diffusione-trasporto 2d

Transcript

ANALISI NUMERICA
Problemi di diffusione, trasporto
a.a. 2014–2015
Maria Lucia Sampoli
ANALISI NUMERICA – p.1/32
DIFFUSIONE TRASPORTO e REAZIONE
Il metodo di Galerkin applicato a problemi ellittici nella forma:
trovare u ∈ V = H 1 (Ω) tale che a(u, v) = F (v), ∀v ∈ V
fornisce sotto le ipotesi del Lemma di Lax-Milgram una soluzione stabile e
convergente, ossia:
kuh kV ≤
1
kF kV 0 ,
α
ku − uh kV ≤
M
α
inf
wh ∈Vh
ku − wh kV
con M, α costante di continuità e coercività di a(·, ·).
Nella pratica queste disuguaglianze possono essere di scarsa utilità se le
costanti sono molto grandi.
Se M α: la seconda disuguaglianza è poco significativa a meno che
inf wh ∈Vh ku − wh kV non sia molto piccolo:
occorre Vh molto grande e in temini di elementi finiti occorre h molto
piccolo
numero elevato di gradi di libertà
⇒
problema oneroso (se non intrattabile) dal punto di vista computazionale.
DIFFUSIONE TRASPORTO e REAZIONE
Analizzeremo problemi che modellano i processi fisici di diffusione, trasporto e
reazione, in Ω ⊂ R2 :

 − div(ε∇u) + b · ∇u + σu = f, in Ω
 u = 0,
su ∂Ω
dove ε, σ, f, b sono costanti o funzioni assegnate t.c.:
- ε ∈ L∞ (Ω), ε(x) ≥ ε0 > 0
- σ(x) ∈ L2 (Ω), σ(x) ≥ 0 q.o. in Ω
- b ∈ [L2 (Ω)]2 , div(b) ∈ L2 (Ω)2 ,f ∈ L2 (Ω)
in molte applicazioni il termine di diffusione − div(ε∇u) è dominato dal termine
trasporto (convezione) b · ∇u (Pb. a trasporto dominante)
reazione (assorbimento) σu (Pb. a reazione dominante)
⇒ presenza di strati limite: regioni in cui la soluzione è caratterizzata da forti
gradienti, di solito in prossimità del bordo di Ω; (k∇uk L2 (Ω) ≤ 1/ε0 )
si dimostra:
M = kεkL∞ (Ω) + kbkL∞ (Ω) + kσkL2 (Ω)
α = Cε0
quindi M/α è grande se kbkL∞ (Ω) /kεkL∞ (Ω) o kσkL∞ (Ω) /kεkL∞ (Ω) sono
grandi
DIFFUSIONE-TRASPORTO 1D

 −εu00 + bu0 = 0,
 u(0) = 0,
0<x<1
u(1) = 1
dove ε, b sono costanti positive
la sua forma debole: trovare u ∈ H 1 (0, 1), con u(0) = 0, u(1) = 1:
Z 1
(εu0 v 0 + bu0 v) dx = 0 ∀v ∈ H01 (0, 1).
0
introducendo la funzione di rilevamento R g = x possiamo riformulare il
e + Rg :
problema per u = u
Z 1
Z 1
e ∈ H01 (0, 1), :
(εe
u0 v 0 +be
u0 v) dx = −
(εRg0 v 0 +bRg0 v) dx ∀v ∈ H01 (0, 1).
trovare u
0
trovare u
e∈
H01 (0, 1), :
Z
0
1
0
0 0
0
(εe
u v + be
u v) dx = −
trovare u
e ∈ H01 (0, 1), : a(e
u, v) = F (v)
Z
1
bv dx
0
∀v ∈ H01 (0, 1).
∀v ∈ H01 (0, 1).
Definiamo il numero di Péclet globale per un dominio di ampiezza L
Peg :=
|b|L
2ε
misura quanto il termine di trasporto domina su quello diffusivo.
1
La soluzione esatta
0.9
u(x) =
b
eεx
b
eε
−1
−1
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
b/ε 1 sviluppando in serie di Taylor u(x) ' x;
b/ε 1
b
b
b
u(x) ' e ε x /e ε = e− ε (1−x)
soluzione prossima a zero q.o. tranne che in un intorno di x = 1 di
ampiezza ε/b dove si raccorda a 1: strato limite di ampiezza O(ε/b) con
derivata dipendente da b/ε.
Risolviamo con il metodo di Galerkin ad elementi finiti lineari:
1 in cui v (0) = v (1) = 0
Vh = Xh1 e V0h = X0h
h
h
su partizione uniforme xi = xi−1 + h, i = 0, . . . , N + 2
P
si ottengono per le incognite ui dove uh = N
i=1 ui ϕi le equazioni:
ui−1
ε
Z
xi
xi−1
ϕ0i−1 ϕ0i + b
−
b
ε
+
2
h
Z
xi
xi−1
ui−1
ϕ0i−1 ϕi
!
+ ui
ε
xi+1
xi−1
Z
+ui+1 ε
2ε
+
ui +
h
Z
xi+1
xi
b
ε
−
2
h
(ϕ0i )2 + b
Z
ϕ0i+1 ϕ0i + b
xi+1
xi−1
Z
ϕ0i ϕi
xi+1
xi
!
ϕ0i+1 ϕi
=0
ui+1 = 0
Dividiamo per ε/h e definiamo il numero di Péclet locale
Pe := |b|h/2ε
− (Pe + 1) ui−1 + 2ui + (Pe − 1) ui+1 = 0
equazione alle differenze di tipo lineare che assume soluzioni di tipo
esponenziale della forma ui = ρi , risolvendo si ottiene:
DIFFUSIONE- TRASPORTO 1D
ui =
1−
1−
Se Pe = |b|h/(2ε) > 1 ⇒
1+Pe
1−Pe
1+Pe
1−Pe
i
N +1
al numeratore compare una potenza con base negativa quindi la soluzione
approssimata risulta oscillante al contrario della soluzione esatta che è
monotona
Occorre scegliere h sufficientemente piccolo in modo da garantire Pe < 1
ovvero
2ε
h≤
|b|
tale strategia risulta impraticabile quando b/ε 1,
per b = 1, ε = 1/5000,
si deve avere h ≤ 2/5000 = 10−4 ,
in (0, 1) occorrono più di 10 000 intervalli.
DIFFUSIONE-TRASPORTO 1D: esempio
ε=
1
,
100
b=1
Peg = 50
⇒
⇒
h<
1
1
1
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0
0
0
−0.2
−0.2
−0.2
−0.4
−0.4
−0.4
−0.6
−0.6
−0.6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
N + 1 = 10, h = 0.1
0.9
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
N + 1 = 20, h = 0.05
0.9
1
0
0.1
1
= 0.02
200
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
N + 1 = 40, h = 0.025
Le oscillazioni nel metodo di Galerkin possono essere evitate solo se si
sceglie un passo di griglia sufficientemente piccolo da garantire Pe < 1;
raffinamento adattivo: si infittisce la griglia solo in corrispondenza dello
strato limite;
tecniche di stabilizzazione : upwind , Scharfetter-Gummel.
DIFFUSIONE-TRASPORTO 1D: DF
Tecniche di stabilizzazione:
La tecnica di stabilizzazione upwind ha origine dalle relazioni tra Elementi Finiti (EF)
e Differenze Finite (DF) su problemi di diffusione-trasporto:
nel metodo DF si discretizzano le derivate presenti nell’equazione mediante
rapporti incrementali con errori di discretizzazione locale dello stesso ordine.
Ad esempio:
u0 (xi )
=
u00 (xi )
=
u(xi+1 ) − u(xi−1 )
+ O(h2 ), i = 1, . . . , N
2h
u(xi+1 ) − 2u(xi ) + u(xi−1 )
+ O(h2 ), i = 1, . . . , N
2
h
Sostituendo i rapporti incrementali alle derivate esatte nell’equazione e
denotando u = u(xi ), si ottiene:

 −ε ui+1 −2ui +ui−1 + b ui+1 −ui−1 = 0, i = 1, . . . , N
2h
h2
 u0 = 0, u
N +1 = 1
Moltiplicando per h e riordinando i termini l’equazione sopra è la stessa
ottenuta con EF lineari sulla stessa partizione di [0, 1].
Le oscillazioni nella soluzione numerica dipendono dallo schema alle
differenze utilizzato per discretizzare il termine di trasporto:
DFC ovvero DF Centrate;
il significato fisico del termine bu0 (x) suggerisce di utilizzare uno schema
decentrato per approssimare la derivata in xi a seconda del segno di b;
si ottiene la tecnica upwind (DFUP) e per b > 0
−ε
ui − ui−1
ui+1 − 2ui + ui−1
+
b
= 0,
h2
h
i = 1, . . . , N
Il rapporto incrementale decentrato introduce un errore locale di
discretizzazione che è O(h) e quindi si ha una riduzione dell’ordine di
convergenza (soluzione meno accurata).
Riscrivendo il rapporto incrementale decentrato in termini di rapporto
incrementale centrato e approssimazione della derivata seconda
ui − ui−1
ui+1 − ui−1
h ui+1 − 2ui + ui−1
=
−
h
2h
2
h2
si può riscrivere lo schema upwind come uno schema DFC in cui è stato
introdotto un termine di diffusione artificiale proporzionale ad h:
bh
− ε+
2
con
−εh
ui+1 − 2ui + ui−1
ui+1 − ui−1
+
b
= 0,
2
h
2h
ui+1 − 2ui + ui−1
ui+1 − ui−1
+
b
= 0,
h2
2h
εh = ε +
i = 1, . . . , N
i = 1, . . . , N
bh
= ε(1 + Pe) = ε(1 + ψ(Pe))
2
Lo schema corrisponde alla discretizzazione con DFC del problema
perturbato
−εh u00 + bu0 = 0
La correzione εh − ε = bh/2 è detta viscosità artificiale
DIFFUSIONE-TRASPORTO 1D: stabilizzazione
La tecnica upwind o viscosità artificiale aumenta la viscosità del problema
aggiungendo un termine diffusivo (ossia di derivata seconda) della forma
−
|b|h 00
u = −εPe u00 = −εψ(Pe) u00
2
ψ è in generale una funzione del numero di Peclét locale che tende a zero
per valori piccoli di Pe
ψ(t) = t : schema upwind (DFUP)
ψ(t) = t − 1 + B(2t) con B(t) = t/(et − 1), t > 0 : schema
Scharfetter-Gummel
La viscosità effettiva diventa : εh = ε(1 + Pe) = ε(1 + ψ(Pe))
Il numero di Peclét effettivo:
Peh =
|b|h
Pe
ψ(Pe)
=
=
< 1,
2εh
1 + Pe
1 + ψ(Pe)
∀h
⇒ l’approssimazione con il metodo upwind non presenta oscillazioni e quindi
risulta stabile per ogni valore di h.
DIFFUSIONE-TRASPORTO 1D: stabilizzazione
ε=
1
,
100
b=1
Peg = 50
⇒
Stabilizzazione Upwind
⇒
1
1
1
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0
0
0
−0.2
−0.2
−0.2
−0.4
−0.4
−0.4
−0.6
−0.6
−0.6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
h<
0.1
1
= 0.02
200
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Stabilizzazione Scharfetter-Gummel
1
1
1
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0
0
0
−0.2
−0.2
−0.2
−0.4
−0.4
−0.4
−0.6
−0.6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
N + 1 = 10, h = 0.1
1
−0.6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
N + 1 = 20, h = 0.05
1
0
0.1
N + 1 = 40, h = 0.025
DIFFUSIONE-TRASPORTO 1D: analisi
Il problema può esser visto come la risoluzione di uno schema di
Galerkin generalizzato: trovare uh ∈ Vh t.c.
ah (uh , vh ) = Fh (vh ), ∀vh ∈ Vh
dove
ah (uh , vh ) = a(uh , vh ) + bh (uh , vh ),
Fh (vh ) = F (vh ) + Gh (vh )
I termini aggiunti hanno lo scopo di eliminare le oscillazioni prodotte dal
metodo di Galerkin.
Parlare di stabilizzazione è in realtà improprio in quanto il metodo di Galerkin è
stabile nel senso della dipendenza continua della soluzione dai dati.
Stabilizzazione si intende in questo caso la riduzione delle oscillazioni presenti
nella soluzione numerica quando Pe > 1.
Per il problema 1D visto, si considera al solito u = u
eh + Rgh e si cerca
u
eh ∈ V0h : ah (e
uh , vh ) = F (vh ), ∀vh ∈ V0h con Fh (vh ) = F (vh ) e con
schema upwind
Z 1
0
bh (e
uh , vh ) = εPe
u
e0h vh
dx
0
Analizzando la coercività si ha:
ah (vh , vh ) = εh
Z
1
0
0 2
(vh
) dx = εh |vh |2V0h
essendo εh ≥ ε la costante di coercività è più grande.
Per quanto riguarda l’accuratezza:
dal Lemma di Strang (per metodi Galerkin generalizzati) con
s = min{r, p}, per u ∈ H p+1 posto V = H 1 (Ω):
ku − uh kV
inf
(
M
εh
wh ∈Vh
≤
hs
Pe
C
|u|H s+1 +
kukV
ε(1 + Pe)
1 + Pe
1+
ku − wh kV +
1
εh
≤
sup
vh ∈Vh \0
|a(wh , vh ) − ah (wh , vh )|
kvh kV
)
Se ε è fissato e h tende a 0:
ku − uh kV ≤ C1 [hs |u|H s+1 + PekukV ]
Se h è fissato e ε tende a 0:
ku − uh kV ≤ C2 hs−1 |u|H s+1 + kukV
In generale se
εh = ε(1 + ψ(Pe))
ku − uh kV
hs
ψ(Pe)
≤C
|u|H s+1 +
kukV
ε(1 + ψ(Pe))
1 + ψ(Pe)
Se ε è fissato e h tende a 0 si ha ψ(Pe) → 0:
ku − uh kV ≤ C1 [hs |u|H s+1 + ψ(Pe)kukV ]
Se h è fissato e ε tende a 0:
ku − uh kV ≤ C2 hs−1 |u|H s+1 + kukV
nel caso upwind ψ(Pe) = Pe
ε(1 + ψ(Pe)) = ε +
b
h,
2
ψ(Pe)
h
=
1 + ψ(Pe)
h + 2ε/b
per Scharfetter-Gummel quando ε → 0 si ha ψ(Pe) = Pe
Osservando il caso ε fissato e h tendente a 0:
ku − uh kV ≤ C1 [hs |u|H s+1 + ψ(Pe)kukV ]
il metodo stabilizzato upwind:
ψ(Pe) = Pe = O(h)
genera un errore lineare rispetto ad h (primo ordine)
indipendentemente dal grado r scelto.
La perturbazione prodotta sulla forma bilineare dall’aggiunta della
viscosità numerica degrada l’ordine di accuratezza della soluzione a 1.
il metodo stabilizzato Scharfetter-Gummel
ψ(Pe) = O(h2 )
genera un errore quadratico ripetto ad h (secondo ordine) per r ≥ 2.
DIFFUSIONE-TRASPORTO-REAZIONE: 2D

 − div(ε∇u) + b · ∇u + σu = f,
 u = 0,
in Ω ⊂ R2
su ∂Ω
dove ε, σ, f, b sono funzioni o costanti assegnate:
- ε(x) ∈ L∞ (Ω), ε(x) ≥ ε0 > 0
- σ(x) ∈ L2 (Ω), σ(x) ≥ 0 q.o. in Ω
- b ∈ [L2 (Ω)]2 , f ∈ L2 (Ω)
La forma debole consiste nel trovare u ∈ V tale che
a(u, v)
=
a(u, v)
=
F (v), ∀v ∈ V = H01 (Ω)
Z
Z
Z
ε∇u · ∇v dΩ +
vb · ∇u dΩ +
σuv dΩ,
Ω
F (v)
=
Z
Ω
Ω
f v dΩ
Ω
Ricordiamo che la norma in L∞ (Ω) è definita come:
kvkL∞ (Ω) = sup{|v(x)|, q.o. in Ω}
a(u, v) =
Z
Ω
ε∇u · ∇v dΩ +
Z
Ω
vb · ∇u dΩ +
Coercività di a(·, ·): a(v, v) ≥ αkvk2H 1 (Ω) ,
Z
σuv dΩ
Ω
v∈V
Termine diffusivo: dalla disuguaglianza di Poincaré si ha
Z
ε0
2
ε∇v · ∇v dΩ ≥ ε0 k∇vk2L2 (Ω) ≥
kvk
H 1 (Ω)
2)
(1 + CP
Ω
Termine convettivo:
Z
1
vb · ∇v dΩ =
2
Ω
Z
1
b · ∇(v 2 ) dΩ = −
2
Ω
Z
1
v 2 div(b) dΩ +
2
Ω
Z
∂Ω
v 2 b · n dγ
sommando questo termine a quello reattivo e considerando che v = 0 sul
bordo:
Z
Z
Z
1
vb · ∇v dΩ +
σv 2 dΩ =
v 2 − div(b) + σ dΩ
2
Ω
Ω
Ω
risulta positivo sotto la condizione − 12 div(b) + σ ≥ 0 e la forma risulta
coerciva con
2)
α = ε0 /(1 + CP
a(u, v) =
Z
Ω
ε∇u · ∇v dΩ +
Z
Ω
vb · ∇u dΩ +
Continuità di a(·, ·): |a(u, v)| ≤ M kukH 1 (Ω) kvkH 1 (Ω) ,
Z
σuv dΩ
Ω
u, v ∈ V
Termine diffusivo: dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e poichè
k∇ukL2 (Ω) ≤ kukH 1 (Ω) si ha
Z
ε∇u · ∇v dΩ ≤ kεkL∞ (Ω) k∇uk 2
L (Ω) k∇vkL2 (Ω)
Ω
Termine convettivo:
Z
vb · ∇u dΩ
Ω
≤
kεkL∞ (Ω) kukH 1 (Ω) kvkH 1 (Ω)
≤
kbkL∞ (Ω) kvkL2 (Ω) k∇ukL2 (Ω)
≤
kbkL∞ (Ω) kvkH 1 (Ω) kukH 1 (Ω)
Termine reattivo:
Z
σuv dΩ ≤ kσkL∞ (Ω) kuk 2
L (Ω) kvkL2 (Ω) ≤ kσkL∞ (Ω) kukH 1 (Ω) kvkH 1 (Ω)
Ω
sommando i termini ottenuti si ottiene la continuità prendendo
M = kεkL∞ (Ω) + kbkL∞ (Ω) + kσkL∞ (Ω)
a(u, v) =
Z
Ω
ε∇u · ∇vdΩ +
Z
Ω
b · ∇u vdΩ +
Z
σu vdΩ
Ω
Le ipotesi del Lemma di Lax-Milgram sono verificate, esiste una e una sola
soluzione e valgono
1
CP
kukV ≤ kf kL2 (Ω) , k∇ukL2 (Ω) ≤
kf kL2 (Ω)
α
ε0
Per il metodo di Galerkin in un sottospazio V h
1
CP
kuh kV ≤ kf kL2 (Ω) , k∇uh k|L2 (Ω) ≤
kf kL2 (Ω)
α
ε0
dal Lemma di Céa :
ku − uh kV ≤
M
α
inf
wh ∈Vh
ku − wh kV
e la costante M/α
kεkL∞ (Ω) + kbkL∞ (Ω) + kσkL∞ (Ω)
M
=C
α
ε0
è grande se kbkL∞ (Ω) /kεkL∞ (Ω) o kσkL∞ (Ω) /kεkL∞ (Ω) sono grandi
Il metodo della diffusione artificiale può essere generalizzato al caso
bidimensionale per problemi del tipo:

 − div(ε∇u) + b · ∇u + σu = f, in Ω
 u = 0,
su ∂Ω
si aggiunge alla forma bilineare un termine di tipo
Z
Qh
∇uh · ∇vh dΩ, Q > 0
Ω
equivale ad aggiungere il termine di diffusione artificiale −Qh4u al problema
di partenza. Si ottiene il metodo di diffusione artificiale upwind.
La diffusione viene introdotta in tutte le direzioni e non in quella del campo b;
si può aggiungere un termine di stabilizzazione di tipo
∂u
−Qhdiv[(b · ∇u)b] = −Qhdiv
b , Q = |b|−1
∂b
nel problema di Galerkin si aggiunge il termine:
bh (uh , vh ) = Qh(b · ∇uh , b · ∇vh ) = Qh
∂uh ∂vh
,
∂b ∂b
Il problema discreto diventa:
trovare uh ∈ Vh t.c.
ah (uh , vh ) = Fh (vh ), ∀vh ∈ Vh
dove
ah (uh , vh ) = a(uh , vh ) + bh (uh , vh ),
Fh (vh ) = F (vh )
si ottiene il metodo stabilizzato streamline diffusion in quanto si aggiunge un
termine proporzionale alla derivata seconda in direzione del campo b
(dall’inglese streamline);
anche in questo caso l’accuratezza è solo O(h)
Galerkin generalizzato: consistenza ed errore di troncamento
Definiamo errore di troncamento la differenza tra il primo e il secondo termine
quando si sostituisce la soluzione esatta u:
τh (u; vh ) = ah (u, vh ) − Fh (vh )
Diremo che il metodo di Galerkin generalizzato è
consistente se l’errore di troncamento tende a zero quando h tende a
zero:
lim τh (u; vh ) = 0, ∀vh ∈ Vh
h→0
fortemente consistente se l’errore di troncamento è nullo per ogni valore
di h:
τh (u; vh ) = 0, ∀vh ∈ Vh
il metodo di Galerkin è fortemente consistente:
τh (u; vh ) = a(u, vh ) − F (vh ) = 0,
∀vh ∈ Vh
il metodo di Galerkin generalizzato è in generale solo consistente solo se
a − ah e F − Fh tendono a 0 per h che tende a 0.
Galerkin generalizzato: consistenza ed errore di troncamento
Per i metodi di diffusione artificiale di tipo upwind e streamline-diffusion si ha
τh (u; vh )
=
=
ah (u, vh ) − F (vh ) = ah (u, vh ) − a(u, vh )

 Qh(∇u, ∇vh ),
 Qh ∂u , ∂vh ,
∂b
∂b
upwind;
streamline-diffusion.
sono consistenti ma non fortemente consistenti
cercheremo di costruire metodi fortemente consistenti
Alcune definizioni preliminari
Un operatore L : V → V con V ⊂ L2 (Ω) si dice rispetto al prodotto scalare di
L2 (Ω)
simmetrico se (Lu, v) = (u, Lv),
∀u, v ∈ V
antisimmetrico se (Lu, v) = −(u, Lv),
∀u, v ∈ V
Un generico operatore ellittico L può essere scomposto nella somma tra la
sua parte simmetrica LS e la sua parte antisimmetrica LSS
Lu = LS u + LSS u
ad esempio se Lu = −ε∆u + div(bu) + σu
div(bu)
=
=
1
div(bu) +
2
1
div(bu) +
2
1
div(bu)
2
1
1
udiv(b) + b · ∇u
2
2
Alcune definizioni preliminari
possiamo riscrivere l’operatore come
Lu
=
1
1
−ε∆u + σ + div(b) u + [div(bu) + b · ∇u]
2
2
=
LS u + LSS u
il coefficiente di reazione è diventato σ ∗ = σ + 12 div(b)
(LS u, v)
=
=
(LSS u, v)
=
=
=
−ε(∆u, v) + (σ ∗ u, v) = ε(∇u, ∇v) + (σ ∗ u, v)
−ε(u, ∆v) + (u, σ ∗ v) = (u, LS v)
1
1
(div(bu), v) + (b · ∇u, v)
2
2
1
1
− (bu, ∇v) + (∇u, bv)
2
2
1
1
− (bu, ∇v) − (u, div(bv)) = −(u, LSS v)
2
2
Metodi fortemente consitenti: GLS , SUPG , DW
Dato un problema di reazione-trasporto-diffusione Lu = f , in Ω con condizioni
di Dirichlet omogenee su tutto il bordo;
Consideriamo la forma debole
trovare u ∈ V = H01 (Ω) tale che a(u, v) = F (v), ∀v ∈ V
si ottiene un metodo stabilizzato fortemente consistente considerando il
seguente problema
trovare uh ∈ Vh t.c.
a(uh , vh ) + Lh (uh , vh ) = F (vh ), ∀vh ∈ Vh
scegliendo Lh tale che
una possibile scelta:
Lh (u, vh ) = 0, ∀vh ∈ Vh
(ρ)
Lh (uh , vh )
=
X
K∈Th
(ρ)
δ(Luh − f, SK (vh ))L2 (K)
Metodi fortemente consistenti: GLS , SUPG , DW
(ρ)
Lh (uh , vh )
=
X
K∈Th
(ρ)
ρ e δ sono parametri da specificare e
(ρ)
SK (vh ) =
hK
[LSS vh + ρLS vh ]
|b|
(ρ)
essendo Lu − f = 0 si ha Lh (u, vh ) = 0 per cui
τh (u; vh ) = a(u, vh ) − F (vh ) = 0
e quindi il metodo risulta fortemente consistente;
alcuni esempi più comuni:
ρ = 1: Galerkin Least-Squares (GLS)
ρ = 0: Streamline Upwind Petrov-Galerkin (SUPG)
ρ = −1: Douglas-Wang (DW)
Metodi fortemente consistenti: GLS , SUPG , DW
(ρ)
Lh (uh , vh )
X
=
K∈Th
(ρ)
ρ = 1: Galerkin Least-Squares (GLS)
(1)
SK (vh ) =
hK
Lvh
|b|
prendendo vh = uh , il termine aggiunto in ogni triangolo è proporzionale a
R
2
K (Luh ) dK e quindi si tratta di un metodo ai minimi quadrati
ρ = 0: Streamline Upwind Petrov-Galerkin (SUPG)
(0)
SK (vh ) =
ρ = −1: Douglas-Wang (DW)
(−1)
SK
(vh ) =
hK
LSS vh
|b|
hK
(LSS − LS ) vh
|b|
Metodi fortemente consistenti: GLS , SUPG , DW: analisi
(ρ)
Lh (uh , vh )
=
X
K∈Th
(ρ)
Definiamo una norma dipendente da ρ:

1

2
X √
(ρ)
kvk(ρ) = εk∇vk2L2 (Ω) + k γvk2L2 (Ω) +
δ (LSS + ρLS )v, SK (v) 2

L (K) 
K∈Th
dove γ è una costante positiva tale che − 12 div(b) + σ ≥ γ > 0.
Disuguaglianza di stabilità:
∃α∗ (γ) :
kuh k(ρ) ≤
C
kf kL2 (Ω)
α∗
Stima dell’errore
ku − uh k(ρ) ≤ Chr+1/2 |u|H r+1 (Ω)
l’ordine di accuratezza cresce all’aumentare del grado r dei polinomi utilizzati
come per il metodo di Galerkin
Metodi fortemente consistenti: GLS , SUPG , DW: analisi
Lh (uh , vh )
(ρ)
=
X
K∈Th
(ρ)
Nella pratica la scelta del parametro δ (parametro di stabilizzazione) risulta di
fondamentale importanza: misura quanta viscosità artificiale viene introdotta.
Studi teorici mostrano intervalli di valori ammissibili per tale parametro
SUPG
0 < δ < 1/C0
GLS
0<δ
DW
0 < δ < 1/(2C0 )
C0 è la costante della seguente disuguaglianza inversa
X
K∈Th
h2K
Z
K
|∆vh |2 dK ≤ C0 k∇vh k2L2 (Ω) ,
∀ vh ∈ Xhr

diffusione-trasporto 2d

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