Indice - Dmi Unipg

Indice
Funzioni
pag. 2
Funzioni polinomiali, equazioni e disequazioni
pag. 5
Potenze, esponenziali e logaritmi
pag. 10
Trigonometria
pag. 12
Trucchetti con i limiti
pag. 16
Problemi con le derivate
pag. 17
Problemi con le serie
pag. 29
Che ci faccio con gli integrali?
pag. 30
Avvertenza Quando al termine di una traccia compare una data significa che l’esercizio proviene dalla prova d’esame della data indicata. Pertanto è possibile trovarne lo
svolgimento nei files che raccolgono le prove d’esame, anche essi scaricabili direttamente
dalla pagina web.
1
Funzioni
1. Il detective E’ stato commesso un crimine informatico attaverso l’e-mail: gli indiziati sono
un matematico, un fisico, un chimico, un medico, un avvocato (!) e un ingegnere. Nessuno
degli indiziati è a conoscenza di quanti e chi siano gli altri.
L’investigatore ha la certezza che l’autore del crimine abbia un solo account di posta elettronica.
Quando a ciascuno di loro singolarmente viene chiesto di indicare il proprio indirizzo e-mail
da una lista, il matematico obietta:”questa non è una funzione!”.
Allora l’investigatore depenna il matematico dalla lista dei sospetti: perché?
2. Albero genealogico Consideriamo queste quattro famiglie: Paolo e Luciana sono i genitori
di Carlo, Elena ed Andrea; Francesco, che è il fratello di Luciana, e sua moglie Marta sono
invece i genitori di Eleonora e Claudio; la sorella di Marta, Cecilia, e suo marito Giovanni
sono i genitori di Patrizia, Anna e Fabrizio; infine il fratello di Giovanni, Vincenzo con
la moglie Fulvia sono i genitori di Antonio, Marco, Chiara e Daniela. Sia H l’insieme di
tutte queste persone, e sia H1 = { Luciana, Carlo, Andrea, Elena, Giovanni, Patrizia, Anna
Fabrizio, Vincenzo, Antonio, Marco, Chiara, Daniela }.
La corrispondenza f (x) = fratello di x’ non é un’applicazione: perchè?
Determina il più grande sottoinsieme H2 di H1 in cui f é un’applicazione: adesso f : H2 → H
é un’applicazione iniettiva?
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3. Interrogazione di geografia Sia A l’insieme degli attuali capoluoghi di provincia italiani,
B l’alfabeto latino e C = B 2 . Siano poi f : A → B l’applicazione che associa ad ogni
elemento di A la sua iniziale, e g : A → C quella che associa ad ogni capoluogo di provincia
la sua targa automobilistica.
Discutere l’iniettività e la suriettività delle due applicazioni.
L’applicazione f ◦ g −1 coincide con la proiezione di g(A) sul primo fattore; vero o falso?
4. Siamo tutti Bartezzaghi? Sia A l’insieme dei vocaboli della lingua italiana, e siano f1 , f2 :
A → IN le applicazioni che associano ad ogni vocabolo il numero di lettere, rispettivamente
di sillabe, che lo compongono (ad esempio f1 (ra-pa-ce) = 6, f2 (ra-pa-ce) = 3 ).
Sia B l’alfabeto latino e g : B → N l’applicazione seguente:
Sia infine h : A → B l’applicazione che associa ad ogni vocabolo della lingua italiana la sua
iniziale. Tra le figure seguenti individua quali rappresentano un elemento x ∈ A tale che
f1 (x) = (g ◦ h)(x), quali ad un elemento x ∈ A tale che f2 (x) = (g ◦ h)(x).
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Funzioni polinomiali, equazioni e disequazioni
1. Fiori e cavolfiori. Manuel e Francesca, sono una giovane coppia che si è appena
trasferita in una nuova casa; adesso hanno un giardino rettangolare, e sono d’accordo
di destinarne una parte ad aiuola ed una parte ad orto. Il giardino ha una forma
3
rettangolare, col lato più corto pari a del lato più lungo. Se chiamiamo L il lato più
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lungo, quanto deve essere il lato ` dell’aiuola, se vogliamo che la superficie dell’orto
sia il doppio di quella dell’aiuola?
2. Magro è bello! Luigi, Enrico e Filippo salgono insieme sulla bilancia che segna cosı̀
120 chili. Enrico, che pesa 5 chili più di Filippo, pesa gli 8/9 del peso di Luigi. Quanto
pesa Filippo?
(da ‘La Settimana Enigmistica’)
3. Per andare da casa al giardino le ruote più grandi di un passeggino effettuano 6.000
giri. Quanti ne compiono quelle più piccole, che hanno il diametro pari a 4/5 di quello
delle ruote più grandi?
(da ‘La Settimana Enigmistica’)
4. Cinemania Due videostores concorrenti praticano due diverse politiche; il videostore
X chiede 50 euro di tessera annuale e poi noleggia videocassette e DVD a 6 euro a
volta, mentre l’esercizio Y non richiede nessuna iscrizione ma affitta videocassette e
DVD a 8 euro a volta. Le regole per la restituzione sono le stesse in entrambe i negozi.
Quanti film affitto annualmente se affittare da X o da Y è per me la stessa cosa?
5. Fitness; in due è meglio
Carla e Luciano sono una coppia che ha deciso di praticare sport insieme almeno un
paio di volte a settimana. Ora stanno confrontando tra le diverse opzioni offerte da
un grosso impianto sportivo.
Per usufruire del circolo tennistico vengono richiesti 120 euro di iscrizione annuale, ed
il campo da tennis può essere affittato per 15 euro l’ora.
Per frequentare la palestra sono richiesti 50 euro annuali per l’assicurazione e la visita
medica più 250 euro di abbonamento trimestrale.
5
L’accesso alla piscina invece richiede 60 euro annuali per l’assicurazione e la visita
medica ed ha un costo di 180 euro per ogni pacchetto da 20 ingressi (non nominali e
da usufruire entro l’anno di emissione).
Osserviamo che essendo gli impianti concentrati in una stessa zona, i costi di spostamento sono equivalenti per le tre attività, quindi ininfluenti ai fini del confronto.
Se si rappresentano i costi sostenuti in funzione delle settimane (ipotizzando due
sedute di allenamento per qualsiasi attività scelta in tutte le settimane dell’anno)
quale grafico segue l’andamento di una retta?
Se si rappresentano i costi sostenuti in funzione delle settimane (ipotizzando due
sedute di allenamento per qualsiasi attività scelta in tutte le settimane dell’anno) che
andamento segue la pratica della palestra?
Rappresentare un grafico sovrapposto dei costi.
6. Premio fedeltà Un esercizio commerciale pratica una politica di fidelizzazione della
clientela consegnando ai clienti una tessera elettronica a scadenza annuale che dà
diritto al 5% di sconto su ogni acquisto successivo alla franchigia dei primi 50 euro di
spesa.
6
Se si suppone ad ogni approvvigionamento di effettuare acquisti per un ammontare
pressochè costante di x euro, qual è il numero no di approvvigionamenti annui che dà
diritto allo sconto?
Se il numero di approvvigionamenti annui dà diritto allo sconto, quanto vale lo sconto
complessivo ottenuto all’n-esimo approvvigionamento?
Prevedendo due approvvigionamenti settimanali, se abbiamo cominciato a frequentare
l’esercizio commerciale solo da Settembre, quanto deve essere la spesa media x per
riuscire a raggiungere la franchigia e cominciare ad usufruire dello sconto?
7. Sulle punte
Esiste un capo di abbigliamento femminile che si chiama gonna a ruota; per capirci
la gonna a ruota è la gonna del tutù della ballerina classica.
La gonna a ruota è di fatto un pezzo di stoffa che ha la forma di una ciambella.
Per tagliare questa ciambella, la sarta deve prima tracciare un modello sulla carta (il
cartamodello) e siccome le sarte tagliano la stoffa dopo averla ripiegata in due strati, il
cartamodello ha la forma di mezza ciambella. Per disegnare questa mezza ciambella la
sarta userà il compasso e deve sceglierne l’apertura in modo che la mezza circonferenza
che creerà il buco della ciambella sia esattamente metà del giro-vita della ballerina cui
è destinato il tutù.
Nei corsi di taglio e cucito si insegna questa fantasiosa regola per calcolare l’ apertura
h del compasso
1
h = circonferenza vita - 1 cm
6
Questo dovrebbe servire a riaggiustare i decimali che si sono trascurati approssimando
π con 3.
Trattandosi di una regola approssimata, con questo metodo la gonna in genere non
verrà perfetta. Calcolare per quale circonferenza vita la regola suddetta consente di
disegnare un cartamodello perfetto (cioè nel quale la lunghezza vita che si ottiene
è esattamente quella della modella). Introduciamo altre approssimazioni di π : ad
esempio presso i sumeri il valore di π veniva approssimato direttamente da 3; per
i Babilonesi invece valeva l’approssimazione π = 3,125; mentre per gli antichi Egizi
valeva l’approssimazione π =3,1605.
Dunque la sarta sumera, la sarta di M.me Assurbanipal, e la sarta personale della regina Nefertiti avrebbero utilizzato quali formule per disegnare il creta-modello,
rispettivamente il papiro-modello?
7
8. In forma! Per calcolare l’intervallo aerobico di un individuo sano, cioè il numero
minimo e massimo di pulsazioni entro le quali allenarsi, si usano le formule empiriche
freqmin = 60%[220−età dell’individuo]
freqmax = 70%[220−età dell’individuo]
Se il personal trainer ha calcolato la soglia minima di Sergio in 117 pulsazioni, quanto
deve essere la soglia massima, e qual è l’età di Sergio?
9. Prova di evacuazione
Il responsabile della Protezione Civile e il volontario Luca stanno organizzando una
simulazione di evacuazione di un istituto scolastico; in particolare vogliono tracciare
sul pavimento della palestra una striscia che la divida in due settori, in modo che chi
si trova nel I settore utilizzi l’uscita A e chi si trova nel secondo settore utilizzi l’uscita
B. E ovviamente vogliono che in questo modo ognuno utilizzi l’uscita più vicina; sai
aiutarli a determinare la linea da tracciare sul pavimento?
10. Il suicida
Un uomo minaccia di suicidarsi lanciandosi dal cornicione del dodicesimo piano di
un grattacielo. Mentre un amico cerca di trattenerlo vengono avvertite le autorità.
Purtroppo 3s dopo l’arrivo dei vigili del fuoco e l’inizio della sistemazione del telo, che
prevede un tempo pari a 5s, l’uomo sfugge di mano all’amico. Si salverà?
8
.
11. La bilancia Nella tabella vengono rappresentate le classi di peso in funzione del BMI
(Body Mass Index) il cui valore individuale è dato dal rapporto
BMI =
P
h2
dove P è il peso dell’individuo espresso in Kg, e h l’altezza espressa in metri. Se un
individuo che pesa 70 kg si trova in sovrappeso secondo la tabella del B.M.I. cosa si
può dire della sua altezza?
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Potenze, esponenziali e logaritmi
1. In un paese di n abitanti la quantità Q di un certo bene venduta annualmente è data
da
n
Q=k 2
3p
dove p è il prezzo unitario e k è una costante. Se il prezzo dimezza e il numero di
abitanti triplica, di quanto varia Q?.
2. In condizioni ideali, la crescita di una popolazione batterica in cultura è governata
dalla legge
t
N (t) = No 2 T
dove No è il numero di batteri posti in cultura all’inizo dell’esperimento, e T il tempo
di riproduzione.
Se dopo due ore di crescita si contano 6.000 batteri e dopo 4 ore se ne contano 2.400,
determinare No e T .
3. Si stima che la popolazione mondiale, attualmente di circa 6 miliardi di individui,
aumenti dell’ 1,7% all’anno. Supponendo che il tasso di crescita rimanga invariato nel tempo, calcolare entro quanti anni la popolazione duplicherà, quadruplicherà,
decuplicherà.
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4. Un capitale è investito da lungo tempo ad un tasso di interesse annuo del 5 %. Il
capitale attuale è di 74.500 euro. Quale era l’ammontare del capitale 10 anni fa?
Determinare tale valore nei due casi
- senza reinvestimento degli interessi (capitalizzazione semplice)
- con reinvestimento degli interessi (capitalizzazione composta).
5. Una popolazione A è formata da 106 individui e cresce ad un tasso del 7% annuo.
Un’altra popolazione B è formata da 1, 35 · 106 individui e cresce ad un tasso di 3,5%
annuo. Entro quanti anni la popolazione A diventerà più numerosa della popolazione
B?
6. Una sostanza contenente atomi radioattivi li perde spontaneamente col trascorrere
del tempo (decadimento radiattivo). La legge del decadimento si può rappresentare
tramite la funzione
t
N (t) = No 2− T
dove No è il numero di atomi radioattivi all’istante iniziale t = 0, e T è il tempo di
dimezzamento della sostanza radioattiva.
Il tempo di dimezzamento del Carbonio (14 C) è di circa 5730 anni. Dopo quanti anni
una certa quantità di tale isotopo si sarà ridotta del 5%?
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Trigonometria
1. Alta marea
La marea è un moto periodico di ampie masse d’acqua (oceani, mari, e grandissimi laghi),
che si innalzano (flusso, alta marea) e abbassano (riflusso, bassa marea) anche di 10-15 metri
con frequenza giornaliera o frazione di giorno, dovuto principalmente a due fattori:
all’attrazione gravitazionale che esercita la luna sulla terra (alta marea al passaggio della
luna)
alla forza centripeta dovuta alla rotazione del sistema terra-luna intorno baricentro (alta
marea sul lato della terra che è opposto alla luna).
L’ampiezza (detta altezza dell’onda di marea, eguale al dislivello tra bassa e alta marea),
frequenza e orario delle maree sono legati a fenomeni astronomici (rotazione della coppia
terra-luna, vicinanza, inclinazione e passaggio della luna in particolare e del sole secondariamente) e morfologici (superficie della massa d’acqua, forma della costa, differenza di
profondità dei fondali).
La maggiore differenza tra l’alta e la bassa marea viene spiegata con il passaggio della luna,
che ruota attorno alla terra con un periodo leggermente superiore alle 24 ore, cosicché il
periodo principale delle maree è di circa 12 ore 25 minuti. Il che vuol dire che per circa 6
ore il livello del mare scende, per poi risalire per altrettante ore.
Di seguito sono riportati i dislivelli massimi delle maree in alcune località terrestri con
notevoli ampiezze di marea
Baia di Fundy, Canada, 20 mt
Porto Gallegos, Patagonia, 18 mt
Portishead, Gran Bretagna, 16 mt
Granville, Francia, 15 mt
Fitzroy, Australia, 14 mt
Saint-Malo, Francia, ca. 13 mt
L’innalzamento del livello in funzione del tempo è ben descritto da una legge del tipo
h(t) = α cos βt, t ≥ 0.
Se la marea montante ricopre una spiaggia, si può calcolare la velocità con la quale il mare si
avvicina alla costa. Minore la pendenza della spiaggia e maggiore la velocità. Non sono rari i
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casi di bagnanti, escursionisti o lavoratori rimasti sorpresi dalla marea montante, rischiando
di annegare anche a chilometri dalla riva.
Se in una località si ha una spiaggia di pendenza 1◦ e l’ampiezza di marea è di 12 mt. a che
velocità avanza il mare verso la costa tra la terza e la quarta ora?
E quanto deve essere lunga la spiaggia per poterci accedere anche con l’alta marea?
2. Fiat lux!
La grandezza fotometrica fondamentale è l’intensità luminosa, che è definita come il flusso
luminoso emesso nell’angolo solido unitario, cioè nello steradiante (simbolo sr) che è l’angolo
solido che su di una sfera con centro nel vertice dell’angolo intercetta una calotta di area
uguale a quella di un quadrato avente lato uguale al raggio della sfera stessa).
Invece il flusso luminoso è la quantità di luce emessa nell’unità di tempo.
L’intensità luminosa viene misurata in candele.
La definizione di questa unità ha subı̀to nel tempo diverse modificazioni, dovute all’apporto
di nuove tecnologie che permettono di definirla in forma più precisa: cosı̀ se l’unità di
Voille introdotta nel 1884 si riferiva alla temperatura di fusione del platino, oggi la candela
rappresenta l’intensità luminosa di una sorgente che emette una radiazione monocromatica
con frequenza e intensità energetica assegnate.
Attraverso l’intensità luminosa si definisce automaticamente l’unità di flusso luminoso, il
lumen, ovvero il flusso irradiato da una sorgente di una candela nell’angolo di 1 sr.
L’unità di illuminamento invece è il lux che è l’illuminamento prodotto su una superficie di
1 mq da un flusso luminoso di 1 lumen.
Per avere un’idea dell’ordine di grandezza del lux, si pensi che in aperta campagna, su
una strada soleggiata, si ha un illuminamento di decine di migliaia di lux; negli ambienti
illuminati da ampie finestre si hanno centinaia di lux. Di contro di sera, con l’illuminazione
artificiale, consideriamo molto ben illuminato un ambiente a 40-50 lux, ma è gradevole anche
un illuminamento di 20 lux per le normali attività. Per non affaticare l’occhio tuttavia
l’illuminamento dovrebbe essere di 150 lux sulle pagine che si leggono, di 200-300 lux sul
tavolo di un disegnatore o di una sarta, di 500 lux sul banco dell’orologiaio.
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L’illuminamento di una superficie dipende dall’intensità della sorgente, dalla sua distanza
dalla superficie e dalla sua posizione rispetto alla superficie; queste tre dipendenze si possono
condensare nella Legge di Lambert
I cos α
E=
r2
dove E è l’illuminamento, I è l’intensità della sorgente (in candele), r è la distanza in metri
della sorgente dalla superficie illuminata e α è l’angolo che i raggi formano con la normale
alla superficie
Rappresenta in un grafico la variazione dell’illuminazione in funzione
i di I
ii di α
iii di r
iv di r2
A quale caso si riferisce a variazione dell’illuminazione rappresentata da questo grafico?
I > r2 , I = r2 o I < r2 ?
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A parità di intensità della sorgente luminosa S tra i grafici seguenti qual è quello che rappresenta la variazione di illuminamento in funzione della posizione di S con S posta a maggiore
distanza?
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Trucchetti con i limiti
1. Come ti approssimo π
Dalla figura riportata, si evince che il perimetro di ogni poligono regolare inscritto nella
circonferenza goniomentrica ne approssima la lunghezza per difetto, mentre il perimetro di
un aribitrario poligono regolare circoscritto ad essa, la approssima per eccesso.
Determinare il numero di lati dei due poligoni, quelo inscritto e quello circoscritto, che permettono di approssimare π a meno di 10−4 e determinare di conseguenza l’approssimazione.
Sapresti utilizzare un analogo ragionamento per determinare con lo stesso grado di precisione
un’approssimazione per difetto di e?
2. Riccheteraccheterà Determinare la definizione ricorsiva che fornisce il numero di coppie
adulte presenti in un allevamento di una razza di conigli il cui ciclo riproduttivo inizia al 3o
mese di vita e termina al 7o . Determinare anche il comportamento dell’accrescimento.
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Problemi con le derivate
1. Calcolare la velocità istantanea di innalzamento del moto di marea di ampiezza A e pulsazione β; a parità di ampiezza di marea, la velocità istantanea è maggiore per pulsazioni
maggiori o minori?
2. Pacchetti natalizi. L’annuale omaggio natalizio del negozio di Mara e Valeria quest’anno
consiste in una lavagnetta magnetica per cucina di forma rettangolare, e di misura ` × L.
Ora le due proprietarie stanno incartando tutte le lavagnette; in particolare Valeria si occupa
dei nastrini, ed ha deciso di optare per la disposizione diagonale che a suo giudizio si adatta
meglio alla carta-regalo prescelta.
`
i. Trascurando il fiocco e i ricci finali, se si parte da un punto A = (0, y) con y ∈ 0,
a
2
disporre il nastrino, qual è il punto P = (x, 0) più conveniente per far girare il nastro,
in modo da utilizzarne la lunghezza minore, supponendo che si possa trascurare lo
spessore della lavagnetta?
ii. (Facoltativo) Determinare anche qual è la posizione ottimale del punto iniziale A.
(20 Dicembre 2010)
3. La cornice. Un macchinario viene progettato per realizzare la copertura in cartoncino
rigido di una cornice, ottenuta tramite ritaglio di un profilo circolare dalla sagoma quadrata
della parte inferiore della cornice. Il macchinario esegue tanto il taglio del singolo pezzo che
la verniciatura della sagoma ritagliata. Per garantire consistenza alla cornice, il bordo non
`
può essere più sottile di
.
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La parte di costo dovuta all’esercizio del macchinario è funzione lineare del tempo di lavorazione del singolo pezzo. Le velocità v1 con cui la macchina esegue le operazioni di taglio
(espressa in cm/sec) e v2 per le operazioni di verniciatura (espressa in cm2 /sec) ed il lato `
della sagoma quadrata sono legate tra di loro dalla condizione
`>
5v2
.
v1
Determinare il raggio del foro più conveniente per la produzione.(8 Febbraio 2011)
4. Lo scuolabus. Le frazioni di Alture d’Epigrafico (A = (0, 2)) e Borgo Ipografo (B = (2, 1))
sono servite dallo xscuolabus comunale. La strada principale corre lungo il grafico della
funzione f (x) = e x+1 .
Inizialmente il sindaco aveva collocato la fermata dello scuolabus sul punto di intersezione
tra la strada principale e la congiungente AB. Ma gli abitanti di una delle due frazioni
hanno protestato: Non è giusto! Cosı̀ noi dobbiamo percorrere più strada di loro!
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Chi ha protestato?
Allora il sindaco decide di spostare la fermata in un punto P sulla strada principale, in
modo che la distanza sia la stessa per entrambe le frazioni. Può farlo? Quante opzioni ha?
L’ascissa di P è maggiore, minore o uguale a quella di B? (1 Marzo 2011)
5. Il moletto. Con la sua liquidazione, il signor Pescatrote, ormai pensionato, ha acquistato
un piccolo lotto di terreno con una villetta sulle rive del lago Arco d’Argento.
La casa si trova nel punto C della pianta, e la zona tratteggiata è il giardino di sua proprietà.
Determinare le coordinate del punto di confine B.
Ora Pescatrote vuole costruire un piccolo molo in legno, per pescare e per attraccarvi la
sua barchetta a remi; poichè sa di avere una certa età, vuole saggiamente collocarlo nel
punto meno distante dalla sua abitazione. Per questo suo nipote, Renzo Pescatrote, gli ha
suggerito di costruirlo nel punto B, che a suo avviso è il punto più vicino a C. Per fortuna
Lucia, la fidanzata di Renzo, che studia Fisica, lo redarguisce:00 Ma Renzo! Non è la scelta
migliore! C’è un punto sul vostro tratto di costa che è ancora più vicino a C00 .
Dimostra che Lucia ha proprio ragione.
Suggerimento: anzichè minimizzare la distanza, si può minimizzarne il quadrato. (21 Giugno
2011)
6. Il nuovo postino. La famiglia Buontemponi abita in un villino col giardino. La sua
cassetta della posta è collocata nel punto A della pianta.
Un bel giorno suonano alla porta e si presenta loro un signore sconosciuto: Buon giorno,
signori Buontemponi; sono Enrico, il nuovo postino. Da dopodomani sarò io, e non più
Fidelio, a consegnarvi la posta. A differenza di Fidelio, io arriverò ogni giorno da Borgobello,
e dopo avervi consegnato la posta tornerò indietro. Per questo posso chiedervi di spostare
la vostra cassetta della posta in un punto P più vcino a Borgobello? Per voi sarà alla stessa
distanza da casa, mentre per me sarà un notevole risparmio di strada.
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Come si vede dalla pianta, la strada costeggiarla recinzione del giardino dei Buontemponi,
2x
e rappresenta il grafico della funzione f (x) =
. Ora la famiglia deve controllare se
1 + x2
esiste un tale punto P .
Provare che esiste un’unica scelta per accontentare Enrico, e determinarne le coordinate.
Stabilire anche se esiste una collocazione che migliora la posizione di entrambe, tale cioè che si
avvicini ulteriormente a Borgobello, senza determinare un aggravio di distanza dall’ingresso
di casa Buontemponi.
(20 Settembre 2011)
7. Una decorazione natalizia è ottenuta appendendo ad un sostegno degli alberelli stilizzati,
illuminati internamente.
Ogni alberello è realizzato sovrapponendo ad una struttura di filo di ferro (in nero in figura)
un cono di carta traslucida aperto sul fondo. La struttura metallica della decorazione è
ottenuta saldando sulla circonferenza di base due pezzi lineari corrispondenti a due apoteme
del cono.
Il peso della carta impiegata è p1 = 25g/m2 , ed ogni copertura conica è ricavata da un foglio
quadrato di 35 cm di lato. Il peso del filo di ferro è invece pari a p2 = 0, 08g/cm, mentre
l’apparato elettrico (portalampada, lampadina e cavo) ed il gancio di affissione pesano 30 g
per ciascuna decorazione.
Ogni punto di sospensione del sostegno può sopportare un peso massimo di 40 g.
Il singolo alberello è tantopiù decorativo, quanto maggiore è la superficie luminosa (quindi
la base non conta).
Determinare le misure ottimali della decorazione.
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Formulario L’area della superficie laterale di un cono è pari a πra dove r è la lunghezza del
raggio di base, a la lunghezza dell’apotema.
Suggerimento: Esprimere il vincolo sul peso, e le superfici in funzione delle variabili x = a
e y = πr. (9 Dicembre 2011)
8. Tra tutti i triangoli rettangoli di perimetro assegnato determinare quello di area massima.
(18 gennaio 2012)
9. La latta dell’olio. Una latta da olio ha la forma di un parallelepipedo, e la sezione
longitudinale è un rettangolo aureo (tale cioè che il lato più corto rappresenta la sezione
aurea del più lungo). Tra tutte le latte da 5 litri determinare le dimensioni ottimali per una
adeguata conservazione (cioè isolamento termico) dell’olio. (31 Gennaio 2012)
10. Live music In figura è rappresentata la pianta di un locale annesso ad un pub: i proprietari
vogliono dotarlo di una pedana per ospitare gruppi musicali per serate live. Per ragioni
legate alla dislocazione delle prese di corrente il palco deve avere la forma di un triangolo
rettangolo, con l’angolo retto in C. Il segmento HK nella pianta, corrisponde ad una porta,
e per ragioni di sicurezza, il vertice del palco può o trovarsi alla sua sinistra (ovvero la porta
si apre al di fuori del palco) oppure alla sua destra, cioè la porta è inglobata dal palco
come nella figura esemplificativa. Il punto H ha coordinate (1,12) e la porta è larga 70 cm.
Per poter ospitare gli strumenti e l’attrezzatura di una piccola band, la pedana non può
avere una superficie inferiore a 4 m2 , e questa è anche la massima superficie che le si vuole
assegnare, per lasciare il massimo spazio possibile per il pubblico.
Determinare le posizioni ottimali dei vertici P e Q in modo da avere un minimo fronte del
palco.
(Suggerimento: determinare innanzitutto correttamente il dominio delle coordinate xP e yQ ;
invece di studiare la lunghezza del fronte, se ne può equivalentemente studiare il quadrato).
(13 febbraio 2012)
11. Il bagno di servizio. Si vuole ricavare un bagnetto di servizio a pianta rettangolare
all’interno di un garage; poichè si vuole fare il lavoro nel massimo dell’economia, si è deciso
di utilizzare l’avanzo delle mattonelle di precedenti lavori, sufficienti per rivestire 11 metri
quadrati. La piastrellatura deve riguardare il pavimento e le pareti per un’altezza di almeno
20
1,60 m., tranne la porta, per la quale si vuole utilizzare una vecchia porta larga 0,625 m. Il
garage ha pianta rettangolare e misura 3 metri di larghezza per 5 metri di lunghezza.
Determinare la misure ottimali del bagnetto (cioè la superficie massima) (11 maggio 2012)
12. Sfida in piscina Gianni e Pinotto si sfidano a pallanuoto in piscina, anche se quest’ultima
non è attrezzata per questo sport. L’unica soluzione che trovano per crere la porta è quella
di marcare i pali P1 e P2 in due punti dei lati `1 e `2 della vasca, utilizzando un avanzo lungo
L delle corde di marcatura delle corsie che può liberamente scorrere in un anello incernierato
nell’angolo O. Se Gianni deve stare in porta a parare, ed è lui a decidere dove fissare i capi
della corda, quali posizioni sceglierà per P1 e P2 ?
E se invece fosse lui quello che tira in porta? (19 giugno 2012)
13. Slurp! Quali sono le dimensioni ottimali del barattolino di gelato da 500 gr, se il gelato ha
peso specifico pari a 0,54? (10 luglio 2012)
14. Il viadotto. Nella programmazione di un percorso stradale si ha la situazione descritta nella
pianta. Il punto U corrisponde all’uscita di una galleria, mentre il quarto di circonferenza
è il profilo di mezzacosta di un bacino artificiale circolare. Il progettista deve stabilire se
il tracciato stradale deve seguire l’orografia del bacino, e cioè proseguire sull’arco UA per
intero, oppure se è più conveniente far proseguire la strada all’uscita della galleria su un
viadotto che percorra un tratto rettilineo UP, per poi raccordarsi al profilo collinare PA.
Nella scelta si deve tenere conto del fatto che se il costo del tracciato sull’arco UA è di c
migliaia di euro a chilometro, su viadotto esso è il doppio. Se il raggio del bacino è di 10
Km, qual è il tracciato ottimale dell’eventuale viadotto UP? (18 settembre 2012)
15. Il presepe: Marco è un appassionato del presepe tradizionale; ne possiede uno che ha costruito quasi interamente da solo, e ogni anno aggiunge qualcosa per abbellirlo ulteriormente.
Quest’anno vuole aggiungere la figura del Caldarrostaro, e vuole dotarla di un’illuminazione
intermittente che dia l’idea delle braci accese sotto il calderone.
21
Per questo dovrà collegare la figurina all’alimentatore del presepe, che si trova nella posizione
M del grafico. D’altra parte vuole sistemare il nuovo personaggio lungo la strada di ghiaietta
di cui il plastico è dotato, e che deve necessariamente scorrere lungo lo steccato sagomato
che gli ha regalato anni fa la cugina Simona, studentessa di Ingegneria, che a suo tempo lo
ha orgogliosamente informato di averlo costruito personalmente, utilizzando, per sagomare
il tracciato dello steccato, il grafico della funzione
r
1
f (x) = 2 −
− (x − 1)2 ;
1 + x2
(d’altra parte Simona è sempre stata un po’ fanatica...).
Qual è la posizione ottimale del Caldarrostaro, per impiegare il minimo di cavo elettrico di
collegamento? (3 Dicembre 2013)
16. La pompa Due centri urbani A e B che si trovano sulla stessa sponda di un canale a distanza
rispettivamente di 2 e 5 Km dalla riva. La distanza tra A’ e B’ è di 9 Km. Per rifornire di
acqua i due centri si intende costruire una stazione di pompaggio sulla riva, e di collegarla
con tubature ai due centri. In quale punto X sulla costa conviene costruire la stazione di
pompaggio per minimizzare la lunghezza delle tubature?
(7 Dicembre 2012)
17. Due carabinieri si trovano a bordo della camionetta in dotazione alla caserma nel punto A,
e debbono raggiungere il punto B; il tratto curvo in pianta rappresenta una strada sterrata,
sulla quale la camionetta può tenere una velocità media di 20 km/h. Invece a piedi possono
tenere una velocità di 5 km/h. Il raggio della circonferenza contenente l’arco AB è di 16
km, mentre la corda AB è lunga 10 km.
22
Stabilire dove conviene loro parcheggiare la camionetta e proseguire a piedi in modo da
raggiungere il punto B prima possibile.(31 gennaio 2013)
18. Per San Valentino, Romeo vuole regalare dei cioccolatini a Giulietta. E per personalizzare
il suo regalo, da un cartoncino rettangolare di lati ` e 2` vuole ricavare un sacchetto portacioccolatini a forma di prisma triangolare, con base isoscele, secondo il modello in figura
Determinare il lato delle facce triangolari in modo che il sacchetto abbia il volume maggiore
possibile. (14 Febbraio 2013)
19. Data la funzione
f (x) =
 √
x



per 0 ≤ x ≤ 1

x2 + 3x + 6


2x + 8
se 1 < x ≤ 2
determinare le coordinate del punto P = (xP , yP ) ∈ graphf tali che sia massimo il perimetro
del rettangolo [0, xP ] × [0, yP ]. (28 Febbraio 2013)
20. Nel punto A si trova un bagnante in difficoltá che sta invocando l’aiuto del bagnino B. Il
bagnino sa di poter correre alla velocitá di 6 m/s e nuotare alla velocitá di 2 m/s. La distanza
di A da A’ é di 50 mt. mentre la distanza del bagnino da A’ é di 16 mt.
In che punto deve immergersi il bagnino per raggiungere A prima possibile? (12 Giugno
2013)
23
21. L’altoatesino Fritz si trova nel punto A della figura; Fritz può percorrere 4 Km/h in marcia
piana, mentre può coprire 300 mt. di dislivello all’ora in salita e 400 mt. di dislivello all’ora
in discesa. Il raggio della base del cono è di 12 Km, ed il cono è alto 1.200 mt. L’ unica via
di salita è la congiungente AV, e l’unica via di discesa la congiungente VB; tuttavia Fritz
può abbandonare la via di salita in qualunque punto e marciare in pianura sino a ritrovare
la via di discesa VB. Determinare il percorso tra A e B che Fritz può percorrere nel minimo
tempo. (3 Luglio 2013)
22. Il paralume Da una striscia di stoffa lunga 1 mt. e alta 40 cm si vogliono tagliare 6 trapezi
isosceli secondo lo schema in figura, per costruire un paralume a forma di tronco di piramide
(a base esagonale); per ottenere un design armonioso, la base minore ` deve essere la parte
S
1
aurea della base maggiore L. La luminosità della lampada è data da log10
dove s è
s
100
l’area dell’imboccatura superiore del paralume, S quella dell’imboccatura inferiore.
Determinare le misure del taglio ottimale. (31 Gennaio 2014)
23. Didone e Iarba: chi è più furbo? Narra la leggenda che la Regina Didone, ottenuto da
Iarba, re di Libia, il permesso di appropriarsi di tanta terra quanta ne poteva circondare una
pelle di bue, tagliata la pelle in sottilissime striscie, annodandole tra loro ottenne un lungo
cavo, con il quale circondò un semicerchio, ottenendo in tal modo la massima area possibile.
E’ questa l’origine dei problemi isoperimetrici: tra tutte le figure di identico perimetro, quello
di area massima è il cerchio.
24
Nella nostra storia, Iarba si è fatto invece furbo, ed ha imposto a Didone di fissare i due
capi del cavo ottenuto nei punti A e B della figura: dopodichè le lascia la libertà di scegliere
dove fissare il cippo C attorno a cui far passare obbligatoriamente il cavo.
Detta L la lunghezza del cavo, se la linea di costa è la spezzata AHB dove conviene fissare
il cippo C per ottenere la massima area possibile? (28 Febbraio 2014)
24. La multa. Su un tratto di strada AB lungo 10 Km vige il limite di velocità di 60 Km/h.
La pattuglia della polstrada ferma l’automobilista Eugenio nel punto B; in quel momento
Eugenio sta transitando a 55 Km/h, tuttavia il poliziotto eleva ugualmente la multa per
eccesso di velocità ad Eugenio.
“Ma andavo solo a 55 Km/h” protesta Eugenio. “Ma lei, caro signore, è transitato sotto
il cartello del limite di velocità in A solo 8 minuti fa, e pertanto la sua velocità media
ha superato quella consentita. E se la sua velocità media è stata superiore a 60 Km/h,
necessariamente deve aver superato il limite di velocità in almeno un istante!” ribatte
inflessibile il poliziotto.
Provare che l’obiezione del poliziotto è corretta, giustificando la propria risposta.
Tenuto conto che secondo la normativa attuale, se l’eccesso di velocità è compreso tra 10
Km/h e 40 Km/h vengono decurtati due punti, mentre ne vengono decurtati 10 per eccesso
di velocità superore a 40 Km/h e nessuno per infrazioni inferiori ai 10 Km/h, stabilire se
Eugenio perderà anche dei punti, ed in caso affermativo, quanti. (17 Giugno 2014)
25. Nella figura viene mostrato il profilo del banco da lavoro di un orologiaio. L’orologio in
riparazione viene posto nel punto Q = (1,0), mentre una lampada P di luminosità I può
1
scorrere lungo il segmento OA che si trova sulla retta di equazione y = x nel sistema di
4
assi del disegno.
25
Secondo la Legge di Lambert, l’intensità luminosa in Q è data da
E=
I
cos α
r2
dove r è la distanza di P da Q, mentre α è l’angolo di inclinazione con cui la luce proveniente
da P raggiunge il punto Q.
Determinare la posizione della lampada P che fornisce la migliore intensità di illuminazione
nel punto Q. (18 Luglio 2014)
26. Panettoni Una piccola azienda dolciaria, che vanta un’apprezzata produzione artigianale
di panettoni tradizionali, sta modificando la propria produzione natalizia: piú precisamente
a seguito di indagini di mercato i titolari sono convinti che la pezzatura da 750 g. per i
panettoni sia oggigiorno la piú richiesta dai consumatori.
Le fasi di preparazione del panettone sono: l’impastatura degli ingredienti secondo la ricetta
tradizionale della casa e la lievitazione naturale libera per 12 h; al termine di questa fase il
5 ∼
peso specifico dell’impasto é p =
= 0, 4g/cc. Successivamente l’impasto viene versato in
4π
stampi cilindrici per essere infornato: nel corso della cottura l’impasto subisce un’ulteriore
crescita, in altezza, pari al 200%, e lo stampo deve essere progettato in modo da impedire
fuoriuscite del prodotto. Al termine della cottura, ed una volta raffreddati, i panettoni
vengono inscatolati in scatole parallelepipoidali.
I titolari non intendono alterare la ricetta della casa, per cui l’unica opzione su cui agire per ridurre nel tempo i costi, sono proprio le spese di inscatolamento del prodotto.
Quali sono le dimensioni ottimali degli stampi cilindrici in modo da minimizzare i costi
dell’inscatolamento? (10 Dicembre 2014)
27. Tra tutte le parabole convesse passanti per i punti (0,1) e (2,2) determinare quella che ha
la massima media integrale nell’intervallo [0,2], e determinare il valore della stessa. (15
Gennaio 2015)
28. Ponte alle Cave Nei punti A e B del disegno precedente si trovano due cave di pietra; la
cava A fornisce giornalmente un quinto del materiale estratto dalla cava B. La distanza BO
è il doppio della distanza AH, mentre L = OH = 7AH.
Dovendo costruire un ponte per attraversare il fiume, si chiede di provare che si può determinare un punto P tale che la distanza OP è la più conveniente, cioè che rende minima
la distanza percorsa dai camion che escono o che raggiungono le due cave (assumendo che
i percorsi dei camion siano i percorsi minimi, cioé le lunghezze dei segmenti BP e AP); si
26
chiede inoltre
stabilire se tale punto P deve trovarsi a destra o a sinistra del punto di
di L
coordinate
, 0 . (30 Gennaio 2015)
3
29. Lo sciatore. Klaus é un tirolese sportivo ed appassionato di sci; in questi giorni si sta
intensamente allenando per prepararsi ad un’imminente gara, sulla pista Capitomboli; il suo
allenatore gli ha disegnato il percorso, ma Klaus ‘sente’ che nel tratto di percorso tracciato
in figura la disposizione delle porte non va. ‘L’inclinazione del tratto G1 G2 é troppo poca,
mi costringe a rallentare!’ protesta.
‘Per aumentarla dovremmo abbassare la porta G2 rispetto alla posizione attuale; ma in
questo modo rischieresti di trovarti sulla traiettoria il pilone P dell’impianto di risalita!’
ribatte l’allenatore.
Ma Klaus a scuola aveva il pallino della matematica, ed é convinto che sia possibile spostare
la porta G2 in modo da ottenere un tracciato piú veloce, senza rischiare di inforcare il pilone
P.
Dimostrare che esistono posizioni per G2 tali che il tracciato G1 G2 G3 abbia lunghezza minore
dell’attuale, pur evitando il pilone P ; esiste una posizione ottimale per G2 ? (8)
Nota bene: L’ascissa di G3 nel grafico suggerito é il doppio dell’ascissa di P , mentre
3
l’ordinata di P é pari a quella di G1 .
5
30. Ricicletto La giunta comunale di Ricicletto ha deciso di iniziare la raccolta differenziata
dei rifiuti organici, installando degli appositi cassonetti biologici; da studi del settore è noto
che la probabilità che un utente effettui la raccolta differenziata è pari ad e−d dove d è la
distanza da percorrere per raggiungere il cassonetto. Piazza Losanga è rappresentata in
pianta; sui 4 lati affacciano dei palazzi i cui ingressi si trovano nei punti A, B, C e D; nel
palazzo A vivono 300 persone, mentre in ciascuno dei palazzi B, C e D ne vivono 200; la
piazza ospita un prato attraversato solo da due sentierini ghiaiosi lungo le diagonali AC e
BD (che sono di uguale lunghezza), e per questo si è deciso di collocare il cassonetto sul
percorso AC, che è lungo 0,6 Km.
27
Stabilire qual è la distanza da A in cui porre il cassonetto per massimizzare l’utilizzo dello
stesso. (19 Giugno 2015)
31. Il costo del combustibile per fare camminare una locomotiva è proporzionale al quadrato
della velocità, ed è di 25 euro all’ora per una velocità di 25 Km/h. Le altre spese di esercizio
sono valutate in 100 euro all’ora, indipendentemente dalla velocità. Determinare la velocità
ottimale per i costi. (13 Luglio 2015)
32. Un’azienda ha due linee di produzione: la linea A, più veloce, può produrre 500 pezzi all’ora,
ma di questi il 10% è difettoso. La linea B produce al massimo 300 pezzi l’ora, con uno
scarto pari al 10 % della radice quadrata della produzione oraria.
Una normativa europea impone che la taratura di produzione complessiva non superi la
quota QE =700 pezzi all’ora.
Stabilire la strategia di produzione ottimale, determinando le tarature orarie xA e xB dei
macchinari che garantiscono la massima produzione complessiva. (14 Settembre 2015)
28
Problemi con le serie
1. Jella-Bay Sull’isoletta oceanica di Jella-Bay vivono 3.000 persone. Un giorno vi sbarca un
occidentale, ignaro di essere portatore di un virus influenzale debole, che ha un periodo di
infettività di 5 giorni, ed un fattore di diffusione pari a 3; cioè il soggetto che lo contrae
rimane contagioso per 5 giorni, nel corso dei quali è in grado di infettare altri 3 soggetti
(mediamente, ma noi lo considereremo come dato deterministico).
Quindi avremo un decorso dell’infezione nell’isola rappresentato dalla seguente tabella.
Dopo quanti giorni gli jellati (è il nome del popolo dell’isola) avranno tutti contratto il virus?
(9 Febbraio 2006)
2. La torre Sia C1 un cubo di spigolo c1 assegnato e volume V1 . Si ponga su C1 un altro cubo
1
1
C2 di volume V2 = V1 , poi su C2 un cubo C3 di volume V3 = V2 e cosı̀ via all’infinito.
2
2
Che altezza complessiva ha la torre che si costrusce in tal modo? (18 Settembre 2007)
29
3. La palla di neve Una valle ha un profilo circolare AB come mostrato in figura. A causa
delle recenti nevicate il versante definito da x < 0, che è in ombra, è abbondantemente
innevato, mentre il versante x > 0, che è esposto al sole, è privo di neve. Un gruppo di
bambini fa cadere una palla di neve dal punto A ed essa rotola giù dal pendio per poi risalire
sull’altro versante. A causa degli attriti la distanza percorsa dalla palla di neve ad ogni
9
risalita è pari a
di quella percorsa nella discesa precedente.
10
Quando percorre il versante innevato la palla acquista neve in ragione di α = 20g/m. La
stessa quantità di neve viene persa per discioglimento per ogni metro percorso lungo il
versante non innevato. Quanta neve avrà perso o guadagnato al termine del suo ripetuto
saliscendi? (N.B. l’unità di misura nel grafico è in decine di metri). (24 Gennaio 2007)
30
Che ci faccio con gli integrali?
1. Festa di nozze. Claudio ed Elisa si sposano e vogliono organizzare il ricevimento in giardino
e per questo hanno deciso di allestire dei gazebo. L’agenzia mostra loro il progetto del profilo
di un gazebo tipo, e suggerisce loro di valutare un volume di 5 metri cubi a testa per avere
una situazione confortevole; il grafico corrisponde alla funzione f : [1, 3] → R definita da
1
f (x) = 3
+ α. Nel giardino possono trovare posto al massimo 4 gazebo, e gli invitati
x + 3x2
sono 80.
A che altezza α occorre montare ogni gazebo? (19 Febbraio 2009)
2. La purga. Un misurino farmaceutico è ottenuto dal taglio longitudinale del solido generato dalla rotazione attorno all’asse delle x del grafico di una funzione f definita nel modo
seguente: f (x) = xex per x ∈ [−2, 0] e prolungata a sinistra di −2 tramite la tangente al
grafico, fino ad intersecare l’asse x.
Il misurino pieno di olio di ricino (peso specifico 0,97) pesa 1g. Quanto pesa da vuoto? (si
consideri trascurabile lo spessore del misurino nel calcolo del volume) (23 Febbraio 2010).
3. Mbuti! Vogliamo adattare una sede cilindrica di raggio base pari a ` e altezza L per farne
uno stampo per imbuti di plastica: stabilire tra gli imbuti a sezione parabolica, e tra quelli
a sezione triangolare, quelli di volume massimo, e stabilire quale tra le due forme è quella
di maggior volume. (13 Luglio 2010)
31
4. I bicchieri. Un bicchiere da vino è ottenuto dalla rotazione attorno all’asse y della funzione
f : [0, 1] → R definita da
(
x2
f (x) =
e x2 −1
0
se x 6= 1.
se x = 1
Ora si vuole tracciare il profilo del bicchiere da acqua gemello, tramite la rotazione attorno
all’asse y di una funzione ϕ : [0, α] → R definita a sua volta da
(
x2
αe x2 −α2 se x 6= α
ϕ(x) =
0
se x = α
ed in modo che il volume del nuovo bicchiere sia pari a
Determinare il valore di α. (10)
5
del volume del bicchiere da vino.
4
(N.B. Non è necessario, ed è complicato, calcolare gli integrali definiti di f e ϕ).
(18 Febbraio 2011)
5. La salsiera. Una salsiera è ottenuta dalla rotazione attorno all’asse y del grafico della
funzione ϕ (vedi figura). La funzione ϕ è a sua volta ottenuta traslando verso destra di una
quantità a > 0 la funzione f : [0, 1] → R definita da
f (x) =
x2 + 5x
.
2(x2 + 3x + 2)
Determinare a in modo che la salsiera abbia un volume pari a
3
π. (5 Luglio 2011)
2
6. Mani di fata. Marta ha deciso di ricamare 36 motivi cachemire a punto pieno su un
copritavolo. Il disegno di ciascun motivo è quello riportato in figura, ed i bordi superiore ed
inferiore sono dati dai grafici delle funzioni f, g : [−π, 2π] → definite rispettivamente dalle
leggi

x

se −π ≤ x ≤ π

 2 cos 2
f (x) =


 −cos x + π
se π < x ≤ 2π,
2
32
1
x2 − πx − 2π 2 ,
10
dove l’unità di misura sia in ascissa che in ordinata è pari ad 1 cm.
g(x) =
Ogni matassina di filato consente di coprire una superficie di 4 cm2 . Di quante matassine
avrà bisogno Marta per completare il lavoro? (31 gennaio 2012)
7. The battle of the sexes. Gianni e Silvana hanno comperato una casa a pianterreno,
sul retro della quale passa un torrente che fa da confine naturale ad un piccolo terreno di
pertinenza della casa.
Silvana è un fisico e dalla pianta catastale si è accorta che il profilo del ruscello si approssima
x
egregiamente col grafico della funzione f (x) = arcsin scegliendo il riferimento cartesiano
3
in figura.
I due si sono accordati per destinare 2/3 della superficie come orto, come vuole Gianni, ed
1/3 per coltivare fiori come piace a Silvana. Hanno anche deciso di recintare le due aree, ma
per economizzare sulla spesa della recinzione vogliono sfruttare al massimo i confini esistenti,
e quindi sono d’accordo di realizzare una linea retta uscente da A. Il lastricato AC è lungo
6 metri, la siepe AB è lunga 7,5 metri.
Determinare l’area del terreno e le coordinate della migliore scelta di H.
8. Un calendario senza nudi Nella figura è rappresentata l’orbita di un pianeta intorno
all’astro che si trova in H. La durata X dell’anno è divisa in 9 “mesi”, di cui 7 (Uguajo 1,
33
X
Uguajo 2, etc.) di durata , uno (Ghiacciajo) di durata inferiore e l’ultimo (Vacanzajo) di
9
durata superiore.
Se a Capodanno il pianeta si trova in A, ed il primo mese dell’anno termina quando il pianeta
si trova in B, stabilire se l’anno inizia con Ghiacciajo, Vacanzajo o con Uguajo 1.
Suggerimenti: Ricordare la II Legge di Keplero Il raggio vettore del pianeta intorno all’astro
spazza aree uguali in tempi uguali.
Z p
Nell’integrale
a2 − x2 dx utilizzare la sostituzione x = a sin t.
L’area di un’ellisse di semiassi a e b è πab.(19 Dicembre 2013)
9. Se famo du’ spaghi? Nella figura è riportato il progetto per un dosatore per gli spaghetti
di design moderno. Il profilo del foro corrispondente ad una porzione è ottenuto secando la
parabola y = x2 tramite la retta y = x + 2. Determinare lo spessore r in modo che il profilo
più grande corrisponda alla dose per due persone. (28 Febbraio 2013)
34
10. L’erba del vicino è sempre più verde Dobbiamo seminare a prato l’aiuola in figura; il
x3
bordo dell’aiuola è rappresentato dal grafico della funzione f (x) =
. Se la semente
20 − x2
2
viene venduta in bustine sufficienti a seminare 2 m di prato, determinare il numero di
bustine necessarie in funzione di a. (20 Settembre 2013) item L’innamorato di Golfo
Parabola. Questa è la pianta di Golfo Parabola; la linea di costa curiosamente segue
perfettamente il grafico della funzione f (x) = x2 .
Pinco è un abitante di A, ridente località costiera sulle rive di Golfo Parabola; da convinto
ecologista, possiede solo una bicicletta ed una barchetta a remi; in bicicletta, sulla pista
ciclabile lungomare, può procedere ad una velocità media di 20 Km/h, mentre vogando di
lena, può coprire 5 Km in un’ora. Adesso Pinco si è innamorato di Pallina, che vive a B,
e si vuole recare a trovarla. Quale mezzo sceglierà per raggiungerla prima possibile? E in
quanto tempo la raggiungerà?
35