Serie di Fourier: esercizi svolti

Transcript

Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficoltà maggiore.
Esercizio 1. Scrivere la serie di Fourier delle seguenti funzioni e studiarne la convergenza
quadratica, puntuale e uniforme:
a) f (x) = x − [x], dove [x] è la parte intera di x

∞
1
1 1 X
sin (2πnx),
 2−π
n

n=1

converge quadraticamente a f su R,

(


f (x)

 converge puntualmente a S(x) = 1

2

se x 6∈ Z,
se x ∈ Z,









converge uniformemente a f su [a, b], n < a < b < n + 1, n ∈ Z
b) f : R → R è la funzione ottenuta prolungando per periodicità la funzione
(
x se −π < x < π,
g(x) =
0 se x = ±π

∞
X
(−1)n
 −2

n=1

n

sin nx, converge puntualmente e quadraticamente a f su R,



converge uniformemente a f su [a, b], (2k + 1)π < a < b < (2k + 3)π, k ∈ Z
c) f : R → R è la funzione ottenuta prolungando per periodicità la funzione
g(x) =
( 2
x
0
se −π < x < π,
se x = ±π

∞
X
(−1)n
π2
+4
cos nx,

n2
 3
n=1


(


f (x)

 converge puntualmente a S(x) =

π2

se x 6= (2k + 1)π,
se x = (2k + 1)π,
∀k ∈ Z,
1









2
d) f : R → R è la funzione ottenuta prolungando per periodicità la funzione
g(x) =
( 4
x
0
se −π < x < π,
se x = ±π




 converge quadraticamente a f su R,


(

f (x)


π4













∞
∞
X
X
π4
(−1)n
(−1)n
2
cos
nx
−
48
cos nx,
 5 + 8π
n2
n4

n=1
n=1
se x 6= (2k + 1)π
se x = (2k + 1)π,
∀k ∈ Z,
*e) f : R → R è la funzione ottenuta prolungando per periodicità la funzione
½
x cos x se −π ≤ x < π,
g(x) =
π
se x = π


∞
X
(−1)n n
1
sin
x
−
2
sin nx,
−

n2 − 1
 2
n=2

(


f (x)


0

se x 6= (2k + 1)π
se x = (2k + 1)π,
∀k ∈ Z,









f ) f : R → R è la funzione ottenuta prolungando per periodicità la funzione

1



g(x) =



¡
¢
se x ∈ − π2 , π2 ,
£
¢
−1 se x ∈ −π, − π2 ∪
0
¡π
2,π
¤
,
se x = ± π2

∞
(−1)n
4 X
cos (2n + 1)x,
 π
2n + 1

n=0



 converge puntualmente a f su R,







converge uniformemente a f su [a, b], (2k + 1) π2 < a < b < (2k + 3) π2 , k ∈ Z
g) f : R → R è la funzione ottenuta prolungando per periodicità la funzione g(x) =
|x|, definita per ogni x ∈ [−π, π]






∞
π
4 X
1
−
cos (2n + 1)x,

π n=0 (2n + 1)2
 2
converge puntualmente, quadraticamente e uniformemente a f su R
3
h) f : R → R è la funzione ottenuta prolungando per periodicità la funzione


 −1 se −π < x < 0,

g(x) =



0
se x = 0, ±π,
1
se 0 < x < π




 converge puntualmente e quadraticamente a f su R







∞
4 X
1
sin (2n + 1)x,
 π
2n + 1

n=0
converge uniformemente a f su [a, b], kπ < a < b < (k + 1)π, k ∈ Z
Svolgimento
a) La funzione f (x) = x − [x] è periodica di periodo 1 ed in particolare f (x) = x per
ogni x ∈ [0, 1). Quindi f è continua in (n, n+1) ed è discontinua, con discontinuità
di tipo salto, in x = n, per ogni n ∈ Z.
1.5
1.0
0.5
0.0
−2.0
−1.5
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
−0.5
Fig. 1: Grafico di f .
Studiamo inizialmente la convergenza della serie di Fourier di f .
Osserviamo che f|[0,1] ∈ L2 (0, 1), ossia che
Z 1
0
[f (x)]2 dx =
Z 1
0
Z 1
0
[f (x)]2 dx < +∞. Infatti,
1
x2 dx = .
3
4
Ne segue che la serie di Fourier di f converge quadraticamente a f su R.
Studiamo ora la convergenza puntuale della serie di Fourier di f . Essendo f continua in (n, n + 1), per ogni n ∈ Z, si ha che la serie di Fourier di f converge a f
in (n, n + 1), per ogni n ∈ Z. Consideriamo ora x = n ∈ Z. Si ha che
f (n− ) = lim f (x) = 1,
x→n−
f 0 (n− ) = lim
x→n−
f (x) − f (n− )
= 1,
x−n
f (n+ ) = lim f (x) = 0,
x→n+
f (x) − f (n+ )
= 1.
x−n
f 0 (n+ ) = lim
x→n+
Quindi la serie di Fourier di f converge in x = n ∈ Z a
1
−
2 [f (n )
+ f (n+ )] = 12 .
Pertanto la serie di Fourier di f converge puntualmente a
(
S(x) =
f (x) se x 6∈ Z,
1
2
se x ∈ Z.
Inoltre, essendo f di classe C 1 in ogni intervallo (n, n + 1), per ogni n ∈ Z, la serie
di Fourier di f converge uniformemente a f su [a, b], con n < a < b < n + 1, per
ogni n ∈ Z. Poichè f non è continua su [n, n + 1], la convergenza non è uniforme
su questi intervalli.
Determiniamo ora la serie di Fourier di f . Essendo f periodica di periodo 1, la
serie di Fourier di f è della forma
a0 +
∞
X
[an cos (2nπx) + bn sin (2nπx)],
n=1
dove
a0 =
Z 1
0
f (x) dx,
e per ogni n ≥ 1
an = 2
Z 1
0
f (x) cos (2nπx) dx,
Si ha che
a0 =
∀n ≥ 1 :
an = 2
Z 1
Z 1
0
0
f (x) dx =
bn = 2
Z 1
0
Z 1
0
f (x) sin (2nπx) dx.
1
x dx = ,
2
f (x) cos (2nπx) dx = 2
Z 1
0
x cos (2nπx) dx =
integrando per parti
·
=
¸1
1
x sin (2nπx)
nπ
−
0
1
nπ
Z 1
0
·
sin (2nπx) dx =
¸1
1
cos (2nπx)
2n2 π 2
= 0,
0
∀n ≥ 1 :
5
bn = 2
Z 1
0
f (x) sin (2nπx) dx = 2
Z 1
0
x sin (2nπx) dx =
·
¸1
1
= − x cos (2nπx)
nπ
1
+
nπ
0
Z 1
0
¸1
·
=−
cos (2nπx) dx =
1
1
sin (2nπx)
−
nπ
2n2 π 2
=−
0
1
.
nπ
Quindi la serie di Fourier di f è
∞
1 1 X
1
−
sin (2nπx).
2 π n=1 n
b) La funzione f è periodica di periodo 2π. Inoltre f è continua in ](2k+1)π, (2k+3)π[,
per ogni k ∈ Z, ed è discontinua, con discontinuità di tipo salto, in x = (2k + 1)π,
per ogni k ∈ Z.
3
2
1
0
−4
−3
−2
−1
0
1
2
−1
−2
−3
Fig. 2: Grafico di g.
3
4
6
6
4
2
0
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
−2
−4
−6
Osserviamo che f|[−π,π] ∈ L2 (−π, π), ossia che
Z π
−π
[f (x)]2 dx =
Z π
−π
Z π
2
x2 dx = π 3 .
3
−π
Studiamo ora la convergenza puntuale della serie di Fourier di f . Essendo f continua in ](2k + 1)π, (2k + 3)π[, per ogni k ∈ Z, si ha che la serie di Fourier di
f converge a f in ](2k + 1)π, (2k + 3)π[, per ogni k ∈ Z. Consideriamo ora
xk = (2k + 1)π, per ogni k ∈ Z. Si ha che
f (x−
k ) = lim f (x) = π,
x→x−
k
f 0 (x−
k ) = lim
x→x−
k
f (x) − f (x−
k)
= 1,
x − xk
f (x+
k ) = lim f (x) = −π,
x→x+
k
f 0 (x+
k ) = lim
x→x+
k
f (x) − f (x+
k)
= 1.
x − xk
Quindi la serie di Fourier di f converge in xk = (2k + 1)π, per ogni k ∈ Z,
a
−
1
2 [f (xk )
+ f (x+
k )] = 0 = f (xk ). Pertanto la serie di Fourier di f converge
puntualmente a f su R. Inoltre, essendo f di classe C 1 in ogni intervallo ](2k +
1)π, (2k + 3)π[, per ogni k ∈ Z, la serie di Fourier di f converge uniformemente
a f su [a, b], con (2k + 1)π < a < b < (2k + 3)π, per ogni k ∈ Z. Poichè f
7
non è continua su [(2k + 1)π, (2k + 3)π], la convergenza non è uniforme su questi
intervalli.
Determiniamo ora la serie di Fourier di f . Essendo f periodica di periodo 2π e
dispari, la serie di Fourier di f è della forma
∞
X
bn sin nx,
n=1
dove per ogni n ≥ 1
bn =
1
π
Z π
f (x) sin nx dx =
−π
1
π
Z π
−π
x sin nx dx =
2
π
Z π
0
x sin nx dx =
=
2
π
µ·
¸π
1
− x cos nx
n
+
0
1
n
Z π
0
¶
iπ
2 h
2
2
cos nx dx = − cos nπ+ 2 sin nx = −(−1)n .
0
n
n π
n
∞
X
(−1)n
−2
n
n=1
sin nx.
c) La funzione f è periodica di periodo 2π. Inoltre f è continua in ](2k+1)π, (2k+3)π[,
per ogni k ∈ Z, ed è discontinua, con discontinuità eliminabile, in x = (2k + 1)π,
per ogni k ∈ Z.
10
8
6
4
2
0
−8
−6
−4
−2
0
2
4
−2
6
8
8
12
10
8
6
4
2
0
−10
−5
0
5
10
−2
L2 (−π, π),
Osserviamo che f|[−π,π] ∈
Z π
−π
ossia che
[f (x)]2 dx =
Z π
−π
Z π
2
x4 dx = π 5 .
5
−π
2
f (x−
k ) = lim f (x) = π ,
x→x−
k
f 0 (x−
k ) = lim
x→x−
k
f (x) − f (x−
k)
= 2π,
x − xk
2
f (x+
k ) = lim f (x) = π ,
x→x+
k
f 0 (x+
k ) = lim
x→x+
k
f (x) − f (x+
k)
= −2π.
x − xk
Quindi la serie di Fourier di f converge in xk = (2k + 1)π, per ogni k ∈ Z, a
−
+
1
2 [f (xk ) + f (xk )]
= π 2 . Pertanto la serie di Fourier di f converge puntualmente a
(
S(x) =
f (x)
se x 6= (2k + 1)π,
π2
se x = (2k + 1)π,
∀k ∈ Z.
9
Inoltre, essendo f di classe C 1 in ogni intervallo ](2k + 1)π, (2k + 3)π[, per ogni
k ∈ Z, la serie di Fourier di f converge uniformemente a f su [a, b], con (2k +1)π <
a < b < (2k +3)π, per ogni k ∈ Z. Poichè f non è continua su [(2k +1)π, (2k +3)π],
la convergenza non è uniforme su questi intervalli. Poichè S conicide su f tranne
che nei punti xk = (2k + 1)π, per ogni k ∈ Z, allora la serie di Fourier di S coincide
con quella di f ed essendo S di classe C 1 sull’intervallo [−π, π], si ha che la serie
di Fourier di S, e quindi anche quella di f , converge uniformemente a S su R.
pari, la serie di Fourier di f è della forma
a0 +
∞
X
an cos nx,
n=1
dove
1
a0 =
2π
Z π
1
f (x) dx =
2π
−π
Z π
Z π
1
x dx =
π
−π
2
0
·
1 1 3
x
x dx =
π 3
2
¸π
=
0
π2
3
e per ogni n ≥ 1
1
an =
π
Z π
1
f (x) cos nx dx =
π
−π
Z π
2
x cos nx dx =
π
−π
2
Z π
0
x2 cos nx dx =
2
=
π
µ·
¸π
1 2
x sin nx
n
0
2
−
n
¶
Z π
x sin nx dx =
0
=−
4
nπ
µ·
¸π
1
− x cos nx
n
·
=
+
0
1
n
Z π
0
¸π
4 1
4
sin nx
cos nπ − 2
2
n
n π n
¶
cos nx dx =
= (−1)n
0
4
.
n2
∞
X
π2
(−1)n
+4
cos nx.
3
n2
n=1
d) La funzione f è periodica di periodo 2π. Inoltre f è continua in ](2k+1)π, (2k+3)π[,
per ogni k ∈ Z, ed è discontinua, con discontinuità eliminabile, in x = (2k + 1)π,
per ogni k ∈ Z.
10
10
8
6
4
2
0
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
−2
Fig. 6: Grafico1 di g.
12
10
8
6
4
2
0
−10
−5
0
5
10
−2
Fig. 7: Grafico2 di f .
L2 (−π, π),
Z π
−π
2
ossia che
[f (x)] dx =
Z π
−π
Z π
2
x8 dx = π 9 .
9
−π
1
2
Il grafico non è in scala
Il grafico non è in scala
11
4
f (x−
k ) = lim f (x) = π ,
4
f (x+
k ) = lim f (x) = π ,
x→x−
k
f 0 (x−
k ) = lim
x→x−
k
x→x+
k
f (x) − f (x−
k)
= 4π 3 ,
x − xk
f 0 (x+
k ) = lim
x→x+
k
f (x) − f (x+
k)
= −4π 3 .
x − xk
−
+
1
2 [f (xk ) + f (xk )]
= π 4 . Pertanto la serie di Fourier di f converge puntualmente a
(
S(x) =
f (x) se x 6= (2k + 1)π,
π4
∀k ∈ Z.
se x = (2k + 1)π,
la convergenza non è uniforme su questi intervalli. Poichè S conicide su f tranne
che nei punti xk = (2k + 1)π, per ogni k ∈ Z, allora la serie di Fourier di S coincide
con quella di f ed essendo S di classe C 1 sull’intervallo [−π, π], si ha che la serie
di Fourier di S, e quindi anche quella di f , converge uniformemente a S su R.
∞
X
a0 +
an cos nx,
n=1
dove
1
a0 =
2π
Z π
1
f (x) dx =
2π
−π
Z π
1
x dx =
π
−π
4
Z π
0
·
1 1 5
x dx =
x
π 5
4
¸π
=
0
π4
5
e per ogni n ≥ 1
an =
1
π
Z π
−π
f (x) cos nx dx =
Z π
1
π
−π
x4 cos nx dx =
2
π
Z π
0
x4 cos nx dx =
=
2
π
µ·
¸π
1 4
x sin nx
n
−
0
4
n
Z π
0
¶
x3 sin nx dx =
12
=−
8
nπ
¸π
µ·
1
− x3 cos nx
n
+
0
3
n
Z π
0
¶
x2 cos nx dx =
= (−1)n
8 2
24
π − 3
2
n
n π
µ·
¸π
1 2
x sin nx
n
−
0
2
n
Z π
0
¶
x sin nx dx =
8
48
= (−1) 2 π 2 + 4
n
n π
n
µ·
¸π
1
− x cos nx
n
·
= (−1)n
0
1
+
n
¸π
8 2
48
48 1
π + (−1)n 4 + 5
sin nx
2
n
n
n π n
Z π
0
¶
cos nx dx =
= (−1)n
0
8 2
48
π + (−1)n 4 .
2
n
n
∞
∞
X
X
π4
(−1)n
(−1)n
+ 8π 2
cos
nx
−
48
cos nx.
5
n2
n4
n=1
n=1
*e) La funzione f è periodica di periodo 2π. Inoltre f è continua in ](2k+1)π, (2k+3)π[,
per ogni k ∈ Z, ed è discontinua, con discontinuità di tipo salto, in x = (2k + 1)π,
per ogni k ∈ Z.
4
3
2
1
0
−4
−2
0
2
−1
−2
−3
−4
4
13
6
4
2
0
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
−2
−4
−6
L2 (−π, π),
ossia che
Z π
−π
[f (x)]2 dx < +∞. Infatti, es-
sendo f continua a tratti su [−π, π], allora f è integrabile (il calcolo esplicito
dell’integrale di f 2 non è immediato). Ne segue che la serie di Fourier di f converge quadraticamente a f su R.
f (x−
k ) = lim f (x) = −π,
x→x−
k
f 0 (x−
k ) = lim
x→x−
k
f (x) − f (x−
k)
= −1,
x − xk
f (x+
k ) = lim f (x) = π,
x→x+
k
f 0 (x+
k ) = lim
x→x+
k
f (x) − f (x+
k)
= −1.
x − xk
−
1
2 [f (xk )
+ f (x+
k )] = 0. Pertanto la serie di Fourier di f converge puntualmente a
(
S(x) =
f (x) se x 6= (2k + 1)π,
0
se x = (2k + 1)π,
∀k ∈ Z.
14
la convergenza non è uniforme su questi intervalli.
∞
X
bn sin nx,
n=1
Z
bn
(1.1)
1 π
1
=
f (x) sin nx dx =
π −π
π
Z
2 π
=
x cos x sin nx dx.
π 0
Z π
−π
x cos x sin nx dx
Calcoliamo le primitive di x cos x sin nx su R. Integrando per parti si ha che
Z
(1.2)
Z µZ
Z
x cos x sin nx dx = x
cos x sin nx dx −
¶
cos x sin nx dx dx,
Z
cos x sin nx dx indica una generica primitiva di cos x sin nx su R. Calcolia-
dove
mo queste primitive. Integrando per parti (abbr. p.p.) si ha che
Z
Z
1
cos x sin nx dx = sin x sin nx −
sin x cos nx dx
n
µ
¶
Z
p.p.
1
1
= sin x sin nx −
− cos x cos nx −
cos x sin nx dx
n
n
Z
1
1
= sin x sin nx + cos x cos nx + 2 cos x sin nx dx.
n
n
p.p.
Quindi per ogni n ≥ 2 si ha
µ
1−
1
n2
¶Z
cos x sin nx dx = sin x sin nx +
1
cos x cos nx + c,
n
c∈R
da cui segue che per ogni n ≥ 2
µ
Z
cos x sin nx dx =
¶
n2
1
sin x sin nx + cos x cos nx + c,
2
n −1
n
c ∈ R.
Sostituendo in (1.2) si ottiene che per ogni n ≥ 2
µ
Z
(1.3)
−
¶
1
n2
sin x sin nx + cos x cos nx +
n2 − 1
n
n2
2
n −1
µZ
sin x sin nx dx +
|
(
1
n
{z
N
)
Z
¶
cos x cos nx dx .
}
15
N
Calcoliamo (
). Integrando per parti si ha che
Z
(1.4)
sin x sin nx dx = − cos x sin nx +
1
n
Z
cos x cos nx dx.
Pertanto non resta che calcolare quest’ultimo integrale. Intregrando per parti e
utilizzando (1.4) si ha che
Z
cos x cos nx dx
Z
1
sin x sin nx dx
n
¶
µ
Z
(1.4)
1
1
= sin x cos nx +
− cos x sin nx +
cos x cos nx dx
n
n
Z
1
1
= sin x cos nx − cos x sin nx + 2 cos x cos nx dx.
n
n
p.p.
= sin x cos nx +
Quindi per ogni n ≥ 2 si ha
µ
1−
1
n2
¶Z
cos x cos nx dx = sin x cos nx −
1
cos x sin nx + c,
n
c∈R
da cui segue che per ogni n ≥ 2
Z
(1.5)
µ
¶
n2
1
cos x cos nx dx = 2
sin x cos nx − cos x sin nx + c,
n −1
n
N
Sostituendo (1.5) e (1.4) in (
Z
sin x sin nx dx +
1
n
) si ottiene
Z
cos x cos nx dx = − cos x sin nx +
µ
= − cos x sin nx +
c ∈ R.
2
n
Z
cos x cos nx dx =
¶
1
2n
2
n −1
n
c ∈ R.
Sostituendo in (1.3) si ottiene
µ
Z
¶
n2
1
2
n −1
n
µ
+
¶
2n3
1
n2
cos
x
sin
nx
−
n2 − 1
(n2 − 1)2
n
c ∈ R.
Sostituendo in (1.1) si ottiene che per ogni n ≥ 2
2
bn =
π
Z π
0
"
µ
¶
2
n2
1
x cos x sin nx dx =
x 2
π
n −1
n
¶#π
µ
n2
2n3
1
+ 2
cos x sin nx − 2
sin x cos nx − cos x sin nx
2
n −1
(n − 1)
n
= −(−1)n
2n
.
−1
n2
=
0
16
Infine per n = 1 si ha che
Z
Z
2 π
1 π
=
x cos x sin x dx =
x sin 2x dx
π 0
π 0
¸π
µ·
¶
Z
p.p. 1
1 π
1
=
− x cos 2x +
cos 2x dx
π
2
2 0
0
¸π
·
1
1
1
1
=− +
− sin 2x = − .
2 2π
2
2
0
b1
∞
X
1
n
− sin x − 2
(−1)n 2
sin nx.
2
n −1
n=2
f ) La funzione f è periodica di periodo 2π. Inoltre f è continua in R esclusi i punti
x = (2k + 1) π2 , per ogni k ∈ Z, in cui ha una discontinuità di tipo salto.
2
1
0
−4
−3
−2
−1
0
1
2
−1
−2
3
4
17
6
4
2
0
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
−2
−4
−6
L2 (−π, π),
Z π
−π
ossia che
2
[f (x)] dx =
Z π
−π
Z π
−π
dx = 2π.
Studiamo ora la convergenza puntuale della serie di Fourier di f . Essendo f continua in R esclusi i punti xk = (2k + 1) π2 , per ogni k ∈ Z, si ha che la serie di
Fourier di f converge a f in ogni x 6= xk .
Consideriamo ora xk = (2k + 1) π2 , per ogni k ∈ Z. Si ha che
(
f (x−
k)
= lim f (x) =
x→x−
k
f 0 (x−
k ) = lim
x→x−
k
= lim f (x) =
x→x+
k
se k = 2m,
−1 se k = 2m + 1,
(
f (x+
k)
1
−1
se k = 2m,
1
se k = 2m + 1,
f (x) − f (x−
k)
= 0,
x − xk
f 0 (x+
k ) = lim
x→x+
k
m ∈ Z,
m ∈ Z,
f (x) − f (x+
k)
= 0.
x − xk
18
Quindi la serie di Fourier di f converge in xk = (2k + 1) π2 , per ogni k ∈ Z, a
−
1
2 [f (xk )
+ f (x+
k )] = 0. Pertanto la serie di Fourier di f converge puntualmente a
f su R. Inoltre, essendo f di classe C 1 in ogni intervallo ](2k + 1) π2 , (2k + 3) π2 [,
per ogni k ∈ Z, la serie di Fourier di f converge uniformemente a f su [a, b], con
(2k + 1) π2 < a < b < (2k + 3) π2 , per ogni k ∈ Z. Poichè f non è continua su
[(2k + 1) π2 , (2k + 3) π2 ], la convergenza non è uniforme su questi intervalli.
a0 +
∞
X
an cos nx,
n=1
dove
1
a0 =
2π
Z π
1
f (x) dx =
π
−π
ÃZ
π
2
0
dx −
Z π
π
2
!
dx
=0
e per ogni n ≥ 1
1
an =
π
Z π
2
f (x) cos nx dx =
π
−π
2
=
π
Ã·
(
π
2
0
¸π
1
sin nx
n
4
n
=
sin π =
nπ
2
ÃZ
cos nx dx −
1
sin nx
−
n
0
π
2
!
cos nx dx
¸π !
·
2
Z π
π
2
=
0
se n = 2m,
4(−1)m
(2m+1)π
se n = 2m + 1,
m ∈ N.
∞
4 X
(−1)n
cos (2n + 1)x.
π n=0 2n + 1
g) La funzione f è periodica di periodo 2π. Inoltre f è continua su R.
4
3
2
1
0
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
=
19
5
0
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
L2 (−π, π),
Z π
−π
Z π
ossia che
[f (x)]2 dx =
−π
Z π
2
x2 dx = π 3 .
3
−π
Studiamo ora la convergenza puntuale della serie di Fourier di f . Essendo f continua su R si ha che la serie di Fourier di f converge puntualmente a f su R.
Inoltre, essendo f di classe C 1 a tratti in [−π, π], la serie di Fourier di f converge
uniformemente a f su R.
a0 +
∞
X
an cos nx,
n=1
dove
1
a0 =
2π
Z π
1
f (x) dx =
π
−π
Z π
0
x dx =
π
2
e per ogni n ≥ 1
an =
1
π
Z π
−π
f (x) cos nx dx =
2
π
Z π
0
x cos nx dx =
20
=
2
π
µ·
¸π
1
x sin nx
n
−
0
·
=−
=
1
n
¸π
2
1
− cos nx
nπ
n
2
[(−1)n − 1] =
n2 π
(
Z π
0
¶
sin nx dx =
2
[cos nπ − 1] =
n2 π
=
0
0
se n = 2m,
4
(2m+1)2 π
se n = 2m + 1,
m ∈ N.
∞
π
1
4 X
−
cos (2n + 1)x.
2 π n=0 (2n + 1)2
h) La funzione f è periodica di periodo 2π. Inoltre f è continua in R esclusi i punti
x = kπ, per ogni k ∈ Z, in cui ha una discontinuità di tipo salto.
2
1
0
−4
−3
−2
−1
0
1
2
−1
−2
3
4
21
6
4
2
0
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
−2
−4
−6
Osserviamo che f|[−π,π] ∈ L2 (−π, π), ossia che
Z π
−π
2
[f (x)] dx =
Z π
−π
Z π
−π
dx = 2π.
Studiamo ora la convergenza puntuale della serie di Fourier di f . Essendo f continua in R esclusi i punti xk = kπ, per ogni k ∈ Z, si ha che la serie di Fourier di
f converge a f in ogni x 6= xk .
Consideriamo ora xk = kπ, per ogni k ∈ Z. Si ha che
(
f (x−
k)
= lim f (x) =
x→x−
k
(
f (x+
k)
f 0 (x−
k ) = lim
x→x−
k
= lim f (x) =
x→x+
k
−1 se k = 2m,
1
se k = 2m + 1,
1
se k = 2m,
−1 se k = 2m + 1,
f (x) − f (x−
k)
= 0,
x − xk
f 0 (x+
k ) = lim
x→x+
k
m ∈ Z,
m ∈ Z,
f (x) − f (x+
k)
= 0.
x − xk
Quindi la serie di Fourier di f converge in xk = kπ, per ogni k ∈ Z, a 21 [f (x−
k)+
f (x+
k )] = 0. Pertanto la serie di Fourier di f converge puntualmente a f su R.
Inoltre, essendo f di classe C 1 in ogni intervallo ]kπ, (k + 1)π[, per ogni k ∈ Z, la
22
serie di Fourier di f converge uniformemente a f su [a, b], con kπ < a < b < (k+1)π,
per ogni k ∈ Z. Poichè f non è continua su [kπ, (k + 1)π], la convergenza non è
uniforme su questi intervalli.
∞
X
bn sin nx,
n=1
bn =
1
π
Z π
−π
f (x) sin nx dx =
·
=
=
¸π
2
1
− cos nx
π
n
2
[1 − (−1)n ] =
nπ
(
=
0
2
π
Z π
0
sin nx dx =
2
[1 − cos nπ] =
nπ
0
se n = 2m,
4
(2m+1)π
se n = 2m + 1,
∞
4 X
1
sin (2n + 1)x.
π n=0 2n + 1
m ∈ N.

Serie di Fourier: esercizi svolti

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