Dispensa - Alessandro Giacomini

Capitolo 4
Funzioni continue e limiti
In questo capitolo definiremo la nozione di funzione continua e ne studieremo le proprietà fondamentali. Introdurremo inoltre l’operazione fondamentale dell’analisi infinitesimale, la nozione di limite di una funzione.
4.1
Intorni
Per a↵rontare lo studio della continuità e dei limiti di funzioni di una variabile, è opportuno
introdurre la nozione di intorno di un punto in R.
Definizione 4.1 (Intorno di un punto). Siano x0 2 R e U ✓ R.
(a) Se x0 2 R, diciamo che U è intorno di x0 se esiste
> 0 tale che ]x0
, x0 + [✓ U .
(b) Se x0 = +1, diciamo che U è intorno di +1 se esiste M > 0 tale che ]M, +1] ✓ U .
(c) Se x0 =
U.
1, diciamo che U è intorno di
1 se esiste M > 0 tale che [ 1, M [✓
Il seguente lemma contiene alcune proprietà degli intorni che utilizzeremo in seguito.
Lemma 4.2 (Proprietà degli intorni). Valgono i seguenti fatti.
(a) Per ogni intorno U di x0 2 R, esiste I intervallo tale che I è intorno di x0 e I ✓ U .
(b) Se x1 , x2 2 R con x1 < x2 , allora esistono un intorno U1 di x1 ed un intorno U2 di
x2 tali che per ogni a 2 U1 e b 2 U2 si ha
a < b.
In particolare
U1 \ U2 = ;.
(c) Se U1 , U2 sono due intorni di x0 2 R, allora anche U1 \ U2 è intorno di x0 .
59
4.1. INTORNI
A.A. 2016-2017
(d) Se x1 , x2 2 R sono tali che la somma x1 + x2 sia ben definita, allora per ogni intorno
U di x1 + x2 esistono un intorno U1 di x1 ed un intorno U2 di x2 tali che per ogni
a 2 U1 e b 2 U2 si ha che a + b è ben definito e
a + b 2 U.
(e) Se x1 , x2 2 R sono tali che il prodotto x1 x2 sia ben definito, allora per ogni intorno U
di x1 x2 esistono un intorno U1 di x1 ed un intorno U2 di x2 tali che per ogni a 2 U1
e b 2 U2 si ha che ab è ben definito e
ab 2 U.
Dimostrazione.
(a) Immediato dalla definizione.
(b) Consideriamo innanzitutto il caso x1 2 R: può essere allora x2 2 R o x2 = +1. Se
x2 2 R, possiamo considerare gli intervalli


d
d
d
d
U1 := x1
, x1 +
e
U2 := x2
, x2 +
2
2
2
2
dove d = |x1
x2 |.
Se x2 = +1, possiamo scegliere
1, x1 + 1[
U1 :=]
Sia ora x1 =
scegliere
e
U2 :=]x1 + 1, +1].
1: può essere ancora x2 2 R o x2 = +1. Se x2 2 R, possiamo
U1 := [ 1, x2
1[
e
U2 :=]x2
1, x2 + 1[,
mentre se x2 = +1 si può scegliere U1 := [ 1, 0[ e U2 :=]0, +1].
(c) Immediato dalla definizione.
(d) Supponiamo che x1 + x2 = s 2 R. Allora x1 , x2 2 R. Sia U intorno di s. Per
definizione, esiste > 0 tale che
]s
, s + [✓ U.
Allora otteniamo la tesi se poniamo

U1 := x1
, x1 +
2
2
e
U2 := x2
2
, x2 +
2

.
Infatti se a 2 U1 e b 2 U2 , si ha che a + b è ben definita e
s
= x1
2
+ x2
2
< a + b < x1 +
60
2
+ x2 +
2
=s+
A.A. 2016-2017
cioè a + b 2]s
4.2. FUNZIONI CONTINUE
, s + [✓ U , cioè
a+b2U
che è la tesi.
Supponiamo che x1 + x2 = +1, e senza perdere di generalità che x1  x2 . Questo
può accadere se
x1 2 R
e
x2 = +1
oppure se
x1 = x2 = +1.
Sia U un intorno di +1. Per definizione esiste M > 0 tale che ]M, +1[✓ U . La tesi
si ottiene ponendo nel primo caso
U1 :=]x1
M, +1]
e
U2 :=]2M
x1 , +1]
mentre nel secondo
U1 :=]
Il caso x1 + x2 =
M, +1]
e
U2 :=]2M, +1].
1 è simile.
(e) Omettiamo la dimostrazione.
4.2
Funzioni continue
Siano E ✓ R un insieme, f : E ! R una funzione e x0 2 E.
1. Poniamo la seguente definizione.
Definizione 4.3. Siano E ✓ R, x0 2 E e f : E ! R. Diciamo che f è continua in x0 se
per ogni intorno V di f (x0 ) esiste un intorno U di x0 tale che
f (U \ E) ✓ V.
Diremo che f è continua su E se f è continua in ogni x0 2 E.
Possiamo interpretare la continuità di f in x0 2 E nei seguenti modi.
(a) Da un punto di vista analitico, possiamo dire che f (x) è prossimo a f (x0 ) se x è vicino
a x0 , cioè a piccole variazioni della variabile x vicino a x0 corrispondono piccole
variazioni della funzione.
61
4.2. FUNZIONI CONTINUE
A.A. 2016-2017
y
(x0 , f (x0 ))
(x, f (x))
x x0
x
(b) Da un punto di vista geometrico, possiamo dire all’avvicinarsi di x 2 E a x0 , il punto
(x, f (x)) 2 Gf si approssima sempre più al punto (x0 , f (x0 )).
2. La continuità delle funzioni è una proprietà stabile per somma e prodotto.
Proposizione 4.4 (Continuità di somma e prodotto). Siano E ✓ R, x0 2 E e
f, g : E ! R due funzioni. Se f e g sono continue in x0 , allora risultano continue in x0
anche le funzioni f + g e f g.
Dimostrazione. Iniziamo con la funzione somma. Sia V un intorno di f (x0 ) + g(x0 ). Allora
esistono due intorni V1 di f (x0 ) e V2 di g(x0 ) tali che per ogni a 2 V1 e b 2 V2 si ha che
a + b è ben definito e
a + b 2 V.
Per la definizione di continuità esistono U1 e U2 intorni di x0 tali che
f (U1 \ E) ✓ V1
e g(U2 \ E) ✓ V2 .
Sia U := U1 \ U2 : U è intorno di x0 . Per ogni x 2 U \ E si ha
f (x) 2 V1
e
g(x) 2 V2
cosı̀ che
Concludiamo dunque che
f (x) + g(x) 2 V.
(f + g)(U \ E) ✓ V
e cioè che f + g è continua in x0 .
Passiamo alla funzione prodotto. Sia V un intorno di f (x0 )g(x0 ). Allora esistono due
intorni V1 di f (x0 ) e V2 di g(x0 ) tali che per ogni a 2 V1 e b 2 V2 si ha che ab è ben definito
e
ab 2 V.
62
A.A. 2016-2017
4.2. FUNZIONI CONTINUE
Per la definizione di limite esistono U1 e U2 intorni di x0 tali che
f (U1 \ E) ✓ V1
e g(U2 \ E) ✓ V2 .
Sia U := U1 \ U2 : U è intorno di x0 . Per ogni x 2 U \ E si ha
f (x) 2 V1
e
g(x) 2 V2
cosı̀ che
f (x)g(x) 2 V.
Concludiamo dunque che
(f g)(U \ E) ✓ V
e cioè che f g è continua in x0 .
La continuità è una proprietà stabile anche per composizione.
Proposizione 4.5 (Continuità della composizione). Siano E, F ✓ R, f : E ! R e
g : F ! R due funzioni tali che f (E) ✓ F . Sia x0 2 E tale che f è continua in x0 e g
è continua in f (x0 ). Allora la funzione composta g f : E ! R è continua in x0 .
Dimostrazione. Per la continuità di g in g(f (x0 )), per ogni intorno V di g(f (x0 )) esiste un
intorno V1 di f (x0 ) tale che
g(V1 \ F ) ✓ V.
Per la continuità di f in x0 esiste U intorno di x0 tale che
f (U \ E) ✓ V1 .
Si ha allora che f (U \ E) ✓ V1 \ F da cui
(g f )(U \ E) ✓ g(V1 \ F ) ✓ V
che implica dunque la continuità di g f in x0 .
3. La nozione di continuità può riformularsi in modo classico nel seguente modo.
Proposizione 4.6. Siano E ✓ R, f : E ! R e x0 2 E. Allora f è continua in x0 se e
solo se per ogni " > 0 esiste > 0 tale che
8x 2]x0
, x0 + [ \E : |f (x)
f (x0 )| < ".
Dimostrazione. Supponiamo che f sia continua in x0 . Dato " > 0, consideriamo l’intorno
di f (x0 )
V :=]f (x0 ) ", f (x0 ) + "[.
63
4.3. CONTINUITÀ DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
A.A. 2016-2017
Per la definizione di continuità , esiste U intorno di x0 tale che f (U \ E) ✓ V . Scegliamo
> 0 tale che ]x0
, x0 + [✓ U . Allora per ogni x 2 ]x0
, x0 + [ \E si ha f (x) 2 V ,
cioè |f (x) f (x0 )| < ", cosı̀ che la proprietà è verificata.
Supponiamo viceversa che la proprietà sia verificata. Consideriamo V intorno di f (x0 ).
Esiste " > 0 con
]f (x0 ) ", f (x0 ) + "[✓ V.
Sia
> 0 il numero associato a ": ponendo U :=]x0
f (U \ E) ✓]f (x0 )
, x0 + [ si ha subito che
", f (x0 ) + "[✓ V
cioè f è continua in x0 .
4.3
Continuità delle funzioni elementari
Grazie alle proposizioni precedenti, possiamo vedere che le funzioni elementari sono funzioni
continue. Procediamo per passi.
1. Le funzioni costanti
f : R !R
x 7! c
con c 2 R, la funzione identica
g: R !R
x 7! x
e la funzione reciproco
h : R \ {0} ! R
1
x
7!
x
sono continue. Per verificarlo, è conveniente la reinterpretazione della continuità data dalla
Proposizione 4.6.
Per quanto riguarda la funzione costante, per ogni " > 0 possiamo scegliere un
qualsiasi. Passiamo alla funzione identica g: la continuità nel generico punto x0 segue
scegliendo = ". Passiamo infine alla funzione reciproco h. Siano x0 6= 0 e " > 0.
Poiché per x 6= 0 con |x x0 | < |x0 |/2 si ha
|x| > |x0 |/2
ricaviamo allora
1
x
1
x x0
2|x x0 |
=

.
x0
xx0
|x0 |2
64
A.A. 2016-2017
4.3. CONTINUITÀ DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
Dunque se " > 0, basta scegliere
= min
per avere che se |x
x0 | <
⇢
|x0 | |x0 |2 "
,
2
2
allora x 6= 0 (cioè x appartiene al dominio di h) e
1
x
1
<"
x0
cioè la continuità desiderata.
2. I polinomi e le funzioni razionali fratte sono funzioni continue. Essendo la funzione x 7! x continua, allora per la stabilità della continuità rispetto al prodotto risultano
continue tutte le sue potenze x ! xn . Inoltre anche la funzione costante è continua. Dunque per la stabilità della continuità rispetto alla somma si ha che i polinomi sono funzioni
continue.
Per la stabilità per composizione, ricaviamo che se g(x) è un polinomio, la funzione
x 7!
1
g(x)
è continua sul suo dominio di definizione, cioè per x diverso dalle eventuali radici di g.
Grazie alla stabilità rispetto al prodotto, ricaviamo che se f (x) è un polinomio, allora la
funzione
f (x)
x 7!
g(x)
è continua sul suo dominio di definizione. Dunque le funzioni razionali fratte sono continue.
3. Si può verificare che le funzioni potenza ↵-esima, radice n-esima, le funzioni esponenziali
e logaritmiche, le funzioni circolari e quelle iperboliche sono continue nel loro dominio di
definizione.
4. La funzione modulo x 7! |x| è continua su R. La tesi segue dalla disuguaglianza
||a|
|b||  |a
b|
a, b 2 R
che implica
||x|
Dunque dato " > 0, si può scegliere
|x0 ||  |x
x0 |.
= ".
5. Le osservazioni precedenti sulla continuità delle funzioni elementari, insieme con la stabilità della proprietà di continuità rispetto a somme, prodotti e composizioni, permettono
65
4.4. LIMITI DELLE FUNZIONI
A.A. 2016-2017
di dimostrare agevolmente la continuità (nel loro dominio di definizione) di molte funzioni
che si incontrano nelle applicazioni. Ad esempio è continua su R \ { 1} la funzione
f (x) =
4.4
sin(1 + |x|) cos x2
.
x+1
Limiti delle funzioni
Siano E ✓ R e f : E ! R una funzione. La nozione di limite codifica il comportamento
di f vicino ai punti di accumulazione di E; se tali punti non appartengono ad E, la
nozione di limite permette, in un certo senso, di calcolare f anche dove essa non è definita,
assegnandole un valore che ne riassume l’andamento asintotico.
1. Il concetto di punto di accumulazione è alla base della formulazione della teoria dei limiti.
Definizione 4.7. Siano E ✓ R e x0 2 R. Diciamo che x0 è di accumulazione per E se
per ogni intorno U di x0 si ha
U \ (E \ {x0 }) 6= ;.
Geometricamente, x0 è d’accumulazione per E se esistono punti di E diversi da x0 ed
arbitrariamente vicini ad esso.
Esempio 4.8. Il punto
ha che
1 è d’accumulazione per E = [ 1, +1[: infatti per ogni
]
Invece il punto
1
, 1 + [\]
> 0 si
1, +1[6= ;.
2 non è d’accumulazione per E: infatti si ha che

1
1
2
, 2+
\ E = ;.
2
2
Infine +1 è d’accumulazione per N ma non per E = { n : n 2 N}.
Osservazione 4.9. Notiamo che se x0 è d’accumulazione per E, allora può essere che
x0 62 E: ad esempio 0 è d’accumulazione per ]0, 1] ma 0 62]0, 1].
È facile vedere che gli insiemi con un numero finito di elementi non posseggono punti di
accumulazione. Questo non accade per gli insiemi infiniti: si può dimostrare infatti che ogni
insieme con un numero infinito di elementi ammette almeno un punto di accumulazione.
2. La definizione di limite è la seguente.
Definizione 4.10. Siano E ✓ R, f : E ! R una funzione e x0 2 R un punto di
accumulazione per E. Diciamo che l 2 R è il limite di f per x tendente a x0 e scriviamo
l = lim f (x)
x!x0
66
A.A. 2016-2017
4.4. LIMITI DELLE FUNZIONI
se per ogni intorno di V di l esiste un intorno U di x0 tale che
f (U \ (E \ {x0 })) ✓ V.
Diamo un’interpretazione analitica della precedente definizione.
(a) Se l 2 R è il limite di f per x tendente a x0 , f assume vicino a x0 un valore prossimo
a l, eccettuato al più in x0 se x0 2 E. Dunque f si stabilizza vicino a l per x tendente
a x0 . Si dice che f è convergente per x ! x0 al valore l.
(b) Se limx!x0 f (x) = +1, allora f (x) assume per x vicino a x0 con x 6= x0 valori
sempre più grandi: si dice che f diverge positivamente per x tendente a x0 . Se
limx!x0 f (x) = 1, allora f (x) assume per x vicino a x0 con x 6= x0 valori sempre
più negativi: si dice che f diverge negativamente per x tendente a x0 .
In termini geometrici, possiamo dire quanto segue.
(a) Se x0 2 R e
lim f (x) = l 2 R
x!x0
si ottiene un’interpretazione geometrica simile a quella vista per la continuità . l è il
limite di f per x tendente a x0 se il grafico di f ristretto ad un intervallo centrato
in x0 intersecato E, eccettutato al più il punto (x0 , f (x0 )), si trova vicino al punto
(x0 , l).
y
y
l
l
E
x0
(b) Se x0 2 R e
x
x0
x
lim f (x) = +1,
x!x0
allora f (x) assume valori sempre più alti per x che si avvicina a x0 . Il grafico di f
si approssima sempre più a quello della retta verticale x = x0 . Diciamo allora che f
ammette un asintoto verticale in x0 . Un discorso analogo si ha se limx!x0 f (x) =
1.
67
4.4. LIMITI DELLE FUNZIONI
A.A. 2016-2017
y
y = f (x)
x0
x
(c) Se x0 = +1 e
lim f (x) = l 2 R,
x!+1
il grafico di f si approssima sempre più a quello della retta orizzontale y = l. Si dice
allora che f ammette la retta y = l come asintoto orizzontale.
y
y = f (x)
l
x
(d) Se
lim f (x) = +1
x!+1
allora f (x) assume valori sempre più alti al crescere di x. Dunque fissato una qualsiasi
M > 0, il grafico di f per x grande si trova sopra la retta y = M .
Se
lim f (x) =
x!+1
1
allora f (x) assume valori sempre più negativi al crescere di x. Dunque fissata un
qualsiasi M > 0, il grafico di f per x grande si trova sotto la retta y = M
68
A.A. 2016-2017
4.4. LIMITI DELLE FUNZIONI
y
y = f (x)
y
M
x
x
M
y = f (x)
3. La nozione di limite può riformularsi in termini più classici nel seguente modo. Conviene
distinguere i casi x0 2 R e x0 = ±1. Le dimostrazioni sono analoghe a quella della
Proposizione 4.6.
Proposizione 4.11 (Caso x0 2 R). Siano E ✓ R, f : E ! R una funzione e x0 2 R un
punto di accumulazione per E. Valgono i seguenti fatti.
(a) Se l 2 R, si ha l = limx!x0 f (x) se e solo se per ogni " > 0 esiste
8x 2]x0
, x0 + [ \E, x 6= x0 : |f (x)
l| < ".
(b) Si ha limx!x0 f (x) = +1 se e solo se per ogni M > 0 esiste
8x 2]x0
(c) Si ha limx!x0 f (x) =
> 0 tale che
, x0 + [ \E, x 6= x0 : f (x) > M.
1 se e solo se per ogni M > 0 esiste
8x 2]x0
> 0 tale che
, x0 + [ \E, x 6= x0 : f (x) <
> 0 tale che
M.
La definizione di limite per x tendente a +1 si riformula nel seguente modo.
Proposizione 4.12 (Caso x0 = +1). Siano E ✓ R e f : E ! R una funzione.
Supponiamo che +1 sia un punto di accumulazione per E. Valgono i seguenti fatti.
(a) Se l 2 R, si ha l = limx!+1 f (x) se e solo se per ogni " > 0 esiste N > 0 tale che
8x 2]N, +1[ \E : |f (x)
l| < ".
(b) Si ha limx!+1 f (x) = +1 se e solo se per ogni M > 0 esiste N > 0 tale che
8x 2]N, +1[ \E : f (x) > M.
69
4.4. LIMITI DELLE FUNZIONI
(c) Si ha limx!+1 f (x) =
A.A. 2016-2017
1 se e solo se per ogni M > 0 esiste N > 0 tale che
8x 2]N, +1[ \E : f (x) <
Il caso x tendente a
M.
1 è analogo al precedente.
Proposizione 4.13 (Caso x0 = 1). Siano E ✓ R e f : E ! R una funzione.
Supponiamo che 1 sia un punto di accumulazione per E. Valgono i seguenti fatti.
(a) Se l 2 R, si ha l = limx!
1
f (x) se e solo se per ogni " > 0 esiste N > 0 tale che
8x 2]
(b) Si ha limx!
1
1, N [ \E : |f (x)
f (x) = +1 se e solo se per ogni M > 0 esiste N > 0 tale che
8x 2]
(c) Si ha limx!
1
l| < ".
f (x) =
1, N [ \E : f (x) > M.
1 se e solo se per ogni M > 0 esiste N > 0 tale che
8x 2]
1, N [ \E : f (x) <
M.
4. Il concetto di limite e quello di continuità in un punto sono legati dal seguente risultato.
Proposizione 4.14 (Limiti e continuità). Siano E ✓ R, f : E ! R una funzione ed
x0 2 E. Se x0 è d’accumulazione per E, allora f è continua in x0 se e solo se
lim f (x) = f (x0 ).
x!x0
Dimostrazione. La dimostrazione discende immediatamente dalla definizione di continuità e di limite.
La proposizione precedente mostra che la nozione di limite, almeno per le funzioni
continue, è interessante solo nei punti d’accumulazione del dominio ma non appartenenti
ad esso.
5. Il legame con la continuità permette di ricavare l’esistenza di molti limiti. Tuttavia
l’esistenza del limite di una funzione non è sempre garantita. Ad esempio la funzione
f : R \ {0} ! R data da
x
f (x) =
|x|
non ammette limite per x ! 0. Ciò è chiaro dal grafico di f vicino a 0 che si avvicina ai
valori 1 e 1.
70
A.A. 2016-2017
4.4. LIMITI DELLE FUNZIONI
y
1
x
1
6. Notiamo che l’esistenza ed il valore del limite di f per x tendente a x0 dipende solo dal
comportamento di f vicino a x0 : in altre parole, se f e g coincidono su E \U con U intorno
di x0 , allora il limite di f per x tendente a x0 esiste se e solo se esiste quello di g ed essi
sono uguali. Questa osservazione mostra che il concetto di limite è una proprietà locale.
7. Notiamo la validità dei seguenti limiti per le funzioni elementari. Se n 2 N con n
1
lim xn = +1
x!+1
e
lim xn =
x! 1
(
+1 se n è pari
1 se n è dispari.
Similmente limx!+1 x↵ = +1 se ↵ > 0. Inoltre
1
1
= lim
= 0.
x!+1 x
x! 1 x
lim
Notiamo anche che il limite per x ! 0 di x1 non esiste: infatti la funzione diventa
arbitrariamente grande sia in positivo che in negativo vicino a x = 0.
Abbiamo inoltre che
(
+1 se a > 1
lim ax =
x!+1
0
se a < 1
(
0
se a > 1
lim ax =
x! 1
+1 se a < 1.
In particolare per la funzione esponenziale abbiamo
lim ex = +1
x!+1
e
lim ex = 0.
x! 1
Riguardo alle funzioni logaritmiche si ha
lim loga x =
x!+1
(
+1 se a > 1
1 se a < 1
71
4.5. PRIMI TEOREMI SUI LIMITI
A.A. 2016-2017
lim loga x =
x!0
(
1 se a > 1
+1 se a < 1.
In particolare per il logaritmo naturale si ha
lim ln x = +1
x!+1
e
lim ln x =
x!0
1.
Notiamo infine che le funzioni circolari seno e coseno non ammettono limite per x !
+1 o x ! 1: esse infatti tendono ad oscillare tra i valori ±1 senza stabilizzarsi verso
alcun valore. Nel seguito dimostreremo rigorosamente che tali limiti non esistono.
4.5
Primi teoremi sui limiti
In questa sezione ci occupiamo dei primi teoremi sui limiti.
1. Vale il seguente risultato.
Teorema 4.15. Siano E ✓ R, f : E ! R una funzione e x0 2 R un punto di accumulazione per E. Sia
lim f (x) = l 2 R.
x!x0
Valgono i seguenti fatti.
(a) Unicità del limite. Se si ha
lim f (x) = ˜l 2 R,
x!x0
allora l = ˜l.
(b) Permanenza del segno. Se l 6= 0, allora esiste un intorno U di x0 tale che f
ristretta a U \ (E \ {x0 }) ha lo stesso segno di l.
(c) Locale limitatezza. Se l 2 R, allora esiste un intorno U di x0 tale che f ristretta
a U \ E è limitata.
Dimostrazione. Trattiamo i tre risultati separatamente.
(a) Supponiamo per assurdo che l 6= ˜l. Allora esistono due intorni V1 di l e V2 di ˜l tali
che V1 \ V2 = ;. Per la definizione di limite, esistono due intorni U1 , U2 di x0 tali che
f (U1 \ (E \ {x0 })) ✓ V1
e
f (U2 \ (E \ {x0 })) ✓ V2 .
72
A.A. 2016-2017
4.5. PRIMI TEOREMI SUI LIMITI
Consideriamo U := U1 \ U2 . L’insieme U è un intorno di x0 tale per cui
f (U \ (E \ {x0 })) ✓ V1
f (U \ (E \ {x0 })) ✓ V2 .
e
Ma questo è assurdo perché f (U \ (E \ {x0 })) 6= ; e V1 \ V2 = ;. La tesi è cosı̀ dimostrata.
(b) Supponiamo l > 0, il caso l < 0 essendo del tutto simile. Allora V =]0, +1] è un
intorno di l. Per la definizione di limite, esiste U intorno di x0 tale che
f (U \ (E \ {x0 })) ✓]0, +1[,
cioè f è positiva su U \ (E \ {x0 }). La tesi è dunque dimostrata.
(c) Per la definizione di limite, scegliendo V =]l
che per ogni x 2 U \ (E \ {x0 }) si abbia
l
1, l + 1[, esiste un intorno U di x0 tale
1  f (x)  l + 1
e cioè f è limitata su U \ (E \ {x0 }). Se x0 62 E, la tesi è dimostrata. Se x0 2 E,
allora f è limitata anche su U \ E dovendosi aggiungere solo il valore f (x0 ) 2 R. La
tesi è dunque dimostrata.
2. Vediamo come si comportano i limiti di funzioni rispetto alle operazioni di somma, prodotto
e composizione.
Proposizione 4.16 (Somma e prodotto dei limiti). Siano E ✓ R, f, g : E ! R due
funzioni, e sia x0 2 R un punto di accumulazione per E. Siano
lim f (x) = l1
x!x0
e
lim g(x) = l2
x!x0
con l1 , l2 2 R. Allora valgono i seguenti fatti.
(a) Se la somma l1 + l2 è ben definita, allora la funzione somma f + g : E ! R ammette
limite per x ! x0 e
lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x).
x!x0
x!x0
x!x0
(b) Se il prodotto l1 l2 è ben definito, allora la funzione prodotto f g : E ! R ammette
limite per x ! x0 e
lim f (x)g(x) = lim f (x) · lim g(x).
x!x0
x!x0
73
x!x0
4.5. PRIMI TEOREMI SUI LIMITI
A.A. 2016-2017
Dimostrazione. La dimostrazione è del tutto analoga a quella della stabilità della continuità rispetto a somma e prodotto.
3. Vediamo come si comporta il concetto di limite attraverso una composizione.
Proposizione 4.17 (Composizione dei limiti). Siano E ✓ R, F ✓ R, f : E ! R e
g : F ! R due funzioni tali che f (E) ✓ F . Sia x0 2 R un punto di accumulazione per E
e supponiamo che
lim f (x) 2 R.
x!x0
Valgono i seguenti fatti.
(a) Se limx!x0 f (x) = l 2 F e g è continua in tale punto, allora la funzione composta
g f : E ! R ammette limite per x ! x0 e
lim (g f )(x) = g( lim f (x)) = g(l).
x!x0
x!x0
(b) Se limx!x0 f (x) = l è d’accumulazione per F con
lim g(t) 2 R
t!l
e se esiste un intorno U di x0 tale che f (x) 6= l per ogni x 2 U \ (E \ {x0 }), allora
la funzione composta g f : E ! R ammette limite per x ! x0 e
lim (g f )(x) = lim g(t).
x!x0
t!l
Dimostrazione.
(a) Per la continuità di g in l, per ogni intorno V di g(l) esiste un intorno V1 di l tale che
g(V1 \ F ) ✓ V.
Per la definizione di limite, esiste U intorno di x0 tale che
f (U \ (E \ {x0 })) ✓ V1 .
Si ha allora che f (U \ (E \ {x0 })) ✓ V1 \ F da cui
(g f )(U \ (E \ {x0 })) ✓ g(V1 \ F ) ✓ V
che implica dunque limx!x0 (g f )(x) = g(l).
74
A.A. 2016-2017
4.5. PRIMI TEOREMI SUI LIMITI
(b) Sia limt!l g(t) = ˜l. Per la definizione di limite si ha che per ogni intorno V di ˜l esiste
un intorno V1 di l tale che
g(V1 \ (F \ {l})) ✓ V.
Inoltre sempre per la definizione di limite, esiste U1 intorno di x0 tale che
f (U1 \ (E \ {x0 })) ✓ V1 .
Consideriamo Ũ := U1 \ U . Poiché f (x) 6= l per ogni x 2 Ũ \ (E \ {x0 }), allora si ha
f (Ũ \ (E \ {x0 })) ✓ V1 \ (F \ {l})
da cui
che implica dunque limx!x0
(g f )(Ũ \ (E \ {x0 })) ✓ V
(g f )(x) = ˜l.
4. Notiamo che i teoremi sulla somma e sul prodotto di limiti richiedono che le quantità l1 + l2
e l1 l2 siano ben definite in R. Ad esempio nel caso della somma, non è contemplata la
situazione
l1 = +1
e
l2 = 1.
Si può vedere che in tal caso esistono coppie di funzioni f e g tali che il limite di f +g esiste
finito, coppie per cui esso è infinito e coppie per cui non esiste. Infatti se consideriamo le
funzioni
f (x) = x
e
g(x) = x + 1
si ha
lim f (x) = +1
lim g(x) =
x!+1
x!+1
1
mentre essendo f + g = 1 si ha
lim (f (x) + g(x)) = 1.
x!+1
Se consideriamo h(x) =
2x si ha invece
lim (f (x) + h(x)) = lim ( x) =
x!+1
Se infine k(x) =
esiste.
x!+1
1.
x + sin x, allora si ha f (x) + k(x) = sin x per cui il limite a +1 non
5. Nel caso del prodotto, non è contemplata ad esempio la situazione
l1 = +1
e
75
l2 = 0
4.6. CRITERI DI CONFRONTO TRA I LIMITI
A.A. 2016-2017
Anche in tal caso è possibile scegliere coppie di funzioni f, g in modo che il limite di f g
esiste finito, coppie per cui esso è infinito e coppie per cui non esiste. Basta scegliere le
funzioni
1
f (x) = 4
x
e le funzioni
g(x) = x4 ,
h(x) = x2 ,
k(x) = x3
per avere che
lim f (x)g(x) = 1,
lim f (x)h(x) = +1
x!0
x!0
e che limx!0 f (x)k(x) non esiste.
6. Nei casi in cui le operazioni tra l1 e l2 non siano ben definite in R, si parla di forme indeterminate: ogni caso va trattato singolarmente, potendo portare a diverse conclusioni.
Troviamo dunque le forme indeterminate
(+1) + ( 1)
dove 1 sta sia per +1 che per
1
1
0 · (1)
0
0
1. Ad esse si aggiungono le forme
00
11
10
che provengono dalle precedenti a partire da funzioni in forma di potenza f (x)g(x) tramite
la riscrittura
f (x)g(x) = eg(x) ln(f (x)) .
4.6
Criteri di confronto tra i limiti
In questa sezione vediamo come il concetto di limite interagisce con la relazione d’ordine
in R.
1. Iniziamo con il seguente risultato.
Proposizione 4.18 (Confronto I). Siano E ✓ R, f, g : E ! R due funzioni e sia x0 2 R
un punto di accumulazione per E. Supponiamo che f e g ammettano limite per x ! x0 e
che f (x)  g(x) per ogni x 2 E. Allora si ha
lim f (x)  lim g(x).
x!x0
x!x0
Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che limx!x0 g(x) = l2 < l1 = limx!x0 f (x). Siano
V1 e V2 due intorni di l1 e l2 tali che per ogni y1 2 V1 e y2 2 V2 si abbia y1 > y2 . Dalla
definizione di limite, ricaviamo l’esistenza di due intorni U1 e U2 di x0 tali che
f (U1 \ (E \ {x0 })) ✓ V1
e
76
g(U2 \ (E \ {x0 })) ✓ V2 .
A.A. 2016-2017
4.6. CRITERI DI CONFRONTO TRA I LIMITI
y
y = g(x)
x0
x
y = f (x)
Poniamo U := U1 \ U2 . Se x 2 U \ (E \ {x0 }) 6= ;, si ha f (x) > g(x) contro l’ipotesi.
Dunque concludiamo che l1  l2 e la tesi è dimostrata.
2. Un secondo risultato di confronto è il seguente.
Proposizione 4.19 (Confronto II: teorema dei due carabinieri). Siano E ✓ R,
f, g, h : E ! R tre funzioni e sia x0 2 R un punto di accumulazione per E. Supponiamo
che per ogni x 2 E
h(x)  f (x)  g(x).
Se
lim h(x) = lim g(x) = l
x!x0
x!x0
allora anche f ammette limite per x ! x0 e si ha
lim f (x) = l.
x!x0
Dimostrazione. Sia V un intorno di l. Esiste I intervallo tale che I è intorno di l e I ✓ V .
Per la definizione di limite, esistono due intorni U1 e U2 di x0 tali che
h(U1 \ (E \ {x0 })) ✓ I
e
g(U2 \ (E \ {x0 })) ✓ I.
Se U := U1 \ U2 e se x 2 U \ (E \ {x0 }) si ha
f (x) 2 [h(x), g(x)] ✓ I ✓ V
cioè
f (U \ (E \ {x0 })) ✓ V.
Di qui il fatto che limx!x0 f (x) = l cosı̀ che la tesi è dimostrata.
77
4.6. CRITERI DI CONFRONTO TRA I LIMITI
A.A. 2016-2017
y
y = g(x)
l
x0
x
y = f (x)
y = h(x)
3. Notiamo che una funzione h : E ! R è tale che
lim h(x) = 0
x!x0
se e solo se
lim |h(x)| = 0.
x!x0
Partendo da questa osservazione e dal teorema dei due carabinieri, si deduce la validità del
seguente risultato.
Proposizione 4.20. Siano E ✓ R, f, g : E ! R due funzioni e sia x0 2 R un punto di
accumulazione per E. Supponiamo che
lim f (x) = 0
x!x0
e che g sia limitata. Allora
lim f (x)g(x) = 0.
x!x0
Dimostrazione. In base all’osservazione precedente, basta verificare che
lim |f (x)g(x)| = 0.
x!x0
Se |g|  M su E, notiamo che per ogni x 2 E vale la disuguaglianza
0  |f (x)g(x)|  M |f (x)|.
Essendo
lim (M |f (x)|) = 0,
x!x0
78
A.A. 2016-2017
4.7. UN PRIMO LIMITE FONDAMENTALE
per il teorema dei due carabinieri si ha che limx!x0 |f (x)g(x)| = 0, cosı̀ che la tesi è dimostrata.
L’importanza del risultato precedente sta nel fatto che non si suppone nulla sull’esistenza del limite di g per x ! x0 : esso potrebbe anche non esistere. Ad esempio, nel
caso
1
f (x) = x
e
g(x) = sin
x
si ha che g è limitata essendo per ogni x 6= 0
1  sin
1
1
x
lim x sin
1
= 0.
x
e dunque
x!0
4.7
Un primo limite fondamentale: limite di
x tendente a zero
sin x
x
per
Vogliamo mostrare che
sin x
= 1.
x
Esso non può essere calcolato grazie alle proprietà dei limiti viste in precedenza dal momento che si presenta la forma indeterminata 0/0.
lim
x!0
1. Seguiamo un ragionamento geometrico. Consideriamo la circonferenza di raggio unitario
centrata nell’origine di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale.
y
M0
M
O
B
79
A
x
4.8. FUNZIONI MONOTONE E LIMITI
A.A. 2016-2017
Considerando l’angolo x = AÔM piccolo e positivo, un confronto tra le aree dei triangoli
OM B e OM 0 A con l’area del settore circolare 0AM mostra che
1
1
1
sin x cos x < x < tan x
2
2
2
da cui le relazioni
sin x
1
<
.
x
cos x
Tali relazioni valgono anche per x piccolo e negativo dal momento che
cos x <
cos( x) = cos x
e
sin( x)
sin x
=
.
x
x
Notiamo che per la continuità della funzione coseno si ha
lim cos x = 1
e
x!0
lim
x!0
1
= 1.
cos x
Per il teorema dei due carabinieri otteniamo dunque che
sin x
= 1.
x!0 x
lim
f associata,
2. Se avessimo misurato gli angoli in gradi sessagesimali considerando la funzione sin
avremmo ottenuto
⇡
f
sin 180
x
sinx
⇡
lim
= lim
=
.
x!0 x
x!0
x
180
⇡
Chiaramente il fattore numerico 180
crea disturbo nelle formule trascinandosi in modifiche
onerose per il calcolo (in particolare complicherebbe alcune formule sulle derivate come
vedremo in seguito). Ciò giustifica l’utilità della misura degli angoli in radianti nell’analisi
infinitesimale.
4.8
Funzioni monotone e limiti
In questa sezione dimostreremo un risultato di esistenza di limite per la classe delle funzioni
monotone.
1. La definizione di monotonia per una funzione è la seguente.
Definizione 4.21. Siano I un intervallo e f : I ! R una funzione.
a) f è monotona crescente su I se per ogni x1 , x2 2 I con x1 < x2 si ha
f (x1 )  f (x2 ).
80
A.A. 2016-2017
4.8. FUNZIONI MONOTONE E LIMITI
(b) f è monotona decrescente su I se per ogni x1 , x2 2 I con x1 < x2 si ha
f (x1 )
f (x2 ).
Se le disuguaglianze sui valori di f valgono con il segno di minore o maggiore stretto, cioè f (x1 ) < f (x2 ) e f (x1 ) > f (x2 ), si parla di funzioni monotone strettamente
crescenti e strettamente decrescenti.
Geometricamente, le funzioni monotone crescenti hanno per grafico una linea che cresce
al crescere di x, possibilmente anche con tratti orizzontali. Tali tratti mancano in caso di
stretta monotonia crescente.
y
y
y = f (x)
y = f (x)
x
x
Un’interpretazione simile vale per le funzioni decrescenti.
Un punto importante da notare è che le funzioni monotone possono anche essere non
continue, potendo presentare a priori tanti punti di discontinuità .
y
y = f (x)
x
2. Possiamo formulare ora il risultato fondamentale riguardante il limite di funzioni monotone.
81
4.8. FUNZIONI MONOTONE E LIMITI
A.A. 2016-2017
Teorema 4.22. Siano a, b 2 R con a < b e sia f :]a, b[! R una funzione.
(a) Se f è monotona crescente su ]a, b[, si ha
lim f (x) = inf f
x!a
e
]a,b[
lim f (x) = sup f.
x!b
]a,b[
(b) Se f è monotona decrescente su ]a, b[, si ha
lim f (x) = sup f
x!a
e
lim f (x) = inf f.
x!b
]a,b[
]a,b[
Dimostrazione. Dimostriamo la relazione
lim f (x) = inf f
x!a
]a,b[
del punto (a), essendo la dimostrazione delle altre del tutto simili. Sia dunque f monotona
crescente e sia V un intorno di inf ]a,b[ f . Per definizione di intorno esiste l0 > inf ]a,b[ f tale
che
[inf f, l0 [ ✓ V.
]a,b[
Per la caratterizzazione dell’estremo inferiore di una funzione, esiste x1 2]a, b[ tale che
f (x1 ) < l0 .
Consideriamo allora U := [ 1, x1 [. L’insieme U è un intorno di a. Inoltre per la monotonia
di f si ha che per ogni x 2 U \]a, b[
inf f  f (x)  f (x1 ) < l0
]a,b[
cosı̀ che f (x) 2 [inf ]a,b[ f, l0 [✓ V . Deduciamo dunque che
f (U \]a, b[) ✓ V
cosı̀ che il teorema è dimostrato.
Notiamo che il teorema precedente vale anche nel caso in cui a =
cioè l’intervallo di definizione di f è illimitato.
1 e b = +1,
3. La nozione di monotonia può essere formulata anche per funzioni definite su sottoinsiemi
generici E di R. Il teorema di esistenza del limite può essere adattato al caso generale di
f : E ! R considerando i limiti per x tendente a sup E o inf E a patto che essi siano di
accumulazione per E.
82
A.A. 2016-2017
4.9
4.9. UN SECONDO LIMITE FONDAMENTALE: IL NUMERO E
Un secondo limite fondamentale: il numero e
Vogliamo mostrare che
lim
x!+1
✓
1
1+
x
◆x
= lim
x! 1
✓
1
1+
x
◆x
=e
dove e è un numero compreso tra 2 e 3 detto il numero di Nepero. Esso ricorre spesso in
Analisi matematica con un’importanza non inferiore a quella di ⇡. Notiamo che il limite
si presenta nella forma indeterminata 11 .
1. Dobbiamo innanzitutto richiamare la formula del binomio di Newton. Un calcolo diretto
mostra che il quadrato del binomio x + y con x, y 2 R è dato da
(x + y)2 = x2 + 2xy + y 2 ,
mentre il cubo del binomio x + y è dato da
(x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3 .
Per scrivere la formula del caso generale (x + y)n ci servono alcune definizioni.
Definizione 4.23. Sia n 2 N. Diciamo fattoriale di n il numero n! definito nel seguente
modo:
0! = 1,
n! = n(n 1)(n 2) . . . 3 · 2 · 1.
Si ha cosı̀ 1! = 1, 2! = 2, 3! = 3 · 2 = 6 e cosı̀ via.
Definizione 4.24. Siano n, k 2 N con n k. Poniamo
✓ ◆
n!
n
=
k
k!(n k)!
Notiamo che vale la simmetria
✓
n
k
◆
=
✓
n
n
k
◆
Esempio 4.25. Si ha ad esempio
✓ ◆
✓ ◆
2!
2!
2
2
=
= 1,
=
= 2,
0
1
0!2!
1!1!
Similmente si ha
✓
3
0
◆
=
✓
3
3
◆
✓
3!
=
= 1,
0!3!
83
3
1
◆
=
✓
✓
2
2
3
2
◆
◆
=
=
2!
= 1.
2!0!
3!
= 3.
1!2!
4.9. UN SECONDO LIMITE FONDAMENTALE: IL NUMERO E
A.A. 2016-2017
La formula per la potenza (x + y)n è la seguente (ne omettiamo la dimostrazione): si
parla di formula del binomio di Newton. È utile la seguente notazione che abbrevia la
scrittura di una somma:
n
X
ak = a0 + a1 + a2 + · · · + an .
P
k=0
è detto simbolo di sommatoria.
Proposizione 4.26 (Formula del binomio di Newton). Siano x, y 2 R e n 2 N. Vale
la formula
◆
n ✓
X
n
n
(x + y) =
xn k y k .
k
k=0
Notiamo che la formula precedente si riduce alle usuali formule del quadrato e del cubo
di un binomio sopra ricordate.
2. Risulta utile inoltre la seguente relazione: da
(1
q)(1 + q + q 2 + q 3 + · · · + q n ) = 1
ricaviamo
1 + q + q2 + q3 + · · · + qn =
relazione valida per ogni q 6= 1 e n
1
q n+1
q n+1
,
1 q
1.
3. Torniamo al nostro limite e facciamo prima variare x nell’insieme dei numeri naturali non
nulli: consideriamo cioè la funzione
✓
◆n
1
n 7! 1 +
,
n 1.
n
Poiché +1 è punto di accumulazione per N \ {0}, siamo nelle condizioni di poter calcolare
✓
◆n
1
lim 1 +
.
n!+1
n
Applicando lo sviluppo del binomio si ha
✓
1
1+
n
◆n
1 n(n 1) 1
n(n 1)(n 2) 1
1
+
+
+ ··· + n
2
3
n
2!
n
3!
n
n
✓
◆
✓
◆✓
◆
1
1
1
1
2
=1+1+
1
+
1
1
+ ...
2!
n
3!
n
n
✓
◆✓
◆
✓
1
1
2
··· +
1
1
··· 1
n!
n
n
=1+n
84
n
1
n
◆
.
A.A. 2016-2017
4.9. UN SECONDO LIMITE FONDAMENTALE: IL NUMERO E
La somma a secondo membro cresce al crescere di n coinvolgendo sempre più termini. Di
n
conseguenza n 7! 1 + n1 è una funzione monotona strettamente crescente di n. Si ha
certamente per n > 1
✓
◆n
1
2< 1+
.
n
Inoltre, poiché i binomi 1
✓
1
1+
n
◆n
1
,
n
<1+1+
1
2
n
. . . sono minori di 1, si ha
1
1
1
1
1
1
+ + ··· +
< 1 + 1 + + 2 + ··· + n 1.
2! 3!
n!
2 2
2
Calcolando la somma a secondo membro si ottiene
✓
◆n
1 21n
1
1+
<1+
=3
n
1 12
e dunque per ogni n > 1
2<
✓
1
1+
n
◆n
1
2n 1
< 3.
Grazie alla monotonia della successione, esiste il limite
✓
◆n
1
e = lim 1 +
n!+1
n
e risulta 2 < e < 3.
4. Per ottenere il limite con x 2 R e x ! +1, basta notare che se n
n  x  n + 1, si ha
1
1
1
1+
1+ 1+
n+1
x
n
da cui
✓
◆n ✓
◆x ✓
◆n+1
1
1
1
1+
 1+
 1+
.
n+1
x
n
Ma si ha
lim
n!+1
e
✓
lim
1
1+
n
n!+1
✓
◆n+1
= lim
n!+1
1
1+
n+1
◆n
✓
1
1+
n
= lim
◆n ✓
n+1
1
n+1
1
+ n+1
1+
1
n!+1
Per il criterio del confronto si ha allora
lim
x!+1
✓
1
1+
x
85
◆x
1
1+
n
= e.
◆
=e·1=e
=
e
= e.
1
1 è tale che
4.10. UN TERZO LIMITE FONDAMENTALE
5. Per ottenere il limite con x 2 R e x !
ottenere
✓
◆x ✓
◆
1
1
1+
= 1
x
y+1
per cui
lim
x! 1
✓
1
1+
x
◆x
6. Notiamo infine la relazione
1, basta porre x =
y 1
=
= lim
✓
y!+1
⇣
A.A. 2016-2017
y+1
y
✓
◆y+1
1
1+
y
=
◆y+1
✓
(y + 1) con y > 0 per
1
1+
y
◆y+1
= e.
x ⌘n
= ex
n!+1
n
valida per ogni x 2 R. Essa si ottiene ponendo y = nx (per x 6= 0 altrimenti il risultato
è banale) ottenendo
✓
◆y x
⇣
x ⌘n
1
1+
=
1+
.
n
y
lim
1+
Il risultato si ottiene passando al limite per y ! +1 o y !
4.10
1.
Un terzo limite fondamentale: il limite di
per x tendente a zero
ax 1
x
Vogliamo vedere che dato a > 0
lim
ax
1
x
x!0
= ln a.
Possiamo supporre anche a 6= 1 dal momento che in tal caso il limite risulta banalmente
nullo (essendo 1x = 1). Notiamo che si presenta una forma indeterminata 00 .
1. Poniamo per x 6= 0
Allora si ha
da cui
1
= ax .
z
✓
◆z
✓
◆
1
1
x
loga 1 +
= z loga 1 +
= x
z
z
a
1
1+
ax
1
x
Se x ! 0, si ha z ! +1 o z !
logaritmo
=
loga
1
1+
.
1 z
z
1, ma in ogni caso, grazie alla continuità della funzione
lim
x!0
ax
1
x
=
1
= ln a.
loga e
86
A.A. 2016-2017
4.11. LIMITE SUPERIORE E LIMITE INFERIORE
Abbiamo dunque che
lim
ax
x!0
1
x
= ln a.
2. Nel caso particolare a = e otteniamo il limite notevole
lim
x!0
ex
1
x
= 1.
Da tale limite deriva immediatamente anche che
ln(1 + x)
= 1.
x!0
x
lim
Infatti se poniamo ln(1 + x) = t, si ricava x = et
1 ed il limite in questione diventa
ln(1 + x)
t
= lim t
= 1.
x!0
t!0 e
x
1
lim
4.11
Limite superiore e limite inferiore.
Abbiamo visto in precedenza che esistono funzioni che non ammettono limite in un punto
di accumulazione del loro dominio. In questa sezione introdurremo due concetti che qualificano il comportamento asintotico di un funzione vicino ad un punto e che si riducono
all’ordinario concetto di limite quando esso esiste.
1. Siano E ✓ R, f : E ! R una funzione e x0 2 R un punto di accumulazione per E.
Poniamo la seguente definizione.
Definizione 4.27. Diciamo che M 2 R è un maggiorante definitivo per f in x0 se esiste
un intorno U di x0 tale che
8x 2 U \ (E \ {x0 }) : f (x)  M.
Similmente diciamo che m 2 R è un minorante definitivo per f in x0 se esiste un intorno
U di x0 tale che
8x 2 U \ (E \ {x0 }) : m  f (x).
Indichiamo con L(f ; x0 ) e M(f ; x0 ) l’insieme dei minoranti e maggioranti definitivi di
f in x0 . Vale il seguente risultato.
Lemma 4.28. Valgono i seguenti fatti.
(a) L(f ; x0 ) e M(f ; x0 ) sono intervalli non vuoti.
(b) Per ogni m 2 L(f ; x0 ) e per ogni M 2 M(f ; x0 ) si ha m  M .
87
4.11. LIMITE SUPERIORE E LIMITE INFERIORE
A.A. 2016-2017
Dimostrazione. Chiaramente 1 2 L(f ; x0 ) e +1 2 M(f ; x0 ), per cui tali insieme sono
non vuoti. Inoltre dato m 2 L(f ; x0 ) con associato intorno U , se m0 < m si ha
8x 2 U \ (E \ {x0 }) : m0 < m  f (x)
cioè m0 è un minorante definitivo in x0 per f . Dunque L(f ; x0 ) è un intervallo. Un ragionamento simile vale per M(f ; x0 ) cosı̀ che il punto (a) è dimostrato. Siano invece
m 2 L(f ; x0 ) e M 2 M(f ; x0 ). Esistono U1 e U2 intorni di x0 tali che
8x 2 U1 \ (E \ {x0 }) : m  f (x)
e
8x 2 U2 \ (E \ {x0 }) : f (x)  M.
Posto U := U1 \ U2 otteniamo per ogni x 2 U \ (E \ {x0 })
m  f (x)  M
da cui m  M .
2. Poniamo la seguente definizione.
Definizione 4.29 (Limsup e Liminf ). Siano E ✓ R, f : E ! R una funzione e x0 2 R
un punto di accumulazione per E. Poniamo
lim inf f (x) = sup L(f ; x0 )
x!x0
lim sup f (x) = inf M(f ; x0 ).
e
x!x0
La definizione è ben posta grazie al Lemma 4.28. Deduciamo inoltre che
lim inf f (x)  lim sup f (x).
x!x0
x!x0
Al contrario del limite, i limiti superiore ed inferiore esistono sempre e forniscono un’indicazione del comportamento asintotico di f vicino a x0 . Essi si legano al concetto di limite
nel seguente modo.
Teorema 4.30. Siano E ✓ R, f : E ! R una funzione e x0 2 R un punto di accumulazione per E. Allora il limite di f per x tendente a x0 esiste se e solo se
lim inf f (x) = lim sup f (x)
x!x0
x!x0
ed in tal caso coincide con il loro valore comune.
88
A.A. 2016-2017
4.11. LIMITE SUPERIORE E LIMITE INFERIORE
Dimostrazione. Supponiamo che
lim f (x) = l.
x!x0
Trattiamo il caso l 2 R, i casi l = ±1 essendo del tutto simili. Sia " > 0. Per la definizione
di limite esiste U intorno di x0 tale che
f (U \ (E \ {x0 })) ✓]l
", l + "[.
Deduciamo che l " è un minorante definitivo e che l + " è un maggiorante definitivo per
f in x0 . Dunque si ha
"  lim inf f (x)  lim sup f (x)  l + ".
l
x!x0
x!x0
Essendo " arbitrario, concludiamo
lim inf f (x) = lim sup f (x) = l.
x!x0
x!x0
Supponiamo viceversa che
lim inf f (x) = lim sup f (x) = l.
x!x0
x!x0
Trattiamo il caso l 2 R, i casi l = ±1 essendo del tutto simili. Sia V intorno di l e sia
" > 0 tale che [l ", l + "] ✓ V . Essendo M(f ; x0 ) un intervallo e l = inf M(f ; x0 ), si ha
che l + " 2 M(f ; x0 ). Similmente l " 2 L(f ; x0 ). Detti U1 , U2 gli intorni di x0 associati,
posto U := U1 \ U2 si ha
8x 2 U \ (E \ {x0 }) : l
"  f (x)  l + "
cioè
f (U \ (E \ {x0 })) ✓ [l
", l + "] ✓ V.
Deduciamo allora che l = limx!x0 f (x).
Vale il seguente risultato che giustifica la notazione lim sup e lim inf.
Proposizione 4.31. Siano E ✓ R, f : E ! R una funzione e x0 2 R un punto di
accumulazione per E. Valgono i seguenti fatti.
(a) Se x0 2 R, si ha
lim inf f (x) =
x!x0
lim
!0, >0 ]x0
inf
f
sup
f.
,x0 + [\(E\{x0 })
e
lim sup f (x) =
x!x0
lim
!0, >0 ]x0
89
,x0 + [\(E\{x0 })
4.11. LIMITE SUPERIORE E LIMITE INFERIORE
A.A. 2016-2017
(b) Se x0 = +1, si ha
lim inf f (x) = lim
inf
f
lim sup f (x) = lim
sup
f.
lim inf f (x) = lim
inf
f
lim sup f (x) = lim
sup
f.
x!+1
M !+1 ]M,+1[\E
e
M !+1 ]M,+1[\E
x!+1
(b) Se x0 =
1, si ha
x! 1
e
M !+1 ] 1, M [\E
M !+1 ] 1, M [\E
x! 1
Dimostrazione. Prendiamo il caso (a) e vediamo che
lim inf f (x) =
lim
x!x0
Notiamo che per ogni
f in x0 . Si ha allora
!0, >0 ]x0
> 0 la quantità inf ]x0
]x0
inf
,x0 + [\(E\{x0 })
inf
f.
,x0 + [\(E\{x0 })
,x0 + [\(E\{x0 })
f è un minorante definitivo di
f  lim inf f (x).
x!x0
Poiché l’applicazione
!
lim
inf
,x0 + [\(E\{x0 })
f
! 0+ si ha (il limite è ben definito)
è monotona decrescente, mandando
!0, >0 ]x0
]x0
inf
,x0 + [\(E\{x0 })
f  lim inf f (x).
x!x0
Viceversa, sia m un minorante definitivo per f in x0 con associato intorno U . Sia
tale che ]x0
0 , x0 + 0 [✓ U . Si ha allora
m
]x0
inf
0 ,x0 + 0 [\(E\{x0 })
f  sup
>0 ]x0
inf
,x0 + [\(E\{x0 })
l’ultima uguaglianza derivando dalla monotonia di
allora
lim inf f (x)  lim
x!x0
!0, >0 ]x0
f=
lim
!0, >0 ]x0
inf
,x0 + [\(E\{x0 })
! inf ]x0
,x0 + [\(E\{x0 })
inf
f
,x0 + [\(E\{x0 })
0
>0
f,
f . Ricaviamo
da cui la tesi.
3. La precedente proposizione può essere usata per vedere che i limiti per x ! +1 e per
x ! 1 delle funzioni circolari non esistono. Consideriamo la funzione seno ad esempio.
È facile vedere che
lim inf sin x =
x!+1
1
e
lim sup sin x = 1.
x!+1
90
A.A. 2016-2017
4.12. LIMITI DESTRO E SINISTRO
Infatti si ha per ogni M > 0
inf
x2]M,+1[
sin x =
1
e
sup
sin x = 1
x2]M,+1[
da cui il risultato grazie alla Proposizione 4.31. Discorsi analoghi valgono a 1 e per
la funzione coseno. Considerazioni simili mostrano che anche la funzione tangente non
ammette limite per x ! +1 (cosı̀ come per x ! 1). Infatti si ha
lim inf tan x =
x!+1
4.12
1
e
lim sup tan x = +1.
x!+1
Limiti destro e sinistro
Siano E ✓ R, f : E ! R e x0 un punto di accumulazione di E. Vogliamo dare un senso al
limite di f quando x tende a x0 assumendo valori più grandi o più piccoli di x0 .
1. Siano E ✓ R un insieme e x0 2 R. Diciamo che x0 è un punto di accumulazione sinistro
per E se x0 è punto di accumulazione per E\] 1, x0 [. Similmente diciamo che x0 è un
punto di accumulazione destro per E se x0 è punto di accumulazione per E\]x0 , +1[.
punti di accumulazione sinistri
x
punti di accumulazione destri
Geometricamente, x0 è punto di accumulazione sinistro per E se è punto di accumulazione per la parte di E a sinistra di x0 . Un’interpretazione simile vale per il punto di
accumulazione destro.
2. Se x0 è punto d’accumulazione sinistro di E, possiamo applicare la teoria dei limiti alla
restrizione di f : E ! R all’insieme E\] 1, x0 [. Se il limite per x ! x0 di tale restrizione
esiste, esso si dice il limite sinistro di f in x0 e si indica con
lim f (x).
x!x0
Similmente se x0 è punto d’accumulazione destro di E e se il limite per x ! x0 della
restrizione di f a E\]x0 , +1[ esiste, esso si dice il limite destro di f in x0 e si indica
con
lim+ f (x).
x!x0
91
4.12. LIMITI DESTRO E SINISTRO
A.A. 2016-2017
y
limx!x f (x)
0
y = f (x)
limx!x+ f (x)
0
x0
Ad esempio si ha
lim
x!0
x
=
|x|
1
e
x
lim+
x!0
x
=1
|x|
y
1
x
1
e
lim
x!0
1
=
x
1
e
lim+
x!0
1
= +1.
x
y
y=
1
x
x
Per il limite destro e sinistro valgono definizioni e proprietà simili a quelle viste per il
caso del limite ordinario. Se ad esempio limx!x+0 f (x) = l con l 2 R, ciò significa che per
ogni " > 0 esiste > 0 tale che per ogni x 2]x0 , x0 + [\E si ha
|f (x)
l| < ".
92
A.A. 2016-2017
4.12. LIMITI DESTRO E SINISTRO
Vale la seguente proposizione di facile verifica.
Proposizione 4.32. Siano E ✓ R, f : E ! R e x0 2 R un punto di accumulazione destro
e sinistro di E. Allora il limite per x tendente a x0 di f esiste se e solo se esistono i limiti
destri e sinistri ed essi coincidono: in tal caso il limite risulta uguale al loro valore comune.
L’esistenza del limite a partire dall’uguaglianza dei limiti destro e sinistro è un caso
particolare dell’esistenza del limite rispetto a restrizioni che “esauriscono’ l’insieme di definizione di f . Se ad esempio E = F1 [ F2 e x0 è d’accumulazione per F1 e F2 , allora il
limite per x ! x0 di f esiste se e solo se esistono i limiti di f ristretta a F1 e F2 e tali
limiti coincidono.
3. Sia x0 2 E di accumulazione destro e sinistro per E tale che
lim f (x) = l1
e
lim f (x) = l2
x!x+
0
x!x0
con l1 , l2 2 R e l1 6= l2 . Diremo in tal caso che f ammette un salto in x0 di ampiezza
|l1 l2 |.
y
|l1
x0
y = f (x)
l2 |
x
Notiamo che se x0 2 E, f non è certamente continua in x0 : si dice spesso che f ammette
in x0 una discontinuità di prima specie.
4. Si possono infine adattare al caso di limite destro e sinistro anche le nozioni (e le relative
proprietà ) di limite superiore ed inferiore: si scriverà ad esempio
lim sup f (x)
x!x0
per indicare il limite superiore per x tendente a x0 della restrizione di f a E\]
93
1, x0 [.
4.13. INFINITESIMI ED INFINITI
4.13
A.A. 2016-2017
Infinitesimi ed infiniti
Siano E ✓ R un insieme, f, g : E ! R due funzioni e sia x0 2 R un punto di accumulazione
di E.
1. Poniamo la seguente definizione.
Definizione 4.33. Diremo che f è infinitesima in x0 se
lim f (x) = 0.
x!x0
Il confronto fra diverse funzioni infinitesime si conduce nel seguente modo.
Definizione 4.34. Siano f e g infinitesime in x0 e supponiamo che g non si annulli in
un intorno di x0 (salvo al più in x0 ).
(a) Se
lim
x!x0
f (x)
= l 2 R \ {0}
g(x)
diremo che f e g sono infinitesime dello stesso ordine in x0 .
(b) Se
lim
x!x0
f (x)
=0
g(x)
diremo che f è un infinitesimo di ordine superiore a g in x0 .
(c) Se
lim
x!x0
f (x)
= +1,
g(x)
diremo che f è un infinitesimo di ordine inferiore a g in x0 .
(d) In tutti gli altri casi, diremo che f e g sono infinitesimi non confrontabili con il
criterio del rapporto dei limiti.
Se
lim
x!x0
f (x)
=0
g(x)
si usa spesso scrivere
f = o(g).
Si dice in tal caso che f è un “o-piccolo” di g per x ! x0 . Allora nel caso in cui f è un
infinitesimo di ordine superiore a g in x0 avremo che f = o(g). Se f e g sono infinitesime
dello stesso ordine in x0 , possiamo invece scrivere
f = lg + o(g)
94
A.A. 2016-2017
4.13. INFINITESIMI ED INFINITI
dove l 2 R, l 6= 0. La quantità lg si dice l’infinitesimo principale di f rispetto a g per
x ! x0 , intendendo che il resto è trascurabile rispetto ad esso: vedremo tra poco in quale
senso tale a↵ermazione è vera.
2. Se x0 2 R, spesso si utilizza la funzione x 7! (x x0 ) come infinitesimo di confronto: diremo
che f è infinitesima di ordine n in x0 se f è infinitesima dello stesso ordine di (x x0 )n in
x0 . Possiamo scrivere
f (x) = l(x x0 )n + o((x x0 )n )
con l 6= 0 e l(x x0 )n è l’infinitesimo principale di f per x ! x0 . Ad esempio la funzione
f (x) = ex 1 è infinitesima di ordine 1 in x = 0 essendo
lim
x!0
ex
1
x
= 1.
L’infinitesimo principale di ex 1 per x ! 0 risulta pari a x. Similmente f (x) = 1
è infinitesima di ordine 2 in x = 0 essendo
lim
x!0
e 12 x2 è l’infinitesimo principale di 1
1
cos x
cos x
1
=
2
x
2
cos x per x ! 0.
3. La nozione di infinitesimo dello stesso ordine è utile nello studio dei limiti dei rapporti. Se
vogliamo calcolare il limite
f1 (x)
lim
x!x0 f2 (x)
e sappiamo che f1 è infinitesima dello stesso ordine di g1 mentre f2 è infinitesima dello
stesso ordine di g2 , si ha
f1 (x)
l1 g1 (x) + o(g1 )(x)
g1 (x)
lim
= lim
= lim
x!x0 f2 (x)
x!x0 l2 g2 (x) + o(g2 )(x)
x!x0 g2 (x)
o(g1 )(x)
l1 g1 (x)
g1 (x)
= lim
.
x!x0 l2 g2 (x)
o(g2 )(x)
l2 +
g2 (x)
l1 +
Dunque il limite di partenza è equivalente al limite del rapporto l1 g1 (x)/l2 g2 (x), cioè al limite del rapporto degli infinitesimi principali: in tal senso gli infinitesimi di ordine superiore
possono essere trascurati. Se ad esempio f1 è infinitesima di ordine n1 e f2 è infinitesima
di ordine n2 , allora si ha
f1 (x)
l1 (x x0 )n1
lim
= lim
.
x!x0 f2 (x)
x!x0 l2 (x
x0 ) n2
Il secondo limite è di facile studio, dipendendo solo dai numeri n1 e n2 . Ad esempio si ha
lim
x!0
1
2
x
cos x
= lim 2 = 0
x!0 x
sin x
95
4.13. INFINITESIMI ED INFINITI
e
A.A. 2016-2017
2
x
1 cos x
1
2
lim x
=
lim
= .
2
2
x!0 (e
x!0 x
1)
2
4. Poniamo la seguente definizione.
Definizione 4.35. Diremo che f è infinita in x0 se
lim |f (x)| = +1.
x!x0
Il confronto tra infiniti si opera nel seguente modo.
Definizione 4.36. Siano f e g infinite in x0 .
(a) Se
lim
x!x0
f (x)
= l 2 R \ {0},
g(x)
diremo che f e g sono infinite dello stesso ordine in x0 .
(b) Se
lim
x!x0
f (x)
= 0,
g(x)
diremo che f è un infinito di ordine inferiore a g in x0 .
(c) Se
lim
x!x0
f (x)
= +1,
g(x)
diremo che f è un infinito di ordine superiore a g in x0 .
(d) In tutti gli altri casi, diremo che f e g sono infiniti non confrontabili con il criterio
del rapporto dei limiti.
Se f e g sono infinite dello stesso ordine in x0 , possiamo scrivere
f = lg + o(g)
dove l 2 R, l 6= 0. La quantità lg si dice l’infinito principale di f rispetto a g per x ! x0 e
come nel caso degli infinitesimi è la quantità a cui si deve guardare per il calcolo dei limiti
dei rapporti: se f1 è infinita dello stesso ordine di g1 mentre f2 è infinita dello stesso ordine
di g2 , si ha
f1 (x)
l1 g1 (x)
lim
= lim
x!x0 f2 (x)
x!x0 l2 g2 (x)
cioè il limite di partenza è equivalente al limite del rapporto degli infiniti principali.
96
A.A. 2016-2017
4.14. SUCCESSIONI
5. Se x0 = +1 o x0 = 1, si usa prendere come infinito di confronto la funzione x 7! xn :
diremo che f è infinita di ordine n all’infinito se f è infinita dello stesso ordine di xn per
x ! +1 o x ! 1. Possiamo scrivere
f (x) = lxn + o(xn )
con l 6= 0 e lxn è l’infinito principale di f per x ! +1 o x ! 1.
Ad esempio si ha che f (x) = 3x5 + x3 + x + 1 è infinita di ordine 5 per x ! +1 essendo
x5 3 + x12 +
3x5 + x3 + x + 1
=
lim
x!+1
x!+1
x5
x5
lim
1
x4
+
1
x5
= 3.
L’infinito principale è dunque dato da 3x5 , cioè dal termine di grado massimo del polinomio.
Volendo calcolare il limite
x6 + 3x5 + x3 + x + 1
lim
x!+1
7x3 + 2x + 1
possiamo calcolare il limite degli infiniti principali e si ha
x6 + 3x5 + x3 + x + 1
x6
1
=
lim
=
lim x3 = +1.
3
3
x!+1
x!+1 7x
7x + 2x + 1
7 x!+1
lim
4.14
Successioni
Diciamo successione di numeri reali ogni funzione da N in R
a: N !R
n 7! a(n).
Si scrive solitamente an al posto di a(n) e si indica la successione con i simboli (an )n2N o
{an }n2N .
1. Da un punto di vista geometrico, essendo una successione una particolare funzione, il
grafico associato è composto di una quantità infinita di punti.
Un’altra utile rappresentazione geometrica di una successione consiste nel pensarla come
un insieme di punti
{a0 , a1 , a2 , . . . , an . . . }
in R indicizzati dall’insieme N dei numeri naturali.
2. Essendo delle funzioni speciali, possiamo particolareggiare alle successioni molte nozioni
introdotte in precedenza. Ad esempio si dice che una successione (an )n2N è limitata se
esiste M > 0 tale che per ogni n 2 N
|an |  M.
97
4.14. SUCCESSIONI
A.A. 2016-2017
y
1
a0
n
2
a2
a3
an
x
a1
x
Geometricamente, ciò significa che l’insieme dei punti della successione è contenuta nell’intervallo limitato [ M, M ]. Una successione si dice monotona crescente se per ogni
n2N
an  an+1
e si dice monotona decrescente se per ogni n 2 N
an
an+1 .
Geometricamente (an )n2N è monotona crescente se al crescere di n i punti della successione
si spostano a destra (eventualmente rimanendo fermi) sulla retta reale. Similmente (an )n2N
è monotona decrescente se al crescere di n i punti della successione si spostano a sinistra
(eventualmente rimanendo fermi) sulla retta reale.
3. La teoria dei limiti può applicarsi alle successioni per n tendente a +1: infatti +1 è l’unico
punto di accumulazione di N. Si scrive
lim an
n!1
essendo chiaro che l’infinito menzionato è quello positivo. Si usa la seguente nomenclatura.
Definizione 4.37. Si dice che la successione di numeri reali (an )n2N
(a) converge se esiste finito limn!1 an ;
(b) diverge positivamente se limn!1 an = +1;
(c) diverge negativamente se limn!1 an =
98
1;
A.A. 2016-2017
4.14. SUCCESSIONI
(d) oscilla se non esiste limn!1 an .
Se limn!1 an = a si scrive spesso
an ! a.
Esempio 4.38. In base al limite notevole, sappiamo ad esempio che è convergente la
successione
✓
◆n
1
an = 1 +
n
e precisamente essa converge ad e per n ! 1. Esempi di successioni divergenti sono
an = n 2
e
bn =
n3 .
Un esempio di successione oscillante è invece an = ( 1)n .
4. Valgono per le successioni tutti i concetti e le proprietà visti in precedenza nella teoria
dei limiti per funzioni di variabile reale: ad esempio valgono i risultati sulla somma ed il
prodotto dei limiti, i teoremi del confronto, i teoremi di esistenza dei limiti per successioni
monotone e cosı̀ via. In particolare vale la seguente proposizione.
Lemma 4.39. Sia (an )n2N una successione convergente. Allora (an )n2N è limitata.
Dimostrazione. Supponiamo che an ! a. Per la definizione di limite, esiste N 2 N tale
che per n N si ha
|an a| < 1.
Scegliamo M cosı̀ grande da contenere l’intervallo ]a 1, a+1[ e gli elementi a0 , a1 , . . . , aN
Allora si ha per ogni n
|an |  M,
1.
cioè la successione è limitata. La dimostrazione è completa.
5. Sia (an )n2N una successione. Consideriamo una successione di numeri naturali n0 < n1 <
n2 < n3 < . . . e la successione
{an0 , an1 , an2 , an3 , . . . , ank , . . . }.
La nuova successione (ank )k2N è detta una sottosuccessione della successione (an )n2N . Ad
esempio data la successione
1 1
1
1, , , · · · , , · · ·
2 3
n
la successione
1 1 1
1
, , ,··· , ,···
2 4 6
2n
99
4.14. SUCCESSIONI
A.A. 2016-2017
è la sottosuccessione ottenuta considerando solo gli indici pari. Geometricamente, una
sottosuccessione di una successione data è semplicemente un suo campionamento.
È chiaro che se una successione è convergente a l 2 R, allora ogni sua sottosuccessione
converge ancora ad l. Se la successione diverge, ogni sua sottosuccessione è divergente. Se
invece una successione è oscillante, potrebbero esistere sottosuccessioni convergenti: questo
è il caso ad esempio di
an = ( 1)n .
Si ha che la successione non converge, ma risultano convergenti le sottosuccessioni date
dagli indici pari e dispari. Infatti la prima converge a 1 mentre la seconda a 1.
Teorema 4.40 (Teorema di Bolzano-Weierstrass). Sia (an )n2N una successione limitata. Allora essa ammette una sottosuccessione convergente.
Dimostrazione. Per ipotesi, si ha an 2 I = [ M, M ] con M > 0 opportuno. Poniamo
I0 = I e n0 = 0. Dividiamo I0 in due intervalli chiusi di uguale ampiezza: almeno uno dei
due intervalli, diciamolo I1 , contiene infiniti elementi della successione. Sia n1 un indice
tale che an1 2 I1 . Dividiamo I1 in due sottointervalli chiusi di ugual ampiezza: almeno
uno dei due, diciamolo I2 contiene infiniti elementi della successione. Sia n2 > n1 tale che
an2 2 I2 . Proseguiamo in questo modo costruendo
I1
I2 · · ·
Ik
...
famiglia di intervalli chiusi inclusi uno nel successivo ed individuando
n1 < n2 < · · · < nk < nk+1 < . . .
indici tali che ank 2 Ik . Notiamo che Ik è un intervallo di ampiezza (2M )/2k e che (ank )k2N
è una sottosuccessione di (an )n2N tale che ank 2 Ik per ogni k. T
Per il principio degli intervalli inclusi di Cantor, esiste x0 2 1
k=0 Ik . Essendo
|ank
x0 | 
2M
2k
ricaviamo che
lim |ank
k!1
x0 | = 0
cioè (ank )k2N converge a x0 2 I. La tesi è dunque dimostrata.
6. Poniamo la seguente definizione.
Definizione 4.41 (Successione di Cauchy). Diciamo che (an )n2N una successione di
Cauchy se per ogni " > 0 esiste N 2 N tale che per ogni m, n 2 N con m N e n N
|an
am | < ".
100
A.A. 2016-2017
4.14. SUCCESSIONI
Vale il seguente risultato.
Teorema 4.42. Una successione (an )n2N è convergente se e solo se è di Cauchy.
Dimostrazione. Sia an ! x0 . Per ogni " > 0 esiste N > 0 tale che per ogni n
|an
Se dunque n, m
N
"
x0 | < .
2
N si ha
|an
am |  |an
x0 | + |x0
am | <
" "
+ = ",
2 2
cioè la successione è di Cauchy.
Viceversa, sia (an )n2N una successione di Cauchy. Innanzitutto (an )n2N è una successione limitata. Infatti, fissando " = 1, troviamo N tale che per n, m N
Dunque in particolare per n
|an
am |  1.
|an
aN |  1.
N
Sia I = [ M, M ] cosı̀ grande da contenere a0 , a1 , . . . , aN e l’intervallo centrato in aN e di
raggio 1: la successione (an )n2N è allora tutta contenuta in I e pertanto risulta limitata.
Per il teorema di Bolzano-Weierstrass, (an )n2N ammette una sottosuccessione (ank )k2N
convergente a x0 2 R. Vediamo che tutta la successione converge a x0 . Essendo la
successione di Cauchy, dato " > 0 esiste N > 0 tale che per n, m N
|an
Esiste inoltre K > 0 con nK
N e tale che per k
|ank
Allora per n
"
am |  .
2
K
"
x0 | < .
2
N abbiamo
|an
x0 |  |an
anK | + |anK
x0 | 
" "
+ = ",
2 2
cioè (an )n2N converge a x0 .
7. Le nozioni di estremi superiore/inferiore e di punti di accumulazione per un insieme possono
riformularsi in termini di successioni.
Lemma 4.43. Siano E ✓ R e x0 2 R. Valgono i seguenti fatti.
101
4.14. SUCCESSIONI
A.A. 2016-2017
(a) x0 = sup E se e solo se x0 è un maggiorante per E e se esiste an 2 E con an ! x0 .
(b) x0 = inf E se e solo se x0 è un minorante per E e se esiste an 2 E con an ! x0 .
Dimostrazione. Vediamo il punto (a) nel caso in cui x0 2 R, gli altri casi essendo del tutto
simili. Supponiamo che x0 = sup E. Allora x0 è maggiorante per E. Inoltre, per ogni
n 2 N esiste an 2 E tale che
1
x0
< an .
n+1
Essendo an  x0 , ricaviamo per confronto che an ! x0 .
Supponiamo viceversa che x0 sia un maggiorante per E e che esista an 2 E con an ! x0 .
Per ogni " > 0, si ha per n sufficientemente grande
x0
" < an .
Dunque, grazie alla Proposizione 2.7, deduciamo x0 = sup E.
Lemma 4.44. Siano E ✓ R e x0 2 R. Allora x0 è di accumulazione per E se e solo se
esiste an 2 E con an 6= x0 e an ! x0 .
Dimostrazione. Trattiamo il caso x0 2 R, i casi x0 = ±1 essendo analoghi. Sia x0 di
accumulazione per E. Allora per ogni n 2 N si ha

1
1
x0
, x0 +
\ (E \ {x0 }) 6= ;.
n+1
n+1
Detto an un elemento di tale intersezione, an 6= x0 e an ! x0 .
Supponiamo viceversa che esista an 2 E con an 6= x0 e an ! x0 . Allora per ogni
si ha per n grande
x0
< an < x0 +
>0
cosı̀ che
]x0
cioè x0 è di accumulazione per E.
, x0 + [\ (E \ {x0 }) 6= ;,
8. Le successioni sono utili anche nello studio dei limiti per funzioni di variabile reale. Se
f ammette limite l per x ! x0 , allora si ha che f (x) risulta sempre più prossimo a l al
tendere di x a x0 . Dunque se an 2 E, an 6= x0 e an ! x0 , si ha che f (an ) approssima
sempre più l, cioè
f (an ) ! l.
Viceversa, se lungo ogni successione (an )n2N tale che an 2 E, an 6= x0 e an ! x0 , si ha
f (an ) ! l, allora indipendentemente dal modo in cui ci si avvicina a x0 il valore di f si
stabilizza a l. Dunque il limite di f (x) per x ! x0 esiste e vale l.
Otteniamo dunque il seguente risultato.
102
A.A. 2016-2017
4.15. TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE
y
an x0
x
Proposizione 4.45 (Limiti di funzione e successioni). Siano E ✓ R, f : E ! R e
x0 2 R un punto di accumulazione per E. Allora f ammette limite l 2 R per x tendente a
x0 se e solo se per ogni successione (an )n2N tendente a x0 con an 2 E e an 6= x0 per ogni
n 2 N si ha
f (an ) ! l.
9. La proposizione precedente fornisce un metodo per verificare che il limite di una funzione
non esiste: basta trovare due successioni tendenti a x0 lungo cui f converge a due limiti
diversi. Ad esempio, possiamo vedere che le funzioni seno e coseno non ammettono limite
per x ! +1 o x ! 1. Infatti si ha
lim cos(2n⇡) = 1
n!1
e
lim cos((2n + 1)⇡) =
n!1
1.
Esistendo due successioni diverse che tendono +1 lungo le quali la funzione coseno ammette limiti diversi, concludiamo che limx!+1 cos x non esiste.
4.15
Teoremi sulle funzioni continue
In questa sezione dimostriamo alcuni teoremi fondamentali sulle funzioni che dipendono
solo dalla continuità e non dalla loro forma analitica specifica.
1. Iniziamo con il seguente teorema.
Teorema 4.46 (Teorema degli zeri). Siano a, b 2 R con a < b, e sia f : [a, b] ! R una
funzione continua. Se f (a)f (b) < 0, allora esiste x0 2]a, b[ tale che f (x0 ) = 0.
Dimostrazione. Possiamo supporre che f (a) > 0 e f (b) < 0. Per la continuità di f e per
il teorema della permanenza del segno, esiste " > 0 tale che f è positiva su [a, a + "] e
negativa su [b ", b]. Consideriamo l’insieme
E := {x 2 [a, b] : f (x)
103
0}.
4.15. TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE
A.A. 2016-2017
y
b
a
x
Notiamo che E è non vuoto essendo a 2 E e che b " è un maggiorante per E. Sia
x0 := sup E. Chiaramente x0 2]a, b[. Vediamo che f (x0 ) = 0. Infatti, essendo per n
grande x0 + n1 2 ]a, b[\E si ha, grazie alla continuità di f ,
✓
◆
1
f (x0 ) = lim f x0 +
 0.
n!1
n
D’altro canto, essendo x0 = sup E, esiste an 2 E con an ! x0 : si ha allora
f (x0 ) = lim f (an )
n!1
0.
Dunque f (x0 ) = 0 e la tesi è dimostrata.
2. Come corollario abbiamo il seguente risultato.
Teorema 4.47 (Teorema dei valori intermedi). Siano I un intervallo in R e f : I ! R
una funzione continua. Allora f assume tutti i valori compresi tra inf I f e supI f . In
particolare f (I) è un intervallo.
Dimostrazione. Se inf I f = supI f , allora f è costante su I e non c’è nulla da dimostrare.
Supponiamo allora inf I f < supI f e sia k 2] inf I f, supI f [. Per definizione di sup e inf
esistono a, b 2 I tali che
f (a) < k < f (b).
Possiamo supporre a < b (il caso b > a essendo simile). Consideriamo la funzione continua
g(x) = f (x) k ristretta all’intervallo [a, b] ✓ I. Notiamo che g(a) < 0 e g(b) > 0: dunque
per il teorema degli zeri esiste x0 2]a, b[ tale che g(x0 ) = 0. Ma allora si ha f (x0 ) = k,
cioè k è un valore assunto da f su I.
Concludiamo che f (I) è uguale ad uno dei seguenti intervalli
] inf f, sup f [,
I
I
[inf f, sup f [,
I
] inf f, sup f ],
I
I
104
I
[inf f, sup f ].
I
I
A.A. 2016-2017
4.15. TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE
Il teorema è dunque dimostrato.
Vediamo ora una conseguenza di natura algebrica del teorema dei valori intermedi.
Proposizione 4.48. Sia p(x) un polinomio a coefficienti reali di grado dispari. Allora
p(x) ammette almeno una radice.
Dimostrazione. Possiamo supporre che p(x) = x2k+1 +a1 x2k +· · ·+a2k x+a2k+1 , con k
ai 2 R. Notiamo che
lim p(x) =
1
e
inf p(x) =
1
e
x! 1
0,
lim p(x) = +1.
x!+1
Concludiamo che
x2R
sup p(x) = +1.
x2R
Essendo p(x) una funzione continua, per il teorema dei valori intermedi esiste x0 2 R tale
che p(x0 ) = 0, cosı̀ che la dimostrazione è conclusa.
3. Il seguente teorema si occupa del massimo e del minimo di funzioni continue.
Teorema 4.49 (Teorema di Weierstrass). Siano a, b 2 R con a < b, e sia f : [a, b] ! R
una funzione continua. Allora f ammette massimo e minimo su [a, b].
y
punti di massimo
b
a
x
punto di minimo
Dimostrazione. Vediamo l’esistenza del punto di massimo, il ragionamento per il minimo
essendo del tutto simile. Sia (tn )n2N una successione tale che tn < sup[a,b] f e
tn ! sup f.
[a,b]
105
4.16. CONTINUITÀ UNIFORME
A.A. 2016-2017
Per ogni n 2 N esiste xn 2 [a, b] tale che
tn < f (xn )  sup f
[a,b]
e dunque
(4.1)
lim f (xn ) = sup f.
n!1
[a,b]
Grazie al teorema di Bolzano-Weierstrass, esiste una sottosuccessione (xnk )k2N di (xn )n2N
convergente ad un elemento x0 2 [a, b]. Vediamo che x0 è un punto di massimo per f .
Per la continuità di f
f (x0 ) = lim f (xnk ),
k!1
e dunque da (4.1)
f (x0 ) = sup f,
[a,b]
cioè x0 è un punto di massimo per f .
Osservazione 4.50. La successione (xn )n2N utilizzata nella dimostrazione, cioè tale che
f (xn ) ! sup[a,b] f si dice una successione massimizzante per f .
4. Combinando il teorema dei valori intermedi con il teorema di Weierstrass, possiamo dire
che ogni funzione continua f definita su un intervallo chiuso e limitato [a, b] assume tutti
i valori compresi tra il suo minimo ed il suo massimo, cioè
f ([a, b]) = [min f, max f ].
[a,b]
4.16
[a,b]
Continuità uniforme
In questa sezione ci occuperemo dei concetti di continuità uniforme e di lipschitzianità di
una funzione.
1. Siano E ✓ R, f : E ! R una funzione continua e x0 2 E. Fissato " > 0, esiste
che
8x 2]x0
, x0 + [ \E : |f (x) f (x0 )| < ".
> 0 tale
In termini analitici, come sappiamo, ciò significa che se x 2 E dista da x0 meno di , allora
f (x) dista da f (x0 ) meno di ". Tale risulta a priori dipendente da x0 : potrebbe risultare
che, considerando x̃0 2 E diverso da x0 , non sia più vero che se x 2 E dista da x̃0 meno di
, allora f (x) dista da f (x̃0 ) meno di ".
Le funzioni continue per cui corrispondente a " per un punto x0 2 E va bene anche
per tutti gli altri i punti di E si dicono uniformemente continue.
106
A.A. 2016-2017
4.16. CONTINUITÀ UNIFORME
Definizione 4.51 (Continuità uniforme). Siano E ✓ R e f : E ! R una funzione.
Diciamo che f è uniformemente continua su E se per ogni " > 0 esiste > 0 tale che per
ogni x, x0 2 E con |x x0 | < si ha
|f (x)
f (x0 )| < ".
2. Chiaramente una funzione uniformemente continua su E è anche continua su E. Il viceversa
non è vero in generale, come mostreremo attraverso opportuni esempi. Vale però il seguente
risultato.
Teorema 4.52 (Teorema di Heine). Siano a, b 2 R con a < b, e sia f : [a, b] ! R una
funzione continua. Allora f è uniformemente continua su [a, b].
Dimostrazione. Procediamo per assurdo: supponiamo che esista " > 0 tale che per ogni
> 0 esistanto x, z 2 [a, b] con |x z| < ma |f (x) f (z)| > ". Consideriamo della
1
1
forma = n+1
. Allora per ogni n 2 N esistono xn , zn 2 [a, b] con |xn zn | < n+1
ma
|f (xn ) f (zn )| > ".
Per il teorema di Bolzano-Weierstrass, esistono c 2 [a, b] e (xnk )k2N sottosuccessione di
(xn )n2N tale che xnk ! c. Poiché
|znk
c|  |znk
xnk | + |xnk
c| 
1
+ |xnk
nk + 1
c|,
deduciamo che znk ! c. Possiamo dunque scrivere grazie alla continuità di f
" < lim |f (xnk )
k!1
f (znk )| = |f (c)
f (c)| = 0
che è assurdo. La tesi è dunque dimostrata.
3. Possiamo reinterpretare geometricamente la nozione di continuità uniforme in termini di
oscillazione di una funzione. Siano f : E ! R una funzione, x0 2 E e > 0: poniamo
osc(f, x0 , ) :=
sup
E\]x0
,x0 + [
f
inf
E\]x0
Diciamo osc(f, x0 , ) l’oscillazione di f sull’intervallo ]x0
Vale il seguente risultato.
,x0 + [
f.
, x0 + [.
Proposizione 4.53 (Uniforme continuità ed oscillazione). Siano E ✓ R e f : E ! R
una funzione. Allora f è uniformemente continua su E se e solo se per ogni " > 0 esiste
> 0 tale che per ogni x0 2 E
osc(f, x0 , )  ".
107
4.16. CONTINUITÀ UNIFORME
A.A. 2016-2017
y
osc(f, x0 , )
x0
x0
x
x0 +
Dimostrazione. Supponiamo f uniformemente continua. Dato " > 0, sia
per ogni x, x0 2 E con |x x0 | < si abbia
|f (x)
Allora per ogni x1 , x2 2]x0
|f (x1 )
f (x0 )| <
> 0 tale che
"
2
, x0 + [\E si ha
f (x2 )|  |f (x1 )
f (x0 )| + |f (x0 )
f (x1 )| <
" "
+ ="
2 2
da cui, passando al sup in x1 ed all’inf in x2
osc(f, x0 , )  ".
Supponiamo viceversa che valga la proprietà sull’oscillazione. Dato " > 0 sia
che per ogni x0 2 E
"
osc(f, x0 , )  .
2
Allora per ogni x 2 E con |x x0 | < si ha
|f (x)
f (x0 )|  osc(f, x0 , ) 
> 0 tale
"
< ",
2
da cui l’uniforme continuità di f .
Osservazione 4.54. Geometricamente possiamo dire che le funzioni uniformemente continue hanno oscillazioni piccole su intervalli piccoli (indipendentemente dal punto in cui
sono centrati).
Esempio 4.55. Consideriamo la funzione continua f : R ! R data da f (x) = x2 e
vediamo che essa non è uniformenete continua. Se > 0 e x0 = n, si ha per n grande
osc(f, x0 , ) = (n + )2
(n
)2 = 4n .
Dunque per ogni > 0, anche piccolissimo, esistono intervalli di semiampiezza
l’oscillazione risulta grandissima: f non è pertanto uniformemente continua.
108
su cui
A.A. 2016-2017
4.16. CONTINUITÀ UNIFORME
Esempio 4.56. Consideriamo la funzione continua g : R \ {0} ! R data da
1
g(x) = sin .
x
Per ogni
> 0, considerando l’intervallo centrato in x0 = 2 , si ha
osc(g, x0 , ) = 2.
Dunque non possiamo rendere l’oscillazione piccola ovunque riducendo : g non è pertanto
uniformemente continua.
y
f (x) = sin x1
x
4. Una classe importante di funzioni che sono uniformemente continue è quella delle funzioni
lipschitziane.
Definizione 4.57 (Funzione lipschitziana). Siano E ✓ R e f : E ! R una funzione.
Diciamo che f è lipschitziana su E di costante L > 0 se per ogni x1 , x2 2 E si ha
|f (x1 )
f (x2 )|  L|x1
x2 |.
Se f è lipschitziana di costante L > 0 e x0 2 E, per ogni x 2 E si ha
f (x0 )
L|x
x0 |  f (x)  f (x0 ) + L|x
x0 |.
Geometricamente ciò significa che il grafico di f si trova tra i due “coni” determinati dalle
spezzate y = f (x0 ) + L|x x0 | e y = f (x0 ) L|x x0 | con vertice in x0 .
Esempio 4.58. Risulta lipschitziana di costante 7 la funzione affine f (x) = 7x + 5. Infatti
|f (x)
f (x0 )| = |7x + 5
109
7x0
5| = 7|x
x0 |.
4.16. CONTINUITÀ UNIFORME
A.A. 2016-2017
y
y = f (x)
x
Il seguente risultato lega lipschitzianità ed uniforme continuità .
Proposizione 4.59. Siano E ✓ R e f : E ! R una funzione lipschitziana. Allora f
è uniformemente continua su E.
Dimostrazione. Sia L > 0 la costante di Lipschitz di f . Dato " > 0, scegliendo
ha per x, x0 2 E con |x x0 | <
|f (x)
f (x0 )|  L|x
La tesi è dunque dimostrata.
110
x0 | < L
"
= ".
L
=
"
L
si
A.A. 2016-2017
4.16. CONTINUITÀ UNIFORME
Esercizi
1. Dimostrare la continuità della funzione radice n-esima usando la sua monotonia.
2. Dimostrare che se E ✓ R ha infiniti elementi, allora E ammette almeno un punto di
accumulazione.
3. Siano f : E ! R, x0 di accumulazione per E e l = limx!x0 f (x). Dimostrare che per ogni
intorno V di l si ha V \ f (E) 6= ;. Trovare un esempio in cui l non è di accumulazione per
f (E).
4. Trovare una coppia di funzioni f, g : E ! R tali che la somma ammette limite per x ! x0
ma tali che i limiti di f e g prese singolarmente non esistono. Stessa cosa poi per il prodotto.
5. Trovare una coppia di funzioni f : E ! R e g : F ! R componibili e tali che
lim (g f )(x) 6=
x!x0
lim
y!limx!x0 f (x)
g(y).
6. Trovare un esempio di funzioni f, g : E ! R con f < g su E tali che esiste x0 di
accumulazione per E con limx!x0 f (x) = limx!x0 g(x).
7. Dimostrare che limx!x0 f (x) = 0 se e solo se limx!x0 |f (x)| = 0.
8. Dimostrare che l 2 R è l’estremo superiore di f su E se e solo se
(a) per ogni x 2 E si ha f (x)  l;
(b) per ogni l0 < l esiste x 2 E tale che l0 < f (x).
Dimostrare similmente che l 2 R è l’estremo inferiore di f su E se e solo se
(a) per ogni x 2 E si ha l  f (x);
(b) per ogni l0 > l esiste x 2 E tale che f (x) < l0 .
9. Siano I un intervallo e sia f : I ! R una funzione monotona. Dimostrare che l’insieme dei
punti in cui f non è continua è al più numerabile. (Suggerimento: fissato n > 0, mostrare
che l’insieme dei punti En in cui il salto è maggiore di 1/n è finito; concludere notando che
l’insieme di discontinuità è dato da [n En ).
10. Siano f, g : E ! R due funzioni, di cui almeno una limitata, e x0 un punto di accumulazione
di E. Mostrare che
lim inf f (x) + lim inf g(x)  lim inf (f + g)(x)
x!x0
x!x0
x!x0
e
lim sup(f + g)(x)  lim sup f (x) + lim sup g(x)
x!x0
x!x0
x!x0
11. Siano f, g : E ! R due funzioni, con f limitata, e sia x0 un punto di accumulazione di E.
Dimostrare che
lim sup(f (x) + g(x)) lim inf f (x) + lim sup g(x).
x!x0
x!x0
111
x!x0
4.16. CONTINUITÀ UNIFORME
A.A. 2016-2017
12. Siano f : E ! R e x0 2 E. Dimostrare che f è continua in x0 se e solo se per ogni
successione (an ) tale che an 2 E e an ! x0 si ha f (an ) ! f (x0 ).
13. Dimostrare che una successione ammette limite l 2 R se e solo se ogni sua sottosuccessione
converge a l.
14. Sia f : E ! R e sia x0 di accumulazione per E. Dimostrare che esistono due successioni
(an ) e (bn ) in E con an 6= x0 e bn 6= x0 tali che an ! x0 e bn ! x0 e
f (an ) ! lim sup f (x)
e
x!x0
f (bn ) ! lim inf f (x).
x!x0
15. Sia f : [a, b] ! R una funzione con a, b 2 R, a < b. Dimostrare che esiste un punto
x0 2 [a, b] che soddisfa la proprietà
sup f = sup f
U \[a,b]
[a,b]
per ogni intorno U di x0 . Tale punto è detto un punto di Weierstrass di f . Dimostrare
inoltre che se f è continua in x0 , allora x0 è un punto di massimo di f .
16. Per vedere che f (x) = x2 non è uniformemente continua su R, mostrare che > 0 associato
a " > 0 nella definizione di continuità relativamente a x0 = 0 non è ammissibile in x0 = n
per n ! +1.
p
17. Dimostrare che la funzione x ! x non è lipschitziana su [0, 1].
18. Dimostrare che per ogni L > 0 esiste un intervallo I tale per cui la funzione x 7! x2 non
è lipschitziana di costante L.
112