Capitolo VI

CAPITOLO SESTO
APPLICAZIONE DELLA REOLOGIA ALLA MECCANICA
DELLE TERRE
6.1 - Introduzione
Nella sua accezione più ampia, la reologia è lo studio della deformazione
dei corpi naturali.
La reologia ha lo scopo di classificare le proprietà materiali dei corpi dal
punto di vista meccanico, di indicare le metodologie sperimentali più adatte
per la determinazione di tali proprietà e di costruire modelli, matematicamen­
te completi, atti a rappresentarle convenientemente.
Tra i modelli classici fondamentali assumono interesse preminente quelli
del solido elastico, del mezzo plastico e di quello viscoso.
L'interesse per la reologia nella meccanica delle terre risiede principal­
mente nella possibilità di inquadrare razionalmente i fenomeni osservati, tenu­
to conto della notevole complessità del comportamento meccanico dei mate­
riali in esame.
Rimandando al capitolo successivo a quello della determinazione speri­
mentale delle caratteristiche meccaniche delle terre lo sviluppo analitico detta­
gliato dei principali modelli di comportamento, ha ora interesse prendere in
esame i modelli reologici semplici e alcune delle loro più comuni combinazioni
al fine di poter in seguito osservare i risultati sperimentali con un minimo di
sensibilità e di confidenza verso i principali comportamenti meccanici.
Per rendere più facile ed immediata la rappresentazione delle caratteristi­
che meccaniche con i modelli reologici si impiega, come si vedrà, una partico­
lare simbologia intuitiva, utile per descrivere sinteticamente il comportamento
dei materiali e per illustrare qualitativamente le proprietà peculiari di un mo­
dello.
6.2 - Il modello di solido elastico
Il modello di solido elastico è caratterizzato da una legge costitutiva,
indipendente dal tempo, nella quale le sollecitazioni e le deformazioni sono in
relazione biunivoca tra loro. Ciò significa che una stessa sollecitazione, anche
se applicata ripetutamente, produce sempre la stessa deformazione e che,
nel caso di sollecitazioni cicliche, l'energia spesa nella deformazione viene
completamente restituita al termine .del ciclo, cosicché il lavoro di defor­
mazione dipende solo dagli estremi della trasformaZione e non dal percorso
seguito.
In reologia il sim bolo del solido elastico è una molla elicoidale (fig. 6.1 a).
Indicando con F la sollecitazione applicata alle estremità della molla e con s
il corrispondente accorciamento, la relazione che descrive il comportamento
88
LEZIONI DI MECCANICA DELLE TERRE
del modello reologico di solido elastico è
(6.1 )
F = f(s)
ovvero, nel caso di solido elastico lineare (molla di Hooke),
(6.2)
F=Ks
con K = cost (fig. 6.1 b).
F
F
F
F
a)
·5
b)
Fig. 6.1 - Modello reologico di solido elastico.
6.3 - Il mode1l9 di mezzo plastico
Il modello di mezzo plastico è caratterizzato dall'esistenza di determinate
soglie di sollecitazione raggiunte le quali si manifestano deformazioni perma­
nenti e indipendenti dalla durata del processo che le genera (deformazioni
plastiche ).
Il simbolo reologico del mezzo plastico è rappresentato dal morsetto ad .
attrito (corpo di Saint Venant, fig. 6.2a) caratterizzato da un valore limite, F*,
della sollecitazione applicata per il quale iniziano le deformazioni plastiche.
Raggiunto il valore limite, l'incremento di deformazione plastica può avvenire
a sollecitazione costante, oppure può richiedere un aumento o una diminuzio­
r
CAP. VI - APPLICAZIONE DELLA REOLOGIA ALLA
MECCANICA DELLE TERRE
89
ne della sollecitazione applicata. Questi possibili comportamenti caratterizza­
no, rispettivamente, il modello di mezzo plastico perfetto e quelli incrudenti
positivamente e negativamente (fig. 6 .2b).
F
F*
F* r-E:~--------------
Fi~.
6.:2 -lttodeMo reologico di mezzo plastico.
L'incremento di deformazione plastica può essere espresso nella forma
l
dsP = --- dF*
H
(6.3 )
dove H prende il nome di coefficiente di incrudimento. Se si indica con À la
pendenza della retta su cui si localizzano gli incrementi di deformazione plasti­
ca (fig. 6.3), risulta
te
a­
ni
id ..
*,
.e.
re
0­
dF*
l
H=dsP =~.
(6.4)
Rimuovendo la sollecitazione esterna dopo aver seguito il percorso OAB
non si manifesta alcun recupero della deformazione accumulata (tratto Be).
Se, a partire dal punto C, si incrementa di nuovo la sollecitazione esterna, un
mezzo plastico con incrudimento non nullo conserva la memoria della prece­
dente deformazione attraverso una variazione del valore limite F*.
90
LEZIONI DI MECCANICA DELLE TERRE
F
o
C
ds P
5
-I
Fig. 6:3 - Fasi di carico e scarico -in un mezzo plastico.
6.4 - Il modello di mezzo viscoso
Il modello di mezzo viscoso è caratterizzato dalla esistenza di un legame
, tra la sollecitazione applicata e la velocità della defonnazioné corrispondente.
La velocità di deformazione si annulla all'annullarsi della sollecitazione.. .,'
Il simbolo reologico del mezzo viscoso è l'ammortizzatore .idraulico, co­
stituito da uno stantuffo che scorre senza attrito in un cilindro-pieno di liqui­
.lo (Hg. 6.4a).
La legge costitutiva del modello reologico di mezzo viscoso è rappresen­
tata dalla relazione
F = f(s)
, (6.5)
dove s = ds/dt è la velocità di d e f o r m a z i o n e . j
Se la relazione (6.5) è lineare (ammortizzatore di Newton), cioè del tipo
-(6.6)
con 11 = cost, allora il mezzo è detto viscoso perfetto, o newtoniano. Il coeffi- .
ciente 11 prende il nome di costante di viscosità, o semplicemente viscosità. Le
relazioni (6.5) e (6.6) sono riportate in diagramma nella fig. 6.4b.
CAP. Vl- APPLICAZIONE DELLA REOLOGIA ALLA
MECCANICA DELLE TERRE
91
F
b)
a)
Fig. 6.4 - Modello reologico di mezzo viscoso.
e
.
•,
)­
1­
1­
i)
6.5 - Modelli reologici complessi
I diversi modelli reologici semplici possono essere combinati tra loro per
costituire modelli più complessi, che meglio si prestano a descrIvere il compor­
tamento meccanico dei materiali reali.
I modelli semplici possono essere collegati tra loro in serie o in parallelo:
nel primo caso la deformazione risultante è data dalla somma delle deforma­
zioni dei singoli componenti e la sollecitazione rimane la stessa in ognuno di
questi; nel secondo caso si ha una situazione inversa.
I modelli reologici che più frequentemente ricorrono nella Meccanica del­
le Terre sono:
- il corpo di Maxwell
- il corpo' di Kelvin
- il corpo di Bingham.
»
:1- .
..e
Il corpo di Maxwell è costituito dal collegamento in serie di una molla di
Hooke e di un ammortizzatore di Newton (fig. 6.Sa). In queste condizioni si ha:
F = pe = F V
(6.7)
(6.8)
92
LEZIONI DI MECCANICA DELLE TERRE
dove gli apici v ed e specificano le componenti viscose ed elastiche delle solle­
citazioni e delle defonnazioni.
K
'TJ
b)
a)
c)
Fig. 6.S - Modelli reologici complessi
(a) Corpo di Maxwell
(b) Corpo di Kelvin
(c) Corpo di Bingham.
Tenuto conto delle (6.2) e (6.6), la legge costitutiva del corpo di Maxwel1
può essere ricavata imponendo la condizione (6.8). Si ottiene la relazione:
s= -F
K
:. sK= F
+ -l
TI
+
Trel
J Fdt
JFdt
(6.9)
dove T rel = TI/K prende il nome di tempo di rilassamento. Inoltre, tenuto conto
che per la (6.8) la velocità di defonnazione del corpo di Maxwell è
s = se + Sv ,
la legge costitutiva può essere espressa anche nell'altra fonna:
.
.
F
s= -
K
F
+­
TI
(6.10)
CAP. VI- APPLICAZIONE DELLA REOLOGIA ALLA
MECCANICA DELLE TERRE
93
L'espressione (6.9) mostra chiaramente che, se il tempo t di applicazione
della sollecitazione esterna F è piccolo rispetto al tempo di rilassamento
(t « Trel ), il corpo di Maxwell si comporta come un mezzo elastico: infatti
J
Fdt«F
e, quindi,
sK
~
F.
Dalla espressione (6.1 O), invece, si rileva che, se il tempo di applicazione
della sollecitazione esterna è grande rispetto al tempo di rilassamento
(t » Trel ), il corpo di Maxwell si comporta come un mezzo viscoso: infatti
Trel F« F
e, quindi,
11
.Se la sollecitazione esterna F = F o è applicata istantaneamente, a partire
da un valore iniziale nullo, ed è mantenuta indefinitamente, dalla (6.9) si ot­
tiene l'espressione
sK
= F o + F o
:. s(t) = ­
o
Fo
K
t
Trel
(1+ -Trelt)
che è riportata graficamente nella fig. 6.6 e che mostra come ad una deforma­
zione elastica istantanea faccia seguito una deformazione, dipendente dalla so­
la viscosità del corpo, che si sviluppa indefinitamente.
Se lo stato di deformazione di un corpo di Maxwell viene modificato dal­
l'applicazione istantanea di una deformazione s = so, a partire da un valore ini­
ziale nullo, che è mantenuta indefinitamente, dalla (6.10) si ottiene l'espres­
SIOne
)
F = - T rel F
F(t) = F o e-t/Trel ,
94
LEZIONI DI MÈCCANICA DELLE TERRE
con Fo
= K so, riportata graficamente nella fig.
6.7.
F
s
1
Trel
t
Fig. 6.6 ­ Deformazione del
corpo di. Maxwell
per F( t ~ t o ) = F o .
t
Fig. 6.7 ­ Deformazione del
corpo di Maxwell
pers(t·~ t o ) = So'
Questo fenomeno di variazione della sollecitazione prende il nome di ''ri­
lassamento".
Il corpo di Kelvin è costituito dal collegamento in parallelo di una molla
di Hooke e di un ammortizzatore di Newton. (fig. 6.5b). In queste condizioni
si ha:
+F
F = Fe
V
(6.11 )
(6.12)
Sostituendo le (6.2) e (6.6) nella (6.11) si ottiene l'equazione costitutiva
del corpo di Kelvin:
F =Ks
+ 71 s.
(6.13)
Integrando la (6.13) nell'ipotesi che la deformazione iniziale del corpo sia nul­
la e che ad esso sia applicata istantaneamente una sollecitazione F = F o' man­
tenuta poi indefinitamente, si ottiene la relazione
s(t) = -
F
(l - e- t/Tret) = seO - e- t/Tret)
K
.
dove T ret =l1/Kè detto, in questo caso, tempo di ritardo (fig. 6.8).
CAP. VI - APPLICAZIONE DELLA REOLOGIA ALLA
MECCANICA DELLE TERRE
95
5
se + - - - - - - 1 - - - - - - - - - - -
t
Tret
Fig. 6.8 - Defonnazione del CorpO di Kelvin per F(t ~ t o ) = Fo .
In. queste condizioni, la defonnazione del COrpO di Kelvin evolve con legge che
dipende dalle caratteristiche elastiche e viscose del mezzo e raggiunge, a tempo
infinito, la deformazione che compete alla componente elastica.
TI corpo di Bingham è costituito dal collegamento in serie di una molla di
Hooke e dell'insieme di un ammortizzatore di Newton e di un morsetto d'at­
trito tra loro connessi in parallelo (fig. 6.5c).
Il comportamento del corpo di Bingham, nel caso in cui il morsetto d'at­
trito rappresenta un mezzo plastico perfetto, è descritto dalle relazioni costi­
tutive
)
F = Ks
)
l
)
ll-
F
= F* + TI s
per
F < F*
per
F
~
F*
cosicché il valore di soglia F* della sollecitazione separa il comportamento pu­
ramente elastico da quello puramente viscoso.
Trascurando la componente viscosa e tenendo conto dei fenomeni di in­
crudimento, il corpo di Bingham si presta particolarmente bene, almeno a li­
vello qualitativo, a descrivere il comportamento elasto-plastico delle terre. Per
determinare le relazioni tra sollecitazioni e deformazioni che si ottengono in
queste condizioni, ci si riferisca alla fig.- 6.9.
Incrementando la sollecitazione esterna a partire da uno stato iniziale in
cui F = O e s = O, il corpo manifest-a un comportamento elastico fino a che
F < (F*)A. Superata la soglia di plasticizzazione, il corpo mostra un compor­
tamento che risente sia della sua componente elastica che di quella plastica.
96
LEZIONI DI MECCANICA DELLE TERRE
F
I­
(FlII)s
ds P
+----------=er
o
D
H
5
Fig. 6.9 - Defonnazione di un mezzo elasto-plastico incrudente.
L'incremento di defonnazione elasto-plastica vale pertanto:
ds = À. dF*.
L'incremento di defonnél;zione plastica può essere ricavato sommando algebt:i­
camente tutti gli incrementi didefonnazione nel percorso ABC. Si ottiene
ds - ds e
= ds P
e quindi, tenuto conto che
ds e
= K dF*.
ds P = ds ­ ds e =
(À. -
K)dF*.·
In questo caso il coefficiente di inerudimento vale dunque
dF*
1
H= -.= --­
dsP
À. - K