Elementi di meccanica razionale
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Elementi di meccanica razionale
tutore: Enrico Bibbona tutorato di Elementi di meccanica razionale - 3 Cinematica relativa ~vtr = ~vO′ + ~ω × O~′ P ~v = v~′ + ~vtr Velocità di trascinamento Legge di comp. delle velocità ~atr = ~aO′ + ~ω̇ × O~′ P + ~ω × (~ω × O~′ P ) ~aC = 2~ω × v~′ Acceleraz. di trascinamento Acceleraz. di Coriolis ~a = a~′ + ~atr + ~aC ~ω = ω~′ + ~ωtr Legge di comp. delle accelerazioni Legge di comp. delle velocità angolari Esercizio 1 Si consideri un punto materiale che si muove sulla circonferenza che è intersezione tra una sfera di raggio R ed un piano parallelo all’equatore e da esso distante h < R. Sia il suo moto uniforme con velocità angolare costante α. Si trovi il moto relativo, la velocità relativa e quella di trascinamento, la accelerazioni relativa, di trascinamento e di Coriolis rispetto a un osservatore anch’esso rotante attorno allo stesso asse (e nello stesso verso) con velocità angolare costante ω Fissiamo una terna fissa in cui ~i e ~j giacciono sul piano equatoriale, mentre ~k è l’asse di rotazione. L’osservatore in moto è collegato ad una terna mobile (~e1 (t), ~e2 (t), ~e3 (t)) legato a quello fisso dalla trasformazione seguente ~ i cos(ωt) sin(ωt) 0 ~ e1 ~j ~ e2 . = − sin(ωt) cos(ωt) 0 ~ e3 0 0 1 ~ k √ √ √ 2 2 2 2 2 2 ~ ~ ~ ~ √ Si ha P (t) = R − h cos(αt)i + R − h sin(αt)j + hk = √R − h cos[(α − ω)t]~e1 (t) + 2 2 2 2 R − h sin[(α−ω)t]~e2 (t)+h~e3 (t). La velocità di P è data√da ~v = α R − h (− sin(αt), cos(αt), 0). La velocità di P secondo l’osservatore mobile è√ invece v~′ = R2 − h2 (α−ω) (− sin[(α − ω)t]~e1 (t) + cos[(α − ω)t]~e2 (t)), ′ ω)(− sin[(α − ω)t] cos(ωt) − cos[(α − che riscritta rispetto alla base fissa dà v~ = R2 − h2 (α − √ R2 − h2 (α−ω)(− sin(αt), cos(αt), 0). ω)t] sin(ωt), − sin[(α−ω)t] sin(ωt)+cos[(α−ω)t] cos(ωt), 0) = √ 2 2 La velocità di trascinamento viene v~tr = ω R − h (− sin(αt), cos(αt), 0) e si può verificare direttamente la validità della legge √ di composizione delle velocità. Per quanto riguarda le accelerazioni, quella di Coriolis viene ~aC =√2 R2 − h2 ω(α − ω)(− cos(αt), − sin(αt), 0). L’accelerazione di trascinamento viene invece ~atr = R2 − h2 ω 2 (− cos(αt), − sin(αt), 0). Si ha ancora p ~a = α2 R2 − h2 (− cos(αt), − sin(αt), 0) e a~′ = p R2 − h2 (α − ω)2 (− cos[(α − ω)t]~e1 (t) − sin[(α − ω)t]~e2 (t)) , che riscritta rispetto alla base fissa dà p − cos[(α−ω)t] cos(ωt)+sin[(α−ω)t] sin(ωt) 2 2 2 R − h (α − ω) − cos[(α−ω)t] sin(ωt)−sin[(α−ω)t] cos(ωt) 0 p − cos(αt) = R2 − h2 (α − ω)2 − sin(αt) . a~′ = 0 1 Anche in questo caso la legge di composizione delle accelerazioni può essere facilmente verificata. Esercizio 2 Siano sistema mobile e fisso come nell’esercizio precedente, ma rispetto al sistema mobile il punto P si muova uniformemente su un meridiano della sfera (la sua equazione del moto nel sistema mobile sia per esempio P~ (t) = R cos(αt)~e2 (t) + R sin(αt)~e3 (t). Trovare l’equazione del moto di P nel sistema fisso e la sua velocità secondo i due riferimenti. ~ 1 + R cos(αt) cos(ωt)E ~1 + Si ha P~ (t) = R cos(αt)~e2 (t) + R sin(αt)~e3 (t) = −R cos(αt) sin(ωt)E ~ R sin(αt)E3 . La velocità di P secondo l’osservatore mobile è v~′ = −αR sin(αt)~e2 (t) + αR cos(αt)~e3 (t) La velocità di trascinamento viene v~tr = −ωR cos(αt) cos(ωt)~i − ωR cos(αt) sin(ωt)~j Si può verificare direttamente la validità della legge di composizione delle velocità. Esercizio 3 Descrivere il moto di un punto P (lo si può immaginare come l’estremo di una trottola rigida) che ruota uniformemente attorno all’asse ~e3 (t) di un sistema mobile a distanza d dall’asse ~e3 (t) stesso e r dall’origine (chiamiamo ω ′ la vel. ang.). Il sistema mobile al tempo ~ 1 ed ~e1 (0) sono coincidenti, ~e2 (0) ed ~e3 (0) giacciono sullo iniziale parte da una posizione in cui E ~ ~ ~ 3 . Col variare del tempo, il stesso piano di E2 ed E3 , e ~e3 (0) è inclinato di un angolo ϕ rispetto ad E ~ sistema mobile ruota uniformemente attorno all’asse E3 (moto di precessione con velocità angolare costante ωtr ). Dire qual è la velocità angolare della trottola nel sistema fisso e qual è l’equazione del moto di P . NB. Cosı̀ come è formulato l’esercizio è difficile, oltre lo standard di quelli d’esame. Per rendere le cose più semplici si analizzi il caso in cui ϕ = π2 . Per descrivere il moto in maniera esauriente nel caso generale occorre osservare che poichè durante ~ 3 , il vettore ~e1 (t) rimane nel piano formato da E ~1 la rotazione del sistema mobile attorno ad E ~ 2 (e pertanto resta ortogonale ad E ~ 3 ), è possibile introdurre una terna di vettori intermedia ed E ~ 3 e ~ǫ1 (t) = ~e1 (t). Per passare dalla terna fissa alla (~ǫ1 (t),~ǫ2 (t),~ǫ3 (t)) mobile tale che ∀t ~ǫ3 (t) = E ~ǫi (t) la trasformazione è la seguente: ~ǫ (t) ~ E1 1 cos(ωtr t) sin(ωtr t) 0 ~2 ~ ǫ2 (t) = − sin(ωtr t) cos(ωtr t) 0 . E ~ ǫ3 (t) 0 0 ~3 E 1 I vettori ~e2 (t) ed ~e3 (t) giacciono sullo stesso piano di ~ǫ2 (t) ed ~ǫ3 (t) e ad essi sono collegati da una rotazione attorno ad ~e1 (t) = ~ǫ1 (t) di angolo ϕ: ~e 1 (t) ~ e2 (t) ~ e3 (t) = 1 0 0 0 cos ϕ sin ϕ 0 − sin ϕ cos ϕ ~ǫ 1 (t) ~ ǫ2 (t) ~ ǫ3 (t) = 1 0 0 0 cos ϕ sin ϕ 0 − sin ϕ cos ϕ cos(ωtr t) sin(ωtr t) 0 − sin(ωtr t) cos(ωtr t) 0 0 0 1 ~ E1 ~2 E ~3 E . ~3 La velocità angolare è la somma di quella relativa ω~′ = ω ′~e3 (t) e quella di trascinamento ~ωtr = ωtr E e per calcolare ~ ω si usa la legge di composizione delle velocità angolari (dopo aver riportato gli addendi nella stessa base). √ Nel sistema mobile si ha per esempio P~ (t) = d cos(ω ′ t)~e1 (t) + d sin(ω ′ t)~e2 (t) + r2 − d2 ~e3 (t). Per ottenere l’equazione del moto basta sostituire ~e1 (t), ~e2 (t) ed ~e3 (t) con le loro espressioni in termini della terna fissa. Il caso ϕ = π2 è più semplice e viene lasciato al lettore. Si può confrontare le espressioni desunte con quelle precedenti ove si sostituisca a ϕ il suo valore. 2