Programma dettagliato effettivamente svolto

Corso di “Metodi di Analisi Funzionale”
Dottorato di Ricerca in Ingegneria Matematica
A.A. 2006/2007
Prof. Marco Bramanti
February 21, 2007
Programma e¤ ettivamente svolto nel corso, e riferimenti bibliogra…ci. Si
indica con (*) i fatti dimostrati a lezione, con (*EX) i fatti di cui si è chiesto
di dare una dimostrazione per esercizio.
1
1.1
Concetti di base
Strutture astratte utili allo studio degli spazi di funzioni
Spazi vettoriali: assiomi. Spazi di funzioni ff : X ! V g con X insieme qualsiasi e V spazio vettoriale. Criterio di riconoscimento dei sottospazi. Esempi:
C 0 [a; b], C 1 [a; b] :::
Spazi normati. Norma. Esempi: norme in Rn ; norma in C 0 [a; b] : Differenza con C 0 (a; b) Norme equivalenti in uno s.v.n. Metrica indotta dalla
norma.
Spazi metrici. Assiomi. Nozioni topologiche in spazi metrici: sfere, punti
interni, esterni, di frontiera, d’accumulazione, isolati; insiemi aperti, chiusi (e
aperti o chiusi in E X), limitati; interno, chiusura, frontiera; densità, separabilità. Esempi. Successioni convergenti, e relazione coi punti di accumulazione.
Limiti di funzioni, funzioni continue, continuità e controimmagine degli aperti
(*EX).
1.2
Tre proprietà fondamentali: compattezza, completezza,
uniformità
Compattezza. De…nizione di spazio metrico compatto (per coperture) e compatto per successioni. Se K X; K è compatto in sé se e solo se è compatto in
X (*EX). Equivalenza tra le due de…nizioni in spazi metrici. Funzione continua
tra spazi metrici porta compatti in compatti (*EX). Sottoinsieme compatto è
1
chiuso (*). Sottoinsieme chiuso di un compatto è compatto (*EX). Compatto
implica limitato (*). In uno spazio metrico i compatti sono chiusi e limitati.
Teorema di Bolzano-Weierstrass: una successione limitata in Rn ha una
sottosuccessione convergente. Teorema di Heine-Borel: in Rn i compatti sono
tutti e soli i chiusi e limitati (*). Teorema di Weierstrass: funzione continua su
un compatto a valori reali ha max. e min. (*). Un esempio di applicazione: in
Rn tutte le norme sono equivalenti (*).
Fallimento del th. di BW in spazi di dimensione in…nita: contresempio in
C 0 [0; 1]. Th. di Riesz: in uno s.v.n. la sfera unitaria è compatta se solo lo
spazio è …nito dimensionale.
Completezza. Successioni di Cauchy, successioni convergenti, spazi metrici
completi. Proprietà delle successioni di Cauchy: sono limitate, se una sottosucc.
converge allora la succ. converge (*EX). Completezza di Rn (*). Sottospazio
chiuso di uno spazio completo è completo (EX*). Teorema delle contrazioni in
spazi metrici completi (*). De…nizione di spazio di Banach. Serie in spazi di
Banach. Uno s.v.n. è di Banach se e solo se ogni serie assolutamente convergente
è convergente (*).
Spazi di successioni `1 ; `1 :
Questioni di uniformità. Uniforme continuità per funzioni tra spazi
metrici. Th. di Cantor-Heine: funzione continua su un compatto è uniformemente continua (*); modulo di continuità di una funzione uniformemente continua; particolarizzazione alle funzioni f :
! Rn : funzione uniformemente
continua su un aperto è prolungabile con continuità sulla chiusura (traccia
dim.*); convergenza uniforme di una successione di funzioni tra spazi metrici.
Limite uniforme di funzioni continue è continuo (EX*).
Riferimenti: [Rud1], capp. 2, 3, 4, 7; [Pata], cap.II, §1.
2
2.1
Spazi di funzioni continue e derivabili
Spazi di Lagrange
Lo spazio C 0
con
aperto limitato di Rn : La norma C 0
è la norma
della convergenza uniforme. C 0
è di Banach (*). Th. di Stone-Weierstrass.
C0
è separabile. Gli spazi C00 (Rn ), C 0 (Rn ), C00 ( ) e C 0 ( ).
Lo spazio C k
con
aperto limitato di Rn : E’ di Banach (*) con la
norma naturale. Contresempio: C 1 con la norma di C 0 non è di Banach (*EX);
de…nizione di seminorma, esempio della seminorma C 1 . Conseguenza di StoneWeierstrass: C k
è denso in C 0
(*EX). Gli spazi C 1
o C01 ( ): con
k
1
qualsiasi norma C non è completo, e non esiste una “norma C ”; esiste una
successione di seminorme.
2.2
Spazi di Hölder
Funzioni C 0; ( ): de…nizione, osservazioni: per > 1 sono costanti; modulo
di continuità e prolungabilità …no al bordo. C 0; ( ) è di Banach (*).
2
Ex: in C00; ( ) la seminorma C è una norma. Prodotto di funzioni C 0 è
C ; lo stesso per C k ; lo stesso per C (*EX).
Funzioni lipschitziane ( = 1). Teorema di Rademacher di derivabilità q.o.;
le funzioni lipschitziane sono assolutamente continue, quelle Hölderiane possono
non esserlo (es. funzione di Vitali). Relazione con le funzioni regolari: C 1
C 0;1 ( ) se è lipschitziano (*). Contresempio per domini con cuspidi. Funzioni
C k; ( ) (conviene supporre lipschitziano); lo spazio è di Banach (*EX).
Riferimenti: [Kry], Cap.3, §§3.1-3.3; [GT], Cap.4, §4.1.
0
2.3
Risultati di compattezza
Il Teorema di Ascoli-Arzelà (*). Immersione compatta di C 0
in C 0; ( )
k;
k
in C ( ), con limitato lipschitziano (*EX).
con limitato (*) e di C
Immersione compatta di C 0; ( ) in C 0; ( ) per < (*). Lemma per dimostrarlo: disuguaglianza di interpolazione per seminorme C 0; (*).
3
3.1
Spazi Lp
Richiami di teoria della misura e dell’integrazione
Richiami sulla nozione di spazio di misura, funzione misurabile, funzione integrabile. I teoremi della convergenza monotona, di Fatou, di Lebesgue, di
Fubini-Tonelli. Spazi di misura topologici, -algebra di Borel, relazione tra continuità e misurabilità, misura di Borel, misura completa, misura di Lebesgue in
Rn : Riferimenti: [Bre], cap.4, §IV1; [Rud2], capp. 1 e 2.
3.2
Spazi Lp su spazi di misura astratti
De…nizione di Lp su uno spaziodi misura astratto. Disuguaglianza di Hölder
(*EX) e di Minkowsky (*EX). Norma Lp per 1 p 1. Per 0 < p < 1 sono
spazi metrici non normati (EX*).
Completezza di Lp per 1 p 1 (*). Convergenza q.o. di una sottosuccessione. Esempi di non convergenza q.o. della successione intera (EX*).
Inclusione tra gli Lp su insieme di misura …nita (*). Se j j < 1; la norma
1
L è il limite di norme LRp (*EX). Interpolazione tra due spazi Lp (*EX).
Norma Lp come sup f g (*EX). Spazi `p ; es.: disuguaglianza di Hölder.
3.3
Spazi Lp (Rn )
Convoluzione e disuguaglianza di Young (*).
Questioni di regolarizzazione: densità di C00 (Rn ) in Lp (Rn ); famiglia di molli…catori " ; supporto della convoluzione di due funzioni a supporto compatto;
derivate di " f con f 2 L1loc ; " f ! 0 uniformemente sui compatti se f è
continua (*); " f ! 0 in Lp (Rn ) se f 2 Lp (Rn ) (*), 1 p < 1: Corollario:
densità di C01 ( ) in Lp ( ) per 1
p < 1 (*EX). Separabilità di Lp per
1
p < 1. L non è separabile.
3
Riferimenti: [Bre], cap.4, §IV1, IV2, IV4; [Pata], cap.II, §1.8.
4
4.1
Operatori lineari continui
Generalità
Operatori lineari tra s.v.n.; condizioni equivalenti per la continuità di un operatore lineare (limitatezza sulla sfera unitaria, continuità, continuità in 0). (*EX).
Norma dell’operatore. Spazio L (X; Y ). Se Y è di Banach, L (X; Y ) è di Banach
(*EX). Isomor…smi. Inclusioni continue; esempi. Inclusioni compatte, rilettura
degli esempi precedenti (C 0; in C 0 ::., e contresempi: C 0
in L1 ( ) (EX*)).
4.2
Alcuni risultati fondamentali sugli operatori lineari
continui tra spazi di Banach
1. Il teorema di uniforme limitatezza (Banach-Steinhaus): X; Y spazi di Banach, Ti 2 L (X; Y ) ; se supi kTi xk < 1 8x; allora supi kTi k < 1: Corollario:
continuità dell’operatore limite puntuale di una successione di operatori lineari
continui (*). Teorema di prolungamento unico di un operatore lineare continuo
densamente de…nito a valori in un Banach.
2. Il teorema della mappa aperta: X; Y spazi di Banach, T 2 L (X; Y )
suriettivo, allora T porta aperti in aperti. Corollario: X; Y spazi di Banach,
T 2 L (X; Y ) biunivoco, allora T 1 2 L (Y; X) (*).
3. Il teorema del gra…co chiuso: X; Y spazi di Banach, T : X ! Y lineare;
se il gra…co di T è chiuso, allora T è continuo.
5
5.1
Funzionali lineari continui
Generalità
Funzionali lineari continui su uno spazio normato. Spazio duale X . E’sempre
di Banach (*). Esempi di funzionali su C 0 [a; b]: la valutazione in un punto,
l’integrale de…nito, l’integrale contro un’altra funzione continua, l’integrale con
una misura qualunque; su Lp ( ): integrale contro funzione Lq . Teoremi di
rappresentazione: duale di Lp ; il duale di C 0 (K) è lo spazio delle misure di
Borel con segno, regolari.
5.2
Il teorema di Hahn-Banach e le sue conseguenze
Il teorema di Hahn-Banach: sia X s.v.n. e X0 ssp. di X; sia f un funzionale
lineare continuo su X0 ; allora f si può prolungare come funzionale lin. ct. su
X con la stessa norma.
Proprietà di separazione che seguono dal teorema di Hahn-Banach: esistenza
di un funzionale di norma unitaria che vale kxk in un x 6= 0 assegnato (*); calcolo
della norma di un punto attraverso le valutazioni dei funzionali (*); esistenza
4
di un funzionale che separa due punti distinti (*EX); esempio di funzionale su
L1 (a; b) che non si rappresenta mediante una funzione L1 (a; b) (estensione di
un funzionale di valutazione su C 0 [a; b] (*EX)). Esistenza di un funzionale che
separa un sottospazio chiuso da un punto esterno ad esso.
Riferimenti: [Bre], capp.1, 2, 3.
5.3
Doppio duale e ri‡essività
La mappa canonica. Isometria di X con J (X) X . Spazi ri‡essivi. Esempio:
Lp è ri‡essivo per 1 < p < 1. L1 non è ri‡essivo (*). Th. Un sottospazio chiuso
di uno spazio ri‡essivo è ri‡essivo (*). Th. Se X è di Banach, X ri‡essivo, X
ri‡essivo; conseguenza: L1 non è ri‡essivo (*).
5.4
Convergenze deboli
De…nizione di convergenza debole. Relazione con la forte (*EX). Unicità del
limite (*). Limitatezza delle successioni convergenti debolmente (*). Stima
sulla norma del limite debole (*).
De…nizione di convergenza debole*. Relazione con la forte (*EX) e con la
debole (*). Se X è ri‡essivo, in X convergenza debole e debole* coincidono (*).
Unicità del limite (*EX). Limitatezza delle successioni debolmente* convergenti
in X , se X è di Banach (*EX). Stima sulla norma del limite debole, se X è di
Banach (*EX).
5.5
Risultati di compattezza per successioni in senso debole
Il Teorema di Banach-Alaoglu: se X è Banach separabile, una successione limitata in X ha una sottosuccessione deb* convergente. (*). Applicazione a
X = Lp per 1 < p < 1 o L1 . In particolare, se X è ri‡essivo e separabile,
una succ. limitata in X ha una sottosucc. deb. conv. Th. Se X è di Banach e
X è separabile, allora X è separabile (contresempio al viceversa: L1 ). Corollario: Se X è Banach, separabile e ri‡essivo, una successione limitata ha una
sottosuccessione debolmente convergente (*).
Riferimenti. [Bre], cap. 3; [Pata], cap.II, §2.1, 2.2, §3.1-3.5, §3.4-3.5.
6
Teoria elementare degli Spazi di Hilbert
Spazi vettoriali con prodotto interno. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (*EX)
e norma hilbertiana. Uguaglianza del parallelogramma (*EX) e caratterizzazione delle norme hilbertiane. De…nizione di spazio di Hilbert. Esempi:
L2 ( ) ; `2 ; `2 (A) ; L2 ( ; d ). Continuità del prodotto scalare (*EX).
Teorema di proiezione su un chiuso convesso (*). Operatore proiettore su
un chiuso convesso (*). De…nizione di V ? per V sottoinsieme qualunque; è un
?
sottospazio chiuso (*EX); V
= V ? (*EX). De…nizione di somma ortogonale
5
V W . Rappresentazione unica (*). Teorema delle proiezioni: se V sottospazio
chiuso, H = V V ? (*).
Sistemi ortogonali e ortonormali; teorema di Pitagora (*EX); metodo di
Gram-Schmidt per mettere una base ortonormale in uno spazio di misura …nita
(*).
Proiezione di un vettore su un sottospazio di dimensione …nita (con base
ortonormale) e disuguaglianza di Bessel (*). De…nizione di s.o.n.c.
Spazi di Hilbert separabile: th. di esistenza di un s.o.n.c. numerabile in
uno spazio di Hilbert separabile (*). Sviluppo in serie di Fourier, uguaglianza
di Perceval ed isomor…smo di di H con `2 indotto dalla trasformata di Fourier
(*).
Cenni agli spazi non separabili: esistenza di una base ortonormale e invarianza della sua cardinalità, risultati analoghi e isomor…smo di H con `2 (A).
Duale di uno spazio di Hilbert: teorema di rappresentazione di Riesz (*).
Uno spazio di Hilbert è ri‡essivo; conseguenze (compattezza debole per successioni). In uno spazio di Hilbert, convergenza debole + convergenza delle norme
implica convergenza in norma (EX*).
Riferimenti: [Bre], cap.5, V1, V2, V4; [Sal], cap.6, §1,2,3.
7
7.1
Spazi di Sobolev
Derivate deboli e derivate distribuzionali
Derivata debole D u di una funzione u 2 L1loc ( ): motivazione, de…nizione,
la derivata classica è derivata debole, esempi (jxj ; derivata prima e seconda),
cenni alla nozione di distribuzione e derivata distribuzionale.
7.2
De…nizione degli spazi di Sobolev e proprietà funzionali astratte
De…nizione degli spazi W k;p ( ) per p 2 [1; 1]. Proprietà funzionali di W k;p ( )
(*): completezza, separabilità, ri‡essività per p opportuno; Hilbert per p = 2.
De…nizione alternativa di W k;p ( ) mediante la derivata distribuzionale. Applicazione agli spazi di Sobolev della compattezza debole per successioni.
De…nizione degli spazi H k;p ( ) e teorema di Meyers-Serrin H k;p ( ) =
k;p
W ( ) per p < 1 (contresempio per p = 1; *EX). De…nizione di W0k;p ( ).
Simboli H 1 ; H01 ; H k ; H0k . Descrizione dello spazio duale di W k;p ( ) e di W0k;p ( )
0
(*). Spazi W k;p ( ) ;in particolare H 1 ( ). Teorema di caratterizzazione dis0
tribuzionale degli elementi di W 1;p ( ) (*). [Ziemer], pp.88-89
7.3
Proprietà di base delle funzioni in spazi di Sobolev
Caratterizzazione degli spazi di Sobolev in una variabile: le funzioni W 1;p (I)
sono funzioni AC con derivata classica in Lp (e conseguenze per W k;p (I) ;
W0k;p (I)). Caratterizzazione di W 1;1 (I) e H 1;1 (I) (*EX). Caratterizzazione
6
analoga in più dimensioni, e conseguenza sul tipo di discontinuità concessa alle
funzioni in W 1;p ( ).
[Ziemer], pp.44 sgg.
I problemi di approssimazione con funzioni regolari; risultati tipo: approssimazione con funzioni C 1 ( ) ; o C 1
; o C01 (Rn ). Lemma: se u 2 W 1;p ( ) ; 2
1
1;p
n
C0 ( ) ; allora u 2 W (R ) e (u )xj = uxj + u xj (*EX); Lemma: se
f 2 L1 (Rn ) ; g 2 W 1;p (Rn ), allora f g 2 W 1;p (Rn ) e (f g)xj = f gxj
(*EX).
Il Th. di Friedrichs di approssimazione di funzioni W 1;p ( ) con funzioni
1;p
1
C0 (Rn ) in senso Wloc
( ). (*).
Conseguenze: se u 2 W 1;p ( ) e sprtu b ; allora u 2 W01;p ( ) (*EX); se u 2
W01;p ( ) ; la sua prolungata a zero appartiene a W 1;p (Rn ) (*EX); W 1;p (Rn ) =
W01;p (Rn ) (*EX).
Calcolo con le derivate (*): derivata del prodotto di due funzioni W 1;p \
1
L , derivata della composizione di funzione C 1 (o Lipschitziana) con una funzione W 1;p (* nel caso C 1 ); trasformazioni di coordinate bilipschitziane, trasformazione dell’area; composizione di una funzione W 1;p con una mappa bilipschitziana (*).
Th. di caratterizzazioni alternative di W 1;p ( ), mediante le traslate o mediante funzionali lineari continui, per 1 < p
1 (*). Osservazioni varie: se
è connesso, u 2 W 1;p ( ) e ru = 0 q.o, allora u =costante (*). Se è lipschitziano e u 2 W 1;1 ( ) ; allora u è lipschitziana. (*EX). Se p = 1 è ancora
vero che 1=)2()3 e 2 o 3 caratterizzano BV ( ). Contresempio di funzione
per cui vale 2, 3 ma non 1 (per p = 1) (*EX). Metodo dei rapporti incrementali.
7.4
Teoremi di estensione e di traccia
A. Il caso k = 1: Teorema: se ha frontiera limitata e lipschitziana (o è un
semispazio), esiste un operatore di prolungamento T : W 1;p ( ) ! W 1;p (Rn );
se è limitato si può prendere T a valori in W01;p ( 0 ). Idea della dimostrazione:
lemma di prolungamento per ri‡essione pari dal semispazio; lemma sulle partizioni dell’unità; linea della dim. del th. con questi 2 ingredienti.
Osservazioni sul ruolo delle ipotesi su : regolarità del bordo e limitatezza
della frontiera. Contresempio di funzione W 1;1 ( ) che non si prolunga a una
funzione W 1;1 (Rn ) (con non lipschitziano).
Operatore di traccia 0 : W 1;p Rn+ ! Lp Rn 1 (*). Enunciato analogo
per un dominio limitato lipschitziano: (grazie al teorema di prolungamento),
esiste 0 : W 1;p ( ) ! Lp (@ ) ; inoltre ker 0 = W01;p ( ).
B. Il caso k qualunque: Generalizzazione del teorema di prolungamento
al caso W k;p ( ) su un dominio di classe C k (o C k 1;1 ) con bordo limitato (o
sul semispazio). Con tecniche diverse, di integrali singolari, è stato dimostrato
che ogni dominio Lipschitziano ammette estensione di W k;p (v. [Ada] p.83,
[Ziemer], pp.63-64).
Teorema di traccia per W k;p ( ): se è un dominio limitato di classe C k+1
7
k
(o C k;1 ), esiste : W k;p ( ) ! Lp (@ ) il cui nucleo è W0k;p ( ) ; 0 u = u=@ ;
@u
1 u = @ =@ , ecc.
Puntualizzazione sul rapporto tra teoremi di estensione e di traccia: si prova
l’estensione per k = 1 e poi la traccia per k = 1; quindi l’estensione per k = 2 e
poi la traccia per k = 2 ecc.
[Bre], pp.313-315.
Conseguenze dei teoremi di prolungamento sui risultati si approssimazione
con funzioni regolari: miglioramento del th. di Friedrichs per domini regolari: approssimazione di una funzione W 1;p ( ) con funzioni C01 (Rn ) in norma
W 1;p ( ) (*EX). Impossibilità di approssimare una funzione W k;p ( ) con una
se non ha la proprietà di segmento (contresempio), ed enunfunzione C 1
ciato del risultato positivo. (v. [Ada]).
[Bre], pp.249-257.
Conseguenza dei teoremi di traccia: formule di Green per funzioni H 1 e H 2
(*).
Spazi di tracce. Motivazione: ricerca dello spazio in cui assegnare il dato al
bordo di un problema di Dirichlet. Il caso p = 2 nel semispazio. De…nizione
degli spazi di Sobolev frazionari H s;2 (Rn ) ; via trasformata di Fourier. Caratterizzazione dello spazio delle tracce di funzioni H 1 Rn+ : spazio H 1=2 Rn 1 .
Spazio di tracce H 1=2 (@ ) (de…nito nel caso Rn 1 via trasformata di Fourier,
e poi con carta locale). Generalizzazione con p qualunque: altra de…nizione di
W s;p (Rn ) ; W s;p di una varietà, teorema di traccia 0 : W 1;p ( ) ! W 1 1=p;p (@ ) ;
norma in questo spazio.
[Sal], pp. 319 sgg., [Kes], pp.95-103
7.5
Teoremi di immersione di Sobolev
Enunciato dei teoremi di immersione nel caso W 1;p (Rn ). Osservazioni sugli
enunciati. Conseguenza: teoremi di immersione per funzioni W01;p ( ) con
dominio qualunque; immersione di W01;p ( ) con
dominio limitato: disuguaglianza di Poincaré e norma equivalente in W01;p ( ) per p < n; teoremi di
immersione per funzioni W 1;p ( ) con
dominio C 0;1 . Contresempio di non
1;1
p
immersione di W ( ) in L ( ) per irregolare.
Dimostrazione dell’immersione di W 1;p (Rn ) per p < n (*) e dell’immersione
per p > n (*).
Teoremi di immersione per spazi W k;p (Rn ): enunciato, idea della dimostrazione
iterativa, osservazioni. Riformulazione del risultato per W0k;p ( ) e per W k;p ( )
con
dominio di classe C k 1;1 . Osservazioni: massima regolarità in spazi di
Sobolev implica massima regolarità classica.
7.6
Teoremi di immersione compatta
Teoremi di immersione compatta per spazi di Sobolev W01;p ( ) per limitato.
Il caso p > n: l’immersione compatta in uno spazio C 0; segue dall’immersione
continua in C 0; , e dai risultati di compattezza che seguono da Ascoli-Arzelà.
8
Richiami su: insieme relativamente compatto e precompatto in uno spazio
metrico. Se X è di Banach, E X è relativamente compatto se e solo se è precompatto se e solo se ogni successione in E ha una sottosuccessione convergente
in X (*EX). Dimostrazione dell’immersione compatta di W01;p ( ) in Lq ( ) (*).
Estensioni dell’immersione compatta a spazi W 1;p ( ) per domini di estensione, e a spazi W k;p ( ). (Vedi Adams p.144, Salsa p.330).
[Ziemer], pp.61 sgg.
7.7
Conseguenze dei teoremi di compattezza
Disuguaglianze di Poincaré. Se è un dominio limitato lipschitziano, W0 è un
sottospazio chiuso di W 1;p ( ) (1 < p < 1) tale che (u 2 W0 e u =costante
implica u = 0), allora kukp
c krukp : (Esempi di W0 : W01;p ( ) ; W0;1;p ( ) ;
funzioni a media nulla). La dimostrazione usa anche il Lemma: in uno spazio
vettoriale normato, sottoinsiemi chiusi sono chiusi anche per la convergenza
debole (*). Corollario: se
è come sopra e u 2 W 1;p ( ) ; allora ku ukp
c krukp dove u è la media. (Per le disuguaglianze di Poincaré, vedi [Ziemer],
cap. 4).
Disuguaglianze di interpolazione per derivate di ordine intermedio. Seminorme jujj;p; . Teorema. Per ogni dominio
lipschitziano si ha, per ogni
u 2 W k;p ( ) ; 1 p < 1; 1 < j < k, jujj;p;
c" jujk;p; + c" j=(m j) juj0;p; :
Basta provarlo per m = 2; j = 1; e poi segue per induzione (*EX: dimostrare
il passaggio da m = 2; j = 1 a m = 3; j = 1 o 2). Dimostrazione che usa le
immersioni compatte (e quindi vale nell’ipotesi di limitato, e inoltre non dà
il valore esatto della costante c (")). Generalizzazione: Lemma di Ehrling: se
X b H Y sono spazi di Banach, allora kvkH " kvkX + c (") kvkY . (*EX).
8
8.1
Formulazione debole di problemi ai limiti per
operatori ellittici e problemi variazionali astratti in spazi di Hilbert
Formulazione forte e debole di problemi ai limiti per
operatori ellittici
Motivazione: 1) Formulazione di problemi ai limiti per operatori ellittici in spazi
di Sobolev W 2;p ( ): soluzioni forti. 2) Il caso p = 2: formulazione integrale
equivalente per i medesimi problemi. 3) Formulazione debole (ipotesi minime in
cui la formulazione integrale ha senso). 4) Se u 2 H 2 è soluzione debole, allora
è soluzione forte. Esempi guida:
u + cu = f con condizione di Dirichlet zero
o non zero; idem con condizione di Neumann non zero.
9
8.2
Problemi variazionali astratti in spazi di Hilbert
Forme bilineari su spazi di Hilbert. Forme bilineari continue, simmetriche, coercive. Problema variazionale astratto in uno spazio di Hilbert. Veri…ca che in
certi esempi-guida la formulazione debole del problema di PDE equivale ad un
problema variazionale astratto in H = H 1 ( ) o H01 ( ); esempi: 1) Dirichlet
omogeneo per
u + cu = f con c (x)
0 o Neumann non omogeneo con
c (x)
c0 > 0: forma continua, coerciva, simmetrica. 2) Dirichlet omogeneo
per operatore uniformemente ellittico completo con c (x) c0 > 0, e termini di
grado uno piccoli: forma continua, non simmetrica, coerciva; 3) Dirichlet omogeneo per operatore uniformemente ellittico completo con c (x) 0, e termini
di grado uno qualsiasi: forma continua,
non simmetrica, non coerciva ma debolR
mente coerciva, ossia a (u; v)+
uv è coerciva per grande; oppure: problema
di Neumann non omogeneo per
.
8.3
Forme bilineari continue, coercive e simmetriche
Una forma bilineare simmetrica e coerciva de…nisce un prodotto scalare, la cui
norma è equivalente a quella di partenza, se la forma è anche continua (*).
Teorema: se la forma bilineare è simmetrica, continua e coerciva il problema
variazionale astratto è ben posto. (*). Esempio di applicazione al problema di
Dirichlet omogeneo o non omogeneo (*EX), per
u + cu = f . Interpretazione
variazionale: Teorema: nelle stesse ipotesi sulla forma bilineare, u risolve il
problema variazionale astratto a (u; v) = hv; F i per ogni v 2 H se e solo se u
minimizza il funzionale J (u) = 21 a (u; u) hu; F i : (*).
8.4
Forme bilineari continue, coercive ma non simmetriche
Teorema di Lax-Milgram: se a è continua e coerciva, il problema variazionale
astratto corrispondente è ben posto. (*). Esempio di applicazione al problema
di Dirichlet omogeneo per un operatore ellittico completo con termine di ordine
zero discosto da zero a termini di ordine uno piccoli.
8.5
Approssimazione e metodo di Galerkin
Impostazione del metodo di Galerkin: proiezione del problema variazionale astratto su una successione di sottospazi Vk …nito dimensionali, equivalenza del
problema proiettato su Vk alla risoluzione di un sistema algebrico n n, determinato se la forma bilineare è coerciva. Relazione tra soluzione uk del problema
proiettato e soluzione esatta u: Teorema di Céa: sotto le ipotesi del Th. di
M
inf v2Vk ku vk : (*). Corollario: convergenza del
Lax-Milgram, ku uk k
0
metodo di Galerkin. (*). Esempio di successione di sottospazi Vk : spazi degli
elementi …niti lineari su un dominio poligonale, con una triangolazione di passo
hk ! 0. (v. anche: [Quart], Cap.3).
10
9
Teoria di Fredholm in spazi di Hilbert e applicazioni a problemi ellittici non coercivi
Motivazione: formulazione debole del problema di Dirichlet omogeneo per un
operatore uniformemente ellittico completo. Veri…ca della coercività debole
della forma bilineare. Costruzione di un operatore compatto K : H01 ( ) !
H01 ( ) tale che il problema di partenza sia equivalente a risolvere un’equazione
(I K) u = f in H01 ( ) ; per u 2 H01 ( ) :
9.1
Teoria di Fredholm
Aggiunto L di un operatore L 2 L (H1 ; H2 ) con H1 ; H2 spazi di Hilbert.
Proposizione: Dalla relazione (x; L y) = (Lx; y) risulta ben de…nito l’operatore
L 2 L (H2 ; H1 ) ; e kL k = kL k (*). Proprietà elementari dell’aggiunto:
1
(L1 L2 ) = L2 L1 ; L 1 = (L ) ; (L1 + L2 ) = L1 + L2 ; L = L (*EX).
De…nizione di operatore autoaggiunto, nel caso L 2 L (H) : L 2 L (H) è autoaggiunto se e solo se (x; Ly) = (Lx; y) per ogni x; y 2 H; cioè se e solo se L è
?
simmetrico (*). Relazioni su rango e nucleo di un operatore: N (L) = R (L ) ;
?
R (L) = N (L ) (*).
De…nizione di operatore L 2 L (H1 ; H2 ) compatto. La composizione di un
operatore continuo e uno compatto è compatto (*EX); se L 2 L (H1 ; H2 ) e
dim R (L) < 1; allora L è compatto. L’aggiunto di un operatore compatto è
compatto. (*).
Teorema dell’alternativa di Fredholm (*). Sia K : H ! H compatto, allora:
(1) N (I K) ha dimensione …nita; (2) R (I K) è chiuso, e R (I K) =
?
N (I K ) ; (3) N (I K) = f0g () R (I K) = H; (4) dim N (I K) =
dim N (I K ) :
Cenni alla teoria di Fredholm in spazi di Banach: de…nizione dell’aggiunto
e delle relazioni di “ortogonalità”, enunciati dei teoremi.
(v. [Sal], pp. 264-6, [Bre], p.148).
9.2
Alternativa per problemi variazionali astratti con forma
bilineare non coerciva
Applicazione dell’alternativa di Fredholm ai problemi variazionali astratti: terna
Hilbertiana V; H; V con V b H (inclusione compatta e densa). Teorema (*).
Sia V; H; V una terna Hilbertiana e a una forma bilineare continua su H; debolmente coerciva, ossia tale che a ( ; )+ ( ; )H sia coerciva su V per abbastanza
grande. Allora per il problema a (u; v) = hv; F i 8v 2 V valgono le seguenti: (1)
il problema ha soluzione 8F 2 V se e solo se il problema omogeneo a (u; v) = 0
8v 2 V ha solo la soluzione banale; (2) il problema ha soluzione per un certo
F 2 V assegnato se e solo se hw; F i = 0 per ogni w : a (v; w) = 0 8v 2 V ; (3) lo
spazio delle soluzioni del problema omogeneo a (u; v) = 0 8v 2 V e quello delle
soluzioni del problema omogeneo aggiunto a (v; u) = 0 8v 2 V hanno la stessa
dimensione, …nita.
11
(v. [Sal], pp.267-8).
9.3
Applicazioni ai problemi ellittici non coercivi
Il problema di Neumann non coercivo: condizione di risolubilità come condizione
di compatibilità tra i dati (*). Il problema di Dirichlet omogeneo per l’operatore
ellittico completo: esistenza dall’unicità, ottenuta da principi di massimo. (*).
Cenno ai principi di massimo debole: De…nizione di sopra e sottosoluzione
(Lu 0; Lu 0) ; Lemma: se u; v 2 H 1 ( ) ; allora max (u; v) 2 H 1 ( ) ; in particolare u+ ; u 2 H 1 ( ) (*EX); de…nizione di “u 0 su @ ” per u 2 H 1 ( ) e
non necessariamente regolare. Principio di massimo debole: per l’operatore
L=
(aij uxi )xj + ci uxi + du
con d (x) 0 vale il principio di massimo: u 2 H 1 ( ), Lu 0 in ; u 0 su
@ =) u 0 in (idem col ). Conseguenza: unicità (e quindi esistenza) della
soluzione sotto queste ipotesi. Il caso dell’operatore completo: la condizione
d 0 va sostituita con d (bi )xi 0 in .
(v. [Sal] p.360 sgg., [Bre] pp.279-287, [GT] pp. 177-182).
10
Strumenti funzionali per la formulazione debole di problemi di evoluzione astratti
Motivazione: problema di Cauchy-Dirichlet per l’equazione del calore su un dominio cilindrico. Inadeguatezza degli spazi di Sobolev standard per inquadrare
il problema. Opportunità di avere spazi “dipendenti dal tempo”.
10.1
Integrale di Bochner
Richiami sul ruolo delle funzioni semplici nella de…nizione di misurabilità e integrabilità nella teoria di Lebesgue: f : X ! R è misurabile se e solo se è limite
q.o. di una successione di funzioni semplici.
Funzioni a valori vettoriali (f : I ! X; di Banach): de…nizione di funzione
semplice, funzione misurabile. Se f : I ! X è misurabile anche kf k : I ! R
lo è (*). Nozione di funzione debolmente misurabile. Teorema di Pettis: se
X è separabile, f : I ! X è misurabile se e solo se è debolmente misurabile.
De…nizione di integrale (di Bochner) di una funzione a valori vettoriali. La
de…nizione è ben posta (*). Criterio più operativo per decidere l’integrabilità:
Teorema
di Bochner:
f è integrabile
se e solo
R
R
R
R se kf k lo è, e in questo caso
f
(t)
dt
kf
(t)k
dt;
e
;
f
(t)
dt
=
h ; f (t)i dt 8 2 X :
I
I
I
I
10.2
Spazi Lp (I; X) a valori vettoriali
De…nizione di Lp (I; X) per p 2 [1; 1] : Proprietà funzionali elementari: Lp (I; X)
è di Banach per ogni p 2 [1; 1] (*EX), di Hilbert se X è di Hilbert e p = 2;
12
se I è limitato, Lp (I; X)
Lq (I; X) per q < p (*); se X
Y con inclusione
1
1
continua, L (I; X) L (I; Y ) (*); se f 2 Lp (I; X) e g 2 Lq (I; X ) (p; q coR
niugati), allora I hf (t) ; g (t)iX;X dt
kf kLp (I;X) kgkLq (I;X ) (*). Teorema:
se p 2 [1; 1) e X è ri‡essivo oppure X è separabile, (Lp (I; X)) = Lq (I; X ) :
Inoltre, se X è ri‡essivo e p 2 (1; 1) ; Lp (I; X) è ri‡essivo.
10.3
Spazi di funzioni regolari
Lo spazio C 0 I; X ; derivata di una funzione f : I ! X; spazio D (I; X) =
C01 (I; X). Teorema: per p 2 [1; 1); D (I; X) è denso in Lp (I; X) ; se inoltre
X è separabile, Lp (I; X) è separabile.
10.4
Spazi di Sobolev a valori vettoriali
De…nizione di derivata debole per f 2 L1loc (I; X) : De…nizione degli spazi W k;p (I; X) ;
W0k;p (I; X). Proprietà funzionali: gli spazi W k;p (I; X) ; W0k;p (I; X) sono di Banach; se p = 2 e X è di Hilbert, sono di Hilbert; se X è ri‡essivo e p 2 (1; 1) ;
sono ri‡essivi; in particolare, se X è ri‡essivo, H01 (I; X) ' H 1 (I; X ) :
Proprietà di continuità: Teorema: se f 2 W 1;p (I; X) ; allora f è assolutamente
Rt
continua, derivabile q.o. con derivata integrabile, e f (t) = f (t0 ) + t0 f 0 (s) ds:
Corollario: W 1;p (I; X)
C 0 I; X ; se I è limitato e p > 1, kf kC 0 (I;X)
c (jIj) kf kW 1;p (I;X) (*), inoltre W 1;p (I; X) C 0; I; X con = 1 1=p: (*).
Densità: se I limitato e p < 1; C 1 I; X è denso in W k;p (I; X) ; se X è separabile, anche W k;p (I; X) è separabile. Teorema. Sia V
H
V una terna
Hilbertiana, allora L2 (I; V ) \ H 1 (I; V ) C I; H :
10.5
Formulazione debole del problema di Cauchy-Dirichlet
per l’equazione del calore
Scrittura alternativa del termine hv; ut i : Cenni al metodo di Faedo-Galerkin:
successione di problemi approssimanti e sua soluzione; metodo delle stime a
priori (dell’energia) e sottosuccessione convergente debolmente; esistenza della
soluzione; unicità; stabilità.
(v. [Sal], pp.331-4 e 382-386; [GP], pp.43-9, [CH], cap.1, §1.4)
13
References
[Ada]
R. A. Adams: Sobolev Spaces. Academic Press.
[Bre]
H. Brezis: Analisi Funzionale. Teoria e Applicazioni. Liguori Ed.
[CH]
T. Cazenave, A. Haraux: An Introduction to Semilinear Evolution
Equations. Oxford Science Publications.
[GT]
D. Gilbarg, N.S. Trudinger: Elliptic Partial Di¤erential Equations of
Second Order. Springer.
[GP]
M. Grasselli, V. Pata: dispensa “Appunti del corso di Equazioni di
Evoluzione. Parte I”.
[Kes]
S. Kesavan: Topics in functional analysis and applications. John Wiley
& Sons.
[Kry]
N. Krylov. Lectures on Elliptic and Parabolic Equations in Hölder
Spaces.
[Pata]
V.
Pata:
dispensa
“Analisi
Reale
e
Funzionale”,
Parte II e Parte III. E’ scaricabile dalla pagina web:
http://web.mate.polimi.it/viste/pagina_personale/pagina_personale.php?id=121
[Quart] A. Quarteroni:
Springer.
Modellistica numerica per problemi di¤erenziali.
[Rud1]
W. Rudin: Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill.
[Rud2]
W. Rudin: Real and complex analysis / Analisi reale e complessa
(esiste la versione sia inglese che italiana).
[Sal]
S. Salsa: Equazioni a derivate parziali. Springer.
[Ziemer] W. P. Ziemer: Weakly Di¤erentiable Functions. Springer.
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