1 Le misure sessagesimali. A) Le unità di misura del tempo. Perché

Le misure sessagesimali.
A) Le unità di misura del tempo.
Perché il giorno ha 24 ore, l'ora è di 60 minuti e il minuto di 60 secondi?
Il sistema di misurazione del tempo, assieme a quello dell'ampiezza degli angoli, rappresenta
un'anomalia rispetto agli altri che conosciamo.
Infatti tra le unità del sistema metrico decimale le
conversioni si effettuano per moltiplicazione (o divisione)
per potenze di 10 (10, 100, 1000, ...).
Il sistema metrico decimale è stato introdotto negli anni
che seguirono la Rivoluzione Francese, con l'obiettivo di
uniformare le unità in uso allora e di rendere il loro utilizzo
più facile.
Il sistema sessagesimale invece, quello in vigore per la misurazione dell'ampiezza degli
angoli e per la misura del tempo, ha un'origine molto più antica.
Esso risale ai Babilonesi, i quali, come testimoniano diversi documenti del secondo millennio a.
C., avevano un sistema di numerazione basato sul numero 60.
Da notare che 12, il numero di ore in cui sono divisi il giorno e la notte, è un divisore di 60.
12 è però anche il numero delle fasi di luna piena di un anno, e a questo proposito vale la pena
ricordare che l'astronomia svolgeva un ruolo molto importante nella scienza e nella vita dei
Babilonesi.
Il fatto che il tempo non sia inserito nel sistema decimale rende più difficile il calcolo con
queste unità; ogni tanto, quando i due sistemi si mescolano, si creano anche delle difficoltà di
interpretazione. Di questo ci occupiamo nei prossimi punti.
Le unità di misura del tempo.
Oltre all'anno civile (365 giorni) e il giorno (24 ore) abbiamo l'ora h, il minuto min (indicato
con un apice '), il secondo s (segno: doppio apice '').
Le conversioni avvengono secondo il seguente schema:
anni
· 365
giorni
· 24
ore
· 60
minuti
· 60
secondi
anno = y ; giorno = d ; ora = h ; minuto = min ; secondo = s
Tutti i simboli senza punto!
L’unità di misura del tempo ( t ) nel S.I. è il secondo s !
Per esempio:
1 anno = 12 mesi = 365 giorni = 8'760 h = 525 600' = 31 536 000''
Ricorda i
simboli:
Hai dunque: 1 m = ……….y ; 1 d = ………y ; 1 h = ............d ; 1 min = .......h ; 1 s = .........h
1
Che posso scrivere:
1 y = 365 = 12 m = d = 8 760 h = 525 600 min = 31 536 000 s
Osservazione:
Nel calcolo dei mesi utilizza il valore commerciale di 30 giorni , 1 m = 30 d
Trasforma in giorni :
3 y 4 m = ……………………………………… 12 y 5 m 20 d = …………………………………………………………
Trasforma in ore :
23 d = ………………………….= ……………h ; 3d 18 h = ……………………………….….= ……………h ;
Trasforma in minuti :
2 d = ………………………= ……………min;2h 18min 4s = …………………………….….= ……………min ;
Trasforma in secondi :
4 h = ………………………….= ……………s ; 5h 8 min = ……………………………….….= ……………s ;
Osservazione:
1y 6 m = 1y +
y=(1+
) y = ( 1 + ) y = ……………..y =
y = 1,5 y
Dunque possiamo trasformare una misura sessagesimale in una misura decimale,
utilizzando la somma di frazioni.
Esercizi:
Trasforma nella forma decimale le seguenti misure di tempo .
2y 6 m =
; 3y 8 m = ; 3y 8 m 10 d = ; 3y 8 m 10 d 12 h =
2m 15 d = ; 2 m 10 d 12 h = ; 1m 13d 18h 24 min =
3 h 30 min = ;
2h 20 min = ;
2h 20 min 10 s =
Chiaramente vale anche l’operazione in versa:
7,2 y = 7y + 0,2 y = 7y + 0,2 . 12m = 7y + 2,4m = 7y + 2m + 0,4 .30 d = 7y 2m 12 d (*)
Oppure 7,2 y = 7,2 . 365 d = 2628 d
Dunque:
7,2h = 7,2 . 60 min = 432 min ; 5,6 d = ………..h =……………..min; 1, ̅ h =
Trasforma nella forma sessagesimale le seguenti misure decimali.
3, 6 y = ………….d ; 1,5 d =………. h;
2,125 h = ………..min = ….……….s
0,75 h = ………..min ; 0, ̅
h = ……….min ; 1h ¾ = ………….…..h = …………………..min
7,8 min = …………s ; 5,65 min = ………….; 1, 125 h = ….………..min = …….…….s
iii) Completare le seguenti uguaglianze:
3 d 7 h 43 min =……………………………………………………………………………….. min
7 h 23' 7" =……………………………………………………………………………….. ………… s
723 s = ........................................ min .............................................. s
374 min 26 s = ....................................... h ...................... min ...................... s
2
d) Operazioni con le misure di tempo.
Esegui le seguenti addizioni e, se necessario, porta il risultato in forma normale.
a)
1h 30m 20s + 5h 20m 39s
4h 20m 10s + 5h 29s
b)
11h 20m 40s + 30m 39s
1h 10m 10s + 1h 50m 10s
c)
21h 50m 50s + 50m 59s
2h 40m 56s + 11h 56m 58s
Esegui le seguenti moltiplicazioni e, se necessario, porta il risultato in forma normale.
a)
b)
c)
6h 30m ∙ 2
7h 45m 5s ∙ 4
1h 12m 13s ∙ 7
45m 12s ∙ 3
6h 17m 24s ∙ 2
5h 27m 18s ∙ 8
Esegui le seguenti sottrazioni e, se necessario, porta il risultato in forma normale.
a)
6h 30m 20s - 2h 20m 19s
4h 45m 12s - 1h 12s
b)
2h 30m 10s - 2h 12m 30s
12h 5m 12s - 6m 12s
c)
4h 34m 10s - 3h 45m 19s
3h 15m 22s - 1h 55m 52s
Esegui le seguenti divisioni e, se necessario, porta il risultato in forma normale.
a)
6h 30m : 2
45m 12s : 3
b)
1h 33m 15s : 3
4h 45m 4s : 4
c)
32m 15s : 5
7m 30s : 10
d)
2h 16s : 4
6h 17m 24s : 2
e)
1m 3s : 7
5h 27m 15s : 5
Esegui i seguenti calcoli:
a)
12h 39' 25'' + 8h 47' 55''=
b)
12h 39' 25'' − 8h 47' 55''=
c)
18h 22' 29'' − 9h 09' 12''=
5 ∙ (8h 24' 39'') − 2 ∙ (12h 32' 17'') =
3 · (18h 22' 43'') + 2 · (6h 12' 45'') =
e)
di 12h 24 min 50 s =
f)
di x = 12h 24 min 50 s
g)
di 12h 24 min 50 s = x
di x = 12h 24 min 50 s
9h 09' 12'' + 18h 22' 29''=
d)
di 12h 24 min 50 s =
di x = 12h 24 min 50 s =
di 12y 8 m 20 s =
di x =12y 8 m 20 s
h)
di 12y 8 m 20 s =
di x = 12y 8 m 20 s
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e) Esercizi
1) Karen è partita alle 11 h e 17 min per una passeggiata in montagna
ed e arrivata alle 17 h e 03 min. Quanto tempo ha camminato?
2) Enrico ha iniziato una telefonata alle 19 h 47 min 15 se l'ha conclusa alle 21 h 09
min 09 s. Quanto tempo è durata la telefonata?
3) Carlo si e coricato alle 20 h 45 min e ha dormito per 45’900 secondi. A che ora si e
svegliato? Sua sorella Esterina ha dormito i ¾ del suo tempo, ma s’è svegliata allo
stesso istante, a che ora è andata a dormire?
4) Nella gara di discesa libera disputata su una lunghezza di 2745 m, Lara ha impiegato 1,5
min per giungere al traguardo .
a)Quanti secondi ha impiegato per giungere al traguardo?
b)Quanti secondi ha impiegato mediamente per percorrere un metro?
c)Quanti metri ha percorso mediamente ogni secondo?
5) Nella tabella seguente sono riportati i tempi ottenuti da sei ciclisti nelle prime tre tappe
del Giro della Svizzera di un qualche anno fa.
a) Calcolare il tempo totale per ogni ciclista.
b) Per ogni tappa, calcolare ii tempo medio impiegato per raggiungere ii traguardo dai sei
ciclisti.
c) Calcolare la media delle ultime due tappe d’ogni ciclista.
d)Scrivere la classifica dei sei ciclisti sia in forma sessagesimale che decimale.
e)Calcolare il distacco dal primo al sesto classificato.
Ciclista
A
1° Tappa
2° Tappa
3° tappa
9' 48"
5h 23' 32"
4h 59' 09"
B
9' 42"
5h 21' 32"
5h O' 28"
C
10' 22"
5h 17' 14"
4h 59' 04"
D
10' 26"
5h 17' 14"
4h 59' 42"
E
10' 35"
4h 60' 48"
4h 58' 15"
F
10' 15"
5h 03' 36"
4h 57' 53"
Tempo totale
Media per 2-3
tappa.
Media
Tappa
6) Hai l’orario d’un volo Lugano - New York, sapendo che hai
un fuso orario di 6h, determina il tempo di viaggio e il tempo
effettivo di volo. Quant’ è il tempo d’attesa tra i due voli?
4
B) L’unità di misura delle ampiezze degli angoli.
L’ampiezza di un angolo viene misurata con diverse unità di misura, noi utilizzeremo, il grado
sessagesimale, indicato con il simbolo “ ° ” es. | |
57 °
I sottomultipli del grado sono:
il
primo , che corrisponde a 1/60
di grado e dunque 1° = 60’ , che leggo un grado
corrisponde a 60 primi
il secondo, che corrisponde a 1/60
di primo e dunque 1’ = 60’’, che leggo un primo
corrisponde a 60 secondi.
Dunque abbiamo : 1° = 60 ’ = 60 . 60’’ = ……………….. ; 45° = …………………’ = ………………………….’’
Equivalenze:
Trasforma 3° 14’ in primi:
Diretta :
1° modo: 3° 14’ = 3 . 60’ + 14’ = 180’ +14’ = 194’
oppure 2° modo: trasformando i numero sessagesimale nella forma frazionaria ed inseguito
decimale:
3° 14’ = (3 +
)° = ( ) = 3,2 ̅ ° = 3,2 ̅ ° . 60’ = 194’
oppure 3°modo: con la calcolatrice utilizzando il tasto
esempio: digiti 3 premi il tasto di gradi, inseguito 14 e di nuovo il tasto, tasto = e leggi sul
display ………………; per trasformarlo in decimale schiacci di nuovo il tasto di gradi o SD.
Trasforma 3° 14’ 20’’in secondi:
3°14° 20’’ = 3 . 3'600 + 14 . 60 + 20 = 10 800 ‘‘+ 840 ‘‘ + 20’’ = 11 660’’
oppure:
3°14° 20’’ =(3 +
)° =(3 +
)° = (
) = 3,2 ̅ ° . 3600’’ = 11 660’’
oppure con la calcolatrice:………………………………………………………………………………………………………………………
Esprimi in primi, secondi:
120°= ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
120°38’ = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
348° 54’ 22’’ = …………………………………………………………………………………………………………………………………………
Esprimi nella forma mancante le seguenti ampiezze:
8,5° = 8° …………….” ; 2,25° = …………… ; 7, 125° = ………; 12,1° = …………….. ; 5, ̅ ° = …………….
4°30’ =4,………….° ; 1° 15’ = 1,………….° , 3° 40’ = 3,………….° , 1° 45’ 20’’= 1,…………………..…….°
Inverso : Operazione inversa della moltiplicazione è la …………………………..; dunque dovrai
……………….. al posto di moltiplicare.
Esprimi in gradi, primi e secondi le seguenti ampiezze:
1200’ = ………………………………….= ……….. ; 2300 ‘’ = ………………………….. =……………………
5
Operazioni con le misure dell’ampiezza degli angoli.
Riduzione al secondo
Riduci in secondi le seguenti misure angolari.
3’ 32’’ - 2° 13’ 1’’ - 35’ 37’’ - 4° 5’’ 51’
Riduzione al minuto
Riduci in minuti le seguenti misure angolari.
7°
-
120° -
135° 23’ - 90° 55’
Riduzione in forma normale
Riduci in forma normale (con il valore dei secondi e dei minuti che non supera il 59) le seguenti
misure angolari.
a)
12° 30’ 70’’
10° 60’ 12’’
b)
123° 285’ 62’’
272° 279’ 281’’
Operazioni con le misure di angoli
Esegui le seguenti addizioni e, se necessario, porta il risultato in forma normale.
a)
1° 30’ 20’’ + 5° 10’ 12’’
4° 40’ 10’’ + 5° 17’’
b)
270° 30’ 25’’ + 120° 51’ 57’’
90° 54’ 58’’ + 80° 58’’
Esegui le seguenti moltiplicazioni e, se necessario, porta il risultato in forma normale.
a)
6° 30’ ∙ 3
85’ 22’’ ∙ 3
b)
1° 12’ 13’’ ∙ 4
25° 25’ 10’’ ∙ 8
Esegui le seguenti sottrazioni e, se necessario, porta il risultato in forma normale.
a)
16° 40’ 20’’ - 2° 20’ 19’’
204° 45’ 12’’ - 14° 12’’
b)
90° 42’ 19’’ - 45° 45’ 29’’
300° 15’ 22’’ - 100° 45’ 42’’
Esegui le seguenti divisioni e, se necessario, porta il risultato in forma normale.
a)
66° 40’ : 4
54’ 27’’ : 3
b)
2° 16’’ : 2
6° 17’ 24’’ : 4
c)
1’ 3’’ : 3
5° 27’ 15’’ : 5
Calcola
a)
di 21° 24 ‘ 51 ‘’ =
b)
di x = 21° 24 ‘ 51 ‘
c)
di 102° 24 ‘ 52 ‘’ = x
di x = 102° 24 ‘ 52 ‘’
Calcola il complementare (
di 12° 8 ‘ 21 ‘’ =
di x =12° 8 ‘ 21 ‘’
d)
di 234° 28’ 20’’ =
di x = 234° 28’ 20’’
) di ciascuno dei seguenti angoli.
a) 32°
54°
b) 45° 45’
60° 55’
c) 80° 50’ 40’’
70° 40’ 30’’
6
Calcola il supplementare (
) di ciascuno dei seguenti angoli.
a)
132°
35°
b)
175° 22’ 33’’
100° 40’ 30’’
c)
90° 30’’
90° 30’ 30’’
Calcola l’esplementare (
)
di ciascuno dei seguenti angoli.
a)
300°
270°
b)
175° 20’ 30’’
180° 40’ 30’’
c)
90° 30’’
90° 30’
Alcune proprietà sulla misura dell’ampiezza degli angoli.
a) Somma delle ampiezze degli angoli interni di un triangolo
C
180
°



B
A
Calcola | | = , sapendo che | | = 27° 34’ 33’’ e | | = 67° 54’ 50’’
b) Angolo esterno d’un triangolo.
L’angolo
è detto angolo esterno al triangolo ABC, qual è
la misura della sua ampiezza?
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
Esercizio:
 | | =67°45’ | | = 38° 40’ qual è l’ampiezza di | | = e di | | = ?
 Quanto misura la somma di tutte le ampiezze degli angoli esterni di un triangolo?
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
c) Angoli opposti al vertice: a e b rette incidenti.
a
Angoli opposti al vertice:
 ; 




b
Esercizio: | | = 28°30’ 52’’ determina la misura delle altre ampiezze .
| | =……………; | | = ……………; | | = ……………;
7
d) Triangolo isoscele
C
|AC| = |BC|  
Quanto misura l’ampiezza dell’angolo esterno di un triangolo isoscele?
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

e) Triangolo equilatero.
A

B
Disegna un triangolo equilatero ABC, di lato ̅̅̅̅̅.
Quanto misura l’ampiezza dell’angolo esterno
di un triangolo isoscele?
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
f) Angoli formati da due rette parallele a, b tagliate da una trasversale t

t
a


b
Angoli alterni:

 ; 

Esercizio:
| | = 28°30’ 52’’ determina la misura delle altre ampiezze .
| | =……………; | | = ……………; | | = ……………;
g) Angolo al centro – angolo alla circonferenza.
è detto angolo ……………….
è detto angolo ……………….
| |
| |
| | = ……………= ………….
| | = 2 . | | = ………….
| | = ……………= ………….
| |=
. | | = ………….
| ̂ | = = ……………= …………. | ̂ | = = ……………= ………….
Attenzione alla forma mista della misura dell’ampiezza dell’angolo di GeoGebra!
PS: Ora devi risolvere gli esercizi 20 e 21 a pagina 124.
8
Esercizi sulla misura dell’ampiezza degli angoli.
Nelle seguenti figure:
- il simbolo // indica che le rette così contrassegnate sono parallele;
- il simbolo o indica il centro di un arco di circonferenza disegnato.
Determina le ampiezze indicate dalle lettere greche, spiegando, su un foglio a parte, i
passaggi che ti conducono alla soluzione.
1.
d
2.
d
327°




127°
3
4.
d
3.
d

110°
4

5.
d

6.
d
44°
95°
28°


8.
d
7.
d
55°
79°


115°
9
9.
d
10.
d
82°

142°

11.


18°



82°
13.
12.
54°
3
108°


126°

14.
40°
15.

30°
70°


10