COMPITO DI ANALISI STOCASTICA – 20 Luglio 2010 1. Si lancino

COMPITO DI ANALISI STOCASTICA – 20 Luglio 2010
1. Si lancino contemporaneamente due dadi equilibrati e sia X 1 la variabile casuale che denota
il risultato del primo lancio e X 2 la variabile casuale che denota il risultato del secondo
lancio.
a) Determinare la funzione di probabilità di X 1 .
b) Determinare la funzione di probabilità di Y = min( X 1 , X 2 ) .
c) Calcolare valore atteso e varianza di Y .
2. Sia ( X ,Y ) una variabile casuale doppia con funzione di densità congiunta
⎧2( x + y ) 0 < x < y < 1
f ( x, y ) = ⎨
altrove
⎩ 0
a) Rappresentare graficamente il supporto di ( X ,Y ) .
b) Determinare le funzioni di densità marginale di X e Y.
c) Determinare P(Y < 1 / 2) .
3. Data la variabile casuale X con funzione di densità
⎧1 / 2 0 < x < 2
f ( x) = ⎨
altrove
⎩ 0
a) Determinare la funzione di ripartizione di X e rappresentarla graficamente.
b) Determinare la funzione di ripartizione e la funzione di densità di Y = X 2 .
4. Dato il processo stocastico a media mobile di ordine 1
1
X t = U t −1 + U t
4
t = 1,2,K
dove U t sono variabili casuali normali, indipendenti e identicamente distribuite con valore
atteso 0 e varianza 12.
a) Determinare la funzione media, la funzione varianza e la funzione di autocovarianza
del processo.
b) Dire se il processo è stazionario in senso debole (motivando la risposta).
c) Determinare la distribuzione di probabilità del vettore ( X 1 , X 2 , X 3 ) .
5. Si consideri la successione di variabili casuali {X n } tale che
Xn =
Y + 4n 2
n2 + 1
n = 1,2,K
dove Y è una variabile casuale con valore atteso 0 e varianza 1.
a) Studiare la convergenza in probabilità e in distribuzione della successione.
6. Data la variabile casuale X con funzione di densità
⎧1
f ( x) = ⎨
⎩0
0 < x <1
altrove
a) Determinare la funzione caratteristica di X .
b) Determinare la funzione caratteristica di Z = X + Y , sapendo che Y = 1 + 2 X .