Test di autovalutazione 2

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Analisi Matematica I
Calcolo differenziale
Test di autovalutazione
1. Sia f : R → R una funzione derivabile in 0 tale che f (0) = f ′ (0) = 0. Si
f (x)
. Allora, necessariamente
consideri la funzione g(x) =
sin x
(a) lim g(x) = 0
x→0
(b) lim g(x) = 1
x→0
(c) lim g(x) = +∞
x→0
(d) lim g(x) = π
x→0
2. Data f (x) = |2x| − x, si può affermare che
(a) f non è continua su R
(b) f ha un punto di minimo
(c) esiste un intervallo in cui f è negativa
(d) poiché f (1) = f (− 13 ) = 1, esiste un punto c ∈ − 31 , 1 in cui f ′ (c) = 0
3. Data la funzione
f (x) =
si può affermare che
−3x
se x ≤ 0 ,
−3x − 2 se x > 0 ,
(a) f ′ (x) = −3, ∀x ∈ R
(b) la derivata laterale destra di f (x) in x = 0 vale -3
(c) esiste c ∈ R tale che f (c) = −1
(d) la funzione f ′ è definita su R\{0}
4. La derivata prima della funzione f (x) =
sin x
x
ln(2x) − e−x
è la funzione
sin2 x
+ e−x sin x − 2 cos x ln(2x) + 2e−x cos x
sin3 x
( x1 + e−x ) sin2 x − (ln(2x) − e−x )2 sin x
′
(b) f (x) =
sin4 x
( 1 + e−x ) sin2 x − (ln(2x) − e−x )2 sin x cos x
(c) f ′ (x) = 2x
sin4 x
( 1 + e−x ) sin2 x − (ln(2x) − e−x )2 sin x
(d) f ′ (x) = 2x
sin4 x
(a) f ′ (x) =
c
2006
Politecnico di Torino
5. Sia f continua sull’intervallo [−1, 1] tale che f (−1) = f (0) = f (1) = 0. Allora:
(a) se f ∈ C (2) ((−1, 1)) allora esiste almeno un punto c ∈ (−1, 1) in cui
f ′′ (c) = 0
(b) f è necessariamente derivabile in (−1, 1)
(c) se f (− 12 ) > 0 allora f ( 21 ) < 0
(d) esiste un intervallo [a, b] ⊂ (−1, 1) in cui f è strettamente decrescente.
6. La funzione f (x) = |x3 − x|
(a) non ha punti di minimo
(b) è continua e derivabile
(c) è pari
(d) ha un punto di massimo assoluto
7. È data la funzione f (x) = [1 + ln(3x)]e−x . Allora
(a) f ′ 31 = 2e−1/3
(b) f ′ (1) = 0
2
′
(c) f (1) = − − ln 3 e−1
3
′ 1
(d) f 3 = 0
8. Sia f : [0, +∞) → R una funzione continua tale che f (0) = 5, f (1) = −3 e
lim f (x) = 1. Allora, necessariamente
x→+∞
(a) f ammette esattamente uno zero
(b) f ammette almeno due zeri
(c) f (x) è derivabile in x = 1
(d) f (x) > 0 , ∀x <
1
2
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9. Data la funzione f (x) di grafico
4
4
2
0
2
il grafico della funzione derivata f ′ (x) è:
4
2
0
2
4
4
2
0
(a)
4
2
0
2
4
(b)
2
4
4
2
(c)
0
2
4
(d)
10. Sia f : R → R una funzione derivabile. Allora la funzione g(x) = |f (x)|
(a) non è mai derivabile
(b) è derivabile se e solo se f (x) ≥ 0 , ∀x ∈ R
(c) se f ′ (0) = 0, allora g(x) è derivabile
(d) se f (x) non ha zeri, allora g(x) è derivabile
ex
. Allora
|x| − 1
(a) non ha asintoti orizzontali
11. Sia data la funzione f (x) =
(b) ad essa si può applicare il Teorema di Rolle in [2, 5]
(c) è derivabile in x0 = 0
(d) è continua in x0 = 0
c
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12. Sia data la funzione f (x) = arctan x1 . Allora
(a) coincide con g(x) =
π
2
− arctan x
(b) ha un punto di minimo assoluto
(c) si può prolungare per continuità su R
(d) ad essa si può applicare il Teorema di Lagrange nell’intervallo [1, 2]
c
2006
1. Sia f : R → R una funzione derivabile in 0 tale che f (0) = f ′ (0) = 0. Si
f (x)
. Allora, necessariamente
consideri la funzione g(x) =
sin x
(a) lim g(x) = 0
x→0
(b) lim g(x) = 1
x→0
(c) lim g(x) = +∞
x→0
(d) lim g(x) = π
x→0
RISPOSTA ESATTA: (a)
Risulta
lim g(x) = lim
x→0
c
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x→0
f (x)
f (x)
= lim
:= f ′ (0) = 0.
sin x x→0 x
2. Data f (x) = |2x| − x, si può affermare che
(a) f non è continua su R
(b) f ha un punto di minimo
(c) esiste un intervallo in cui f è negativa
(d) poiché f (1) = f (− 13 ) = 1, esiste un punto c ∈ − 31 , 1 in cui f ′ (c) = 0
RISPOSTA ESATTA: (b)
La funzione f (x) è continua su R perché somma di funzioni continue. Dunque
(a) è falsa.
Si ha
f (x) =
−3x se x < 0 ,
x
se x ≥ 0 .
Pertanto f (x) è sempre positiva, e ha un punto di minimo assoluto in x = 0.
Dunque (b) è vera mentre (c) è falsa.
La risposta (d) è falsa, perché, non si può applicare il Teorema di Rolle in
quanto f (x) non è derivabile in x = 0 e non esiste nessun punto c ∈ − 13 , 1
in cui f ′ (c) = 0.
c
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3. Data la funzione
f (x) =
si può affermare che
−3x
se x ≤ 0 ,
−3x − 2 se x > 0 ,
(a) f ′ (x) = −3, ∀x ∈ R
(b) la derivata laterale destra di f (x) in x = 0 vale -3
(c) esiste c ∈ R tale che f (c) = −1
(d) la funzione f ′ è definita su R\{0}
RISPOSTA ESATTA: (d)
La funzione è derivabile in ogni punto x ∈ R, tranne che in x = 0 (dove non è
continua), e si ha f ′ (x) = −3, ∀x ∈ R \ {0}. Quindi (d) è vera e (a) è falsa.
La risposta (c) è falsa, perché f (x) ha un salto in x = 0 e im f = (−∞, −2) ∪
[0, +∞). Pertanto f non assume il valore -1.
La (b) è errata, perché non esiste la derivata laterale destra in x = 0; infatti
lim+
x→0
−3x − 2
f (x) − f (0)
= lim+
= −∞ .
x→0
x−0
x
c
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4. La derivata prima della funzione f (x) =
ln(2x) − e−x
è la funzione
sin2 x
sin x
x
sin3 x
(b) f ′ (x) = x
sin4 x
1
( 2x
+ e−x ) sin2 x − (ln(2x) − e−x )2 sin x cos x
′
(c) f (x) =
sin4 x
(d) f ′ (x) = 2x
sin4 x
(a) f ′ (x) =
Infatti:
2
( 2x
+ e−x ) sin2 x − (ln(2x) − e−x )2 sin x cos x
f (x) =
sin4 x
′
=
=
( x1 + e−x ) sin x − (ln(2x) − e−x )2 cos x
sin3 x
sin x
x
c
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.
sin3 x
5. Sia f continua sull’intervallo [−1, 1] tale che f (−1) = f (0) = f (1) = 0. Allora:
(a) se f ∈ C (2) ((−1, 1)) allora esiste almeno un punto c ∈ (−1, 1) in cui
f ′′ (c) = 0
(b) f è necessariamente derivabile in (−1, 1)
(c) se f (− 12 ) > 0 allora f ( 21 ) < 0
(d) esiste un intervallo [a, b] ⊂ (−1, 1) in cui f è strettamente decrescente.
Infatti, se la funzione f è derivabile in (−1, 1), per il Teorema di Rolle, essendo
f (−1) = f (0) esisterà un punto x1 ∈ (−1, 0) in cui f ′ (x1 ) = 0; analogamente,
essendo f (0) = f (1) esisterà un punto x2 ∈ (0, 1) in cui f ′ (x2 ) = 0.
Poiché f ′ (x1 ) = f ′ (x2 ), se f è derivabile due volte in (−1, 1), applicando il
Teorema di Rolle ad f ′ sull’intervallo [x1 , x2 ] si troverà un punto c ∈ (x1 , x2 ) ⊂
(−1, 1) in cui f ′′ (c) = 0.
La funzione f (x) = | sin(πx)| fornisce un controesempio che mostra la falsità
della (b) e della (c).
La (d) è falsa: si consideri la funzione f (x) identicamente nulla.
c
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6. La funzione f (x) = |x3 − x|
(a) non ha punti di minimo
(b) è continua e derivabile
(c) è pari
(d) ha un punto di massimo assoluto
RISPOSTA ESATTA: (c)
Infatti f (−x) = |(−x)3 − (−x)| = | − x3 + x| = |x3 − x| = f (x)
Poiché si ha f (x) ≥ 0 e f (x) = 0 se x = 0 oppure x = ±1, i punti
x = 0, x = ±1 sono tre punti di minimo (assoluto). Dunque (a) è falsa.
La funzione non ha invece punti di massimo assoluto, in quanto non è limitata
superiormente. Dunque la (d) è falsa.
(b) è falsa: f (x) è continua (perché composizione di funzioni continue); però
f non è derivabile nei punti x = 0 , x = ±1: questi sono tre punti angolosi.
c
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7. È data la funzione f (x) = [1 + ln(3x)]e−x . Allora
(a) f ′ 31 = 2e−1/3
(b) f ′ (1) = 0
2
(c) f ′ (1) = − − ln 3 e−1
3
′ 1
(d) f 3 = 0
È sufficiente calcolare
1 −x
−x
−x 1
f (x) = e − e [1 + ln(3x)] = e
− 1 − ln(3x)
x
x
1
′
−1
′
= 2e−1/3 .
da cui si ha f (1) = e (− ln 3) e f
3
′
Pertanto le risposte (b), (c) e (d) sono false mentre la risposta (a) è vera.
c
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8. Sia f : [0, +∞) → R una funzione continua tale che f (0) = 5, f (1) = −3 e
lim f (x) = 1. Allora, necessariamente
x→+∞
(a) f ammette esattamente uno zero
(b) f ammette almeno due zeri
(c) f (x) è derivabile in x = 1
(d) f (x) > 0 , ∀x <
1
2
Applicando il Teorema di esistenza degli zeri ad f sull’intervallo [0, 1], si deduce
che deve certamente esistere uno zero di f (x) per un valore x = c1 , con 0 <
c1 < 1; inoltre, considerando l’intervallo [1, +∞), si trova che deve esistere un
altro zero x = c2 , con c2 > 1: infatti, poiché lim f (x) = 1, sicuramente esiste
x→+∞
M > 0 tale che, ∀x > M, sia f (x) > 0, e dunque si troverà un secondo zero
c2 , con 1 < c2 < M. Dunque (a) è falsa e (b) è vera.
La risposta (c) è falsa: si pensi a una funzione che ha un punto angoloso in
x = 1.
Anche la risposta (d) è falsa: è sufficiente considerare una funzione che passi
per A=(0, 5) e per B=(1, −3), e diventi negativa per valori di x minori di 21 .
La funzione
8(x − 1)2 − 3 se 0 ≤ x < 1
4
f (x) =
1−
se
x≥1
x
fornisce un controesempio che mostra la falsità di (c) e (d): infatti è continua
su [0, +∞), f (0) = 5, f (1) = −3 e lim f (x) = 1; inoltre ha un un punto
x→+∞
q
angoloso in x = 1, ed è negativa nell’intervallo 1 − 38 , 12 .
c
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(
9. Data la funzione f (x) di grafico
4
4
2
0
2
il grafico della funzione derivata f ′ (x) è:
4
2
0
2
4
4
2
0
(a)
4
2
0
2
4
(b)
2
(c)
4
4
2
0
2
4
(d)
Dal grafico assegnato si osserva che f (x) è dispari, e pertanto f ′ (x) è pari;
dunque le risposte (a) e (c) sono da scartare.
Si osserva inoltre che la retta tangente al grafico di f (x) in x = 0 ha coefficiente
angolare positivo, e quindi f ′ (0) > 0; pertanto (b) è esatta mentre (c) è errata.
c
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10. Sia f : R → R una funzione derivabile. Allora la funzione g(x) = |f (x)|
(a) non è mai derivabile
(b) è derivabile se e solo se f (x) ≥ 0 , ∀x ∈ R
(c) se f ′ (0) = 0, allora g(x) è derivabile
(d) se f (x) non ha zeri, allora g(x) è derivabile
Poiché f (x) è derivabile, è anche continua su R, e dunque, se f (x) non ha zeri,
può essere solo o f (x) < 0 oppure f (x) > 0, qualunque sia x ∈ R.
Nel primo caso si ha g(x) = |f (x)| = −f (x), mentre nel secondo caso si ha
g(x) = f (x); in entrambi i casi, essendo f (x) derivabile, lo è anche g(x).
Dunque (d) è vera, mentre (a) è falsa. Anche (b) è falsa, in quanto (come visto
sopra) g(x) può essere derivabile anche se f (x) < 0 , ∀x ∈ R.
La funzione
(c).
f (x) = cos x fornisce un controesempio che confuta la risposta
c
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ex
. Allora
|x| − 1
(a) non ha asintoti orizzontali
11. Sia data la funzione f (x) =
(b) ad essa si può applicare il Teorema di Rolle in [2, 5]
(c) è derivabile in x0 = 0
(d) è continua in x0 = 0
La (a) è errata in quanto lim f (x) = 0 e dunque y = 0 è un asintoto
x→−∞
orizzontale sinistro.
La risposta (b) è errata in quanto f (2) 6= f (5).
f è continua in x0 = 0 in quanto lim+ f (x) = lim− f (x) = f (0) = −1.
x→0
x→0
Per vedere se f è derivabile calcoliamo la derivata di f , tenendo conto che

ex


, se x < 0, x =
6 −1 ,

−x − 1
f (x) =

ex


,
se x ≥ 0, x =
6 1,
x−1
e pertanto
′
f (x) =
 −xex


 (x + 1)2 ,
se x < 0, x 6= −1 ,

ex (x − 2)


, se x > 0, x 6= 1 .
(x − 1)2
Poiché lim+ f ′ (x) = −2, mentre lim− f ′ (x) = 0, f non è derivabile in x0 = 0.
x→0
c
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x→0
12. Sia data la funzione f (x) = arctan x1 . Allora
(a) coincide con g(x) =
π
2
− arctan x
(b) ha un punto di minimo assoluto
(c) si può prolungare per continuità su R
(d) ad essa si può applicare il Teorema di Lagrange nell’intervallo [1, 2]
Il dominio di f è R \ {0}. Inoltre:
( π
− 2 − arctan x, se x < 0 ,
1
.
arctan = π
x
−
arctan
x,
se
x
>
0
.
2
π
Dunque (a) è falsa. Anche (c) è falsa, perché lim− f (x) = − , mentre
x→0
2
π
lim f (x) = ; pertanto non esiste lim f (x), e x = 0 non è un punto di
x→0
x→0+
2
discontinuità eliminabile.
La (b) è falsa, perché inf f = −
cui f (x) = − π2 .
π
2
, ma non esiste nessun punto x ∈ dom f per
La (d) è vera, in quanto f (x) è continua e derivabile nell’intervallo [1, 2].
c
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Test di autovalutazione 2

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