Lezione 07 - Brigantaggio.net

Le Variabili Casuali
Campionarie
Stimatori
µ
Si chiama parametro di una v.c X, e viene indicato
in generale con θ,
una funzione dei valori che la v.c. assume su tutte le unità della
popolazione e che caratterizza la distribuzione della v.c. stessa
La stima t è una funzione dei dati campionari utilizzata per prevedere
il valore incognito di un parametro θ della v.c. X oggetto di studio
nella popolazione di riferimento
Lo stimatore Tn è la v.c. generarata dalle stime calcolate su tutti i
campioni di Ωn : è quindi una v.c. campionaria
•v.c. media campionaria X
•v.c. varianza campionaria S2
•v.c. proporzione campionaria Pˆ
1
Proprietà degli Stimatori
Correttezza - uno stimatore si dice corretto (o non distorto) se il suo
valore atteso coincide con il parametro oggetto di stima
E(Tn ) = θ
Consistenza - Se uno stimatore è corretto e se all’aumentare di n la sua
varianza tende a zero vale a dire
limVar(Tn ) = 0
n →∞
Allora lo stimatore Tn si dice consistente
Efficienza Relativa - uno stimatore corretto 1Tn è più efficiente di un
secondo stimatore corretto 2Tn se la sua varianza è più piccola:
Var(1Tn ) < Var(2 Tn )
Variabile Casuale Media Campionaria
E’ inverosimile che due campioni estratti dalla stessa
popolazione producano le stesse stime: DISTRIBUZIONE
CAMPIONARIA
La statistica che stima "meglio" la media µ di una popolazione è lo
stimatore MEDIA CAMPIONARIA X le cui realizzazioni sono le
stime x , media aritmetica dei valori osservati nel campione
1 n
x = ∑ xi
n i=1
2
Variabile Casuale Media Campionaria
Le leggi di convergenza in probabilità
(Leggi dei grandi numeri,
Teorema centrale del limite)
dimostrano che
X
n→ ∞
~

σ 2
N  µ ,
n

X



X
L'ERRORE STANDARD
è la deviazione standard della variabile casuale media campionaria.
Rappresenta l'unità di misura dell'errore casuale di stima commesso
utilizzando la media campionaria come stimatore di µ
ES (X ) =
σ
n
→∞
ES (X ) n
→ 0
L’ERRORE STANDARD cresce al crescere della varianza della variabile X nella
L’ERRORE STANDARD
crescediminuisce
al crescerealdella
varianza
popolazione
crescere
di n della variabile X nella
popolazione diminuisce al crescere di n
Variabile Casuale Media Campionaria
ESERCIZIO: Sia data una popolazione costituita da N=2 unità cui
corrispondono i valori Y1=1 e Y2=5 rispettivamente con pesi 1/4 e 3/4. Si
estraggono con ripetizione tutti i possibili campioni ordinati di quattro unità
e si calcoli la media di ogni campione.
Lo spazio campionario è costituito da |Ω|=24=16 punti campione cui
corrisponde il seguente piano di campionamento:
3
Variabile Casuale Media Campionaria
La media della popolazione è
Y = (1 ⋅ 1 / 4 + 5 ⋅ 3 / 4) = 4
La varianza della popolazione è
σ 2 = (1 ⋅1 / 4 + 25 ⋅ 3 / 4) − 42 = 3
Distribuzione della variabile casuale media campionaria
yi ⋅ pi
y i ⋅ pi
1/256
24/256
162/256
432/256
405/256
1024/256
1/256
48/256
486/256
1728/256
2025/256
4288/256
yi
1
2
3
4
5
1/256
12/256
54/256
108/256
81/256
1
M (Y ) = 4
σy
2
4288
=
− 4 2 = 0 .75
256
2
σy =
2
σ2
n
=
3
= 0.75
4
Variabile Casuale Media Campionaria
•sottospazio che fornisce una stima esatta di Y
C12 , C13 , C14 , C15
p(Y = 4) =
108
= 0.422
256
•sottospazio che fornisce una stima campionaria di Y che non si
allontana per più di una unità
C6 , C7 , C8 , C9 , C10 , C11 , C16
p{(Y = 3) ∪ (Y = 5)}=
135
= 0.527
256
In questo caso utilizzando lo stimatore media campionaria si ottiene
la media esatta nel 42,2% dei casi e non si sbaglia per più di una
unità nel 94,7% dei casi
4
Variabile Casuale Varianza Campionaria
Se si calcola la varianza del campione (x1,…xn) estratto dalla
variabile X si ottiene la quantità
n
2
1
s˜ = ∑(xi − x)
n i=1
2
Al variare del campione si ottiene la varianza campionaria il cui
valore atteso non è la varianza vera:
n −1 2
E(S˜ 2 )=
σ
n
Se si considera invece la quantità: s2 = 1
2
n
∑(x − x)
n −1 i=1
i
Al variare del campione si ottiene la varianza campionaria corretta:
E (S 2 ) = σ 2
Variabile Casuale Proporzione Campionaria
X variabile casuale Binomiale
E(X) = np ; Var(X) = np(1-p)
x
proporzione campionaria. Al variare
n
X
del campione pˆ descrive lo stimatore Pˆ =
n
pˆ =
()
1
1
E Pˆ = E (X ) = np = p
n
n
1
1
pq
Var Pˆ = 2 Var(X ) = 2 npq =
n
n
n
()
5