TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE

TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE
Francesca Pelosi e Salvatore Filippone
Università di Roma “Tor Vergata”
Problemi di diffusione-reazione
http://www.mat.uniroma2.it/∼pelosi/
TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE – p.1/7
DIFFUSIONE-REAZIONE 1D
Consideriamo il problema

 −εu00 + σu = 0,
 u(0) = 0,
0<x<1
u(1) = 1
dove ε, σ sono costanti positive
Anche in questo caso definiamo il numero di Péclet globale per un dominio di
ampiezza L
σL2
Peg :=
6ε
misura quanto il termine di reazione domina su quello diffusivo.
La soluzione esatta
u(x) =
e
√σ
x
e
√σ
−e
−e
−
√σ
−
√σ
x
p
è prossima a zero q.o. tranne che in un intorno di x = 1 di ampiezza ε/σ
p
dove si raccorda a 1: strato limite di ampiezza O( ε/σ) con derivata
p
dipendente da σ/ε.
TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE – p.2/7
DIFFUSIONE-REAZIONE 1D
la sua forma debole: trovare u ∈ H 1 (0, 1), con u(0) = 0, u(1) = 1:
Z 1
(εu0 v 0 + σuv) dx = 0 ∀v ∈ H01 (0, 1).
0
Applichiamo il metodo di Galerkin con elementi finiti lineari su una mesh
uniforme:
Z 1
0
trovare uh ∈ H 1 (0, 1), :
(εu0h vh
+ σuh vh ) dx = 0 ∀vh ∈ H01 (0, 1).
0
Introducendo una base per lo spazio si ha arriva alle equazioni
ui−1
ε
Z
xi
xi−1
con
ϕ0i−1 ϕ0i + σ
Z
xi
xi−1
Z
xi
ϕi−1 ϕi
xi−1
h
ϕi−1 ϕi dx = ,
6
!
+ ui
ε
Z
+ui+1 ε
Z
xi+1
xi−1
Z
xi+1
xi−1
(ϕ0i )2 + σ
Z
xi+1
xi
ϕ0i+1 ϕ0i + σ
2
(ϕi )2 dx = h,
3
Z
xi+1
ϕi ϕi
xi−1
Z
!
xi+1
ϕi+1 ϕi
xi
xi+1
ϕi+1 ϕi dx =
xi
=0
h
6
si ottiene:
TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE – p.3/7
DIFFUSIONE-REAZIONE 1D
h
ε
σ−
6
h
ui−1 +
2
2ε
hσ +
3
h
ui +
h
ε
σ−
6
h
ui+1 = 0
Dividiamo per ε/h e definiamo il numero di Péclet locale
σh2
Pe :=
6ε
(Pe − 1) ui−1 + 2(1 + 2Pe)ui + (Pe − 1) ui+1 = 0
equazione alle differenze di tipo lineare che assume soluzioni di tipo
esponenziale della forma ui = ρi , risolvendo si ottiene:
i i
√
√
1+2Pe+ 3Pe(Pe+2)
1+2Pe− 3Pe(Pe+2)
−
1−Pe
1−Pe
ui = N +1 N +1
√
√
1+2Pe+ 3Pe(Pe+2)
1+2Pe− 3Pe(Pe+2)
−
1−Pe
1−Pe
Se Pe > 1 ⇒ al numeratore compare una potenza con base negativa
quindi la soluzione approssimata risulta oscillante
Il problema risulta critico quando σ/ 1 ovvero il coefficiente di
diffusione è molto piccolo rispetto a quello di reazione.
TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE – p.4/7
DIFFUSIONE-REAZIONE 1D: DF
Se risolviamo con il metodo alle Differenze Finite (DF) discretizzando con DFC
(differenze finite centrate):
u0 (xi )
=
u00 (xi )
=
u(xi+1 ) − u(xi−1 )
+ O(h2 ), i = 1, . . . , N
2h
u(xi+1 ) − 2u(xi ) + u(xi−1 )
2
+
O(h
), i = 1, . . . , N
h2
si ottiene

 −ε ui+1 −2ui +ui−1 + σu = 0,
i
h2
 u0 = 0, u
=1
i = 1, . . . , N
N +1
Si nota subito che l’equazione sopra è la diversa da quella ottenuta con EF
lineari sulla stessa partizione di [0, 1].
Per problemi di diffusione-reazione DFC6=EF lineari.
La soluzione ottenuta con DFC non presenta oscillazioni qualunque sia h.
Si può ottenere lo stesso risultato con EF usando la tecnica del mass-lumping
TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE – p.5/7
DIFFUSIONE-REAZIONE 1D: mass-lumping
Tecnica del mass-lumping
Si considera la matrice di massa:
M = [mij ],
mij =
Z
1
ϕj ϕi
0
nel caso di elementi finiti lineari essa risulta tridiagonale;
viene approssimata con una matrice diagonale M L detta matrice condensata
o lumped, approssimando gli integrali con la formula dei trapezi:
Z
Z
xi
'
h
[ϕi−1 (xi−1 )ϕi (xi−1 ) + ϕi−1 (xi )ϕi (xi )] = 0
2
ϕ2i dx
'
h 2
2
2
ϕi (xi−1 ) + ϕi (xi ) = h
2
ϕi+1 ϕi dx
'
ϕi−1 ϕi dx
xi−1
Z
xi+1
xi−1
xi+1
xi
h
[ϕi (xi )ϕi+1 (xi ) + ϕi (xi+1 )ϕi+1 (xi+1 )] = 0
2
TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE – p.6/7
DIFFUSIONE-REAZIONE 1D: mass-lumping
Tecnica del mass-lumping
la matrice ML risulta diagonale avente per elementi le somme degli elementi
di ogni riga della matrice M ;
Grazie alla partizione dell’unità
X
ϕj (x) = 1,
j
∀x ∈ [0, 1]
gli elementi di ML risultano
m
e ii =
Z
1
ϕi (x) dx
0
La soluzione ottenuta sostituendo M con ML coincide con quella ottenuta con
DFC, e dunque risulta stabile inoltre l’ordine di accuratezza non viene ridotto.
La tecnica del mass-lumping è generalizzabile anche al bivariato per elementi
finiti lineari.
Per elementi finiti di grado superiore necessita di opportuni aggiustamenti.
TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE – p.7/7