110315 CAP 7

Capitolo 7. La circonferenza e il cerchio
7.5 Poligoni circoscritti
7.5 Poligoni circoscritti
Un poligono è circoscritto a una circonferenza se tutti i lati del poligono
sono tangenti la circonferenza.
In tal caso il raggio della circonferenza si chiama apotema del poligono e
si dice che la circonferenza è inscritta nel poligono.
Capitolo 7. La circonferenza e il cerchio
7.5 Poligoni circoscritti
Un triangolo è sempre circoscrittibile a una circonferenza.
Il centro della circonferenza inscritta al triangolo si chiama incentro.
Capitolo 7. La circonferenza e il cerchio
7.5 Poligoni circoscritti
Infatti l’incentro è equidistante dai tre lati e questa proprietà caratterizza
i punti delle bisettrici degli angoli interni.
Capitolo 7. La circonferenza e il cerchio
7.5 Poligoni circoscritti
Capitolo 7. La circonferenza e il cerchio
7.5 Area dei poligoni circoscritti
7.5 Area dei poligoni circoscritti
Se un poligono ammette una circonferenza inscritta, allora è possibile
calcolarne l’area noti il perimetro e l’apotema.
Si tratta di sommare tutte le aree dei triangoli raffigurati.
Capitolo 7. La circonferenza e il cerchio
7.5 Area dei poligoni circoscritti
I triangoli sono delimitati da: un lato del poligono e i due segmenti che
congiungono il centro della circonferenza ai due vertici che sono gli
estremi del lato considerato.
Questi triangoli hanno tutti la stessa altezza, che è l’apotema del
poligono.
Capitolo 7. La circonferenza e il cerchio
7.5 Area dei poligoni circoscritti
Se denominiamo a l’apotema e l1 , l2 , l3 , ..., ln i lati del poligono, abbiamo
che la sua area è data da
A=
l1 · a l2 · a l3 · a
ln · a
+
+
+ ··· +
,
2
2
2
2
raccogliendo a/2 si ottiene
A=
(l1 + l2 + l3 + · · · + ln ) · a
,
2
cioè
A=
dove 2p è il perimetro del poligono.
2p · a
,
2
Capitolo 7. La circonferenza e il cerchio
7.6 Area dei poligoni regolari
7.6 Area dei poligoni regolari
Tutti i poligoni regolari ammettono sia circonferenza inscritta sia
circonferenza circoscritta.
Di conseguenza anche per i poligoni regolari vale la formula A = 2p·a
2 per
il calcolo dell’area.
Tuttavia, nei poligoni regolari, fissato il numero di lati, il rapporto tra la
misura dell’apotema e quella del lato è costante. Chiamiamo f questa
costante (quindi f = a/l).
Poligono regolare
Numero fisso f
Triangolo
0,289...
Quadrato
0,5
Pentagono
0,688...
Esagono
0,866...
...
...
Capitolo 7. La circonferenza e il cerchio
7.6 Area dei poligoni regolari
Consideriamo un poligono regolare di n lati, ciascuno lungo l. Allora:
A=
n·l ·a
n·l ·f ·l
2p · a
=
=
,
2
2
2
che equivale a
A = l2 ·
nf
.
2
Si introduce quindi una nuova costante, ϕ, definita come nf2 e dipendente
unicamente dal numero di lati del poligono regolare e si ha:
A = l 2 · ϕ.
Capitolo 7. La circonferenza e il cerchio
7.6 Area dei poligoni regolari
Poligono regolare
Numero fisso ϕ
Triangolo
0,433...
Quadrato
1
Pentagono
1,720...
Esagono
2,598...
...
...
Capitolo 7. La circonferenza e il cerchio
7.6 Area dei poligoni regolari
Qualche esempio...
Capitolo 7. La circonferenza e il cerchio
7.6 Area dei poligoni regolari
Attività. Poligoni regolari
Dopo averli costruiti (con questo metodo o con riga e compasso o come
possibile) si potrebbero calcolare le aree dei poligoni regolari inscritti e
confrontarle con l’area del cerchio.
L’area del cerchio coincide con l’area del poligono inscritto di n lati per
n −→ ∞.