CAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI Abbiamo

CAPITOLO 16
SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI
Abbiamo studiato successioni e serie numeriche, ora vogliamo studiare successioni e serie di funzioni.
Dato un insieme A ⊆ R , chiamiamo successione di funzioni e la indichiamo
con il simbolo {fn (x)}n , una legge che ad ogni numero naturale n associa una
funzione, che viene indicata con fn (x) . dove fn : A → R , ∀n .
Osserviamo che l’ insieme di definizione é lo stesso per ogni funzione dunque
non dipende da n .
Diremo che la successione {fn (x)}n converge puntualmente in A se
∀x ∈ A ∃ limn fn (x) = f (x) , cioé se ∀x ∈ A si ha che ∀ε > 0
∃n∗ = n∗ (ε, x) : |fn (x) − f (x)| < ε , ∀n > n∗ (quindi vale la relazione
di limite a partire da un indice che puó variare al variare del punto x che si
considera nell’ insieme A).
Diremo poi che la successione {fn (x)}n converge uniformemente alla funzione f (x) in A se ∀ε > 0 ∃n̄ = n̄(ε) : |fn (x) − f (x)| < ε , ∀n > n̄ , ∀x ∈ A .
(in altre parole esiste un indice che va bene per tutti i punti dell’ insieme A a
partire dal quale vale la relazione di limite)
Esempi :
1) fn : (0, 2) → R cosı́ definita fn (x) = a se 0 < x < n1 , fn (x) = b ,
se n1 ≤ x < 2 , essendo a, b due numeri reali distinti. Si ha limn fn (x) =
b , ∀x ∈ (0, 2) con convergenza non uniforme.
2) fn : [0, 1] → R cosı́ definita fn (x) = xn .
Si ha limn fn (1) = 1 , limn fn (x) = 0 , ∀x ∈ [0, 1) con convergenza non
uniforme.
3) fn : R → R cosı́ definite fn (x) =
con convergenza non uniforme.
x2
n+x2
. Si ha limn fn (x) = 0 , ∀x ∈ R
TEOREMA 74 : Data la successione di funzioni {fn (x)}n
con fn : [a, b] → R continua in [a, b] , ∀n , se c’é convergenza uniforme alla
funzione f (x) in [a, b] , allora si ha che la funzione f (x) é continua in [a, b] .
In altre parole la convergenza uniforme di funzioni continue mantiene la
continuitá anche alla funzione limite.
1
Il Teorema é falso se la convergenza é solo puntuale come mostra l’ esempio
2) oppure il seguente
Esempio:
4) fn : R → R cosı́ definita fn (x) = arctg (n x) .
Si ha limn fn (0) = 0 , limn fn (x) = π2 , ∀x > 0 , limn fn (x) = − π2 , ∀x < 0 .
Ovviamente non c’é convergenza uniforme.
Osserviamo che. in caso di una successione di funzioni continue considerate
in un intervallo [a, b] vale la seguente
Proprietá ;
La successione di funzioni {fn (x)}n converge uniformemente a f (x) in [a, b]
se e solo se limn maxx ∈ [a,b] |fn (x) − f (x)| = 0 .
Data una successione di funzioni continue {fn (x)}n con
fn : [a, b] → R che converge puntualmente ad una funzione f (x) in [a, b] ,
Rb
sappiamo che ∃ a fn (x)dx , ∀n ma
Rb
i) ∃ a f (x)dx ?
Rb
ii) ∃ limn a fn (x)dx ?
iii) in caso di risposta affermativa alle due precedenti domande, che relazioni
Rb
Rb
ci sono tra limn a fn (x)dx e a f (x)dx?
In caso di uguaglianza tra queste due ultime quantitá si parla di passaggio
al limite sotto il segno di integrale.
TEOREMA 75 : Data la successione di funzioni {fn (x)}n con
fn : [a, b] → R continua in [a, b] , ∀n , se c’é convergenza uniforme alla
Rb
Rb
funzione f (x) in [a, b] , allora si ha che limn a fn (x)dx = a f (x)dx .
Dimostrazione
Valgono le seguenti disuguaglianze
Z
Z
Z b
b
b
0≤
fn (x)dx −
f (x)dx ≤
|fn (x) − f (x)|dx ≤
a
a
a
Z
≤
b
maxx ∈ [a,b] |fn (x) − f (x)|dx ≤ (b − a)maxx ∈ [a,b] |fn (x) − f (x)|
a
e quest’ultima quantitá tende a zero al divergere di n per la convergenza uniforme.
Esempi :
5) fn : [0, 2] → R cosı́ definita fn (0) = 0 , fn (x) = n se 0 < x <
2
1
n
,
fn (x) = 0 , se n1 ≤ x ≤ 2 . Si ha limn fn (x) = f (x) = 0 , ∀x ∈ [0, 2] e non
vale il passaggio al limite sotto il segno di integrale.
2
6) fn : [0, +∞[→ R cosı́ definita fn (x) = nxe−nx .
Si ha limn fn (x) = f (x) = 0 , ∀x ∈ [0, 2] e non vale il passaggio al limite
sotto il segno di integrale.
Il problema che abbiamo appena affrontato in relazione all’ operazione di
integrazione, puó analogamente essere posto per l’ operazione di derivazione ed,
in questo caso, una risposta é data dal seguente
TEOREMA 76 : Data la successione di funzioni {fn (x)}n con
fn : [a, b] → R derivabili e con derivata continua in [a, b] , ∀n ,
se ∃ x0 ∈ [a, b] : ∃ limn fn (x0 ) = l ∈ R , inoltre la successione {fn0 (x)}n converge uniformemente ad una funzione g(x) in [a, b] , allora si ha che la successione {fn (x)}n converge uniformemente in [a, b] ad una funzione f (x) derivabile
e si ha limn fn0 (x) = f 0 (x) = g(x) .
Anche in relazione a questo Teorema vediamo alcuni
Esempi :
7) fn : R → R cosı́ definita fn (x) =
esiste f 0 (0) .
q
x2 +
1
n
. Si ha limn fn (x) = |x| , e non
8) fn : [−π, +π] → R cosı́ definita fn (x) = n1 sin nx .
Si ha limn fn (x) = f (x) = 0 , ∀x ∈ [−π, +π] inoltre ∃fn0 (x) = cos nx ,
pertanto fn0 (0) = 1 mentre f 0 (0) = 0 .
SERIE DI FUNZIONI
Dato un insieme A ⊆ R ed una successione di funzioni {fn (x)}n definite su
A , costruiamo la successione delle somme parziali {sn (x)}n cosı́ definita
s1 (x) = f1 (x) , sn (x) = sn−1 (x) + fn (x) , ∀x ∈ A .
Osserviamo che, se il primo indice é zero oppure un altro numero naturale, il
procedimento é identico (con le dovute modifiche).
P
Abbiamo cosı́ costruito la serie di funzioni n fn (x)(ossia il procedimento
usato per le serie numeriche vaP
effettuato in ogni punto x ∈ A ) .
Studiare serie di funzioni
n fn (x) equivale a studiare la successione di
funzioni {sn (x)}n quindi possiamo trasportare alle serie di funzioni le definizioni
ed i Teoremi enunciati per le successioni
P di funzioni. Parleremo quindi di
convergenza puntuale della serie n fn (x) in un insieme A ⊆ R se
3
∀x ∈ A ∃ limn sn (x) = S(x) . (limite
puntuale)
P
convergenza uniforme della serie n fn (x) in un insieme A ⊆ R se
∃ limn sn (x) = S(x) uniformemente in A .
Vale poi il seguente
P
TEOREMA 77 : Data la serie di funzioni n fn (x) con
fn : [a, b] → R continua in [a, b] , ∀n , se la serie converge uniformemente
alla funzione S(x) in [a, b] , allora si ha che la funzione S(x) é continua in [a, b] .
Per le serie di funzioni siP
pone anche la seguente
Definizione : la serie
n fn (x) é detta totalmente convergente in A se
esiste P
una successione numerica {bn }n tale che |fn (x)| ≤ bn , ∀x ∈ A
e
n bn é convergente.
Vale il
Teorema 78 : La convergenza totale implica la convergenza uniforme.
Osserviamo che la proprietá di convergenza totale é detta anche test di
Weierstrass per la convergenza uniforme (é Condizione Sifficiente per la convergenza uniforme).
Esempi :
P
x
1) Sia fn (x) : R → R cosı́ definita fn (x) = x4 +3n
4 . La serie
n fn (x) é
1
totalmente convergente poiché si ha |fn (x)| ≤ 4n3 in quanto la funzione |fn (x)|
ha massimo per x = n .
P
2) Sia fn (x) : [a, b] → R cosı́ definita fn (x) = (−1)n n1 . La serie n fn (x) é
convergente uniformemente ma non totalmente in quanto si ha |fn (x)| = n1 , e
P
1
n n é la serie armonica che diverge.
P
Teorema 79 : Se n fn (x) é una serie di funzioni continue che converge
uniformemente in [a, b] , allora la funzione somma é continua in [a, b] e vale la
RbP
P Rb
seguente uguaglianza a n fn (x)dx = n a fn (x)dx . ( serie integrata termine
a termine).
P
Teorema 80 : Se n fn (x) é unaP
serie di funzioni derivabili conPderivata
0
continua in [a, b] inoltre ∃x0 ∈ [a, b] :
n fn (x0 ) converge e la serie Pn fn (x)
converge uniformemente ad una funzione g(x) in [a, b] , allora la serie n fn (x)
converge uniformemente
ad una funzione f (x) derivabile in [a, b] e vale la seguente
P
uguaglianza n fn0 (x)dx = f 0 (x) = g(x) , ∀x ∈ [a, b] . ( serie derivata termine a
termine).
4
SERIE DI POTENZE
Data una successione numerica {an }n considerato
un punto x0 ∈ R , chiP+∞
amiamo serie di potenze di centro x0 la serie n=0 an (x − x0 )n =
a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + ... .
Si tratta dunque di una serie di funzioni nella quale si ha fn (x) = an (x−x0 )n .
Per comoditá, considereremo x0 = 0 ( ma tutto cio’ che diremo vale anche,
con le dovute
P+∞modifiche, se x0 é un generico punto in R) cosı́ la serie diventa la
seguente n=0 an xn che sicuramente converge ad a0 per x = 0 .
Esempi :
1) le serie
P+∞
2)la serie
porto)
P+∞
n=0
n!xn e
xn
n=0 n!
P+∞
n=0
nn xn convergono solo per x = 0
converge assolutamente ∀x ∈ R (vedi criterio del rap-
P+∞ xn
3)la serie n=0 n+1
converge asolutamente per |x| < 1 , non converge per
x > 1 oppure per x < −1 , diverge per x = 1 e converge per x = −1 .
Dagli esempi emerge quella che é la proprietá caratteristica delle serie di
potenze ossia
P+∞
Teorema 81 : Data la serie di potenze n=0 an xn si possono presentare i
seguenti casi :
i) essa converge solo per x = 0
ii) essa converge ∀x ∈ R
iii) ∃r̄ > 0 : la serie converge per |x| < r̄ , non converge per |x| > r̄ e
c’é convergenza totale e quindi uniforme in ogni intervallo chiuso contenuto in
(−r̄, r̄) . Il numero r̄ é detto raggio di convergenza della serie.
Osserviamo che, in generale, non si puó dire cosa succede per |x| = r̄ .
Vediamo che, nell’ esempio 3), la serie converge per x = −1 mentre non converge
per x = 1 .
Ci chiediamo, ora, come sia possibile trovare il raggio di convergenza di una
serie di potenze. Forniamo due metodi : uno che vale quando si ha an 6= 0 , ∀n ,
l’altro che vale sempre.
P+∞
Teorema 82 - (di D’Alembert)
: Data la serie di potenze n=0 an xn
con an 6= 0 , ∀n , se ∃ limn aan+1
= L , allora si ha che r̄ = +∞ se L = 0 , r̄ = 0
n
se L = +∞ , r̄ =
1
L
se L ∈ R+ .
Teorema 83 - (di Cauchy - Hadamard) : Data la serie di potenze
5
P+∞
p
an xn se ∃ limn n |an | = L , allora si ha che r̄ = +∞ se L = 0 , r̄ = 0 se
L = +∞ , r̄ = L1 se L ∈ R+ .
P+∞
Data la serie di potenze n=0 an xn , si dice serie derivata la nuova serie di
P+∞
potenze n=1 nan xn−1 . Se una serie di potenze ha raggio di convergenza r̄ 6= 0 ,
poiché essa converge uniformemente in ogni intervallo chiuso [a, b] contenuto in
(−r̄, r̄) , in tale intervallo [a, b] essa é pure derivabile termine a termine inoltre
vale il seguente
n=0
Teorema 84 : Ogni serie di potenze e la relativa serie derivata hanno
stesso raggio di convergenza
Vediamo
P+∞ una applicazione del precedente Teorema :
sia n=0 an xn , una serie di potenze con raggio di convergenza r̄ 6= 0 e sia
P+∞
f (x) la sua somma, dunque si ha n=0 an xn = f (x) , ∀x : |x| < r̄ .
Allora per precedenti
é derivP+∞ proprietá enunciate, si ha che la funzione fR(x)
x
abile e f 0 (x) = n=1 n an xn−1 , ∀x : |x| < r̄ ; inoltre si ha anche 0 f (t)dt =
P+∞ an n+1
.
n=0 n+1 x
SERIE DI TAYLOR
Data una funzione f : [a, b] → R , preso un punto x0 ∈ (a, b) , ci chiediamo
se esiste una serie di potenze di centro x0 che converge a f (x) almeno in un
intorno di x0 .
In caso affermativo, diremo che f é sviluppabile in serie di potenze di
centro x0 .
Per i Teoremi visti in precedenza, vale il seguente:
P+∞
n
Teorema 85 :
Se la serie di potenze
ha raggio di
n=0 an (x − x0 )
convergenza r̄ > 0 (cioé converge nell’ insiema A = {x ∈ R : |x − x0 | < r̄}
con convergenza uniforme in ogni intervallo chiuso contenuto in A), allora la
sua funzione
somma f (x) ha derivata di ogni ordine data dalla seguente serie
P+∞
f (i) (x) = n=i n(n − 1)...(n − i + 1)an (x − x0 )n−i , ∀x : |x| < r̄ e si ha an =
f (n) (x0 )
n!
, pertanto infine si ottiene che
f (x) =
+∞ (n)
X
f (x0 )
(x − x0 )n
n!
n=0
(∗)
In conclusione, se la funzione f é sviluppabile in serie di potenze, essa ha
derivata di ogni ordine e la serie di potenze di cui essa é somma e del tipo (*).
Tale serie é detta serie di Taylor di centro x0 .
Osservazione : avere derivata di ogni ordine (anche in ogni punto del dominio), non basta perché una funzione sia sviluppabile in serie di Taylor come
mostra il seguente
6
Esempio :
1
Sia f : R → R cosı́ definita f (x) = e− x2 se x 6= 0 , f (0) = 0 . Per questa
funzione si ha che ∃f (n) (x) , ∀n e ∀x , inoltre si ha f (n) (0) = 0 . Pertanto non
puó valere la relazione (∗ ) con x0 = 0 in quanto il secondo membro é identicamente nullo.
Vediamo ora una Condizione Sufficiente per la sviluppabilitá in serie di Taylor.
Teorema 86 : Sia f : [a, b] → R tale che ∃f (n) (x) , ∀n , ∀x ∈ (a, b) inoltre
supponiamo che ∃M, L > 0 : |f (n) (x)| ≤ M Ln , ∀n , ∀x ∈ (a, b) , (∗∗) allora
la funzione f é sviluppabile in serie di Taylor di centro un qualunque punto
x0 ∈ (a, b) .
Osserviamo che, in particolare, la proprietá (∗∗) é verificata se le derivate
della funzione f sono equilimitate in (a, b) ossia se ∃K > 0 :
|f (n) (x)| ≤ K , ∀n , ∀x ∈ (a, b) .
Osserviamo, inoltre, che, nelle ipotesi del Teorema 86, vale la formula di
Taylor arrestata a qualunque n ∈ N con il resto Rn scritto, ad esempio, nella
forma di Lagrange. La sviluppabilitá in serie della funzione f equivale, allora,
a provare che limn Rn = 0 .
Nel caso particolare di x0 = 0 si parla di serie di Mac-Laurin e la formula
diventa
+∞ (n)
X
f (0) n
x .
f (x) =
n!
n=0
Vediamo ora alcuni casi particolari notevoli
1) f (x) = ex . La funzione é sviluppabile in serie di Mac-Laurin e si ha
ex =
+∞ n
X
x
x2
x3
= 1+x+
+
+ ... , ∀x ∈ R
n!
2!
3!
n=0
poiché f (n) (x) = ex , ∀n , ∀x da cui f (n) (0) = 1 , ∀n .
2) f (x) = sin x . La funzione é sviluppabile in serie di Mac-Laurin poiché le
sue derivate sono equilimitate. Si ha
sin x =
+∞
X
(−1)n
n=0
x3
x5
x2n+1
= x−
+
− ... , ∀x ∈ R
(2n + 1)!
3!
5!
poiché f (r) (0) = 0 se r é pari, mentre f (r) (0) = (−1)n se r = 2n + 1 .
7
3) f (x) = cos x . La funzione é sviluppabile in serie di Mac-Laurin poiché le
sue derivate sono equilimitate. Si ha
cos x =
+∞
X
(−1)n
n=0
x2
x4
x2n
= 1−
+
− ... , ∀x ∈ R
(2n)!
2!
4!
poiché f (r) (0) = 0 se r é dispari, mentre f (r) (0) = (−1)n se r = 2n .
4) f (x) = ln(1 + x) , ∀x > −1 . Si ha la seguente uguaglianza
ln(1 + x) =
+∞
X
(−1)n+1
n=1
x2
x3
xn
= x−
+
− ... , ∀x ∈ (−1, 1] .
n
2
3
P+∞
Dalla precedente uguaglianza per x = 1 si ottiene ln 2 = n=1 (−1)n+1 n1 , in
altre parole la somma della serie armonica a segni alterni é ln 2 .
5) f (x) = (1 + x)α , ∀x > −1 essendo α un generico numero reale. Posto
α(α−1)...(α−n+1
α
(α
∀n ≥ 1 , si ha la seguente uguaglianza
0 ) = 1 , (n ) =
n!
α
(1 + x) =
+∞
X
n
(α
n ) x , ∀x ∈ (−1, 1) .
n=0
Questo quinto caso ha sottocasi particolari importanti.
1
=
5.1) α = −1 . 1+x
rica di ragione −x .)
P+∞
n=0 (−x)
n
, ∀x ∈ (−1, 1) . (somma della serie geomet-
√
P+∞
n
5.2) α = 21 . 1 + x = 1 + x2 + n=2 (2n−3)!!
(2n)!! x , ∀x ∈ (−1, 1) , dove si é
usato il simbolo di semifattoriale che é cosı́ definito (2n)!! = 2 · 4 · 8 · ...(2n) ,
(prodotto di tutti i numeri pari da 2 fino a 2n ), (2n + 1)!! = 3 · 5 · 7 · ...(2n + 1) ,
(prodotto di tutti i numeri dispari da 3 fino a 2n + 1) .
5.3) α = − 12 .
√1
1+x
=1+
P+∞
n=1
(2n−1)!! n
(2n)!! x
, ∀x ∈ (−1, 1) .
Possiamo ottenere altri importanti sviluppi in serie di funzioni particolari
utilizzando il Teorema di integrazione per serie.
P+∞
1
2 n
Ad esempio, dalla uguaglianze 1+x
2 =
n=0 (−x ) , ( che si ottiene come
2
somma della serie geometrica di ragione −x ), si ha
arctg x = x −
+∞
X
x3
x5
x2n−1
+
+ ... =
(−1)n−1
, ∀x ∈ (−1, 1] .
3
5
2n − 1
n=1
8
Per x = 1 si ha
π
4
=
P+∞
Dalla uguaglianze
n−1 1
n=1 (−1)
2n−1 .
P+∞
1
2 n
√
= 1 + n=1 (−1)n (2n−1)!!
(2n)!! (−x )
1−x2
, si ha
+∞
X
(2n − 1)!! x2n+1
arcsin x = x +
, ∀x ∈ (−1, 1) .
(2n)!! 2n + 1
n=1
SERIE DI FOURIER
Ricordiamo che una funzione f : R → R si dice periodica di periodo T se si
ha f (x + T ) = f (x) , ∀x ∈ R . Ovviamente una funzione periodica di periodo
T é anche periodica di periodo kT , ∀k ∈ N .
Le funzioni trigonometriche sin x e cos x sono funzioni periodiche di periodo
2π inoltre, dati due numeri reali a, b ed un numero naturale k , la funzione
a cos k x + b sin k x é periodica di periodo 2π
k .
In molte applicazioni vengono utilizzate P
combinazioni lineari di funzioni
n
trigonometriche ossia funzioni del tipo a20 + k=1 (ak cos k x + sin k x) dove
a0 , a1 , ..., an , b1 , ..., bn sono numeri reali assegnati. Tali funzioni sono dette polinomi trigonometrici e sono funzioni periodiche di periodo 2π , ∀n ∈ N .
+∞
Date due successioni numeriche {an }+∞
n=0 , {bn }n=10 , chiamiamo serie trigonometrica la seguente serie
+∞
a0 X
+
(ak cos k x + bk sin k x)
2
(∗)
k=1
Se la serie trigonometrica (∗) é convergente ad una dunzione f (x) , ∀x ∈ R ,
allora, per la periodicitá dei polinomi trigonometrici, la funzione somma f (x) é
sicuramente una funzione periodica di periodo 2π .
Vale il seguente
P+∞
Teorema 87 : Se valgono le proprietá n=0 |an | < +∞ ,
P+∞
n=1 |bn | < +∞ , allora la serie trigonometrica (∗) converge totalmente e
quindi uniformemente e la sua funzione somma é una funzione continua.
Supponendo che una serie trigonometrica converga uniformemente ad una
funzione f (x) , ci chiediamo se ci siano legami tra la funzione somma ed i coefficienti della serie stessa. Tenuto conto della periodicitá delle funzioni coinvolte,
possiamo restringere le nostre considerazioni ad un intervallo di ampiezza 2π ;
abitualmente si considera l’intervallo [−π, π] P
.
+∞
Partiamo dall’uguaglianza f (x) = a20 + k=1 (ak cos k x + sin k x) , che é
vera uniformemente nell’intervallo [−π, π] , la moltiplichiamo per cos mx , con
9
m numero naturale o nullo fissato, poi integriamo nell’ intervallo indicato ed
otteniamo
Rπ
Rπ
Rπ
P+∞
f (x) cos mx dx = a20 −π cos mx dx + k=1 (ak −π cos k x cos mx dx +
−π
Rπ
bk −π sin k x cos mx dx) ,
ricordando che, per la convergenza uniforma, la serie puó essere integrata
termine a termine.
Utilizzando
i seguenti risultati
Rπ
Rπ
cos kx cos mx dx = 0 se m 6= k , −π cos kx cos mx dx = π , se
−π
m
R π= k 6= 0 ,
sin kx cos mx dx = 0 , ∀m, k , si ottiene
−π
a0 =
1
π
Z
π
f (x) dx , an =
−π
1
π
Z
π
f (x) cos nx dx .
(1)
−π
Con
R π procedimento analogo, moltiplicando
R π per sin mx e ricordando che
sin
kx
sin
mx
dx
=
0
se
m
=
6
k
,
sin kx sin mx dx = π , se m = k 6=
−π
−π
0 , si ottiene
Z π
1
f (x) sin nx dx . (2)
bn =
π −π
Le quantitá definite dalle uguaglianze (1) e (2) sono chiamate coefficienti di
Eulero-Fourier della funzione f.
A questo punto possiamo pensare di invertire il procedimento ossia : presa
una funzione f (x) integrabile nell’ intervallo [−π, π] , costruiti i suoi coefficienti
di Eulero-Fourier utilizzando le uguaglianze (1) e (2), possiamo considerare la
serie trigonometrica generata da tali coefficienti.
Ovviamente la domanda é : la serie cosı́ costruita converge? e converge alla funzione f (x)?
In caso di risposta affermativa a queste domande diremo che la funzione é
sviluppabile in serie di Fourier.
Ci proponiamo, ora, di fornire Condizioni Sufficienti affinché una funzione
sia sviluppabile in serie di Fourier ed, a questo scopo, premettiamo la seguente
:
Definizione : Una funzione f : [a, b] → R si dice regolare a tratti in
[a, b] se esiste una suddivisione D = {x0 , x1 , ..., xn } dell’intervallo [a, b] tale che
la funzione f é continua e monotona in (xr , xr+1 ) , ∀r = 0, 1, ..., n − 1 inoltre
∃ limx→ x+
f (x) , ∃ limx→ x−
f (x) , e sono finiti .
r
r
Una funzione f : R → R si dice regolare a tratti su R se lo é in ogni intervallo
chiuso e limitato [a, b] ⊆ R .
Se f é una funzione definita in un intorno di un punto x0 , poniamo
f (x+
f (x) , f (x−
f (x) , qualora tali limiti esistano.
0 ) = limx→x+
0 ) = limx→x−
0
0
Vale il seguente
Teorema 88 : Se f : R → R é una funzione periodica di periodo 2π
regolare a tratti, allora la serie di Fourier ad essa associata converge a
10
+ f (x− )] (media aritmetica tra limite destro e limite sinistro) in
ogni punto x ∈ R . In particolare la serie converge a f (x) in ogni punto x di
continuitá della funzione.
Osserviamo che se f é una funzione pari allora si ha bn = 0 , ∀n ; mentre se
f é una funzione dispari allora si ha an = 0 , ∀n .
Vediamo ora alcuni
1
+
2 [f (x )
Esempi :
1) sia f la funzione periodica di periodo 2π ottenuta prolungando su R la
funzione tale che f (x) = 0 , se −π < x ≤ 0 , f (x) = 1 , se 0 < x ≤ π . I cofficienti
di Eulero-Fourier di questa funzione sono i seguenti a0 = 1 , an = 0 ,
n
, ∀n ∈ N pertanto la serie di Fourier associata a questa
bn = 1−(−1)
nπ
P+∞ sin(2k+1)x
che, per il Teorema 88 converge a
funzione é la seguente 12 + π2
k=0
2k+1
f (x) in tutti i punti x 6= mπ , ∀m ∈ Z .
Osserviamo che nel punto x0 = 0 la serie precedente converge a 12 esattamente come afferma il Teorema.
Per x = π2 , per la convergenza della serie alla funzione assegnata, sempre in
k
P+∞
base al Teorema enunciato, si ottiene la seguente uguaglianza π = 4 k=0 (−1)
2k+1 ,
che fornisce una formula di approssimazione del numero π .
2) sia f la funzione periodica di periodo 2π ottenuta prolungando su R la
funzione tale che f (x) = −1 , se −π < x ≤ 0 , f (x) = 1 , se 0 < x ≤ π . I
cofficienti di Eulero-Fourier di questa funzione sono i seguenti a0 = 0 , an =
n
)
0 , bn = 2(1−(−1)
, ∀n ∈ N pertanto la serie di Fourier associata a questa
nπ
P+∞ sin(2k+1)x
funzione é la seguente π4
che, per il Teorema 88 converge a f (x)
k=0
2k+1
in tutti i punti x 6= mπ , ∀m ∈ Z .
Osserviamo che nel punto x0 = 0 la serie precedente converge a 0 esattamente
come afferma il Teorema.
3) sia f la funzione periodica di periodo 2π ottenuta prolungando su R la
funzione f (x) = x , se −π < x ≤ π . I cofficienti di Eulero-Fourier di questa
funzione sono i seguenti a0 = 0 , an = 0 , bn = n2 (−1)n+1 , ∀n ∈ N pertanto la
P+∞
serie di Fourier associata a questa funzione é la seguente 2 n=1 sinnn x che, per
il Teorema 88 converge a f (x) in tutti i punti x 6= mπ , ∀m ∈ Z − {0} .
Osserviamo che per x = ± π la serie precedente converge a 0 .
4) sia f la funzione periodica di periodo 2π ottenuta prolungando su R la
funzione f (x) = |x| , se −π < x ≤ π . I cofficienti di Eulero-Fourier di questa
funzione sono i seguenti a0 = π , an = 0 , se n é pari, an = − π 4n2 , se n é dispari
e bn = 0 ∀n ∈ N , pertanto la serie di Fourier associata a questa funzione é
P+∞ cos(2k+1)x
la seguente π2 − π4
k=0 (2k+1)2 . che, per il Teorema 88 converge a f (x) in
tutti i punti x ∈ R .
11
Per x = π , si ha π = π2 +
P+∞
2
1
uguaglianza π8 = k=0 (2k+1)
2 .
4
π
P+∞
1
k=0 (2k+1)2
, da cui si ha la seguente
Forniamo, ora, una Condizione sufficiente per la convergenza uniforme della
seria di Fourier.
Teorema 89 : Se f : R → R é una funzione periodica di periodo 2π ,
derivabile (escluso al piú un numero finito di punti in ogni intervallo chiuso
contenuto in R) con derivata regolare a tratti, allora la serie di Fourier associata
alla funzione f converge totalmente e quindi uniformemente in ogni intervallo
chiuso contenuto in R .
Vogliamo ora scrivere la serie di Fourier in forma esponenziale.
A questo scopo ricordiamo le formule di Eulero
inx
−inx
inx
−inx
, sin nx = e −e
), per cui si ha
( cos nx = e +e
2
2i
P
P
inx
−inx
+∞
+∞
a0
a0
einx +e−inx
+
+
+bn e −e
) =
(a
cos
n
x+b
sin
n
x)
=
(a
n
n
n
n=1
n=1
2
2
2
2i
P+∞ an
a0
bn inx
an
bn −inx
= 2 + n=1 [( 2 + 2i )e
+ ( 2 − 2i )e
]=
P+∞
inx
c
e
,
n
n=−∞
n
n
, se n = 1, 2, 3... , c−n = an +ib
, se
dove si é posto c0 = a20 , cn = an −ib
2
2
n = 1, 2, 3, ... .
Rπ
1
Tramite le precedenti uguaglianze si ha infine cn = 2π
f (x)e−inx dx .
−π
12