Il bello della matematica

Il bello della matematica
Il matematico, come il pittore
e il poeta
poeta, è un creatore di
forme.
G H Hardy
G.H.
Renato Betti
Politecnico di Milano
San Pellegrino, 7.9.09
(Galileo: La matematica è
il linguaggio con cui Dio ha
scritto l’universo)
(Pitagora)
Mysterium Cosmographicum
(Keplero 1596)
Matematica applicata all’estetica
all estetica
5 +1
Φ=
2
La successione di Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…..
Estetica della matematica
Quali sono i più belli? (D. Wells, 1988)
Eulero: e
iπ
+1 = 0
V-E+F=2
I ponti di Königsberg
Estetica della matematica
Quali sono i più belli? (Pristem
(Pristem, 1992)
Cantor : l’insieme dei numeri reali non è numerabile
Gödel : l’aritmetica non è completa
Ippaso da Metaponto: la diagonale del quadrato non è
commensurabile con il lato
I solidi platonici
terra
aria
fuoco
etere
(modello di universo)
acqua
I numeri…
Gli enunciati….
G. Desargues, 1636:
Teorema dei triangoli omologici
Le costruzioni…
C.F. Gauss, 1796:
Costruzione del 17-gono regolare con riga e compasso
Teorema. Il poligono regolare con un
numero primo p di lati è costruibile con riga
e compasso se e solo se
p = 2 +1
2n
Bellezza matematica = sorpresa ?
Teorema di Morley
Teorema di Napoleone
Bellezza matematica = sintesi ?
Il teorema dei 4 colori
Una dimostrazione senza parole
p
La media geometrica non
supera la media aritmetica
(G.H. Hardy, Apologia di un matematico, 1940)
Il matematico, come il pittore e il poeta, è un creatore di forme. Se le forme
che crea sono più durature delle loro è perché le sue sono fatte di idee. Il
pittore crea forme con i segni ed il colore, il poeta con le parole…
Il matematico invece non ha altro materiale con cui lavorare se non le idee.
Quindi le forme che crea hanno qualche probabilità di durare più a lungo,
perché le idee si usurano meno delle parole…
Aristotele ((Metafisica XIII.3.107b))
“Quelli che affermano che le scienze matematiche
non parlano della bellezza sono in errore. Le
maggiori
gg
forme di bellezza sono ordine,,
commensurabilità, precisione”.
1. Commensurabilità - struttura
2. Ordine
- algoritmo
3 P
3.
Precisione
i i
- dimensione
di
i
1. Commensurabilità
Il tema del sole
(neolitico superiore)
La vera b
L
bellezza
ll
è una
deliberata, parziale,
rottura di simmetria
(proverbio Zen)
(Saqqara, 25 sec. a.C.)
“Quanta” simmetria ha una figura?
Le simmetrie
i
i di una figura
fi
piana
i
sono le
l isometrie
i
i T
del piano che lasciano inalterata la figura:
T(F) = F
τ
σ
I numeri misurano quantità. La “misura” della simmetria deve
tener conto della struttura che ha l’insieme delle trasformazioni.
Gruppo di isometrie F
F
Esempi
i geometria…
in
i
B
D
C
O
in cristallografia…
A
in chimica
NaCl
in fisica (invarianza delle leggi)
Gruppo di Galileo
Gruppo di Lorentz
in algebra…
algebra
Le funzioni simmetriche elementari (formule di Viète):
Il “gruppo
“
di Galois”
G l i ” di un’equazione
’
i
algebrica
l b i è il gruppo delle
d ll
permutazione delle radici α1, α2, …,αn che conservano tutte le loro
espressioni algebriche “vere”
vere (e quindi è il gruppo di simmetria di
queste espressioni).
Rosoni fregi e mosaici
Rosoni,
……
……
Rosoni
Maya
Egitto pre-dinastico
Alhambra di Granada
Fregi
(paleolitico)
I gruppi cristallografici piani
o gruppi dei mosaici
o gruppi di carte da parati
o arabeschi
Egitto
Cnosso
Mosaici dell’Alhambra di Granada
E in altri spazi ?
M.C. Escher:
Simmetria p3 nel
piano
i
iperbolico
i b li
Nelle altre dimensioni?
Teorema: un sottogruppo finito di
rotazioni dello spazio è un gruppo
ciclico oppure diedrale oppure il
gruppo di simmetria rotazionale di
un solido regolare
g
((tetraedro,,
ottaedro, icosaedro).
Teorema: esistono 230 gruppi
g pp
cristallografici in tre dimensioni
(219 classi di isomorfismo diverse)
Il “gruppo mostro”, il più grande dei gruppi semplici finiti, ha circa
808.017.424.794.512.875.886.459.904.961.710.757.005.754.368×109=
=246 · 320 · 59 · 76 · 112 · 133 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71 (~10
e rappresenta un gruppo di rotazioni dello spazio a 199.883
199 883 dimensioni
2. Ordine
Chiave k
T
m
Cifratura
c
Decifrazione
m
I
La sicurezza di un sistema crittografico dipende solo dalla
segretezza della chiave ((“Principio
Principio di Kerckhoffs
Kerckhoffs”))
R
Enigma
Alan Turing (1912-1954)
Scambio delle chiavi
a
a
N
a
N
b
a
b
N
N
b
N
b
N
La chiave pubblica (1976)
canale simmetrico
T
R
canale asimmetrico
T
R
funzioni “a trabocchetto”
T
m
cifratura
c
I
decifrazione
m
R
No cifre
20
50
100
200
1000
Primalità
Fattorizzaz.
10 sec.
sec
15 sec.
40 sec.
10 min.
1 sett.
24 min
min.
4 ore
74 anni
4· 109 anni
3·1043 anni
Fonte: D.E. Knuth, 1982
Aritmetica modulare:
a ≡ b (mod n) ⇔ a − b = kn (k ∈ Z )
Teorema di Eulero-Fermat (1750):
MCD (m, n) = 1 ⇒ mϕ ( n ) ≡ 1 (mod n)
3. Precisione
(00)
(01)
(10)
(11)
(00|0)
(01|1)
(10|1)
(11|0)
x1 + x2 + x3 = 0
Codici correttori d’errore
(000|00)
(011|10)
(101|01)
(110|11)
⎧ x1 + x2 + x3 = 0
⎪
⎨ x1 + x3 + x4 = 0
⎪x + x + x + x = 0
⎩ 1 2 4 5
Codici correttori d’errore
alfabeto F2 ={0, 1}
Fq (q
( = pn)
spazio
i F25
Fqm (m = lunghezza del codice)
distanza di Hamming
Fqm è uno spazio metrico
Teorema. Nella trasmissione di un codice la cui minima distanza è d
è possibile:
- rivelare k errori se e solo se: d ≥ k + 1
- correggere
gg
k errori se e solo se: d ≥ 2k + 1
Conclusione
Quelli che affermano che le scienze matematiche non parlano della
bellezza sono in errore.
(Aristotele)
Le forme create dal matematico, come quelle create dal pittore o
poeta, devono essere belle…
dal p
Le idee, come i colori o le parole, devono legarsi armoniosamente. La
bellezza è il requisito fondamentale. Al mondo non c’è un posto
permanente p
p
per la matematica brutta.
(G.H. Hardy)
Il bello della matematica è l’astrazione: la capacità di immergersi nel
mondo immaginario della teoria e riemergere a spiegare ciò che è reale.
Grazie per l’attenzione