Infinitesimi e loro proprietà fondamentali

63
Infinitesimi e loro proprietà fondamentali
Definizione
Sia f (x) una funzione definita in un intorno del punto x = x0, tranne eventualmente nel punto x = x0
Si dice che f(x) è un infinitesimo per x → x0 se
lim f ( x) = 0
x → x0
In modo analogo f(x) è un infinitesimo per x → +∞, oppure per x → −∞ se
lim f ( x) = 0 oppure lim f ( x) = 0
x → +∞
Esempi
f ( x) = ( x − 3)2
1−
x → −∞
è un infinitesimo per x → 3 perché
lim ( x − 3) 2 = 0
x→3
2−
f ( x) =
1
x
è un infinitesimo per x → +∞ e per x → −∞
1
=0 e
x→−∞ x
perché
1
=0
x→+∞ x
lim
lim
Usiamo la scrittura x → c per indicare sia x → x0 che x → +∞ e x → −∞.
Confronto fra infinitesimi
Dati due infinitesimi f (x) e g (x) per x → c , si considera il rapporto
f ( x)
g ( x)
Definizioni
Se
f ( x)
= L ≠ 0 L∈R
x → c g ( x)
le funzioni f (x) e g (x) sono infinitesimi dello stesso ordine per x → c.
Se
f ( x)
=0
lim
x → c g ( x)
la funzione f(x) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g(x) per x → c.
Se
f ( x)
= ±∞
lim
x → c g ( x)
la funzione f(x) è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a g(x) per x → c.
Se
f ( x)
lim
non esiste
x→ c g ( x)
le funzioni f(x) e g(x) sono infinitesimi non confrontabili per x → c.
lim
Esempi
1−
f ( x) = 1 − cos x
1 − cos x 1
=
lim
x →0
2
x2
g ( x) = x 2
⇒
f (x) e g (x) sono infinitesimi dello stesso ordine per x → 0.
64
2−
f ( x) = x − 2
(
g ( x) = x − 4
)(
(
)
)
x −2
x −2 x +2 1
=
= lim
x→4 x − 4
x → 4 (x − 4) x + 2
4
ordine per x → 4.
3−
f ( x) = 1 − cos x
g ( x) = sin x
lim
⇒
f (x) e g (x) sono infinitesimi dello stesso
1 − cos x
1 − cos x x 2
1 − cos x x
= lim
= lim
x = 0 ⇒ f (x) è un infinitesimo di
2
x → 0 sin x
x →0
sin x x → 0 x 2 sin x
x
ordine superiore rispetto a g (x) per x → 0.
1
1
g ( x) =
4−
f ( x) = 3
x
x
1
3
x
lim x = lim 3 = 0 ⇒ f (x) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g (x)
x → +∞ 1
x → +∞ x
x
per x → +∞.
5−
f ( x) = ln( x + 1)
g ( x) = x 3
ln( x + 1)
ln( x + 1) 1
= lim
⋅ 2 = +∞
⇒ f (x) è un infinitesimo di ordine inferiore
lim
3
x →0
x →0
x
x
x
rispetto a g (x) per x → 0.
1
f ( x) = x sin
g ( x) = x
6−
x
1
x sin
x = lim sin 1
lim
non esiste ⇒ f (x) e g (x) sono infinitesimi non confrontabili
x →0
x →0
x
x
per x→ 0.
lim
Infinitesimi equivalenti
Definizione
Se f (x) e g (x) sono infinitesimi per x → c e se risulta
f ( x)
lim
=1
x → c g ( x)
si dice che f (x) e g (x) sono infinitesimi equivalenti per x → c e si scrive
f (x) ∼ g (x) per x → c.
Esempi
1−
f ( x) = x
f ( x)
x → 0 g ( x)
lim
2−
f ( x) = sin x
f ( x)
x → 0 g ( x)
lim
g ( x) = x 3 + x
sono equivalenti per x → 0 perchè
x
x
= lim 3
= lim
=1
2
x →0 x + x
x →0 x x + 1
g ( x) = x
sono equivalenti per x → 0 perchè
sin x
= lim
=1
x →0 x
(
)
65
3−
f ( x) = e x − 1
g ( x) = x
sono equivalenti per x → 0 perchè
x
f ( x)
e −1
= lim
=1
x → 0 g ( x)
x →0 x
f ( x) = ln( x + 1)
g ( x) = x
sono equivalenti per x → 0 perchè
ln(1 + x)
lim
=1
x →0
x
lim
4−
Nella seguente tabella sono riassunti alcuni casi importanti di infinitesimi equivalenti
Tabella di infinitesimi equivalenti.
(A destra sono indicati i limiti fondamentali utilizzati per scrivere l’equivalenza).
1−
sin x ∼ x
2−
tgx ∼ x
3−
1
1 − cos x ∼ x 2
2
4−
ln(1 + x) ∼ x
5−
e x −1 ∼ x
sin x
=1
x →0 x
tgx
lim
=1
x →0 x
1 − cos x 1
=
lim
x →0
2
x2
ln( 1 + x )
lim
=1
x →0
x
e x −1
lim
=1
x →0 x
lim
Principio di sostituzione degli infinitesimi
Se il rapporto di due infinitesimi ammette limite per x → c , tale limite resta invariato se si
sostituisce ciascuno dei due infinitesimi con un infinitesimo equivalente, ossia:
f (x) , f1 ( x) , g (x) , g1 ( x) infinitesimi per x → c
f ( x)
f ( x)
f (x) ∼ f1 ( x)
per x → c
⇒ lim
= lim 1
x → c g ( x)
x → c g1 ( x )
g (x) ∼ g1 ( x)
per x → c
Esempi
1−
perché
2−
perché
3−
perché
4−
perché
ln(1 + x)
x 1
= lim
=
x → 0 2tgx
x →0 2x
2
ln(1 + x) ∼ x
tgx ∼ x
ln(1 + 4 x)
4x
2
lim
= lim
=
x → 0 2tg (3 x)
x → 0 2 ⋅ 3x
3
ln(1 + 4 x) ∼ 4x
tg3 x ∼ 3x
sin(2 x)
2x 2
lim
= lim
=
x → 0 tg (5 x )
x →0 5x
5
sin(2 x) ∼ 2x
tg5 x ∼ 5x
sin(7 x)
7x 7
lim
= lim
=
x → 0 ln(1 + 3 x) x → 0 3 x
3
sin(7 x) ∼ 7x
ln(1 + 3 x) ∼ 3x
lim
66
5−
1 2
x
1 − cos x
lim
= lim 2
=4
x x →0 1 2
x →0
1 − cos
x
2
8
perché
1 − cos x ∼
2
6−
7−
x
1 2
1 x
1
x
1 − cos ∼   = x 2
2 2
8
2
2
x + sin x
2x 2
lim
= lim
=
x → 0 x + 2 sin x
x →0 3x
3
2
2
x
sin x
= lim
=2
lim
x → 0 1 − cos x
x →0 1 2
x
2
Principio di eliminazione degli infinitesimi
Se le funzioni f (x) , f1 ( x) , g (x) , g1 ( x) sono infinitesimi per x → c e se
f1 ( x) è di ordine superiore rispetto a f (x) per x → c
g1 ( x) è di ordine superiore rispetto a g (x) per x → c
allora
f ( x) + f1 ( x)
f ( x)
= lim
lim
x → c g ( x ) + g1 ( x) x → c g ( x )
In altre parole il limite del rapporto fra due infinitesimi non cambia aggiungendo o togliendo agli
infinitesimi dati degli infinitesimi di ordine superiore.
Esempi
1−
perché
2−
3−
lim
sin x + 3x 4
2
sin x
=1
x →0 x
= lim
sin x + x
sin x ∼ x
e
sin 2 x ∼ x 2
2x
tg (2 x ) + 5 x 3
=
=2
lim
lim
x→0 sin x + x 2
x →0 x
1 2
x +x
1 − cos x + x
x
= lim 2
= lim
= lim x = 0
lim
x→0 sin x + x
x→0
x →0 x
x→0
x
x →0
67
Infiniti e loro proprietà fondamentali
Definizione
Sia f (x) una funzione definita in un intorno del punto x = x0, tranne eventualmente nel punto x = x0
Si dice che f(x) è un infinito per x → x0 se
lim f ( x) = ±∞
x → x0
In modo analogo f(x) è un infinito per x → +∞, oppure per x → −∞ se
lim f (x) = ±∞ oppure lim f (x) = ±∞
x → +∞
x → −∞
Esempi
1−
f ( x) = 3x 2
è un infinito per x → ±∞ perché
2−
f ( x) = ln x
è un infinito per x → +∞ perché
3−
f ( x) = ln x
è un infinito per x → 0+ perché
4−
f ( x) =
1
x
è un infinito per x → 0 perché
lim 3x 2 = +∞
x→±∞
lim ln x = +∞
x→+∞
lim ln x = −∞
x →0 +
lim
x →0+
1
= +∞ e
x
lim
x →0−
1
= −∞
x
Usiamo la scrittura x → c per indicare sia x → x0 che x → +∞ e x → −∞.
Confronto fra infiniti
Dati due infiniti f (x) e g (x) per x → c , si considera il rapporto
f ( x)
g ( x)
Definizioni
Se
f ( x)
= L ≠ 0 L∈R ,
x → c g ( x)
le funzioni f (x) e g (x) sono infiniti dello stesso ordine per x → c.
Se
f ( x)
lim
=0
x → c g ( x)
la funzione f(x) è un infinito di ordine inferiore rispetto a g(x) per x → c.
Se
f ( x)
lim
= ±∞
x → c g ( x)
la funzione f(x) è un infinito di ordine superiore rispetto a g(x) per x → c.
Se
f ( x)
lim
non esiste
x→ c g ( x)
le funzioni f(x) e g(x) sono infiniti non confrontabili per x → c.
lim
Esempi
1−
f ( x) = x 2 − 2
lim
x2 − 2
x → ±∞ 3 x 2
−x
g ( x) = 3x 2 − x
=
1
3
⇒
f (x) e g (x) sono infiniti dello stesso ordine per x → ±∞.
68
2−
f ( x) =
1
g ( x) =
3
x −1
1
1
2
x −1
3
(x − 1)(x + 1) = 2
x2 −1
= lim
lim x − 1 = lim 3
x→1 1
x→1 x − 1 x→1 ( x − 1) x 2 + x + 1
3
2
x −1
stesso ordine per x → 1
3−
f ( x) = x 2 − 1
g ( x) = x 3 − 1
(
lim
x2 −1
x → +∞
4−
x3 −1
=0
f ( x) = x 3 − 4 x + 1
⇒
)
⇒
f (x) e g (x) sono infiniti dello
f (x) è un infinito di ordine inferiore rispetto a g (x) per x → +∞
g ( x) = x 2 + x − 1
x3 − 4x + 1
= +∞ ⇒ f (x) è un infinito di ordine superiore rispetto a g (x) per x→+∞
x2 + x −1
5−
f ( x) = ( x + 1) sin x
g ( x) = x + 1
(x + 1) sin x = lim sin x non esiste ⇒ f (x) e g (x) sono infiniti non confrontabili
lim
x→+∞
x→+∞
x +1
per x→ 0
lim
x→+∞
Osservazione importante
La “rapidità con la quale una funzione f (x) tende all’infinito, per x tendente all’infinito, varia a
seconda delle sue caratteristiche. In linea generale, per x tendente all’infinito, possiamo dire che:
•
un polinomio di grado n cresce in valore assoluto più rapidamente di qualunque polinomio
di grado n − 1.
•
una funzione esponenziale y = a x , con a > 1, cresce più rapidamente di qualsiasi polinomio.
•
una funzione logaritmica y = log a x , con a > 1, cresce meno rapidamente di qualsiasi
polinomio.
Queste ultime due importanti proprietà sono basate sui seguenti limiti fondamentali (che possono
essere generalizzati a una qualunque base a > 1); tali limiti potranno essere facilmente dimostrati
con la regola di De l’Hopital, che verrà in seguito enunciata.
Limiti fondamentali
Si dimostra che la funzione e x è un infinito di ordine superiore a ogni potenza di x , per x → +∞ ,
ossia
ex
lim
= +∞
qualunque sia n > 0
x → +∞ x n
Si dimostra che la funzione ln x è un infinito di ordine inferiore a ogni potenza di x , per x → +∞ ,
ossia
ln x
lim n = 0
qualunque sia n > 0
x → +∞ x
69
Principio di eliminazione degli infiniti
Se le funzioni f (x) , f1 ( x) , g (x) , g1 ( x) sono infiniti per x → c e se
f1 ( x) è di ordine inferiore rispetto a f (x) per x → c
g1 ( x) è di ordine inferiore rispetto a g (x) per x → c
allora
f ( x) + f1 ( x)
f ( x)
lim
= lim
x → c g ( x ) + g1 ( x) x → c g ( x )
In altre parole il limite del rapporto fra due infiniti non cambia aggiungendo o togliendo agli infiniti
dati degli infiniti di ordine inferiore.
Questi risultati rendono spesso più agevole il calcolo dei limiti, come mostrano i seguenti esempi.
Esempi
3 + x + x2
x2
=
=0
lim
lim
1−
x→+∞ x 4 + x 2
x→+∞ x 4
2−
perché
lim
x→+∞
2x3 + x 2 + 1
x3 + 3 x5
4−
5−
6−
2x3
x→+∞
x3
=2
f1 ( x) = x 2 + 1 è un infinito di ordine inferiore a f ( x) = 2 x 3 per x → +∞
g1 ( x) = 3 x 5
3−
= lim
lim
x → +∞
lim
x → +∞
ex
x2 + 2
ln x
è un infinito di ordine inferiore a g ( x) = x 3 per x → +∞
= +∞
=0
x2 − 2
ln x
(limite fondamentale)
(limite fondamentale)
x→+∞
= lim
ln x
= 0 (principio di eliminazione e limite fondamentale)
x 2 − 3x + 5 x→+∞ x 2
x + x 2 + ln x
x2
lim
lim
=
= 0 (principio di eliminazione e limite fondamentale)
x → +∞
x → +∞ e x
x3 + e x
lim
70
Esercizi
1)
Stabilire quali delle seguenti funzioni sono degli infinitesimi per x → 2
f ( x ) = (x − 2 )2
a−
b−
f (x ) =
x− 2
x2 − 4
f (x ) = x 2 − x − 2
4
f (x ) =
d−
x−2
2)
Stabilire per x tendente a quale valore ciascuna delle funzioni seguenti risulta essere un
infinitesimo
f (x ) = x 2 − 4 x + 3
a−
x+4
f (x ) =
b−
x −3
1
f (x ) =
c−
x −5
f ( x ) = ln x
d−
e−
f (x ) = 3x + 2
3)
Per le seguenti coppie di infinitesimi stabilire qual è l’infinitesimo di ordine superiore
f (x ) = x 2 − 9
g (x ) = x 2 − 6 x + 9
per x → 3
a−
c−
( )
4)
5)
6)
b−
f ( x ) = 1 − cos x
g ( x ) = sin x 2
per x → 0
Scrivere due funzioni che siano infinitesime per x → −1 e per x → 4.
Scrivere due funzioni che siano infinitesime per x → +∞
Stabilire quali delle seguenti funzioni sono degli infiniti per x → 5
5
f (x ) =
a−
x
f ( x ) = ln( x − 5)
b−
f ( x ) = x 2 − 25
1
f (x ) =
d−
5− x
Stabilire quali delle seguenti funzioni sono degli infiniti per x → +∞ e/o per per x → −∞
1
f (x ) =
a−
5− x
f ( x ) = ln( x − 5)
b−
c−
7)
c−
x2
3+ x
f ( x ) = le x − 1
e−
Per le seguenti coppie di infiniti stabilire qual è l’infinito di ordine superiore
f (x ) = x 2 − 9
g (x ) = x 4 − 6 x + 9
per x → ±∞
a−
1
1
g (x ) = 2
per x → 0
b−
f (x ) =
x
x
Scrivere due funzioni che siano infinite per x → −2 e per x → 4.
Scrivere due funzioni che siano infinite per x → +∞
d−
8)
9)
10)
f ( x ) = x 2 − 25
f (x ) =