Paragrafo 9.2, che il punto P ′ stia sulla
conica. Sarà allora f (P ′ ) = 0, onde la (9.3) diventa:
µ [2λϕ(P ′ , P ′′ ) + µf (P ′′ )] = 0.
(9.4)
Essa ammette la radice µ = 0, in accordo con il fatto che per µ = 0 il punto
(4.5) si riduce a P ′ , il quale è ora uno dei punti comuni alla retta r e a
C. Ovviamente si ha che µ = 0 è radice doppia di (9.4) se e soltanto se
ϕ(P ′ , P ′′ ) = 0, ossia se e soltanto se P ′′ soddisfi all’equazione
f1 (P ′ )x1 + f2 (P ′ )x2 + f3 (P ′ )x3 = 0.
(9.5)
Si devono distinguere due casi:
1. f1 (P ′ ), f2 (P ′ ), f3 (P ′ ) non simultaneamente nulli;
2. f1 (P ′ ) = f2 (P ′ ) = f3 (P ′ ) = 0.
Nel caso 1 la (9.5) rappresenta la retta tangente in P ′ alla conica. Nel
caso 2 si dice che la tangente in P ′ a C è indeterminata e allora C si spezza in
due rette per P ′ distinte o coincidenti. Infatti è ϕ(P ′ , P ′′ ) = 0, qualunque sia
P ′′ e prendendo comunque P ′′ su C, distinto da P ′ , sarà f (P ′′ ) = 0 e allora la
(9.4) sarà identicamente soddisfatta, ossia la retta P ′ P ′′ è una componente
della conica.
Si può dunque enunciare che:
90
• Se P ′ (x′1 , x′2 , x′3 ) è un punto di C, per esso passa una e una sola retta
tangente alla conica, salvo il caso in cui C degeneri in due rette per P ′
e la tangente per P ′ è indeterminata.
L’equazione della tangente in P ′ a C è:
(a11 x′1 + a12 x′2 + a13 x′3 ) x+(a21 x′1 + a22 x′2 + a23 x′3 ) y+(a31 x′1 + a32 x′2 + a33 x′3 ) = 0,
con l’analoga ovvia forma in coordinate non omogenee.
Se in particolare C passa per l’origine, la sua equazione è priva del termine
noto e l’equazione della tangente ivi a essa si ottiene annullando i termini di
primo grado a13 x + a23 y.
Il deteminante simmetrico
a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 a31 a32 a33 (9.6)
si chiama determinante della conica. Si prova che esso è nullo se e soltanto
se la conica è degenere.
9.5
Polarità rispetto a una conica
Sia C una conica non degenere di equazione omogenea (9.2) e P ′ (x′1 , x′2 , x′3 )
sia un punto della conica. La retta di equazione (9.5)
f1 (P ′ )x1 + f2 (P ′ )x2 + f3 (P ′ )x3 = 0
è l’equazione della tangente in P ′ alla conica. Se P ′ è un punto qualunque del
piano l’equazione (9.5) rappresenta una retta che si dice polare p′ del punto
P ′ rispetto alla conica C, mentre P ′ si dice il polo di p′ .
91
Viceversa, ogni retta del piano è polare di un opportuno punto P ′ . Infatti
considerata la retta di equazione
u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0,
essa è polare del punto P ′ (x′1 , x′2 , x′3 ) tale che
u1 = f1 (P ′ ),
u2 = f2 (P ′ ),
u3 = f3 (P ′ ),
ossia del punto P ′ soluzione del sistema:



u = a11 x′1 + a12 x′2 + a13 x′3 ,

 1
u2 = a21 x′1 + a22 x′2 + a23 x′3 ,



 u3 = a31 x′ + a32 x′ + a33 x′ .
1
2
3
(9.7)
Il sistema (9.7), di tre equazioni lineari non omogenee in tre incognite, ammette una e una sola soluzione, in quanto il suo determinante è diverso da
zero, poiché C è non degenere. Pertanto, associando a ogni punto del piano
la sua polare rispetto a C, si stabilisce una biezione tra i punti e le rette del
piano che si chiama polarità determinata dalla conica irriducibile C.
Il punto P ′′ si dirà coniugato a P ′ , rispetto a C, se esso appartiene alla
polare di P ′ .
Poiché ϕ(P ′ , P ′′ ) = ϕ(P ′′ , P ′ ) e poiché la condizione analitica per cui P ′′
è coniugato di P ′ è che sia ϕ(P ′ , P ′′ ) = 0, ne segue che se P ′′ è coniugato di
P ′ , anche P ′ è coniugato di P ′′ .
In ciò consiste la Legge di reciprocità, nella teoria della polarità rispetto
a una conica irriducibile:
• Se P ′ e P ′′ sono due punti tali che P ′′ appartiene alla polare di P ′
rispetto alla conica C, allora P ′ appartiene alla polare di P ′′ .
92
Dalla Legge di reciprocità, seguono:
1. Se p′ e p′′ sono due rette tali che p′′ passi per il polo P ′ di p′ la retta
p′ passa per il polo P ′′ di p′′ . Due rette come p′ e p′′ si dicono rette
coniugate nella polarità rispetto a C.
2. Se un punto P ′′ descrive la polare p′ di un punto P ′ la sua polare p′′
descrive il fascio di centro P ′ .
3. Se una retta p′′ descrive il fascio di rette di centro P ′ , il suo polo P ′′
descrive la polare p′ di P ′ .
9.6
Significato geometrico della polare
Si è visto che se un punto P ′ appartiene alla conica, la sua polare è la tangente
ivi alla conica. Se P ′ non appartiene a C, la polare p′ di P ′ non è tangente a
C, e pertanto la polare interseca la conica in due punti distinti, reali e distinti
o complessi coniugati. Nel primo caso si dirà che P ′ è esterno alla conica,
nel secondo caso che è interno.
Facendo variare il polo sulla retta p′ la polare descrive il fascio di centro
P ′ . Se tale polo cade nelle due intersezioni di p′ con C, le rispettive polari
sono le tangenti da P ′ a C. Pertanto (vedi figura):
• La polare di un punto non appartenente a C è la congiungente i punti
di contatto delle due tangenti che si possono condurre dal punto alla
conica.
93
C
p′
P′
Figura 9.1
94
Capitolo 10
Riduzione a forma canonica delle
coniche
10.1
Centro e diamentri di una conica
Sia C una conica non degenere. Si chiama centro C di una conica il polo
della retta impropria rispetto alla conica stessa.
Le rette per il centro sono quindi le polari dei punti impropri e si chiamano
diametri (vedi punto 2 pag. 93).
Sia P il punto improprio di coordinate (λ, µ, 0). La sua polare rispetto
alla conica (9.2) ha equazione
λ (a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ) + µ (a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ) = 0.
Al variare dei parametri omogenei λ, µ si ottiene il fascio dei diametri.
Per trovare il centro C della conica, basta risolvere il sistema

 a x + a x + a x = 0,
11 1
12 2
13 3
 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = 0,
95
(10.1)
delle polari dei punti impropri degli assi.
Si presentano due casi:
1. Il centro C è un punto proprio (conica a centro);
2. Il centro C è improprio, il che equivale a dire polo e polare si appartengono e allora la conica è tangente alla retta impropria (conica non a
centro o parabola).
Nel primo caso la conica è un’ellisse o un’iperbole, a seconda che la retta
impropria sia esterna o secante C. Nel secondo caso la conica è una parabola.
In questo caso i diametri sono tutti paralleli e passano per il punto improprio
della conica.
Se C è una conica a centro, i due diametri si dicono coniugati se uno passa
per il polo dell’altro.
Nel caso della parabola ogni diametro è coniugato con la retta impropria.
Si chiamano asintoti di una conica le tangenti nei punti impropri della
conica. Essi sono diametri autoconiugati.
L’ellisse ha due asintoti complessi coniugati, l’iperbole ha due asintoti
reali e distinti.
L’equazione complessiva dei punti impropri di una conica è data da
a11 x21 + 2a12 x1 x2 + a22 x22 = 0,
ovvero, in coordinate non omogenee:
a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 = 0,
(10.2)
da risolversi nel rapporto y/x (x/y).
96
L’equazione (10.2) è il prodotto delle due rette per l’origine e per i punti
impropri della conica. Le parallele per il centro a tali rette sono gli asintoti
della conica. Se gli asintoti sono reali e distinti e tra loro ortogonali si ha
un’iperbole equilatera.
La condizione analitica perché ciò avvenga, è data da
a11 + a22 = 0.
Infatti per i rispettivi coefficienti angolari m, m′ degli asintoti si deve avere
mm′ = −1, e ciò avviene se
a11
= −1,
a22
cioè se a11 + a22 = 0.
In un riferimento cartesiano ortogonale e monometrico poniamo la questione di determinare due diametri coniugati d, d, che siano ortogonali. Analiticamente, tale condizione geometrica si traduce nella condizione analitica
(a12 λ + a22 µ) λ − (a11 λ + a21 µ) µ = 0,
che è un’equazione di secondo grado nel rapporto λ/µ (µ/λ). Il discriminante
di tale equazione è sempre positivo, essendo dato da
(a22 − a11 )2 + 4a212 ,
tranne nel caso in cui a22 = a11 , a12 = 0, caso che si verifica quando la conica
è una circonferenza, per la quale quindi ogni diametro è perpendicolare al
suo coniugato.
Se la conica a centro non è una circonferenza, la (10.2) dà luogo a due
radici reali e distinte e, quindi, a un’unica coppia di diametri coniugati e
ortogonali che si chiamano assi della conica.
97
Nel secondo caso, la conica irriducibile è una parabola (det A 6= 0, a11 a22 −
a212 = 0).
Allora tutti i diametri sono paralleli e passano per il punto improprio della
parabola. Ogni diametro è polare di un punto improprio cioè è coniugato con
una data direzione.
Si definisce asse di una parabola il diametro coniugato con la direzione
ortogonale a quella dei diametri.
L’equazione di una parabola può scriversi nella forma
(ax + by)2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0.
La direzione del punto improprio della parabola, cioè di tutti i diametri, è
quella della retta ax + by = 0. La direzione ortogonale a quella dei diametri
è data dalla retta bx − ay = 0, il cui punto improprio ha coordinate (a, b, 0).
La polare di tale punto rispetto alla parabola ha equazione:
a (a11 x + a12 y + a13 ) + b (a22 y + a12 x + a23 ) = 0,
ed è l’equazione dell’asse della parabola.
Il punto di intersezione dell’asse della parabola con la parabola si chiama
vertice della parabola. Si dimostra che la tangente nel vertice è perpendicolare all’asse della parabola.
10.2
Fuochi e direttrici di una conica
Consideriamo le tangenti alla conica a centro C uscenti dai punti ciclici. Si
tratta di quattro rette r, s, r, s, a due a due complesse coniugate, tali che dei
loro quattro punti di intersezione, due sono reali e due complessi coniugati.
98
Tali punti si chiamano fuochi.
Sia l’ellisse che l’iperbole hanno due fuochi reali, appartenenti a uno stesso
asse, detto asse focale, e due fuochi immaginari appartenenti all’altro asse.
Si chiama direttrice di una conica, relativa a un fuoco, la polare del fuoco
rispetto alla conica.
10.3
Equazioni canoniche delle coniche a centro
Assumendo come assi coordinati gli assi della conica, si può provare che
l’equazione di un’ellisse è
x2 y 2
+ 2 = 1,
a2
b
dove l’asse x incontra l’ellisse nei punti (a, 0) e (−a, 0) e l’asse y incontra
l’ellisse nei punti (0, b) e (0, −b).
Per a = b si ha una circonferenza.
L’iperbole si scrive invece nella forma:
x2 y 2
− 2 = 1.
a2
b
10.4
Equazione canonica e proprietà della parabola
Si assume come riferimento cartesiano quello avente come origine il vertice
della parabola e come assi l’asse della parabola e la sua tangente nel vertice.
In tal modo l’equazione a cui si perviene è del tipo:
y 2 = 2px.
La parabola ha un solo fuoco.
99
10.5
Fuochi
Abbiamo detto che se dai punti ciclici del piano si conducono le rette tangenti
a una conica C, le intersezioni di queste rette si chiamano fuochi. In altri
termini, un punto F si dice fuoco di C se le rette isotrope che passano per F
risultano tangenti a C.
Si osservi anzitutto che i fuochi sono interni alla conica (in caso contrario
le rette per F tangenti alla conica sarebbero reali).
Dimostriamo che questa definizione coincide con quella data nel Capitolo
8.
Si consideri l’ellisse C:
x2 y 2
+ 2 = 1.
a2
b
la retta isotropa
y = ix + p
(con p ∈ C) è tangente a C se l’equazione in x, data da
x2 (ix + p)2
+
= 1,
a2
b2
ha radici coincidenti. Ricordando la (8.3) si ottiene
c2 x2 − 2a2 pix + a2 b2 − p2 = 0.
Il discriminante dell’equazione precedente è uguale a
−4a2 a2 p2 + c2 b2 − p2
e risulta uguale a zero se p2 + c2 = 0, ossia se
p = ±ic.
100
Allora le rette
r : y = ix + ic,
s : y = ix − ic,
sono tangenti a C.
In modo analogo, partendo dall’equazione y = −ix + q, si ottengono le
tangenti
r : y = −ix − ic,
s : y = −ix + ic.
I punti
r ∩ r,
s ∩ s,
sono reali e precisamente di coordinate
(−c, 0),
(c, 0)
e coincidono con i punti chiamati fuochi nel Capitolo 8.
In modo analogo si procede per l’iperbole e la parabola.
101
Capitolo 11
Fasci di coniche
11.1
Intersezione di due coniche
Siano C e C ′ due coniche distinte non degeneri, di equazioni rispettive:
a11 x21 + 2a12 x1 x2 + a22 x22 + 2a13 x1 x3 + 2a23 x2 x3 + a33 x23 = 0,
a′11 x21 + 2a′12 x1 x2 + a′22 x22 + 2a′13 x1 x3 + 2a′23 x2 x3 + a′33 x23 = 0.
I loro punti comuni sono le soluzioni del sistema

 f = a x2 + 2a x x + a x2 + 2a x x + 2a x x + a x2 = 0,
11 1
12 1 2
22 2
13 1 3
23 2 3
33 3
 f ′ = a′ x2 + 2a′ x1 x2 + a′ x2 + 2a′ x1 x3 + 2a′ x2 x3 + a′ x2 = 0.
11 1
12
22 2
13
23
33 3
Si tratta di un sistema di quarto grado e pertanto i due punti comuni a
due coniche sono quattro, non necessariamente tutti distinti. Due coniche
entrambe degeneri, con una componente in comune, hanno invece infiniti
punti in comune.
Si chiama fascio di coniche individuato da C e C ′ la conica C di equazione
(11.1)
λf + µf ′ = 0.
102
Tutte le coniche del fascio passano per i punti comuni alle due coniche C
e C ′ , punti che si chiamano punti base del fascio.
11.2
Coniche degeneri di un fascio
Se si indicano con aik e a′ik (i, k = 1, 2, 3) rispettivamente i coefficienti di f e
f ′ , i coefficienti della conica C saranno
λaik + µa′ik
e C è degenere se è nullo
λa11 + µa′11
A = λa21 + µa′21
λa31 + µa′31
il determinante
λa12 +
µa′12
λa13 +
µa′13
λa22 + µa′22 λa23 + µa′23
λa32 + µa′32 λa33 + µa′33
= 0.
λ µ
La precedente è un’equazione di terzo grado nel rapporto
o
.
µ
λ
11.3
Numero dei punti che individuano una conica
Ovviamente per un punto del piano distinto dai punti base passa una e una
sola conica del fascio, ovvero esiste una e una sola conica del fascio soddisfacente a una condizione lineare indipendente dal passaggio per i punti base.
Infatti, se per cinque punti assegnati passassero due coniche, esse avrebbero
infiniti punti in comune, perché, come abbiamo visto, due coniche hanno
quattro oppure infiniti punti in comune. Le due coniche, allora, dovrebbero
essere entrambe degeneri e la retta comune conterrebbe quattro dei cinque
103
punti assegnati. Infatti, se la prima conica si spezza nelle rette r, r′ e la seconda conica si spezza nelle rette r, r′′ , poiché r′ e r′′ essendo distinte hanno
esattamente un punto in comune, gli altri quattro dei cinque punti dati debbono appartenere a r.
È poi evidente che se dei cinque punti tre sono allineati, la conica per essi è
unica, ma risulta spezzata nella retta che contiene i tre punti allineati e nella
retta contenente gli altri due punti dati.
Si ha quindi:
• Per cinque punti dati in un piano, dei quali non piú di tre allineati,
passa sempre una e una sola conica. Se tre dei punti dati sono allineati,
la conica è degenere.
11.4
Configurazione dei punti base di un fascio
di coniche
Le coniche degeneri di un fascio dipendono dalla natura dei punti base del
fascio: se essi sono quattro, tra di essi distinti, siano essi M, N, P, Q, allora le
coniche degeneri sono (M N · P Q) , (M Q · P N ), (M P · N Q). Esse sono tre
coniche distinte semplicemente degeneri (vedi Figura 11.4).
Se per esempio, M = P , cioè se le coniche del fascio sono tutte tangenti
in P a una stessa retta t, le coniche degeneri del fascio sono (P N · P Q)e
(N Q · t), cioè sono due e semplicemente degeneri (vedi Figura 11.4).
Se M = P e N = Q, le coniche del fascio sono bitangenti in M a t e in N
a s, e le coniche degeneri sono (s · t) e (M · N )2 ossia sono due, di cui una
104
M
N
P
Q
Figura 11.1 Punti base del fascio distinti
semplicemente degenere e l’altra doppiamente degenere (vedi Figura 11.4).
Se M = N = P , cioè se le coniche si osculano in P con tangente comune t,
vi è un’unica conica semplicemente degenere data da (t · P Q). (vedi Figura
11.4).
Se M = N = P = Q, le coniche si iperosculano in P , avendo in comune una
stessa tangente t e vi è un’unica conica doppiamente degenere data t2 . (vedi
Figura 11.4).
11.5
Il metodo del fascio di coniche
Le coniche dipendono da cinque parametri essenziali (cioè non definiti a
meno di un fattore di proporzionalità non nullo) e indipendenti. Pertanto per cinque punti, i quali offrano condizioni indipendenti a una conica che
105
M =N
P
t
Q
Figura 11.2
li contenga, passa una e una sola conica.
In altre parole, esiste una e una sola conica soddisfacente a cinque condizioni lineari e indipendenti nei cinque coefficienti essenziali della sua equazione.
Piú in generale esiste un numero finito di coniche soddisfacente a cinque
condizioni indipendenti.
Per determinare una conica soddisfacente a cinque condizioni di cui quattro almeno siano lineari, si procede nel modo seguente. Si determinano le
coniche del fascio relative a quattro condizioni lineari, combinando linearmente due delle coniche degeneri del fascio. A tale fascio di coniche si impone
poi l’ulteriore quinta condizione, anche non lineare, ottenendo in tal modo la
soluzione del problema.
Per esempio, se si vuole determinare la conica tangente in due punti a due
106
M =P
N =Q
s
t
Figura 11.3
rette in due punti distinti e passante inoltre per un punto fissato, si scrive
la combinazione lineare tra il prodotto delle due tangenti e la congiungente i
punti di contatto contata due volte a cui si impone il passaggio per il punto.
Per esempio, se vogliamo determinare la conica tangente in (0, 0) alla
retta di equazione x + y = 0, tangente a y = 0 in (1, 0) e passante per
P (0, 1), si scrive l’equazione del fascio
(x + y)(x − 1) + ky 2 = 0.
Imponendo poi alla conica del fascio il passaggio per P (0, 1), si ottiene k = 1
e pertanto si ottiene la conica di equazione
x2 + xy + y 2 − x − y = 0.
107
M =N =P
t
D
Figura 11.4
11.6
Equazione di una conica sottoposta a condizioni
Come detto, se si cerca l’equazione di una conica soddisfacente a date condizioni geometriche, ciascuna di tali condizioni si traduce in una o piú condizioni per i coefficienti, a priori incogniti, dell’equazione della conica.
Diamo alcuni esempi.
1. Passaggio per un punto (proprio o improprio).
Il passaggio per un punto, proprio o improprio, di date coordinate,
equivale a una condizione lineare, che si ottiene imponendo alle coordinate del punto di soddisfare alla condizione
a11 x21 + 2a12 x1 x2 + a22 x22 + 2a13 x1 x3 + 2a23 x2 x3 + a33 x23 = 0. (11.2)
108
t
M =N =P =Q
Figura 11.5
2. Conica con un dato punto come centro.
Per una conica, avere un dato punto come centro, equivale a due condizioni
lineari.In questo caso, bisogna infatti imporre che le coordinate del
punto dato soddifino alle (10.1).
3. Punto e retta polo e polare rispetto a una conica.
Perché un punto P e una retta p siano polo e polare l’uno dell’altra,
rispetto alla conica (11.2), devono essere soddisfatte due condizioni lineari.
Infatti, se x′1 , x′2 , x′3 sono le coordinate di P e ax1 + bx2 + cx3 = 0 è
l’equazione della retta p, l’equazione
(a11 x′1 +a12 x′2 +a13 x′3 ) x1 + (a21 x′1 +a22 x′2 +a23 x′3 ) x2 + (a31 x′1 +a32 x′2 +a33 x′3 ) x3 = 0
della polare di P , rispetto allla (11.2), deve identificarsi con l’equazione
ax1 + bx2 + cx3 = 0, per cui devono essere soddisfatte le relazioni:
a11 x′1 + a12 x′2 + a13 x′3
a21 x′1 + a22 x′2 + a23 x′3
a31 x′1 + a32 x′2 + a33 x′3
=
=
,
a
b
c
ossia le due condizioni lineari:

 b (a x′ + a x′ + a x′ ) − a (a x′ + a x′ + a x′ ) = 0,
11 1
12 2
13 3
21 1
22 2
23 3
 c (a11 x′ + a12 x′ + a13 x′ ) − a (a31 x′ + a32 x′ + a33 x′ ) = 0.
1
2
3
1
2
3
109
4. Conica tangente in un punto a una retta data.
Se un punto P appartiene alla conica, allora la polare del punto rispetto
alla conica è la tangente nel punto alla conica. Allora, dal caso precedente, si ha che la condizione di tangenza in un punto a una retta data
equivale a due condizioni lineari.
5. Conica con una retta data come tangente.
La condizione di tangenza a una retta (in un punto non assegnato)
equivale a una condizione quadratica. Infatti, si deve imporre che l’equazione di secondo grado da cui dipende la determinazione delle intersezioni della conica con la retta (equazione che si ottiene elimimando
una delle coordinate correnti tra le equazioni di conica e retta) abbia
una radice doppia, cioè che sia nullo il suo discriminante, che risulta
appunto di secondo grado nei coefficienti.
6. La conica sia una parabola.
L’imposizione equivale alla condizione di secondo grado:
a11 a22 − a212 = 0,
la quale è un caso particolare del precedente, in quanto una parabola
è una conica tangente alla retta impropria.
7. La conica sia un’iperbole equilatera.
L’imposizione equivale alla condizione lineare:
a11 + a22 = 0,
traducente la condizione geometrica che i punti impropri della conica
siano due direzioni ortogonali
110
8. La conica sia degenere.
La condizione data equivale alla condizione cubica:
det A = 0.
9. Conica con un dato asse.
L’imposizione di avere un asse assegnato equivale a tre condizioni lineari.
Infatti, ciò equivale a dare una retta e il suo polo (cioè si deve imporre
che la retta data è la polare del punto improprio in direzione ortogonale
alla retta data). Si ha quindi un caso particolare del numero 3.
10. Conica con una coppia di diametri coniugati.
L’imposizione a una conica di avere una coppia di diametri coniugati
assegnati equivale a tre condizioni lineari, perché equivale ad assegnare
il centro, con l’aggiunta dell’ulteriore condizione lineare esprimente che
la polare del punto improprio di un diametro è l’altro diametro (qui
una sola condizione perché i diametri già passano per il centro).
11. Conica con un fuoco assegnato.
Ciò equivale a imporre due condizioni quadratiche, in quanto la conica
deve essere tangente alle rette isotrope uscenti dal fuoco.
111
Capitolo 12
Luoghi geometrici e curve piane
12.1
Rappresentazione grafica di una curva
Per curva piana si intende il luogo dei punti che con le loro coordinate
cartesiane x, y soddisfano a un’equazione del tipo
ϕ(x, y) = 0,
dove ϕ è una funzione in due variabili soddisfacente ad alcune condizioni di regolarità (continuità, derivabilità, ecc.). Il problema fondamentale dello studio
delle curve piane, intese come luoghi di punti, è quello di dare la rappresentazione grafica dell’equazione ϕ(x, y) = 0. Si perviene all’equazione suddetta,
imponendo al punto variabile nel piano alcune opportune condizioni geometriche che diano luogo a un insieme di punti dipendenti da un parametro,
quale è da intendersi che sia una curva. Infatti, esistono vari modi per la
rappresentazione analitica di una curva: nella sua forma più generale si ha
un’equazione del tipo ϕ(x, y) = 0. Essa può essere esplicitata rispetto a y,
cioè della forma y = y(x), oppure esplicitata rispetto alla x, x = x(y). Una
112
curva piana può anche essere rappresentata fornendo l’ascissa e l’ordinata del
punto variabile sulla curva in funzione di un parametro t, ossia

 x = x(t),
 y = y(t).
Piú generalmente, una curva si può rappresentare nella forma

 ϕ(x, y, t) = 0,
 ψ(x, y, t) = 0.
Dalle equazioni parametriche si arriva all’equazione cartesiana eliminando
il parametro t.
Se nell’equazione cartesiana di una curva la y (la x) figura con potenze
pari la curva è simmetrica rispetto all’asse x (y). La curva è ovviamente simmetrica rispetto all’origine se la sua equazione cartesiana non varia mutando
x in −x e y in −y.
L’equazione di una curva può anche essere scritta in coordiante polari e
sarà del tipo
f (ρ, ϕ) = 0.
Una curva piana si dice algebrica se la sua equazione in coordinate cartesiane è un polinomio uguagliato a zero. Una curva che non sia algebrica si
dice trascendente.
Si dice ordine di una curva algebrica f (x, y) = 0 il grado del polinomio
f , ossia il massimo della somma dei gradi degli esponenti della x e della y
nei suoi vari monomi.
Il significato geometrico dell’ordine di una curva algebrica di ordine n è
dato dal numero dei punti (reali o complessi, distinti o coincidenti) che la
curva ha in comune con una retta del piano.
113
L’equazione di una curva algebrica può scriversi nella forma:
ϕ0 + ϕ1 (x, y) + ϕ2 (x, y) + . . . + ϕn (x, y) = 0,
dove ϕi (x, y), i = 0, . . . , n, è un polinomio omogeneo di grado i, nelle due
coordinate x e y.
Se il termine noto ϕ0 è nullo, la curva passa per l’origine e la tangente (cioè
la retta avente in comune con la curva due punti coincidente nell’origine) ivi
a essa si ottiene uguagliando a zero il complesso dei termini di primo grado,
cioè
ϕ1 (x, y) = ax + by = 0.
(12.1)
Per studiare la curva nell’intorno di un suo punto, possiamo sempre scegliere
il sistema di riferimento in modo che il punto in oggetto coincida con l’origine
delle coordinate.
La retta tangente può in alcuni casi avere piú di due punti coincidenti nel
punto di contatto, nel senso che la molteplicità della radice x = 0, può essere
uguale a s, con 2 < s ≤ n. Se s = 3, la tangente si chiama tangente di flesso
e si dimostra che la curva è da parti opposte rispetto alla tangente stessa, il
che accade più in generale se s = 2k + 1. Se invece s = 2k, la curva è tutta
da una stessa parte rispetto alla tangente.
Se a = b = 0 in (12.1), le rette del fascio per l’origine incontrano la curva
in due punti coincidenti nell’origine stessa e il punto si dice punto doppio
per la curva. Intersecando la curva con la retta y = mx del fascio di centro
l’origine, si ottiene l’equazione
a11 + 2a12 m + a22 m2 x2 + ϕ3 (x, mx) + . . . + ϕn (x, mx) = 0.
114
L’equazione di secondo grado in m
a11 + 2a12 m + a22 m2 ,
dà l’equazione complessiva di due rette che hanno con la curva un contatto
almeno tripunto. Tali rette si chiamano tangenti principali alla curva nel
punto doppio e possono essere due rette reali e distinte, reali e coincidenti,
complesse coniugate. Il punto si chiamerà rispettivamente nodo, cuspide o
punto doppio isolato.
Se una delle tangenti ha un contatto tripunto e l’altra quadripunto, il
punto si dice flecnodo. Se ambedue le tangenti principali hanno contatto
quadripunto, il punto si chiama biflecnodo. Poiché è
m=
y
,
x
l’equazione
ϕ2 (x, y) = a11 x2 + 212 xy + a22 y 2 = 0,
rappresenta l’equazione complessiva delle due tangenti principali nel punto
doppio O(0, 0). Piú generalmente, un punto (che possiamo sempre considerare
coincidente con l’origine) si dirà s-plo per una curva algebrica quando le
rette del fascio di centro O hanno almeno s intersezioni coincidenti con esso
e l’equazione della curva è del tipo
ϕs (x, y) + ϕs+1 (x, y) + . . . + ϕn (x, y) = 0.
Risolvendo nel rapporto y/x l’equazione omogenea di grado s, ϕs (x, y) =
0, si ottiene l’equazione complessiva delle s tangenti principali (non necessariamente tutte distinte) aventi un contatto almeno (s + 1)-punto nel punto
s-plo.
115
12.2
Luoghi geometrici
Determinare un luogo geometrico significa determinare l’equazione della curva luogo dei punti che soddisfano a date proprietà geometriche. Si sceglierà il
riferimento cartesiano legato opportunamente alle condizioni poste, in modo
che i calcoli siano semplificati al massimo. Si traducono analiticamente le
proprietà geometriche e il luogo potrà esserre definito con la sua equazione
cartesiana o con le sue equazioni parametriche.
Esempio 12.1. Determinare il luogo dei punti equidistanti da due punti dati
A e B.
Conviene fissare il riferimento cartesiano assumendo come asse x la retta
AB e come origine il loro punto medio. Allora sarà A(a, 0) e B(−a, 0). La
condizione di appartenenza al luogo del punto P (x, y) è data da P A = P B,
ossia analiticamente
p
p
(x − a)2 + y 2 = (x + a)2 + y 2 ,
cioè, elevando al quadrato e semplificando:
x = 0,
che si chiama l’asse del segmento AB.
Esempio 12.2. Determinare il luogo dei punti le cui distanze da due punti
A e B hanno prodotto costante.
Scelto il riferimento come nell’esempio precedente e indicata con k 2 la costante
positiva assegnata, la condizione di appartenenza del punto P al luogo è dato
da
(P A) · (P B) = k 2 ,
116
ossia
x2 + y 2 − 2a2 x2 − y 2 + a4 − k 4 = 0.
Esempio 12.3. Luogo dei centri delle iperboli equilatere passanti per i punti
P1 (1, 0), P2 (2, 0) e aventi un asintoto passante per l’origine.
Uno degli asintoti avrà equazione y = −mx. Le perpendicolari a esso hanno
equazione my + x + h = 0. Tutte le iperboli che hanno tali asintoti hanno
equazione
(y − mx) (my + x + h) + λ = 0.
Imponendo a tali iperboli equilatere il passaggio per P1 e P2 , si ricava
h = −3,
λ = −2m.
Gli asintoti di tali iperboli hanno equazioni

 y − mx = 0
 my + x − 3 = 0
(12.2)
Poiché il centro è l’intersezione dei due asintoti, l’equazione cartesiana del
luogo si ottiene eliminando m dal sistema (12.2). Si ottiene, pertanto, l’equazione
x2 − y 2 − 3x = 0,
che rappresenta la circonferenza con centro nel punto ( 32 , 0), che è il punto
medio tra P1 e P2 , passante per l’origine.
Esempio 12.4. Luogo dei poli delle tangenti alla parabola y 2 = 2x rispetto
alla parabola x2 = 2y.
Le tangenti nel punto M (x1 , y1 ) della parabola y 2 = 2x hanno equazione
yy1 = x + x1 .
117
La polare di un punto (x, y) rispetto alla parabola x2 = 2y, ha equazione
xx = y + y.
Affinché le due equazioni suddette coincidano deve essere
x
y
1
=
=− ,
1
y1
x1
da cui
x=
1
,
y1
y=−
x1
.
y1
Pertanto, le equazioni
1
,
y1
x1
y = −
y1
x =
(12.3)
(12.4)
sono le equazioni parametriche del luogo, insieme con la condizione
y12 = 2x1
(12.5)
di appartenenza di M (x1 , y1 ) alla parabola y 2 = 2x. Per avere l’equazione
cartesiana del luogo basta eliminare x1 , y1 dalle tre equazioni (12.3), (12.4) e
(12.5). Si ottiene
1
xy = − ,
2
che è un’iperbole equilatera avente gli assi come asintoti.
Esempio 12.5. Data la parabola y 2 = 2px si consideri il luogo dei punti
medi dei segmenti intercettati sulla parabola dal fascio di rette per un punto
118
P (x1 , y1 ).
Il fascio delle rette per P ha equazione
(y − y1 ) = m(x − x1 ).
(12.6)
Intersecando tali rette con la parabola si ottiene l’equazione
m2 x2 + 2 my1 − m2 x1 − p x + y12 + m2 x21 − 2mx1 y1 = 0,
le cui radici dànno le ascisse degli estremi del segmento intercettato dalla
retta sulla parabola. L’ascissa x del punto medio di tale segmento sarà
(p + m2 x1 ) − (my1 )
.
x=
m2
(12.7)
L’ordinata di tale punto si ottiene imponendo l’appartenenza del punto medio
alla retta (12.6). Cosí si ottengono le equazioni parametriche del luogo. Per
ottenere l’equazione cartesiana basta elimeinare m tra (12.6) e (12.7) e si
ottiene l’equazione
y (y − y1 ) = p (x − x1 ) ,
che è l’equazione di una parabola avente l’asse parallelo all’asse x, ossia
parallelo a quello della parabola di partenza.
119
Capitolo 13
Elementi di calcolo vettoriale
13.1
Concetto di vettore
Siano A e B due punti distinti del piano. Il segmento che ha i punti A e B
come estremi, percorso nel verso da A a B, è detto segmento orientato (o
vettore applicato). I punti A e B sono detti, rispettivamente, punto iniziale,
B
A
Figura 13.1
o di applicazione, e punto finale, o secondo estremo.
Il vettore applicato AB è quindi individuato da
a) la direzione, che è quella della retta AB;
120
b) il verso, cioè il verso che sulla retta AB porta da A a B;
c) il modulo, cioè la lunghezza del segmento AB misurata rispetto a una
fissata unità di misura.
Viceversa, fissati una direzione, un verso e un modulo non è determinato
un unico segmento orientato. Ogni segmento orientato che abbia la stessa
lunghezza, la stessa direzione e lo stesso verso di un segmento orientato si
dice equipollente al segmento dato (due segmenti di lunghezza nulla sono
equipollenti). Nell’insieme dei segmenti orientati del piano la relazione di
B
D
A
C
Figura 13.2
equipollenza è una relazione di equivalenza (cioè una relazione che gode delle
proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva).
Due segmenti orientati AB e CD sono equipollenti se si verifica una delle
seguenti condizioni:
1) se B coincide con A, anche D coincide con C;
2) se AB e CD appartengono alla stessa retta sono uguali (cioè hanno la
stessa lunghezza) e concordi (cioè hanno lo stesso verso);
121
3) se AB e CD appartengono a due rette parallele e la retta che congiunge
i primi estremi è parallela alla retta che congiunge i secondi estremi.
Due vettori applicati AB e CD sono quindi equipollenti, se il quadrilatero
ABDC è un parallelogramma (inclusi i casi degeneri). Un vettore libero, o
D
B=D
C
A=C
B
A
Figura 13.3
semplicemente vettore, è una classe di equivalenza di segmenti equipollenti, cioè è l’insieme di tutti i segmenti orientati equipollenti a un segmento
orientato assegnato.
→
Considerato un vettore, che indicheremo con u o con −
u , se AB è un suo
rappresentante si pone
u=B−A
oppure
B = A + u.
122
Il modulo o norma del vettore u = B − A si indica con
kuk ,
o
kB − Ak ,
o
|u| ,
o
|B − A| .
Il vettore libero individuato da un qualunque vettore applicato nullo si
chiama vettore nullo e si indica con 0. I vettori con modulo 1 sono detti
versori.
Osserviamo che dato un segmento orientato AB e un punto O esiste uno
e un solo segmento orientato OP a esso equipollente. Infatti, supponiamo
B 6= A e O non appartenente alla retta AB. Allora, si conduca da B la
parallela alla retta AO e da O la parallela alla retta AB; detto P il punto
comune alle due rette, si ha AB equipollente a OP . Analogamente negli altri
casi.
13.2
Somma di due vettori
La somma di due vettori si definisce su due rapresentanti dei vettori. Essa è
definita nel modo seguente. Scelto un punto A, se B − A è un rappresentante
del vettore u e C − B un rappresentante del vettore v allora C − A è un rappresentante del vettore u + v (vedi Figura 13.4). L’operazione non dipende
dalla scelta del punto A. È possibile costruire il rappresentante del vettore
u + v anche mediante la regola del parallelogramma (se u e v non hanno la
stessa direzione).
Se B − A è un rappresentante del vettore u e D − A un rappresentante del
vettore v, si costruisce il parallelogramma ABCD e il segmento orientato
AC rappresenta u + v (vedi Figura 13.5). Dalla definizione precedente segue
facilmente che la somma di due vettori è una operazione commutativa, cioè
123
C
A
B
Figura 13.4
D
C
A
B
Figura 13.5
per ogni coppia di vettori u, v si ha:
u + v = v + u.
Inoltre si osservi che per il vettore nullo 0 si ha:
u + 0 = 0 + u = u,
qualunque sia il vettore u.
Se u = B − A e se denotiamo con −u il vettore rappresentato da A − B,
si ha l’identità
u+ (−u) = 0.
124
Inoltre, l’operazione di somma di due vettori è associativa, cioè si ha:
u+ (v + w) = (u + v) + w,
per ogni terna di vettori u, v, w. Infatti, si ha:
(B − A) + (C − B) + (D − C) = D − A,
comunque si raggruppino gli addendi (vedi Figura 13.6). Possiamo quindi
D
C
A
B
Figura 13.6
dire:
• L’insieme dei vettori con l’operazione di somma forma un gruppo commutativo.
13.3
Prodotto di un vettore per un numero reale
Il prodotto λu di un vettore u per un numero reale λ è, per definizione, il
vettore che ha la stessa direzione di u, modulo uguale a quello di u moltiplicato per |λ| e verso concorde o discorde con quello di u, a seconda che λ sia
positivo o negativo. Se λ = 0 oppure u = 0 allora si pone λu = 0. Si osservi
125
PSfrag
2u
u
−0.5u
Figura 13.7
che valgono le proprietà seguenti.
λ (u + v) = λu+λv,
(λ + µ) u = λu + µu,
(λµ) u = λ (µu) ,
1u = u,
dove u e v sono due vettori e λ, µ ∈ R. Si ha quindi che l’operazione di
moltiplicazione di un vettore per uno scalare è compatibile con la somma di
vettori e con le operazioni di somma e prodotto tra gli scalari.
Si dice allora che l’insieme dei vettori, definiti come classi di segmenti del
piano orientati equipollenti con le operazioni di somma e di moltiplicazione
per uno scalare è uno spazio vettoriale sul campo dei numeri reali.
Diamo infine, la seguente definizione.
• Due vettori u e v si dicono paralleli se hanno rappresentanti sulla
stessa retta, cioè se
u = λv.
Si osservi che per definire i vettori e le operazioni di somma e prodotto
sono stati usati soltanto il concetto di parallelismo tra rette e la possibilità
di confrontare le lunghezze di segmenti situati su rette parallele. Non è
126
invece necessario disporre di un’unità di misura assoluta delle distanze né
del concetto di perpendicolarità.
13.4
Angolo di due vettori
Fissato un punto O, si considerino i vettori u = A − O e v = B − O. L’angolo
(u, v) tra i due vettori è l’angolo convesso delle semirette AO, OB.
13.5
Prodotto scalare di due vettori
Dati due vettori u e v, si dice prodotto scalare dei vettori u e v il numero reale
prodotto dei moduli dei vettori per il coseno dell’angolo da essi determinato.
Se indichiamo il prodotto scalare con u · v possiamo scrivere:
u × v = |u| |v| cos (u, v) .
Il prodotto scalare di due vettori è nullo se almeno uno dei due vettori è
il vettore nullo oppure se il coseno dell’angolo da essi formato è nullo, cioè se
i due vettori sono ortogonali.
Possiamo quindi dire che
• Condizione necessaria e sufficiente affinché due vettori u e v siano
ortogonali è che
u × v = 0.
Se u = v, allora si ha:
u × u = |u| |u| = |u|2 ,
127
ossia il modulo di un vettore u è la radice quadrata del numero u × u.
Il prodotto scalare gode delle seguenti proprietà.
i) u × v = v × u;
ii) (λu) × v = u× (λv) ;
iii) u× (v + w) = u × v + u × w;
iv) u × v ≥ 0; u × v = 0 ⇔ u = 0.
13.6
Prodotto vettoriale e prodotto misto di
due vettori
Dati due vettori u e v si definisce prodotto vettoriale o prodotto esterno u ∧ v
dei due vettori, un vettore per cui:
a) il modulo è espresso dall’area del parallelogramma che ha u e v come
lati, cioè:
|u| |v| sin φ,
dove φ è uno degli angoli orientati formati da due rette orientate come
u e v;
b) la direzione è perpendicolare sia alla direzione di u che a quella di v;
c) il verso è quello di un osservatore che posto sul piano di u e v (immaginati uscenti da uno stesso punto), vede la minima rotazione di u per
sovrapporsi a v avvenire in verso antiorario.
128
u∧v
C
v
A
u
B
Figura 13.8
Si ha che
• Il prodotto vettoriale di due vettori non nulli è nullo se e solanto se i
due vettori hanno la stessa direzione.
Per il prodotto vettoriale valgono le seguenti proprietà.
i)
(u + u′ ) ∧ v = u ∧ v + u′ ∧ v,
ii)
u ∧ (v + v′ ) = u ∧ v + u ∧′ v,
iii) (λu) ∧ v = u ∧ (λv) = λ(u ∧ v),
λ ∈R,
iv) u ∧ v = −v ∧ u,
v)
u ∧ u = 0.
Il prodotto misto di tre vettori u, v, w è il numero reale u × v ∧ w (ovvia-
mente si esegue prima il prodotto vettoriale e poi il prodotto scalare, motivo
per il quale è possibile omettere le parentesi).
Si ha che se almeno uno dei suoi tre fattori è nullo, il prodotto misto è
nullo. Inoltre, il prodotto misto è nullo se e soltanto se v ∧ w è perpendiQuaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie “G. Tallini”- n. 153
129
colare a u. Ma, poiché v ∧ w è normale a v e w, ne segue che u, v, w sono
complanari o, piú in generale, paralleli a un medesimo piano.
Sia il prodotto misto dei tre vettori non nullo e immaginiamo i tre vettori
uscenti da uno stesso punto. Il vettore v ∧ w ha lunghezza uguale all’area
del parallelogramma costruito sui due vettori; inoltre, u × v ∧ w è dato dal
prodotto della lungezza di u per la lunghezza di v ∧ w per il coseno del-
l’angolo di tali vettori. Ne segue che u × v ∧ w rappresenta il volume del
parallelepipedo costruito sui tre vettori come lati.
130
Capitolo 14
Geometria analitica dello spazio
14.1
Riferimenti cartesiani nello spazio
Un riferimento cartesiano nello spazio si ottiene fissando tre rette x, y, z
uscenti da uno stesso punto O e non giacenti su uno stesso piano (assi
coordinati) e un punto U non appartenente ai tre piani xy, yz, xz (piani
coordinati).
Per ogni punto P dello spazio si considerano i tre piani per il punto
paralleli ai tre piani coordinati. Tali piani intersecano gli assi coordinati
rispettivamente in tre punti Px , Py , Pz .
→
−
→ −
→ −
Le coordinate cartesiane di un punto P , se indichiamo con i , j e k tre
versori fondamentali, sono le componenti del vettore
−
→
−
→
−→
−
→
−
→
−
→
−
→
OP = OPx i + OPy j + OPz k = x i + y j + z k
e si chiamano rispettivamente ascissa, ordinata e quota.
In tal modo si viene a stabilire una biezione tra i punti dello spazio e le
terne ordinate di numeri reali.
131
Se P1 (x1 , y1 , z1 ) e P2 (x2 , y2 , z2 ) sono due punti qualsiasi dello spazio si ha
−−→
che le componenti del vettore P1 P2 sono rispettivamente
(x2 − x1 ),
(y2 − y1 ),
(z2 − z1 ).
→
Se α è un piano qualunque dello spazio, P0 un punto di esso e −
v =
→
−
→ −
→ −
a i +b j +c k è un vettore perpendicolare al piano, il piano può considerarsi
→
come luogo dei punti P (x, y, z) dello spazio per i quali i due vettori P P e −
v
0
sono perpendicolari. Allora sarà nullo il loro prodotto scalare
→
P0 P × −
v,
cioè sarà
a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0.
L’equazione precedente si può scrivere anche
ax + by + cz + d = 0.
(14.1)
La terna a, b, c non tutta nulla è proporzionale ai coseni direttori di ogni retta
normale al piano. Poiché a, b, c, d sono determinati a meno di un comune
fattore di proporzionalità non nullo, i piani dello spazio dipendono da tre
parametri indipendenti. Se un piano passa per l’origine la sua equazione è
priva del termine noto d.
−
→
−
→
→
Se è c = 0, il vettore −
v = a i + b j è tale che
−
→
−
→
v × k = 0,
→
ed è dunque perpendicolare all’asse z, ma −
v è perpendicolare al piano
ax + by + d = 0,
132
onde tale piano deve essere parallelo all’asse z e, viceversa, se un piano è
parallelo all’asse z nella sua equazione deve essere c = 0.
Ragionando in modo analogo nel caso a = 0, o b = 0, si può affermare che
un piano è parallelo all’asse x (o y o z) se, e soltanto se, nella sua equazione
è nullo il coefficiente della x (della y o della z).
Se nell’equazione (14.1) si ha c = d = 0, il piano passa per l’origine ed è
parallelo all’asse z, onde contiene l’asse z ed ha equazione
ax + by = 0.
Analogamente, i piani per l’asse x e per l’asse y hanno rispettivamente
equazioni
by + cz = 0,
ax + cz = 0.
Se a = b = 0, il piano, dovendo essere simultaneamente parallelo all’asse
x e all’asse y, è parallelo al piano xy e ha un’equazione del tipo
z = costante.
Analogamente, i piani paralleli ai piani xz, yz hanno equazioni rispettive
y = costante e z = costante.
Infine, se nell’equazione (14.1) è a = b = d = 0 il piano deve passare per
l’origine ed essere parallelo al piano xy, ossia coincide col piano xy, che ha
pertanto equazione
z = 0.
Analogamente,
x = 0, y = 0,
sono le equazioni rispettive dei piani coordinati yz e xz.
133
14.2
Stella di piani di centro un punto
Imponendo al piano (14.1) di passare per il punto P0 (x0 , y0 , z0 ) deve essere
ax0 + by0 + cz0 + d = 0,
onde è d = − (ax0 + by0 + cz0 ), ossia l’equazione dei piani per P0 è
a (x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0.
Pertanto tutti i piani per un punto dipendono da tre paramenri omogenei,
ovvero da due essenziali.
Tale insieme di piani è detto stella di piani di centro P0 .
14.3
Piano per tre punti
Dati i tre punti non allineati P1 (x1 , y1 , z1 ), P (x2 , y2 , z2 ) e P3 (x3 , y3 , z3 ) l’equazione del piano
x y z
x y z
1 1 1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
per essi, si può scrivere nella forma
1 1 .
1 1 (14.2)
Se i tre punti giacciono rispettivamente sui tre assi coordinati, essendo cioè
P1 (p, 0, 0), P2 (0, q, 0) e P3 (0, 0, r), la (14.2) si riduce alla forma
x y z
+ + = 1,
p q r
che si dice equazione segmentaria del piano, in quanto sono evidenziati i
segmenti staccati dal piano sugli assi.
134
14.4
Parallelismo di due piani
Siano dati due piani π e π ′ di equazioni
ax + by + cz + d = 0
e
a′ x + b′ y + c′ z + d′ = 0.
Se essi sono paralleli, allora i due vettori
−
→
−
→
−
→
−
→
v =a i +bj +ck
e
−
→′
−
→
−
→
−
→
v = a′ i + b ′ j + c ′ k ,
rispettivamente perpendicolari a π e π ′ , sono tra loro paralleli, cioè le loro
componenti sono proporzionali, cioè:
b
c
a
= ′ = ′.
′
a
b
c
In definitiva le equazioni di due piani paralleli differiscono per il termine noto.
14.5
Equazione cartesiana di una retta nello
spazio
−
→
→
Sia r una retta dello spazio, P0 (x0 , y0 , z0 ) un suo fissato punto e −
v =li +
−
→
−
→
m j + n k un vettore parallelo ad r. La retta r è il luogo dei punti P (x, y, z)
−−→
→
tali che il vettore P P è parallelo al vettore −
v . Dovrà quindi essere
0
x − x0 = λl,
y − y0 = λm,
z − z0 = λn,
(14.3)
135
da cui
x = x0 + λl,
y = y0 + λm,
z = z0 + λn,
che si dicono equazioni parametriche della retta.
Da esse, si deduce
y − y0
z − z0
x − x0
=
=
.
l
m
n
(14.4)
L’equazione (14.4) fornisce anche, al variare dei tre parametri omogenei
l, m, n, le equazioni delle rette per un punto o stella di rette per P0 . Esse
dipendono da due parametri indipendenti.
Se nelle (14.3) si pone n = 1, si hanno per la retta le equazioni

 x − x = l(z − z ),
0
0
 y − y0 = m(z − z0 ),
(14.5)
il che equivale a rappresentare la retta come intersezione dei piani per essa
rispettivamente paralleli all’asse y e all’asse x.
Posto
p = x0 − lz0 ,
q = y0 − mz0 ,
le (14.5) divengono

 x = lz + p,
 y = mz + q,
che si chiamano equazioni ridotte della retta.
Le rette dello spazio sono quindi rappresenate biettivamente dalla quaterna di parametri essenziali l, m, p, q e pertanto le rette dello spazio dipendono
da quattro parametri.
136
La forma più generale per una rappresentazione analitica di una retta
nello spazio è data dal sistema

 ax + by + cz + d = 0,
 a′ x + b′ y + c′ z + d′ = 0.
(14.6)
In tal caso essa viene rappresentato come intersezione di due qualsiasi piani
distinti e non paralleli.
14.6
Fasci di piani
Si chiama fascio di piani la totalità dei piani passanti per una retta (fascio
proprio) che si chiama asse del fascio, ovvero la totalità dei piani paralleli a
un piano (fascio proprio).
I piani di un fascio hanno equazione
λ(ax + by + cz + d) + µ(a′ x + b′ y + c′ z + d′ ) = 0.
14.7
Parallelismo di retta e piano
y − y0
z − z0
x − x0
=
=
la loro
l
m
→
−
→n −
→ −
−
→
condizione di parallelismo equivale al fatto che il vettore v = a i +b j +c k ,
−
→
→
−
→
−
→ −
perpendicolare al piano, e il vettore v ′ = l i +m j +n k , parallelo alla retta,
Dato il piano ax + by + cz + d = 0 e la retta
siano perpendicolari, ossia che abbiano prodotto scalare nullo. La condizione
richiesta è pertanto
al + bm + cn = 0.
(14.7)
137
Se la retta è data nella forma

 a′ x + b′ y + c′ z + d′ = 0
 a′′ x + b′′ y + c′′ z + d′′ = 0
e il piano ha equazione (14.1), la condizione (14.7) diventa:
a b c ′ ′ ′ A = a b c = 0.
′′ ′′ ′′ a b c Si consideri il sistema dato dalle equazioni di tre piani π, π ′ , π ′′



ax + by + cz + d = 0,


a′ x + b′ y + c′ z + d′ = 0,



 a′′ x + b′′ y + c′′ z + d′′ = 0.
Tale sistema può essere determinato, cioè ammettere un’unica soluzione, data
dal punto di intersezione dei tre piani, se il determinante A dei coefficienti
è diverso da zero (in questo caso la retta e il piano non sono paralleli). Se
A = 0 il sistema è impossibile o indeterminato. Il primo caso si ha se π non
interseca la retta comune a π ′ e π ′′ , cioè se la retta r è parallela al piano π.
Il sistema è indeterminato se essi appartengono a un fascio proprio, oppure
se i tre piani coincidono (il che attualmente non accade perché i piani π ′ e
π ′′ sono distinti).
14.8
Complanarità di due rette
La retta r sia data dal sistema

 ax + by + cz + d = 0,
 a′ x + b′ y + c′ z + d′ = 0,
138
e la retta r′ dal sistema

 a x + b y + c z + d = 0,
1
1
1
1
 a′ x + b′ y + c′ z + d′ = 0.
1
1
1
1
La complanarità delle due rette equivale all’esistenza di un piano comune ai
due fasci aventi come assi le due rette date, rappresentati rispettivamente
dalle equazioni seguenti:
(λa + µa′ )x + (λb + µb′ )y + (λc + µc′ )z + (λd + µd′ ) = 0,
(λ1 a1 + µ1 a′1 )x + (λ1 b1 + µ1 b′1 )y + (λ1 c1 + µ1 c′1 )z + (λ1 d1 + µ1 d′1 ) = 0.
Devono pertanto esistere quattro valori dei parametri λ, µ, λ1 , µ1 tali che le
due equazioni precedenti abbiano coefficienti proporzionali. Ciò accade se e
soltanto se il determinante
a b c d
a′ b′ c′ d′
△=
a1 b1 c1 d1
a′ b′ c′ d′
1
1
1
1
è nullo.
dei coefficienti
Se le due rette sono scritte in forma ridotta

 x = lz + p,
 y = mz + q,

 x = l ′ z + p′ ,
 y = m′ z + q ′ ,
139
la condizione di complanarità si scrive
1 0 −l −p 0 1 −m −q = 0,
1 0 −l1 p1 0 1 m1 −q1 da cui, sottraendo dalla terza riga la prima e dalla quarta la seconda, si
ottiene:
1
0
0
0
0
−l
1
−m
0
l − l1
0 m − m1
ossia
l − l1 p − p1
m − m 1 q − q1
14.9
−q = 0,
p − p1 q − q1 −p
= 0.
Piano per un punto parallelo a due rette
Siano date due rette non parallele di parametri direttori rispettivamente
l, m, l′ , m′ . Il piano per P0 (x0 , y0 , z0 ) parallelo alle due rette è il piano delle
parallele alle rette date passanti per P0 . Pertanto, i coefficienti dell’equazione
di tale piano debbono soddisfare le due condizioni

 al + bm + cn = 0,
 al′ + bm′ + cn′ = 0.
Si tratta di un sistema di due equazioni omogenee nelle tre incognite omogenee a, b, c, cioè definite a meno di un comune fattore di proporzionalità non
140
nullo ρ. Il piano richiesto ha pertanto equazione:
m n l n l m (x − x0 ) − (y − y0 ) + (z − z0 ) = 0,
′ ′ ′ ′ ′
′ m n l n l m che si può scrivere anche nella forma:
x − x0 y − y0 z − z0 = 0.
l
m
n
′
′
′
l
m
n
14.10
Piano per un punto perpendicolare a una
retta data
Sia r rappresentata nella forma (14.4):
y − y0
z − z0
x − x0
=
=
.
l
m
n
Ogni vettore perpendicolare a un piano normale a r, deve essere parallelo
a r e pertanto ogni piano siffatto avrà equazione del tipo
lx + my + nz + d = 0.
Se esso passa per P0 (x0 , y0 , z0 ) avrà equazione
l(x − x0 ) + m(y − y0 ) + n(z − z0 ) = 0.
Pertanto, la retta (14.4) e il piano ax+by +cz +d = 0 sono perpendicolari
se e soltanto se
b
c
a
=
= .
l
m
n
141
14.11
Perpendicolarità di due piani
Dati due piani π e π ′ la loro perpendicolarità equivale alla perpendicolarità
dei vettori perpendicolari a essi, di componenti rispettive a, b, c e a′ , b′ c′ .
Pertanto la condizione sarà espressa da:
aa′ + bb′ + cc′ = 0.
142
Capitolo 15
Linee e superficie nello spazio
15.1
Equazione di una superficie
Si definisce superficie l’insieme dei punti che con le loro coordinate soddisfano
a un’equazione del tipo
(15.1)
ϕ(x, y, z) = 0,
che si chiama equazione cartesiana della superficie.
Fissate due delle tre variabioli x, y, z la terza rimane determinata, anche se
non univocamente dalla condizione (15.1). Pertanto, i punti di una superficie
dipendono da due parametri e quindi si può dire che una superficie è un ente
a due dimensioni. Se la (15.1) è un’equazione lineare, la superficie è un piano.
Una superficie si può anche rappresentare parametricamente



x = x(u, v),


y = y(u, v),



 z = z(u, v),
143
(15.2)
dove u e v sono i parametri che rappresentano il punto variabile sulla superficie.
15.2
Classi notevoli di superficie
Una superficie si dice rigata se essa consta di una famiglia di rette dipendenti
da un parametro. Le rette della rigata si chiamano anche generatrici della
rigata.
Fra le superficie rigate abbiamo i coni e i cilindri che sono famiglie di
rette passanti rispettivamente per un punto che si chiama vertice del cono,
ovvero generatrici tutte parallele tra loro, nel qual caso il vertice è un punto
improprio.
Si chiama direttrice di una rigata una curva tracciata sulla rigata stessa
che incontri in un sol punto tutte le generatrici.
Dati nello spazio una linea L e un punto V le rette che congiungono V
con i punti di L costituiscono una rigata, che è un cono di vertice V , del
quale L è una direttrice. Se da ogni punto di L si considerano le parallele
a una retta data, le rette così ottenute sono le generatrici di un cilindro del
quale L è una diretttrice.
Osserviamo che tre direttrici L1 , L2 , L3 individuano una rigata nel modo
seguente. Per fissare le idee, si consideri un punto V variabile su L1 e si
considerino i coni di vertice V e direttrici rispettive L2 e L3 . Essi si incontrano
in un numero finito di generatrici. Al variare di V su L1 , si ottiene una
rigata luogo di rette che si appoggiano alle tre direttrici L1 , L2 , L3 (cioè che
le intersecano) dipendenti dal parametro t del punto variabile sulla curva L1 .
Ad esempio se L1 , L2 , L3 sono tre rette, r1 , r2 , r3 , a due a due sghembe dello
144
spazio, la rigata da esse individuata è il luogo delle rette intersezioni dei piani
P r2 e P r3 al variare di P su r1 . Tale rigata ha un’equazione cartesiana di
secondo grado che si chiama quadrica rigata.
15.3
Superficie di rotazione
Facendo ruotare una linea L intorno a una retta che si chiama asse di
rotazione, si genera una superficie di rotazione o rotonda.
Ogni punto di L descrive una circonferenza detta parallelo, che giace in
un piano perpendicolare all’asse.
I piani per l’asse intersecano la superficie secondo curve simmetriche
rispetto all’asse, dette meridiani.
La superficie può considerarsi generata da un meridiano che ruoti intorno
all’asse.
15.4
Superficie algebriche
Una superficie si dice algebrica se la sua equazione cartesiana è un polinomio
in x, y, z uguagliato a zero,
f (x, y, z) = 0.
Si dice ordine di una superficie algebrica il grado del polinomio che la
rappresenta. Ad esempio, i piani sono superficie algebriche di ordine 1, le
quadriche sono superficie algebriche di ordine 2.
Se consideriamo la retta

 x = lz + p,
 y = mz + q,
145
essa interseca la superficie in un numero di punti uguale all’ordine della
superficie stessa.
15.5
Equazioni particolari di una superficie
Se nell’equazione di una superficie in coordinate cartesiane manca una delle
tre variabili, cioè se è per esempio della forma f (x, y) = 0, essa è un cilindro
con generatrici parallele all’asse della coordinata mancante, cioè all’asse z.
Infatti se p e q sono tali che f (p, q) = 0, ogni punto della retta, parallela
all’asse z,

 x = p,
 y = q,
appartiene alla superficie, che risulta così un cilindro con generatrici parallele
all’asse z. Ad esempio se f (x, y) = 0 coincide con ax + by + c = 0, la
superficie è un piano parallelo all’asse z, precisamente il piano che si ottiene
considerando le parallele all’asse z uscenti da ciascun punto della retta del
piano xy rappresentata ivi dalla retta ax + by + c = 0.
Se l’equazione f (x, y, z) = 0 è omogenea di ordine k nelle coordinate non
omogenee x, y, z, cioè è tale che
f (λx, λy, λz) = λk f (x, y, z) = 0,
la superficie è un cono con vertice nell’origine. Infatti, se P (l, m, n) è un
punto della superficie, si avrà
f (l, m, n) = 0 ⇔ f (λl, λm, λn) = 0.
146
Ne segue che se P (l, m, n) appartiene alla superficie, tutti i punti di coordinate x = λl, y = λm, z = λn, cioè tutti i punti della retta OP , appartengono
alla superficie.
Più in generale se l’equazione di una superficie è omogenea nei binomi
(x − x0 ), (y − y0 ), (z − z0 ), la superficie è un cono di vertice P0 (x0 , y0 , z0 ).
15.6
Rappresentazione di curve nello spazio
Una curva è un luogo di punti dipendenti ad un parametro t, pertanto le
equazioni parametriche di una curva nello spazio saranno del tipo



x = x(t),


y = y(t),



 z = z(t).
Una curva può anche rappresentarsi come intersezione di due superficie

 f (x, y, z) = 0,
1
(15.3)
 f2 (x, y, z) = 0.
15.7
Proiezioni piane di una curva dello spazio
Una curva si dice piana se tutti i suoi punti appartengono a un piano e
sghemba, o gobba, in caso contrario.
Sia L una curva piana o sghemba rappresenata dal sistema (15.3). Se in
esso si elimina ad esempio la z, si ottiene un’equazione del tipo
g(x, y) = 0
(15.4)
147
che è soddisfatta dai punti di L. Ma la (15.4) rappresenta un cilindro con
generatrici paralelle all’asse z, pertanto essa rappresenta un cilindro con generatrici parallele all’asse z e passante per L, avente come generatrici le par-
allele all’asse z uscenti dai punti di L, ossia le perpendicolari al piano xy
uscenti dai punti di L. Pertanto se una curva L dello spazio è rappresentata
dalle due superficie f1 (x, y, z) = 0 e f2 (x, y, z) = 0, eliminando la x (o la y o
la z) tra le due precedenti equazioni, si ottiene un’equazione in yz (o in xz o
in xy) che, interpretata come equazione di una curva nel piano yz (o in xz o
in xy), rappresenta la proiezione ortogonale di L su tale piano.
15.8
Curve tracciate sopra una superficie
Se



x = x(u, v),


y = y(u, v),



 z = z(u, v),
sono le equazioni parametriche di una superficie, ponendo u = u(t), v = v(t),
si ottengono le equazioni parametriche



x = x(u(t), v(t)),


y = y(u(t), v(t)),



 z = z(u(t), v(t)),
che rappresentano ovviamente una curva appartenente alla superficie e vice-
versa.
148

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