Test di autovalutazione 1

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Analisi Matematica I
Calcolo differenziale
Test di autovalutazione
1. Sia f : R → R iniettiva, derivabile e tale che f (1) = 3, f ′ (1) = 2, f ′ (3) = 5.
Allora
(a) (f −1 )′ (3) =
(b) (f −1 )′ (3) =
(c) (f −1 )′ (1) =
(d) (f −1 )′ (1) =
1
5
1
2
1
2
1
3
2. Sia f : R → R una funzione derivabile in 0 tale che f (0) = 1, f ′ (0) = 3, e sia
g(x) = xf (x) + f (−x). Allora, necessariamente
(a) g è derivabile in 0 e g ′(0) = −2
(b) g è derivabile in 0 e g ′ (0) = 2
(c) g non è derivabile in 0
(d) g è derivabile in 0 e g ′ (0) = 0
3. La funzione f (x) = sin(πx)
(a) ha periodo 2π
(b) ha tre intersezioni con la retta y = x
(c) ha immagine [−π, π]
(d) ha come tangente in 0 la retta y = x
c
2006
Politecnico di Torino
4. La seguente curva
0
1
1
è parte del grafico della funzione:
(a) f (x) = ln(1 − 4|x|)
1
(b) f (x) = 1 + 2
x −1
x
(c) f (x) = 2
x −1
(d) f (x) = −|x|ex
√
5. La funzione f (x) = 3 x(1 + ex )
(a) è dispari
(b) è derivabile su R
(c) è limitata
(d) ha un punto a tangente verticale
6. Sia f : R → R una funzione strettamente crescente, che ammette la retta
y = 10 come asintoto orizzontale destro. Allora necessariamente
(a) il numero degli zeri di f è uguale a 1
(b) il numero degli zeri di f è maggiore di 1
(c) se f (−2) > 0, allora non ci sono zeri
(d) f può avere al più uno zero
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7. Sia f : R → R una funzione derivabile in x = 0 e tale che f (0) = 0, f ′ (0) = 0.
Allora, necessariamente
(a) f (x) ammette un minimo locale in x = 0
(b) f è costante su R
(c) f (x) = o(x) per x → 0
(d) f (x) ∼ x per x → 0
8. In x = 0 la funzione f (x) = sin x |cos x|
(a) è continua ma non derivabile
(b) è derivabile
(c) non è né continua né derivabile
(d) ha un punto angoloso
9. Sia f una funzione derivabile e con derivata prima strettamente positiva in
tutti i punti interni al suo dominio. Allora
(a) f non ha punti di massimo o di minimo
(b) f è strettamente crescente nel suo dominio
(c) f è suriettiva
(d) f non ammette punti di flesso a tangente orizzontale
10. Sia data la funzione f (x) = x2 ex . Allora
(a) non ha asintoti
(b) ha minimo assoluto
(c) ad essa si può applicare il Teorema di Rolle nell’intervallo [−1, 1]
(d) è invertibile
ex
. Allora
|x| − 1
(a) ha un punto di minimo relativo
11. Sia data la funzione f (x) =
(b) non ha punti a tangente orizzontale
(c) ha un punto di max relativo in x0 = −1
(d) ad essa si può applicare il Teorema di Lagrange in [− 21 , 31 ]
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12. Sia data la funzione
f (x) =
x2 + 1 per x 6= 2 ,
0
per x = 2 .
Allora
(a) ad essa si può applicare il Teorema di Lagrange in [0, 2]
(c) non è continua in x = 0
(d) ha un punto di minimo assoluto
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1. Sia f : R → R iniettiva, derivabile e tale che f (1) = 3, f ′ (1) = 2, f ′ (3) = 5.
Allora
(a) (f −1 )′ (3) =
(b) (f −1 )′ (3) =
(c) (f −1 )′ (1) =
(d) (f −1 )′ (1) =
1
5
1
2
1
2
1
3
RISPOSTA ESATTA: (b)
Se f (x0 ) = y0 e f ′ (x0 ) 6= 0, si ha (f −1 )′ (y0 ) =
1
f ′ (x0 )
.
1
Pertanto, poiché f (1) = 3 e f ′ (1) = 2, se ne deduce che (f −1 )′ (3) = , e quindi
2
(b) è vera mentre (a) è falsa.
Le risposte (c) e (d) non sono deducibili dai dati del quesito, perché non si
conosce per quale valore di x0 si ha f (x0 ) = 1.
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2. Sia f : R → R una funzione derivabile in 0 tale che f (0) = 1, f ′ (0) = 3, e sia
g(x) = xf (x) + f (−x). Allora, necessariamente
(a) g è derivabile in 0 e g ′(0) = −2
(b) g è derivabile in 0 e g ′ (0) = 2
(c) g non è derivabile in 0
(d) g è derivabile in 0 e g ′ (0) = 0
RISPOSTA ESATTA: (a)
Applicando le regole di derivazione del prodotto e di composizione di funzioni,
si ha che g(x) è derivabile in un intorno di x = 0 e
g ′ (x) = f (x) + xf ′ (x) − f ′ (−x) .
Pertanto si ha
g ′ (0) = f (0) + 0f ′ (0) − f ′ (0) = 1 − 3 = −2 .
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3. La funzione f (x) = sin(πx)
(a) ha periodo 2π
(b) ha tre intersezioni con la retta y = x
(c) ha immagine [−π, π]
(d) ha come tangente in 0 la retta y = x
La funzione f (x) = sin(πx) ha periodo (minimo) T =
immagine [−1, 1]. Dunque (a) e (c) sono false.
2π
= 2, e ha per
π
Poiché, per x → 0, si ha sin(πx) ∼ πx, la funzione f (x) ha come tangente in
x = 0 la retta y = πx, e dunque la (d) è falsa.
La funzione f (x) ha sicuramente un’intersezione in x0 = 0 con la retta y = x.
Inoltre ne ha un’altra x1 , con x1 ∈ 21 , 1 : infatti f 12 = 1 > 21 , mentre
f (1) = 0 < 1.
Poiché f è dispari, per simmetria esiste una terza intersezione x2 , con x2 ∈
−1, − 21 .
Non possono esistere altre intersezioni, perché, per x > 1, la retta y = x
assume valori maggiori di 1, mentre la funzione f (x) è sempre minore di 1.
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4. La seguente curva
0
1
1
è parte del grafico della funzione:
(a) f (x) = ln(1 − 4|x|)
1
(b) f (x) = 1 + 2
x −1
x
(c) f (x) = 2
x −1
(d) f (x) = −|x|ex
Dal grafico assegnato si osserva che f (x) è pari; dunque le risposte (c) e (d)
sono da scartare (la f (x) della (c) è dispari, mentre quella della (d) non ha
simmetrie).
Si osserva inoltre che f (x) in x = 0 ha un punto angoloso, e quindi f (x) non
è derivabile in x = 0; pertanto la risposta (b) è errata, in quanto f (x) =
1
1+ 2
è derivabile in x = 0.
x −1
Invece f (x) = ln(1 − |x|) non è derivabile in x = 0: infatti
f−′ (0) = lim−
x→0
mentre
ln(1 + x)
f (x) − f (0)
= lim−
= 1,
x→0
x−0
x
f (x) − f (0)
ln(1 − x)
= lim−
= −1 .
x→0
x→0
x−0
x
Dunque il grafico della funzione (a) coincide con quello assegnato.
f+′ (0) = lim+
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5. La funzione f (x) =
√
3
x(1 + ex )
(a) è dispari
(c) è limitata
(d) ha un punto a tangente verticale
RISPOSTA ESATTA: (d)
La funzione non è dispari perché f (−x) =
√
3
−x(1 + e−x ) 6= −f (x).
La funzione non è limitata perché lim f (x) = +∞.
x→+∞
La funzione non è derivabile in x = 0 e quindi su R. Infatti:
√
1
x
3
(1
+
e
)
+
xex ;
f ′ (x) = √
3
2
3 x
poiché lim f ′ (x) = +∞, f (x) non è derivabile in x = 0, che è un punto a
x→0
tangente verticale.
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6. Sia f : R → R una funzione strettamente crescente, che ammette la retta
y = 10 come asintoto orizzontale destro. Allora necessariamente
(a) il numero degli zeri di f è uguale a 1
(b) il numero degli zeri di f è maggiore di 1
(c) se f (−2) > 0, allora non ci sono zeri
(d) f può avere al più uno zero
Essendo f (x) strettamente monotona, se è continua può avere al massimo
uno zero (ne ha esattamente uno se assume anche valori negativi). Anche se
non è continua vale un ragionamento analogo, a caura della monotonia della
funzione.
Dunque le risposte (a) e (b) sono false, mentre la risposta (d) è vera.
La risposta (c) è falsa: la funzione f (x) potrebbe avere uno zero in un punto
x0 < −2.
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7. Sia f : R → R una funzione derivabile in x = 0 e tale che f (0) = 0, f ′ (0) = 0.
Allora, necessariamente
(a) f (x) ammette un minimo locale in x = 0
(b) f è costante su R
(c) f (x) = o(x) per x → 0
(d) f (x) ∼ x per x → 0
RISPOSTA ESATTA: (c)
La funzione f (x) = x3 fornisce un controesempio che mostra la falsità delle
risposte (a) e (b).
f (x)
= f ′ (0) = 0 (si ricordi
x→0 x
la definizione di derivata di f (x) nel punto x = 0); quindi (c) è vera mentre
(d) è falsa.
Per controllare le risposte (c) e (d), calcoliamo lim
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8. In x = 0 la funzione f (x) = sin x |cos x|
(a) è continua ma non derivabile
(b) è derivabile
(c) non è né continua né derivabile
(d) ha un punto angoloso
In x = 0, la funzione |cos x| è derivabile: infatti, per x ∈ [− π2 , π2 ], la funzione
| cos x| coincide con la funzione cos x; pertanto f (x) è derivabile in x = 0, in
quanto prodotto di due funzioni derivabili in x = 0.
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9. Sia f una funzione derivabile e con derivata prima strettamente positiva in
tutti i punti interni al suo dominio. Allora
(a) f non ha punti di massimo o di minimo
(b) f è strettamente crescente nel suo dominio
(c) f è suriettiva
(d) f non ammette punti di flesso a tangente orizzontale
Infatti, se f ′ (x) > 0 , necessariamente f ′ (x) 6= 0 e dunque non esistono punti
a tangente orizzontale (e quindi neppure flessi a tangente orizzontale).
Per il Teorema di Fermat, la funzione f non ha punti di massimo o minimo
interni al suo dominio, ma potrebbe averli agli estremi (si pensi, ad esempio
alla funzione f (x) = arcsin x). Dunque (a) è falsa.
Il fatto che f ′ sia strettamente positiva, non implica che f sia strettamente
crescente, se il dominio di f non è un intervallo. Si pensi ad esempio alla
funzione f (x) = − x1 . Pertanto (b) è falsa.
La suriettività di una funzione non è legata al segno della sua derivata. Si
consideri come controesempio la funzione f : [−1, 1] → R definita da f (x) =
arcsin x. Dunque (c) è falsa.
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10. Sia data la funzione f (x) = x2 ex . Allora
(a) non ha asintoti
(b) ha minimo assoluto
(c) ad essa si può applicare il Teorema di Rolle nell’intervallo [−1, 1]
(d) è invertibile
Infatti si ha f (x) ≥ 0 e f (x) = 0 se e solo se x = 0; dunque il punto x = 0
è un punto di minimo assoluto.
La risposta (a) è errata, perché lim f (x) = 0 e quindi f ha un asintoto
x→−∞
orizzontale sinistro.
La risposta (c) è falsa, perché f (−1) 6= f (1).
Poiché f è continua, f è invertibile se e solo se è strettamente monotona. Dallo
studio del segno di f ′ (x) = xex (x + 2), si ricava che esistono due intervalli in
cui f è strettamente crescente e un intervallo in cui è strettamente decrescente.
Dunque la risposta (d) è errata.
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ex
. Allora
|x| − 1
(a) ha un punto di minimo relativo
11. Sia data la funzione f (x) =
(b) non ha punti a tangente orizzontale
(c) ha un punto di max relativo in x0 = −1
(d) ad essa si può applicare il Teorema di Lagrange in [− 21 , 31 ]
Calcoliamo la derivata di f , tenendo conto che

ex


, se x < 0, x 6= −1 ,

−x − 1
f (x) =

ex


,
se x ≥ 0, x =
6 1,
x−1
e pertanto
′
f (x) =
 −xex


 (x + 1)2 ,
se x < 0, x 6= −1 ,

ex (x − 2)


, se x > 0, x 6= 1 .
(x − 1)2
Dunque f ′ (x) < 0 se 1 < x < 2, mentre f ′ (x) > 0 se x > 2.
Pertanto f è monotona decrescente nell’intervallo (1, 2) mentre è crescente in
(2, +∞). Poiché f ′ (2) = 0, il punto x = 2 risulta un punto di minimo relativo
a tangente orizzontale. Dunque la risposta (a) è esatta mentre la risposta (b)
è errata.
Il punto x0 = −1 non fa parte del dominio di f (la retta x = −1 è un asintoto
verticale), dunque la risposta (c) è errata.
Il Teorema di Lagrange non si può applicare a f nell’intervallo − 12 , 31 in
quanto f non è derivabile in x0 = 0.
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12. Sia data la funzione
f (x) =
(
x2 + 1 per x 6= 2 ,
0
per x = 2 .
Allora
(a) ad essa si può applicare il Teorema di Lagrange in [0, 2]
(c) non è continua in x = 0
(d) ha un punto di minimo assoluto
La funzione f (x) in x = 2 non è continua (ha un punto di discontinuità
eliminabile), pertanto non è derivabile; dunque la risposta (b) è errata.
La funzione è continua in x = 0, perché x2 + 1 è continua.
Non si può applicare ad f il Teorema di Lagrange in [0, 2] perché f non è
continua nel punto x = 2; si può vedere tracciando il grafico di f che non
esiste nessun punto x0 ∈ (0, 2) in cui la tangente al grafico di f sia parallela
alla congiungente i punti A = (0, 1) , B = (2, 0).
Il punto x = 2 è un punto di minimo assoluto per f : ∀x ∈ R , f (x) ≥ f (2) = 0.
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