Estremo superiore ed estremo inferiore Per introdurre al meglio i

Estremo superiore ed estremo inferiore
Per introdurre al meglio i concetti di estremo superiore ed estremo inferiore dobbiamo prima richiamare
alcune definizioni utili alla comprensione di queste due quantità.
 Di un insieme ambiente X, che per comodità identificheremo con R, prendiamo in considerazione
un certo sottoinsieme A. Se nell’insieme ambiente X definiremo una relazione d’ordine, anche il
sottoinsieme A, per cui valga A ⊆ S, sarà ordinato dall’ordinamento indotto da X.
Per comodità, possiamo immaginare R nella sua rappresentazione più usuale, cioè una retta,
mentre un suo sottoinsieme sarà un certo intervallo compreso tra due estremi a e b.
a
b
Un elemento kM è detto maggiorante di A se:
 kM è confrontabile con ogni elemento di A, cioè se kM R x per ogni x∈A, dove R è la relazione d’ordine
definita sull’insieme ambiente X;
 per ogni elemento x appartenente ad A, si ha che kM≥x.
Un elemento km è detto minorante di A se:
 km è confrontabile con ogni elemento di A, cioè se km R x per ogni x∈A, dove R è la relazione d’ordine
definita sull’insieme ambiente X;
 per ogni elemento x appartenente ad A, si ha che km≤x.
È da notare che un insieme potrà essere maggiorato o minorato da più elementi e questi elementi non
necessariamente devono appartenere all’insieme A.
Posto questo, un insieme che sia maggiorato da almeno un elemento sarà limitato superiormente, se minorato da
almeno un elemento sarà limitato inferiormente, se è sia maggiorato che minorato sarà un insieme limitato.
Prima di continuare, facciamo un chiarimento che è alquanto ovvio ma molto utile ai fini della comprensione dei
concetti.
Consideriamo ancora una volta un insieme ambiente X (scegliete quale più vi aggrada) ed un suo sottoinsieme A. Per
avere un’idea grafica ne tracciamo un disegno.
Un elemento a appartentente al sottoinsieme A di X, apparterrà
contemporaneamente ad A ed a X, per la definizione di sottoinsieme.
A
.a
X
Successivamente possiamo passare a definire un maggiorante ed un minorante particolari.
Una M ∈ X sarà il max(A), ovvero il massimo di A, se:
 M ∈ A;
 M è un maggiorante di A.
Una m ∈ X sarà il min(A), ovvero il minimo di A, se:
 m ∈ A;
 m è un minorante di A.
C’è da dire che un insieme A può non avere alcun maggiorante nè alcun minorante come può avere più maggioranti
e più minoranti. Vi potranno essere però solo un massimo e solo un minimo. Dal momento che non sempre esistono
questi ultimi due elementi, ne andremo a definire altri due che contribuiranno alla caratterizzazione del nostro
insieme A.
L’estremo superiore di A, definito sup(A), è il minimo dei maggioranti. L’estremo inferiore di A, definito
inf(A), è il massimo dei minoranti.
Dal momento che queste ultime due definizioni sono consequenziali a quelle di massimo e minimo, anche gli estremi
superiore ed inferiore saranno unici. Tenendo ben presenti le definizioni precedenti, si comprenderà facilmente che
se un insieme A è dotato di massimo, esso coinciderà con l’estremo superiore. Parimenti, se un insieme è dotato di
minimo, esso coinciderà con l’estremo inferiore.
Se infatti prendiamo come esempio l’insieme S = {1, 2, 3}, si verifica facilmente che il massimo è 3 ed allo stesso
modo possiamo notare che sia 1 sia 2 non possono esserlo in quanto non sono verificate le proprietà dell’estremo
superiore ed ancor prima quelle di maggiorante. Ragionamenti simili si possono condurre per dimostrare che 1 è il
minimo e che sia 2 sia 3 non possono esserlo.
Procedendo nel ragionamento, guardiamo agli estremi superiore ed inferiore da un’angolazione lievemente diversa.
Possiamo infatti riformulare le definizioni appena date in questo modo:
 Chiamiamo estremo superiore di A quel numero reale S tale che:
o ∀x∈A:x≤S
o ∀ ε > 0, ∃ x ∈ A : L – ε < x

-S è un maggiorante
-non ne esiste uno più piccolo
Chiamiamo estremo inferiore di A quel numero reale s tale che:
o ∀x∈A:x≥S
o ∀ ε > 0, ∃ x ∈ A : x < l + ε
-s è un minorante
-non ne esiste uno più grande
Nel primo caso avremo:
S
S-ε
S
dove S è il nostro sup(A)
S-ε non potrà essere un maggiorante in
quanto esisteranno infiniti punti tra S-ε ed S
che maggiorano S- ε. Quindi S- ε non può
essere l’estremo superiore di A.
Ragionamenti analoghi si possono fare per appurare la definizione di estremo inferiore.