Limiti e continuità.

I seguenti quesiti ed il relativo svolgimento sono coperti dal diritto d’autore, pertanto essi non possono essere sfruttati a fini
commerciali o di pubblicazione editoriale senza autorizzazione esplicita e scritta dell’autore. Ogni abuso sarà perseguito a
termini di legge dal titolare del diritto.
Esercizi 2
(1) Risolvere le seguenti disuguaglianze:
x≥
√
p
4
x2 − 1,
2−x< √
1
,
x+1
1
,
ex + 3
ln x ≥ ln |x + 1|,
e2x − 1
> 1,
ex + 1
cos(cos x) > 0,
ln(x2 − 4) ≥ ln x,
√ x
e −1
√
≤ 0,
8
1 − x2
(x2 − 19)esin x ≤ 0,
ex ≥
ln(1 − x) > ln(1 + x) + 1,
ln(ex − 1) < x − 1,
ln(ex − 1)
≥ 0,
x
√
3
2−x+1
√
> 2,
3
2−x−1
√
x − 3 x + 2 > 0,
√
x2 ≤ x,
r
2x − 1
1
< ,
x − x2
x
sin(sin x) > 0,
ex − e−x
> 0,
x+1
√
√
x− 4x
1
√
√ > ,
2
x+ 4x
√
√
3
x+ x
√
√ > 2,
3
−x + x
√
ln(cos x) ≤ x.
(2) Posto f (x) = x3 −1 e g(x) = x−3, fornire il grafico delle funzioni f (|x|), |f (x)|, (f ◦g)(x),
(g ◦ f )(x).
√
(3) Posto f (x) = x2 − 1 e g(x) = x − 3, fornire il grafico delle funzioni f (|x|), |f (x)|,
(f ◦ g)(x), (g ◦ f )(x). (N.B. Attenzione ai domini delle funzioni!).
(4) Siano f, g : R → R, allora:
i) se f e g sono entrambe crescenti, allora f ◦ g è crescente?
ii) se f è crescente e g decrescente, allora f ◦ g è. . . ?
iii) se f e g sono entrambe decrescenti, allora f ◦ g è. . . ?
(5) Se f (x) è un polinomio, è vero che f (x2 ) è sempre uguale a (f (x))2 ? è vero che f (x3 ) è
sempre una funzione dispari? è vero che f (x2 ) è sempre pari?
(6) Sia f (x) una funzione tale che 0 < f (x) < 1/x per ogni x > 0; f (x) è necessariamente
x
decrescente (prima di rispondere, considerate la funzione f (x) = sin
2x )? f (x) può essere
crescente?
(7) Il fatto che f e g siano funzioni convesse di per sé non garantisce che il loro prodotto,
ovvero la funzione (f g)(x) = f (x)g(x), sia anch’esso convesso. Sapreste dare un esempio
di ciò?
(8) Il fatto che f e g siano funzioni convesse di per sé non garantisce che la funzione composta
f ◦ g sia anch’essa convessa. Sapreste dare un esempio di ciò?
(9) Dimostrare che per ogni x ≥ 0 e per ogni λ ∈ [0, 1], vale la disuguaglianza:
p
√
λ + (1 − λ)x ≥ λ + (1 − λ) x.
(10) Discutere l’esistenza dei seguenti limiti:
1
lim 1 − cos(x),
lim cos(x),
x→+∞
x→−∞
lim cos(ex − 3),
lim sin(ln x),
x→+∞
x→+∞
x + sin x
,
x→−∞ x − cos x
x + sin x
lim
,
x→0 x − cos x
√
1−x−x+1
lim
,
−
x2 − 1
x→1
√
√
x− 4x
√ ,
lim √
x+ 4x
x→0+
x + sin x
,
x→−∞ 3x − ex + cos x
x
lim
,
x→0 1 − cos x
lim
lim
lim xx ,
x→0+
lim
x→1
sin(xπ)
,
ex − e
cos4 x
,
x→+∞
x
lim ecos x ,
lim
x→+∞
2x + sin7 x
lim √
,
x→+∞
x − cos x
√
3
x−1
lim
,
x→1 x − 1
√
e x − cos x
√
lim
,
x
x→0+
lim ln x − x2 ,
x→+∞
√
x1/2 − x1/3
,
lim x − ln(x2 + 1),
lim 100 x − ln(x100 + 1),
1/2
1/3
x→+∞ x
x→+∞
x→+∞
+x
100
sin
x
2
1
ln x − x
e
− cos x
lim
,
lim
,
lim (x + e) ln x .
1/3
x→+∞
x→+∞
x→0
x
x −1
(11) Dove la funzione f che vale 0 sui razionali ed 1 sugli irrazionali risulta continua?
√
(12) Sia f (x) = 2 quando x ∈ Q, mentre f (x) = c quando x ∈ R\Q; per quale valore di c
la funzione risulta continua in x = 3? E in x = π?
(13) Verificare la continuità di x−3 in 12 tramite la definizione.
lim
(14) È noto che la somma di due funzioni continue è sempre una funzione continua; la somma
di due funzioni discontinue è sempre una funzione discontinua?
(15) Dimostrare che se f (x) è continua in x = 1 ed assume sia valori positivi sia valori negativi
in ogni intorno di 1, allora f (1) = 0.
√
(16) Dove la funzione f (x) =
x2 −1+sin(ln x)−π
2
ex −1
(17) Supponendo che x → 0, dimostrare che
√
√
x
1+x−1− 2
x
è continua?
1 + x = 1 + x2 + o(x). [Suggerimento: si tratta
di dimostrare che
→ 0; per farlo moltiplicate numeratore e denominatore per
√
x
1 + x + 1 + 2 ].
√
(18) Supponendo che x → 0, dimostrare che 3 1 + x = 1 + x3 + o(x). [Suggerimento: si tratta
√
3
(19)
(20)
(21)
(22)
1+x−1−
x
3 → 0; per farlo moltiplicate numeratore e denominatore per
di dimostrare che
√x
√
3
x 3
2
( 1 + x) + (1 + 3 ) 1 + x + (1 + x3 )2 ; in questo modo a numeratore comparirà una
differenza di cubi].
Forti dei casi precedenti, dimostrate che per ogni n ∈ N
√
x
n
1 + x = 1 + + o(x).
n
[Suggerimento: si può procedere come nei casi precedenti (ma è lungo), oppure osservare
1
√
che n 1 + x = (1 + x)1/n = e n ln(1+x) da cui la tesi segue dal fatto che e = 1 + + o()
e che ln(1 + ) = + o()].
Supponendo che x → 0, dimostrare che (1 + tan x)1/3 = 1 + x3 + o(x).
√
2
Supponendo che x → 0, dimostrare che 1 + x = 1 + x2 − x8 + o(x2 ). [Suggerimento:
dopo√aver chiarito cosa si chiede di dimostrare, moltiplicare numeratore e denominatore
per 1 + x + 1 ed utilizzare le relazioni già note.]
Dimostrare che se f (x) = 1 + x2 + o(x2 ), allora esiste un intorno di 0 dove f (x) è
strettamente maggiore di 1.
(23) Esiste una funzione monotona e definita su [0, 1], avente infiniti punti di discontinuità?
(24) Esiste una funzione strettamente crescente su [0, 1], avente infiniti punti di discontinuità?
2
Soluzioni
(1) Nello stesso ordine:
√
1− 5
2
x ≥ 1,
√
x ≥ ln(
mai,
x≥
13−3
),
2
√
1+ 17
,
2
x = 0,
−1<x<
0<x<
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
1−e
1+e ,
e
e−1 ,
√
< x ≤ −1, 1+2
5
< x ≤ 2,
x ≥ 0,
√
0 < x < 1/1 2, x > 1,
2kπ < x < π + 2kπ ∀k ∈ Z,
x > ln 2,
∀x,
√
√
− 19 ≤ x ≤ 19,
x < −1, x > 0,
x ≥ ln 2,
x > 34 ,
− 25 < x < 1,
1 < x < 36 ,
0 ≤ x < 1, x > 4,
{− π2 + 2kπ < x <
π
2
+ 2kπ} ∩ {x ≥ 0}.
Elementare.
Elementare.
Si. Decrescente. Crescente.
No. No. Si.
No. No.
√
(7) Ad esempio considerate f (x) = g(x) = − 3 x. Allora (f g)(x) = x2/3 che è concava non
convessa, nonostante f (e quindi g) sia convessa.
√
√
(8) Considerate f (x) = g(x) = 1/ x. Allora (f ◦ g)(x) = 4 x che è concava non convessa,
nonostante f (e quindi g) sia convessa.
√
(9) Sia f (x) = x. La disuguaglianza proposta equivale allora ad affermare che
f (λ · 1 + (1 − λ)x) ≥ λf (1) + (1 − λ)f (x) ∀λ ∈ [0, 1]
ovvero al fatto che f è una funzione concava nell’intervallo [1, x], e questo è vero (dato
che f 00 (x) < 0).
(10) Nello stesso ordine:
non esiste,
non esiste,
non esiste,
non esiste,
1,
1
3,
+ ∞,
∞,
1,
− πe ,
+ ∞,
− ∞,
1
3,
0,
− ∞,
− 1,
1,
1,
0,
non esiste,
1,
− ∞,
+ ∞,
e.
(11) In nessun punto.
√
(12) In entrambi i case se e solo se c = 2.
(13) Si deve dimostrare (direttamente dalla definizione) che limx→1/2 x−3 = 8, ovvero che
∀ > 0, esiste δ = δ() > 0 tale che
1
1
|x − | < δ =⇒ | 3 − 8| < .
2
x
Osserviamo che |x − 1/2| < δ equivale a −2δ < 1 − 2x < 2δ. Di conseguenza abbiamo
che
3
2
2
1
− 8 = |1 − 8x | = |1 − 2x||1 + 2x + 4x | ≤ |1 − 2x|(1 + 2|x| + 4x )
x3
|x3 |
|x|3
|x|3
(1 + 2(1 + 2δ) + 4(1 + 2δ)2 )
.
≤ 2δ ·
| 12 − δ|3
3
(Abbiamo usato la proprietà del modulo secondo cui |a + b| ≤ |a| + |b| valida per ogni
a, b). Che l’espressione trovata possa essere resa arbitrariamente piccola (minore di )
pur di prendere δ piccolo è abbastanza chiaro, data la presenza del fattore 2δ. L’unico
problema è mostrare che l’altro fattore non è “grande”. Per fare ciò osserviamo che nulla
ci vieta di prendere δ < 1/4. Sotto questa ipotesi l’ultima disuguaglianza diventa
2δ ·
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(1 + 2(1 + 2δ) + 4(1 + 2δ)2 )
≤ 21 · 64 · δ.
| 12 − δ|3
L’ultima espressione sarà dunque minore di pur di prendere δ < /(21 · 64) e tenendo
conto del fatto che abbiamo ipotizzato δ < 1/4, scopriamo che una scelta possibile per
δ, una volta fissato è δ ≤ min(1/4, /(21 · 64)).
No. Ad esempio, se f (x) è una qualsiasi funzione discontinua in 0, e g(x) = −f (x), allora
è chiaro che anche g(x) è discontinua in x = 0 eppure la funzione somma f (x) + g(x) è di
fatto la funzione costante (il cui valore è sempre zero) che quindi è sicuramente continua
anche in x = 0.
Dal fatto che la funzione sia continua in 1 segue che limx→1 f (x) esiste e f (1) =
limx→1 f (x). Se il limite fosse positivo per la permanenza del segno f (x) dovrebbe
essere positivo in un intorno, ma questo è contro l’ipotesi secondo cui f (x) assume valori
positivi e negativi in ogni intorno di 1. Lo stesso accadrebbe se il limite fosse negativo.
L’unica possibilità dunque è che il limite (e quindi f (1)) sia uguale a 0.
La funzione è definita in x ≥ 1 e risulta continua in tutto il suo dominio in quanto
composizione di funzioni continue.
Seguire il suggerimento.
Seguire il suggerimento.
Seguire il suggerimento.
Osservare che quando x → 0,
tan(x) = sin(x)/ cos(x) = (x + o(x))/(1 + o(x)) = x + o(x).
p
Sostituendo questa identità in 3 (1 + tan(x)) ed usando lo sviluppo noto della radice
segue la tesi.
(21) Seguire il suggerimento.
(22) Osserviamo che f (x) − 1 = x2 + o(x2 ) = x2 (1 + o(1)). Dato che o(1) tende a zero quando
xtende a zero (per definizione di o-piccolo), il fattore 1 + o(1) è positivo in un intorno di
0 e quindi anche la differenza f (x) − 1.
(23) Si, ma non è facile fornirne una che abbia una descrizione analitica semplice. Una
1
possibilità è la funzione f (x) che in ciascun intervallo della forma [1 − n1 , 1 − n+1
) (n
x
1
1
varia tra gli interi positivi) assume il valore 2 + 2 (1 − n ) e che vale 1 in 1. Di fatto si
tratta della funzione
x
se x ∈ [0, 12 )

2



1
x

se x ∈ [ 12 , 23 )

2 + 4


2
2 3
x


 2 + 6 se x ∈ [ 3 , 4 )
f (x) = x2 + 38 se x ∈ [ 34 , 45 )


4
x

se x ∈ [ 45 , 56 )

2 + 10




···



1
se x = 1.
Studiando questa funzione si scopre che tale funzione è strettamente crescente, è limitata
e che ogni punto della forma 1 − 1/n è di discontinuità.
(24) La funzione fornita nella risoluzione all’esercizio precedente è strettamente crescente.
4