e derivabile in x 0 e si ha (f
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e derivabile in x 0 e si ha (f
Regole di derivazione Proposizione Siano f e g due funzioni derivabili in x0 . Allora • f ± g è derivabile in x0 e si ha (f ± g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) ± g 0 (x0 ); • f g è derivabile in x0 e si ha (f g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) g(x0 ) + f (x0 ) g 0 (x0 ); • f g è derivabile in x0 se g(x0 ) 6= 0, e si ha: f 0 g (x0 ) = f 0 (x0 ) g(x0 ) − f (x0 ) g 0 (x0 ) . g 2 (x0 ) Dimostrazione (f ± g)(x) − (f ± g)(x0 ) = x→x0 x − x0 f (x) − f (x0 )) ± (g(x) − g(x0 )) = lim = x→x0 x − x0 f (x) − f (x0 )) g(x) − g(x0 ) = lim ± lim = x→x0 x→x0 x − x0 x − x0 =f 0 (x0 ) ± g 0 (x0 ). • (f ± g)0 (x0 ) = lim (f g)(x) − (f g)(x0 ) = x→x0 x − x0 f (x)g(x) − f (x0 )g(x0 ) = = lim x→x0 x − x0 f (x)g(x) − f (x0 )g(x) + f (x0 )g(x) − f (x0 )g(x0 ) = lim = x→x0 x − x0 f (x) − f (x ) g(x) − g(x0 ) 0 = lim g(x) + f (x0 ) = (∗) x→x0 x − x0 x − x0 f (x) − f (x0 )) g(x) − g(x0 ) = lim ( lim g(x)) + f (x0 ) lim = (∗∗) x→x0 x→x0 x→x0 x − x0 x − x0 =f 0 (x0 ) g(x0 ) + f (x0 ) g 0 (x0 ), •(f g)0 (x0 ) = lim ricordando che il passaggio da (∗) a (∗∗) è giustificato dall’esistenza e finitezza dei limiti che appaiono in (∗∗), che segue dalla derivabilità di f e g e dalla continuità di g in x0 . 1 Per determinare la derivata di un quoziente, calcoliamo prima la derivata 1 0 g (x0 ) = lim 1 g (x) − g1 (x0 ) = x − x0 g(x0 ) − g(x) = lim = x→x0 g(x)g(x0 )(x − x0 ) 1 1 g(x) − g(x0 ) = lim − = (∗) x→x0 g(x0 ) g(x) x − x0 1 g(x) − g(x0 ) 1 lim − lim = (∗∗) = x→x0 g(x0 ) x→x0 g(x) x − x0 g 0 (x0 ) , =− 2 g (x0 ) x→x0 ricordando che il passaggio da (∗) a (∗∗) è giustificato dall’esistenza e finitezza dei limiti che appaiono in (∗∗), che segue dalla derivabilità di g, dalla continuità di g in x0 , e dal fatto che g(x0 ) 6= 0 implica g(x) 6= 0 in un intorno di x0 per il Teorema sulla permanenza del segno. La regola sulla derivazione di un quoziente segue allora dalla regola sulla derivazione del prodotto applicata alla funzione f g1 e si ha: • f 0 g g 0 (x ) 1 0 1 0 + f (x0 ) − 2 = (x0 ) = f (x0 ) = f 0 (x0 ) g g(x0 ) g (x0 ) = f 0 (x0 ) g(x0 ) − f (x0 ) g 0 (x0 ) . g 2 (x0 ) Teorema(Regola della catena) Siano g una funzione derivabile in x0 , e sia f una funzione derivabile in g(x0 )); allora la funzione composta f ◦ g è derivabile in x0 e si ha (f ◦ g)0 (x0 ) = f 0 (g(x0 )) g 0 (x0 ). Dimostrazione Per semplicita’ facciamo la dimostrazione solo nel caso g(x) 6= g(x0 ) per x in un intorno di x0 e x 6= x0 . (f ◦ g)0 (x0 ) = lim x→x0 = lim x→x0 f (g(x)) − f (g(x0 )) = x − x0 f (g(x)) − f (g(x0 )) g(x) − g(x0 ) lim = x→x0 g(x) − g(x0 ) x − x0 = f 0 (g(x0 )) g 0 (x0 ). 2 Funzioni inverse Teorema Sia f una funzione invertibile e continua su un intervallo I, e supp. che f sia derivabile in x0 ∈ I. Se f 0 (x0 ) 6= 0, la funzione inversa f −1 è derivabile nel punto y0 = f (x0 ), e si ha 1 1 = 0 −1 . (f −1 )0 (y0 ) = 0 f (x0 ) f (f (y0 )) Dimostrazione Se y = f (x), per l’iniettivita’ e la continuità di f e di f −1 si ha lim f (x) = f (x0 ), cioe0 lim y = y0 ⇐⇒ lim f −1 (y) = f −1 (y0 ), cioe0 lim x = x0 . x→x0 x→x0 y→y0 y→y0 Quindi (f −1 )0 (y0 ) = lim y→y0 x − x0 1 (f −1 )(y) − (f −1 )(y0 ) = lim = 0 . x→x0 f (x) − f (x0 ) y − y0 f (x0 ) Derivate di funzioni elementari • (loga x)0 = 1 x x > 0, a > 0, a 6= 1; loga e, • (ln x)0 = x1 , x > 0; • (ex )0 = ex , x ∈ R; • (ax )0 = ax ln a, x ∈ R, a > 0; • (xα )0 = αxα−1 , x > 0, α ∈ R; • (xn )0 = nxn−1 , x ∈ R, n ∈ Z, x 6= 0 se n < 0; • (sin x)0 = cos x, x ∈ R; • (cos x)0 = − sin x, • (tgx)0 = 1 cos2 x , • (arcsin x)0 = x ∈ R; x 6= √ 1 , 1−x2 1 1+x2 , + kπ; −1 < x < 1; 1 • (arccos x)0 = − √1−x , 2 • (arctgx)0 = π 2 −1 < x < 1; x ∈ R. 3 Dimostrazione x + h loga (x0 + h) − loga x0 1 0 = • lim = lim loga h→0 h→0 h h x0 x x h h0 x10 1 h h0 . = lim loga 1 + = lim loga 1 + h→0 h→0 x0 x0 x0 Poniamo t = x0 h ; si ha 1 h lim loga 1 + x0 h→0+ x0 1 h lim loga 1 + x0 h→0− x0 x0 h x0 h = 1 1 1 loga lim (1 + )t = loga e, t→+∞ x0 t x0 1 t 1 1 lim (1 + ) = = loga loga e. t→−∞ x0 t x0 • ex è la funzione inversa di ln x. • ax = ex ln a e si usa la regola della catena; • xα = (eln x )α = eα ln x e si usa la regola della catena; • per x < 0, −x > 0 e xn = (−1)n (−x)n e segue dalla regola precedente; sin(x + h) − sin x sin x cos h + sin h cos x − sin x = lim = h→0 h→0 h h • (sin x)0 = lim cos h − 1 sin h + cos x lim = cos x. h→0 h→0 h h = sin x lim cos(x + h) − cos x cos x cos h − sin h sin x − cos x = lim = h→0 h→0 h h • (cos x)0 = lim cos h − 1 sin h − sin x lim = − sin x. h→0 h→0 h h = cos x lim 4