2 Insiemi, funzioni - e-Learning

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Insiemi, funzioni
Esercizio 59. Dato l’insieme A = {x, y} determinarne l’insieme delle parti P(A).
Risultato. P(A) = {∅, {x} , {y} , {x, y}}
Esercizio 60. Dati i due insiemi
A = {n ∈ N : n ≤ 10, n dispari} ,
B = {n ∈ N : n multiplo di 3} ,
determinare A ∩ B e A \ B.
Esercizio 61. Dati i due insiemi
A = {n ∈ N : n ≤ 5} ,
B = {n ∈ Z : −3 ≤ n ≤ 2} ,
determinare A ∪ B e A ∩ B.
Esercizio 62. La funzione f : Z → Z definita da f (x) = x2 è iniettiva? è suriettiva?
Esercizio 63. La funzione f : N → N definita da f (x) = x2 è iniettiva? è suriettiva?
Esercizio 64. La funzione f : Z → Z definita da f (x) = 2x è iniettiva? è suriettiva?
Esercizio 65. La funzione f : N → Z definita da f (x) = 2x è iniettiva? è suriettiva?
Esercizio 66. Dire quali insiemi tra i seguenti sono limitati superiormente e quali inferiormente:
• A = {x ∈ R : x ≤ 2};
• N;
• Z.
Esercizio 67. Dei seguenti insiemi di numeri reali trovare l’estremo superiore e l’estremo inferiore. Dire per ognuno se sono anche massimi o minimi.
• A = (0, 1);
• B = {0, 2};
• C = [0, 1];
Esercizio 68. Dato il seguente insieme di numeri reali
A = {x ∈ R : 0 ≤ 3x − 2 < 1} ,
determinarne gli estremi inferiore e superiore e stabilire se si tratta anche di massimo o minimo.
Esercizio 69. Dato il seguente insieme di numeri reali
1
A = x ∈ R : x = con n ∈ N \ {0} ,
n
determinarne gli estremi inferiore e superiore e stabilire se si tratta anche di massimo o minimo.
Esercizio 70. Dati i due insiemi
x+1
A= x∈R:
≥x ,
x−1
B = {x ∈ R : −1 < x ≤ 1}
determinare A ∩ B.
9
Esercizio 71. Dati i due insiemi
1
B = x∈R: x=1+
, n ∈ N \ {0} ,
2n
A = {x ∈ Q : 0 ≤ x ≤ 2} ,
trovare sup A ∩ B.
Esercizio 72. Dati i due insiemi X = {a, b, c, d}, Y = {1, 2, 3, 4, 5} dire se la seguente relazione
è una funzione definita su X a valori in Y .
X
Y
a
1
2
3
4
5
b
c
d
Esercizio 73. Dati i due insiemi X = {a, b, c, d}, Y = {1, 2, 3, 4, 5} dire se la seguente relazione
è una funzione definita su X a valori in Y .
X
Y
a
1
2
3
4
5
b
c
d
Esercizio 74. Dato l’insieme
1
A = x ∈ R : x = 1 + 2 , n ∈ N \ {0} ,
n
trovarne l’estremo inferiore: inf A.
Esercizio 75. Al variare del parametro reale α > 0 si considerino gli intervalli
1
Cα = − , α .
α
Determinare inf A, sup A, inf B e sup B dove gli insiemi A e B sono definiti da
[
\
A=
Cα ,
B=
Cα .
α>0
α>0
Esercizio 76. Dati gli insiemi
1
1
,
≤x≤1+
Cn = x ∈ R :
n
n
trovare
A=
+∞
[
B=
Cn ,
n=1
+∞
\
n ∈ N \ {0},
Cn .
n=1
Esercizio 77. Determinare, se esistono, gli estremi superiore, inferiore, il massimo e il minimo
del seguente insieme:
1
E = x ∈ R : log2 |x + 3| + log 12
≤2 .
|x + 2|
10
3
Calcolo combinatorio
Esercizio 78. In una partita a poker in cui il mazzo ha 32 carte: 4 semi e per ogni seme 8
valori (A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7), quante mani contengono un tris, ma non un gioco migliore (full
o poker)?
Risultato. 10.752 mani. Poiché il numero totali di mani è 201.376, la probabilità di avere un tris
10.752
≈ 0.05339 ≈ 5.3%.
servito è 201.376
Esercizio 79. In una gara di 35 concorrenti, di 7 nazioni diverse, 5 per nazione, quante classifiche
possibili per nazione vi sono, per i primi 5 posti?
Esercizio 80. Quante diagonali ha un poligono convesso di n lati?
Esercizio 81. Se una fila del cinema ha 13 posti e ci sono 9 persone, in quanti modi si possono
disporre?
Esercizio 82. In quanti modi 3 amici possono sedersi in una fila di 15 posti al cinema, stando
vicini tra loro?
Esercizio 83. In quanti modi 12 automobili che arrivano a uno snodo autostradale possono
distribuirsi in 3 direzioni diverse? Distinguere i 2 casi?
i) le auto si considerano tutte uguali;
ii) le auto si considerano tutte diverse.
Esercizio 84. Qual’è la probabilità che in una classe di 30 studenti almeno due compiano gli anni
nello stesso giorno?
Risultato. 0.706 . . .
Esercizio 85. Dati 5 punti nel piano non allineati 3 a 3, dire quanti triangoli si possono formare
con vertici nei punti assegnati.
Esercizio 86. Quante classifiche diverse si possono formare con 5 concorrenti A, B, C, D, E
nelle quali E segua sia A che B?
Risultato. 40.
Esercizio 87. Quante sono le possibili sigle di 3 lettere con ripetizione scelte tra A, T, M, R
nelle quali la lettera T o non compare o compare esattamente 2 volte?
Risultato. 36.
Esercizio 88. Dati 10 giocatori di tennis, quante partite diverse di singolo possono giocare?
Quante partite diverse di doppio?
Risultato. 45, 630.
Esercizio 89. Dati 100 giocatori di calcio, quante partite diverse possono giocare?
22
27
Risultato. 21 · 100
22 · 11 = 2586137303472322208647147200 ≈ 2.6 · 10 .
Esercizio 90. Utilizzando il simbolo di fattoriale esprimere il prodotto dei primi n numeri naturali
pari.
Esercizio 91. Determinare il valore del parametro reale α ∈ R in modo tale nello sviluppo della
seguente potenza:
6
1
3αy 2 −
,
2y
il coefficiente non contenente la y sia 15.
11
Risultato. α = ± 34 .
Esercizio 92. Determinare il coefficiente di x3 nello sviluppo del seguente binomio
6
2
x
.
−
3x2
4
Esercizio 93. Nello sviluppo del seguente binomio
9
2
x
+y ,
3
determinare il valore del coefficiente del termine in cui le variabili x e y hanno la stessa potenza.
Esercizio 94. Calcolare il coefficiente di x10 nello sviluppo della seguente potenza
7
2x − x2 .
Risultato. −560.
Esercizio 95. In quanti modi 8 persone si possono sedere in una fila di 10 sedie?
Risultato. 10
8 · 8! = 1814400.
Esercizio 96. Dimostrare che per ogni n ∈ N \ {0} vale
n
2n − 1 n
n+1
.
+
=
3
2
3
3
Esercizio 97. Trovare tutti i possibili valori n ∈ N tali che sia soddisfatta
n
n
n
= −3
+2
.
2
2
3
Esercizio 98. Esprimere usando il simbolo di fattoriale il prodotto dei primi n numeri naturali
dispari.
Esercizio 99. Sviluppare
5
4
2x + 2
x
e mostrare che manca il termine di primo grado in x.
Esercizio 100. Trovare il valore di α ∈ R per cui nello sviluppo di
8
1
3
,
− αx
x
il termine di grado zero in x sia uguale a 7.
Esercizio 101. Dimostrare che
Pn2
= Pn+1 − Pn
Pn−1
dove Pn è il numero di permutazioni diverse che si possono ottenere con n oggetti diversi.
Esercizio 102. Dato lo sviluppo della seguente potenza
9
1
2
x − 2y
2
determinare il coefficiente del termine in cui le variabili x e y hanno la stessa potenza.
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Esercizio 103. Sette amici di cui solo tre possono guidare fanno una gita usando due automobili
che possono portare rispettivamente 4 e 5 persone (autista incluso). In quanti modi diversi possono
disporsi (due modi si considerano diversi se è diverso un autista o se è diversa la distribuzione
degli amici tra le due automobili. Non importa il posto in cui i passeggeri sono seduti all’interno
della stessa automobile)?
Risultato. D3,2 · 53 + 52 + 51 = 150.
Esercizio 104. Trovare il coefficiente di grado zero nello sviluppo della seguente potenza:
8
1
5
x − 3
.
x
Risultato. 56.
4
Funzioni reali di variabile reale
Esercizio 105. Data la funzione f : {0, 1, 2} → R


5
f (x) = 7


4
definita da
se x = 0
se x = 1
se x = 2
determinarne l’immagine, l’estremo superiore, l’estremo inferiore e dire se sono anche massimo/minimo.
Risultato. f ({0, 1, 2}) = {4, 5, 7}, inf f = 4 = min f , sup f = 7 = max f .
Esercizio 106. Data la funzione f : (0, 1] ∪ {2, 3} → R definita da

1

se x ∈ (0, 1]
x
f (x) = 0
se x = 2


1
se x = 3
determinarne l’immagine, l’estremo superiore, l’estremo inferiore e dire se sono anche massimo/minimo.
Esercizio 107. Data la funzione f : R → R definita da


se x < 0
2
f (x) = x + 2 se 0 ≤ x < 1


1
se x ≥ 1
determinarne l’immagine, l’estremo superiore, l’estremo inferiore e dire se sono anche massimo/minimo.
Esercizio 108. Data la funzione f : A ⊂ R → R, con A = R \ {0}, definita da
f (x) =
1
,
x
dire se è pari, dispari o se non ha nessuna di queste due simmetrie.
Esercizio 109. Data la funzione f : A ⊂ R → R, con A = [0, 1], definita da
f (x) = x2 ,
dire se è pari, dispari o se non ha nessuna di queste due simmetrie.
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Esercizio 110. Data la funzione f : A ⊂ R → R, con A = R, definita da
f (x) = x2 ,
dire se è pari, dispari o se non ha nessuna di queste due simmetrie.
Esercizio 111. Data la funzione f : A ⊂ R → R, con A = R, definita da
f (x) = x3 ,
dire se è pari, dispari o se non ha nessuna di queste due simmetrie.
Esercizio 112. Data la funzione f : A ⊂ R → R, con A = R, definita da
f (x) = 1 + x,
dire se è pari, dispari o se non ha nessuna di queste due simmetrie.
Esercizio 113. Data la funzione f : R → R definita da:

2
(x + 3) − 1 se x < −3



sin π x − 1 se − 3 ≤ x < 0
3
f (x) =

x
−
1
se 0 ≤ x ≤ 2


 x−2
2
se x > 2,
determinarne l’immagine, l’estremo superiore, l’estremo inferiore e il massimo e minimo (se
esistono).
Risultato. f (R) = [−2, +∞), inf x∈R f (x) = minx∈R f (x) = −2, supx∈R f (x) = +∞.
Esercizio 114. Data la funzione f : R → R definita da:


2x+3
se x < −3



1 − sin π x
se − 3 ≤ x < 0
3
f (x) = x

+1
se 0 ≤ x ≤ 2

2


2
3 − (x − 3)
se x > 2,
determinarne l’immagine, l’estremo superiore, l’estremo inferiore e il massimo e minimo (se
esistono).
Risultato. f (R) = (−∞, 3], supx∈R f (x) = maxx∈R f (x) = 3, inf x∈R f (x) = −∞.
√
Esercizio 115. Data l’espressione e x , determinarne il massimo
insieme di definizione X. Si
√
consideri quindi la funzione f : X → R definita da f (x) = e x , determinarne l’immagine I =
f (X). In caso f : X → I risulti invertibile determinarne la funzione inversa specificando anche
dominio e immagine della funzione inversa.
Risultato. X = [0, +∞), I = [1, +∞). La funzione è invertibile e l’inversa f −1 : I → X è definita
2
da f −1 (y) = (ln y) .
Esercizio 116. Di ognuna delle seguenti funzioni, determinare l’insieme di definizione, tracciare
un grafico qualitativo, determinare l’immagine, gli estremi superiore ed inferiore specificando se si
tratta anche di massimi e minimi.
• f (x) = |ex − 1|;
• f (x) = e|x| − 1;
• f (x) = x2 − 5x + 6;
• f (x) = |x|2 − 5 |x| + 6;
2
• f (x) = |x| + 5 |x| + 6;
• f (x) = ln (x − 2) − 5;
• f (x) = |ln (x − 2) − 5|.
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