Pb. DiffusioneTrasporto 2D - Dipartimento di Matematica, Tor Vergata

TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE
Francesca Pelosi e Salvatore Filippone
Università di Roma “Tor Vergata”
Problemi di diffusione, trasporto, reazione 2D
http://www.mat.uniroma2.it/∼pelosi/
TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE – p.1/16
DIFFUSIONE-TRASPORTO-REAZIONE: 2D

 − div(ε∇u) + b · ∇u + σu = f,
 u = 0,
in Ω ⊂ R2
su ∂Ω
dove ε, σ, f, b sono funzioni o costanti assegnate:
- ε(x) ∈ L∞ (Ω), ε(x) ≥ ε0 > 0
- σ(x) ∈ L2 (Ω), σ(x) ≥ 0 q.o. in Ω
- b ∈ [L2 (Ω)]2 , f ∈ L2 (Ω)
La forma debole consiste nel trovare u ∈ V tale che
a(u, v)
=
a(u, v)
=
F (v), ∀v ∈ V = H01 (Ω)
Z
Z
Z
ε∇u · ∇v dΩ +
vb · ∇u dΩ +
σuv dΩ,
Ω
F (v)
=
Z
Ω
Ω
f v dΩ
Ω
Ricordiamo che la norma in L∞ (Ω) è definita come:
kvkL∞ (Ω) = sup{|v(x)|, q.o. in Ω}
TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE – p.2/16
DIFFUSIONE-TRASPORTO-REAZIONE: 2D
a(u, v) =
Z
Ω
ε∇u · ∇v dΩ +
Z
Ω
vb · ∇u dΩ +
Coercività di a(·, ·): a(v, v) ≥ αkvk2H 1 (Ω) ,
Z
σuv dΩ
Ω
v∈V
Termine diffusivo: dalla disuguaglianza di Poincaré si ha
Z
ε0
2
ε∇v · ∇v dΩ ≥ ε0 k∇vk2L2 (Ω) ≥
kvk
H 1 (Ω)
2)
(1 + CP
Ω
Termine convettivo:
Z
1
vb · ∇v dΩ =
2
Ω
Z
1
b · ∇(v 2 ) dΩ = −
2
Ω
Z
1
v 2 div(b) dΩ +
2
Ω
Z
∂Ω
v 2 b · n dγ
sommando questo termine a quello reattivo e considerando che v = 0 sul
bordo:
Z
Z
Z
1
vb · ∇v dΩ +
σv 2 dΩ =
v 2 − div(b) + σ dΩ
2
Ω
Ω
Ω
risulta positivo sotto la condizione − 12 div(b) + σ ≥ 0 e la forma risulta
coerciva con
2)
α = ε0 /(1 + CP
TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE – p.3/16
DIFFUSIONE-TRASPORTO-REAZIONE: 2D
a(u, v) =
Z
Ω
ε∇u · ∇v dΩ +
Z
Ω
vb · ∇u dΩ +
Continuità di a(·, ·): |a(u, v)| ≤ M kukH 1 (Ω) kvkH 1 (Ω) ,
Z
σuv dΩ
Ω
u, v ∈ V
Termine diffusivo: dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e poichè
k∇ukL2 (Ω) ≤ kukH 1 (Ω) si ha
Z
ε∇u · ∇v dΩ ≤ kεkL∞ (Ω) k∇uk 2
L (Ω) k∇vkL2 (Ω)
Ω
Termine convettivo:
Z
vb · ∇u dΩ
Ω
≤
kεkL∞ (Ω) kukH 1 (Ω) kvkH 1 (Ω)
≤
kbkL∞ (Ω) kvkL2 (Ω) k∇ukL2 (Ω)
≤
kbkL∞ (Ω) kvkH 1 (Ω) kukH 1 (Ω)
Termine reattivo:
Z
σuv dΩ ≤ kσkL∞ (Ω) kuk 2
L (Ω) kvkL2 (Ω) ≤ kσkL∞ (Ω) kukH 1 (Ω) kvkH 1 (Ω)
Ω
sommando i termini ottenuti si ottiene la continuità prendendo
M = kεkL∞ (Ω) + kbkL∞ (Ω) + kσkL∞ (Ω)
TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE – p.4/16
DIFFUSIONE-TRASPORTO-REAZIONE: 2D
a(u, v) =
Z
Ω
ε∇u · ∇vdΩ +
Z
Ω
b · ∇u vdΩ +
Z
σu vdΩ
Ω
Le ipotesi del Lemma di Lax-Milgram sono verificate, esiste una e una sola
soluzione e valgono
1
CP
kukV ≤ kf kL2 (Ω) , k∇ukL2 (Ω) ≤
kf kL2 (Ω)
α
ε0
Per il metodo di Galerkin in un sottospazio V h
1
CP
kuh kV ≤ kf kL2 (Ω) , k∇uh k|L2 (Ω) ≤
kf kL2 (Ω)
α
ε0
dal Lemma di Céa :
ku − uh kV ≤
M
α
inf
wh ∈Vh
ku − wh kV
e la costante M/α
kεkL∞ (Ω) + kbkL∞ (Ω) + kσkL∞ (Ω)
M
=C
α
ε0
è grande se kbkL∞ (Ω) /kεkL∞ (Ω) o kσkL∞ (Ω) /kεkL∞ (Ω) sono grandi
TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE – p.5/16
DIFFUSIONE-TRASPORTO 2D
Il metodo della diffusione artificiale può essere generalizzato al caso
bidimensionale per problemi del tipo:

 − div(ε∇u) + b · ∇u + σu = f, in Ω
 u = 0,
su ∂Ω
si aggiunge alla forma bilineare un termine di tipo
Z
Qh
∇uh · ∇vh dΩ, Q > 0
Ω
equivale ad aggiungere il termine di diffusione artificiale −Qh4u al problema
di partenza. Si ottiene il metodo di diffusione artificiale upwind.
La diffusione viene introdotta in tutte le direzioni e non in quella del campo b;
si può aggiungere un termine di stabilizzazione di tipo
∂u
−Qhdiv[(b · ∇u)b] = −Qhdiv
b , Q = |b|−1
∂b
nel problema di Galerkin si aggiunge il termine:
bh (uh , vh ) = Qh(b · ∇uh , b · ∇vh ) = Qh
∂uh ∂vh
,
∂b ∂b
TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE – p.6/16
DIFFUSIONE-TRASPORTO 2D
Il problema discreto diventa:
trovare uh ∈ Vh t.c.
ah (uh , vh ) = Fh (vh ), ∀vh ∈ Vh
dove
ah (uh , vh ) = a(uh , vh ) + bh (uh , vh ),
Fh (vh ) = F (vh )
si ottiene il metodo stabilizzato streamline diffusion in quanto si aggiunge un
termine proporzionale alla derivata seconda in direzione del campo b
(dall’inglese streamline);
anche in questo caso l’accuratezza è solo O(h)
TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE – p.7/16
DIFFUSIONE-TRASPORTO 2D
Galerkin generalizzato: consistenza ed errore di troncamento
Definiamo errore di troncamento la differenza tra il primo e il secondo termine
quando si sostituisce la soluzione esatta u:
τh (u; vh ) = ah (u, vh ) − Fh (vh )
Diremo che il metodo di Galerkin generalizzato è
consistente se l’errore di troncamento tende a zero quando h tende a
zero:
lim τh (u; vh ) = 0, ∀vh ∈ Vh
h→0
fortemente consistente se l’errore di troncamento è nullo per ogni valore
di h:
τh (u; vh ) = 0, ∀vh ∈ Vh
il metodo di Galerkin è fortemente consistente:
τh (u; vh ) = a(u, vh ) − F (vh ) = 0,
∀vh ∈ Vh
il metodo di Galerkin generalizzato è in generale solo consistente solo se
a − ah e F − Fh tendono a 0 per h che tende a 0.
TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE – p.8/16
DIFFUSIONE-TRASPORTO 2D
Galerkin generalizzato: consistenza ed errore di troncamento
Per i metodi di diffusione artificiale di tipo upwind e streamline-diffusion si ha
τh (u; vh )
=
=
ah (u, vh ) − F (vh ) = ah (u, vh ) − a(u, vh )

 Qh(∇u, ∇vh ),
 Qh ∂u , ∂vh ,
∂b
∂b
upwind;
streamline-diffusion.
sono consistenti ma non fortemente consistenti
cercheremo di costruire metodi fortemente consistenti
TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE – p.9/16
DIFFUSIONE-TRASPORTO 2D
Alcune definizioni preliminari
Un operatore L : V → V con V ⊂ L2 (Ω) si dice rispetto al prodotto scalare di
L2 (Ω)
simmetrico se (Lu, v) = (u, Lv),
∀u, v ∈ V
antisimmetrico se (Lu, v) = −(u, Lv),
∀u, v ∈ V
Un generico operatore ellittico L può essere scomposto nella somma tra la
sua parte simmetrica LS e la sua parte antisimmetrica LSS
Lu = LS u + LSS u
ad esempio se Lu = −ε∆u + div(bu) + σu
div(bu)
=
=
1
div(bu) +
2
1
div(bu) +
2
1
div(bu)
2
1
1
udiv(b) + b · ∇u
2
2
TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE – p.10/16
DIFFUSIONE-TRASPORTO 2D
Alcune definizioni preliminari
possiamo riscrivere l’operatore come
Lu
=
1
1
−ε∆u + σ + div(b) u + [div(bu) + b · ∇u]
2
2
=
LS u + LSS u
il coefficiente di reazione è diventato σ ∗ = σ + 12 div(b)
(LS u, v)
=
=
(LSS u, v)
=
=
=
−ε(∆u, v) + (σ ∗ u, v) = ε(∇u, ∇v) + (σ ∗ u, v)
−ε(u, ∆v) + (u, σ ∗ v) = (u, LS v)
1
1
(div(bu), v) + (b · ∇u, v)
2
2
1
1
− (bu, ∇v) + (∇u, bv)
2
2
1
1
− (bu, ∇v) − (u, div(bv)) = −(u, LSS v)
2
2
TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE – p.11/16
DIFFUSIONE-TRASPORTO 2D
Metodi fortemente consitenti: GLS , SUPG , DW
Dato un problema di reazione-trasporto-diffusione Lu = f , in Ω con codizioni
di Dirichlet omogenee su tutto il bordo;
Consideriamo la forma debole
trovare u ∈ V = H01 (Ω) tale che a(u, v) = F (v), ∀v ∈ V
si ottiene un metodo stabilizzato fortemente consistente considerando il
seguente problema
trovare uh ∈ Vh t.c.
a(uh , vh ) + Lh (uh , vh ) = F (vh ), ∀vh ∈ Vh
scegliendo Lh tale che
una possibile scelta:
Lh (u, vh ) = 0, ∀vh ∈ Vh
(ρ)
Lh (uh , vh )
=
X
K∈Th
(ρ)
δ(Luh − f, SK (vh ))L2 (K)
TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE – p.12/16
DIFFUSIONE-TRASPORTO 2D
Metodi fortemente consistenti: GLS , SUPG , DW
(ρ)
Lh (uh , vh )
=
X
K∈Th
(ρ)
δ(Luh − f, SK (vh ))L2 (K)
ρ e δ sono parametri da specificare e
(ρ)
SK (vh ) =
hK
[LSS vh + ρLS vh ]
|b|
(ρ)
essendo Lu − f = 0 si ha Lh (u, vh ) = 0 per cui
τh (u; vh ) = a(u, vh ) − F (vh ) = 0
e quindi il metodo risulta fortemente consistente;
alcuni esempi più comuni:
ρ = 1: Galerkin Least-Squares (GLS)
ρ = 0: Streamline Upwind Petrov-Galerkin (SUPG)
ρ = −1: Douglas-Wang (DW)
TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE – p.13/16
DIFFUSIONE-TRASPORTO 2D
Metodi fortemente consitenti: GLS , SUPG , DW
(ρ)
Lh (uh , vh )
X
=
K∈Th
(ρ)
δ(Luh − f, SK (vh ))L2 (K)
ρ = 1: Galerkin Least-Squares (GLS)
(1)
SK (vh ) =
hK
Lvh
|b|
prendendo vh = uh , il termine aggiunto in ogni triangolo è proporzionale a
R
2
K (Luh ) dK e quindi si tratta di un metodo ai minimi quadrati
ρ = 0: Streamline Upwind Petrov-Galerkin (SUPG)
(0)
SK (vh ) =
ρ = −1: Douglas-Wang (DW)
(−1)
SK
(vh ) =
hK
LSS vh
|b|
hK
(LSS − LS ) vh
|b|
TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE – p.14/16
DIFFUSIONE-TRASPORTO 2D
Metodi fortemente consistenti: GLS , SUPG , DW: analisi
(ρ)
Lh (uh , vh )
=
X
K∈Th
(ρ)
δ(Luh − f, SK (vh ))L2 (K)
Definiamo una norma dipendente da ρ:

1

2
X √
(ρ)
kvk(ρ) = εk∇vk2L2 (Ω) + k γvk2L2 (Ω) +
δ (LSS + ρLS )v, SK (v) 2

L (K) 
K∈Th
dove γ è una costante positiva tale che − 12 div(b) + σ ≥ γ > 0.
Disuguaglianza di stabilità:
∃α∗ (γ) :
kuh k(ρ) ≤
C
kf kL2 (Ω)
α∗
Stima dell’errore
ku − uh k(ρ) ≤ Chr+1/2 |u|H r+1 (Ω)
l’ordine di accuratezza cresce all’aumentare del grado r dei polinomi utilizzati
come per il metodo di Galerkin
TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE – p.15/16
DIFFUSIONE-TRASPORTO 2D
Metodi fortemente consistenti: GLS , SUPG , DW: analisi
Lh (uh , vh )
(ρ)
=
X
K∈Th
(ρ)
δ(Luh − f, SK (vh ))L2 (K)
Nella pratica la scelta del parametro δ (parametro di stabilizzazione) risulta di
fondamentale importanza: misura quanta viscosità artificiale viene introdotta.
Studi teorici mostrano intervalli di valori ammissibili per tale parametro
SUPG
0 < δ < 1/C0
GLS
0<δ
DW
0 < δ < 1/(2C0 )
C0 è la costante della seguente disuguaglianza inversa
X
K∈Th
h2K
Z
K
|∆vh |2 dK ≤ C0 k∇vh k2L2 (Ω) ,
∀ vh ∈ Xhr
TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE – p.16/16