origami - Officine Fabriano

ORIGAMI:
PIEGARE LA CARTA E SPIEGARE LA GEOMETRIA
CHE COSA È L'ORIGAMI
L'origami è un'antichissima tecnica di origine giapponese che insegna a piegare un foglio di carta senza
mai tagliarlo e incollarlo, per realizzare figure di varia natura e decorazioni. Il foglio viene piegato
secondo un procedimento logico che, piega dopo piega, porta una superficie neutra (un quadrato
di carta) ad assumere una forma bi o tridimensionale.
Sia per forme piuttosto semplici e stilizzate, che si possono ottenere con poche piegature, sia per figure
complesse e difficili da realizzare, l'origami, nei suoi aspetti più conosciuti, si presenta in forma di
aeroplanino, di animale, di fiore, di altro oggetto qualsiasi…
Queste sono infatti le cose che di solito si trovano descritte nei libri di origami ma esiste anche un altro
aspetto, molto interessante e ancora poco conosciuto: l' origami geometrico.
Con questo tipo di origami, mediante piegature del foglio di carta basate su proprietà di simmetria, è
possibile ottenere sia figure geometriche piane (forme poligonali, stelle, tassellazioni... ), sia figure
geometriche tridimensionali (cubi, poliedri, flexagoni, forme dinamiche... ) e tutto senza usare né la matita
né gli strumenti della geometria: l'unica cosa che serve è infatti la carta.
Per una buona riuscita dei modelli è indispensabile scegliere le carte più adatte: riguardo al formato (fogli
grandi o piccoli), alla consistenza (cartoncino o carte leggere), alla superficie (liscia o ruvida), al colore
(uguale o contrastante sulle due facce del foglio). Esistono in commercio vari tipi di carta studiata
appositamente per l'origami ma si possono usare anche carte alternative di più facile reperibilità quali
carta da quaderno, da macchina da scrivere, da disegno, da pacco, da regalo, fogli di blocchi per appunti, di
blocchi per telefono, cartoncini leggeri e così via. Se a prima vista può sembrare difficile realizzare forme
geometriche solide usando soltanto la carta senza poterla tagliare o incollare, in realtà è più semplice e
divertente di quanto si immagini.
Ottenere cubi, poliedri, forme stellate con un unico foglio, in genere di forma quadrata, è in effetti
abbastanza difficile e richiede una notevole esperienza della tecnica origami e un'ottima manualità. Esiste
tuttavia un metodo abbastanza semplice e veloce da apprendere per ottenere le stesse forme; si tratta dell’
“origami modulare”.
Per "modulo" si intende un elemento che di per sè non ha grande significato ma che, assemblato con altri
moduli analoghi, da luogo ad una forma ben precisa e riconoscibile.
Trattandosi di origami è evidente che ogni singolo modulo deve essere realizzato piegando, secondo ben
precise piegature, un foglio di carta. Ma come effettuare l' assemblaggio se non si deve usare colla,
graffette o cose simili?
E' chiaro che anche l'assemblaggio deve avvenire tramite piegatura. Tutte queste cose sono probabilmente
più semplici da realizzare che da descrivere. Nella realizzazione dei modelli dei solidi descritti di seguito è
importante seguire attentamente ogni passaggio e controllare i risultati ottenuti seguendo le indicazioni
contenute nei disegni.
I tratteggi e le frecce presenti nelle figure vengono commentati e spiegati con brevi didascalie.
Nella tabella di fig. l si trovano elencati tutti i simboli grafici usati.
Figura 1
Realizzando i modelli descritti ci si può rendere conto di quale utilità possa essere la tecnica origami per
conquistare la capacità di dominare lo spazio tridimensione e conoscere le proprietà di figure geometriche.
COSTRUZIONE DI UN CUBO ORIGAMI
Materiale occorrente:
Sei fogli di forma quadrata;
dimensione: 10-15 cm circa di lato;
qualità: carta tipo quaderno o cartoncino leggero;
colore: tre colori (due fogli ogni colore).
Per ottenere un cubo bisogna realizzare sei moduli identici piegando i fogli come indicato in fig.2.
Quando si sono ottenuti tutti e sei i moduli si controlla, sovrapponendoli, che siano piegati nello stesso
verso (destri). Se infatti al passaggio 3 si piegano gli angoli A e C anzichè gli angoli B e D si ottengono
dei moduli sinistri che non sono compatibili coi primi.
E' evidente che si possono realizzare anche solo moduli sinistri (fig.3); l' importante è che i moduli
occorrenti siano piegati tutti nello stesso verso.
Figura 2
Figura 3
Per formare il cubo occorre assemblare, come indicato in fig. 4, i sei moduli incastrandoli tramite le alette
e le tasche che si sono formate con le piegature. Se piegare i sei moduli tutti uguali è un po’ monotono,
incastrarli è molto più divertente e gratificante.
Figura 4
Costruito il cubo può sembrare tutto finito, invece si può procedere in altre direzioni. Infatti se fino ad ora
si è considerato il modulo come elemento unità, ora lo stesso ruolo si può fare assumere al cubo che può
quindi essere utilizzato come elemento base per formare altri solidi.
Ad esempio, si può costruire un parallelepipedo con la base doppia dell'altezza: tolta una faccia (un
modulo) a due cubi, si infilano rispettivamente le alette rimaste libere di un cubo nelle tasche dell'altro
(fig. 5).
Figura 5
Con lo stesso procedimento si possono realizzare altri parallelepipedi e in generale qualsiasi forma
composta da più cubi.
Spesso conviene piegare i moduli soltanto fino al passaggio 7, lasciandoli cioè a forma di
parallelogramma; infatti le altre due pieghe sono suscettibili di mutamenti (fig.6) a seconda
della forma che si vuole realizzare.
Figura 6
FORME COMPOSTE DA CUBI
E' piuttosto divertente sperimentare cosa si può ottenere combinando cubi fra loro. Si possono infatti
costruire forme complesse, flexagoni, cubi composti da cubetti, ecc.
Per stabilire quanti moduli possono occorrere per realizzare una determinata forma basta semplicemente
contare le facce quadrate. Ad esempio per il cubo, che ha sei facce, occorrono 6 fogli; per un
parallelepipedo 1x2 ne occorrono 10 mentre per un parallelepipedo 1x3 i fogli necessari saranno 14; per
un cubo 2x2 di fogli ne occorrono 24 e così via.
Il lavoro di piegatura che è piuttosto lungo e noioso può essere svolto collettivamente: più ragazzi
possono collaborare alla piegatura dei moduli necessari alla realizzazione del solido scelto.
Se per realizzare il cubo si sono usati foglietti abbastanza piccoli e di tre colori, in seguito si potranno
usare fogli molto più grandi oppure piccolissimi e di colore uniforme.
Una forma composta da 27 cubetti è il cubo soma. E' composto da 7 pezzi tutti diversi fra loro (fig.7) che
devono essere ricombinati nel cubo originario o in altri vari modi. Per realizzare i pezzi in origami
occorrono in tutto 122 fogli, 14 per il primo pezzo (3 cubi) e 18 per tutti gli altri (4 cubi).
Figura 7
In fig. 8 sono rappresentate forme ottenute combinando insieme più cubi in modo diverso. In fig.9 è
rappresentato un flexicubo: una forma molto interessante costituita da otto cubi incernierati fra loro che si
possono far ribaltare quante volte si vuole.
Per realizzarla occorrono 48 fogli e un po’ di colla o di nastro biadesivo per fissare stabilmente le linguette
che fungono da cerniera (qualche trasgressione alla sola piegatura ogni tanto è ammessa).
Figura 8
Figura 9
IL MODULO DEL CUBO PER ALTRI POLIEDRI
Le possibilità del modulo descritto non si esauriscono nella costruzione del cubo. Lo stesso modulo può
infatti servire per realizzare altri poliedri. Ma in che modo visto che la superficie utile del modulo è un
quadrato e l'unico poliedro costituito da facce quadrate è il cubo?
Semplicemente piegando a metà il modulo e utilizzando come facce utili i due triangoli rettangoli che
formano il quadrato centrale, come indica la fig. 10.
Figura 10
Incastrando (col solito metodo) tre moduli di questo tipo si ottiene una piramide a base triangolare
equilatera (fig. l l) ed è proprio questa piramide a costituire una nuova unità di base. Con essa infatti si
possono ottenere poliedri piramidati: precisamente si possono piramidare i tre poliedri regolari che hanno
per facce triangoli equilateri.
Figura 11
Per avere un tetraedro piramidato occorrono 6 fogli e il risultato è… il cubo.
Per ottenere l'ottaedro e l'icosaedro piramidati occorrono rispettivamente 12 e 30 fogli (fig.12).
La costruzione di questi poliedri può essere abbellita combinando logicamente i colori. Ad esempio,
usando 4 colori differenti per l’ottaedro e cinque per l'icosaedro in quanto in ogni vertice convergono
rispettivamente 4 o 5 spigoli. Pur essendoci soltanto tre soli poliedri regolari che hanno per facce dei
triangoli equilateri le possibilità di ottenere altre forme poliedriche, regolari o semi-regolari, incastrando
moduli sono numerose.
Il metodo più divertente e intellettualmente più valido è quello della sperimentazione: si prepara un certo
numero di moduli e si comincia a provare. Può succedere che si abbia l'intuizione di una determinata
forma e si cerchi di realizzarla attraverso ipotesi e prove ma può anche succedere che forme strane e
bellissime si formino quasi per caso.
Oltre quello descritto, che è il più semplice, esistono origami modulari di numerosi altri tipi. Inoltre ne
vengono realizzati continuamente di nuovi.
Figura 12
Esistono moduli coi quali è possibile ottenere numerosi altri poliedri piramidati o anche stellati.
Esistono anche moduli di struttura che permettono di mettere in evidenza la struttura interna del poliedro
e che quindi sono privi di facce ossia sono «aperti». Esistono moduli per realizzare gli altri poliedri
regolari oltre il cubo e moduli per poliedri concavi.
MODULI PER ALTRI POLIEDRI
(a) Un esaedro con facce triangolari
Di solito è il cubo che viene chiamato esaedro, tuttavia il nome si adatta bene anche a questo solido di
forma insolita per la superficie formata da sei triangoli rettangoli isosceli.
Per la sua realizzazione bastano tre soli moduli. In fig. 13 è messo in evidenza come i fogli quadrati
devono essere piegati e incastrati per ottenere prima i moduli e poi il solido. Si può così osservare che si
tratta di un modulo la cui realizzazione è molto semplice. Purtroppo questo modulo non è versatile; con
esso non è dato ottenere altri solidi.
Figura 13
(b) Un ottaedro «aperto»
Un altro modulo molto facile da realizzare è quello descritto in fig.l4. Si ottiene piegando un foglio
quadrato semplicemente secondo i suoi assi di simmetria.
Figura 14
Incastrando in modo opportuno sei di questi moduli si ottiene un ottaedro «aperto» in cui sono quindi
visibili gli assi di simmetria e le sezioni con i piani di simmetria.
Essendo i moduli numerosi ci vuole un po’ di pazienza e di accortezza nel realizzare l' incastro.
(c) Un cubo da un unico foglio
Un modello spiritoso di cubo si può ottenere piegando un foglietto quadrato dapprima ancora secondo gli
assi mediani e gli assi diagonali, quindi effettuando altre piegature secondo le istruzioni indicate in fig. 15.
Perchè la costruzione riesca bene è opportuno utilizzare inizialmente un foglietto di carta resistente ma
piuttosto sottile con il lato di 12-15 centimetri.
Figura 15
Con una variazione nelle piegature del foglio, indicata in fig.16, si può ottenere una piramide a base
quadrata.
Figura 16
ORIGAMI DA UN RETTANGOLO DI CARTA
Normalmente si definisce l’origami come la tecnica del piegare la carta per realizzare figure di ogni tipo.
Nessuna regola dice come deve essere il foglio di partenza ma praticamente si da per scontata la forma
quadrata.
La maggior parte dei modelli origami infatti deriva dal quadrato anche se ci sono esempi di piegatura a
partire da triangoli (isosceli, equilateri) rettangoli, pentagoni, esagoni e perfino cerchi.
Il motivo dello scarso uso di queste forme è semplicemente la difficoltà di trovare già pronti questi fogli e
la pigrizia di farseli da se. In commercio magari si trovano blocchi di foglietti in forma di mela o di pesce
ma non di triangoli o pentagoni; la vera carta da origami poi esiste in svariati tipi, dimensioni e qualità ma
tutta rigorosamente quadrata.
Si pensa infatti che per fare origami sia indispensabile usare la preziosa carta giapponese: non è vero. Si
piegano fogli di quaderno o da pacco altrettanto bene.
E allora perché non usare la carta più comune e semplice da trovare, ad esempio la normalissima extra
strong A4?
Questo rettangolo che si chiama “silver rectangle”1 oltre a trovarsi ovunque (quaderni, fotocopie,
cataloghi, carta da lettere, ecc.) è molto interessante dal punto di vista geometrico: i suoi lati sono infatti
in un rapporto 1 : 2 e cioè nel rapporto in cui sono il lato e la diagonale in un quadrato.
Si definisce allora il silver come quel rettangolo il cui lato lungo è uguale alla diagonale di un quadrato
che ha per lato il lato corto del rettangolo stesso. Dividendo a metà o raddoppiando un silver si ottengono
nuovi silver rimanendo inalterato il rapporto fra i lati.
1
“silver rectangle” (rettangolo d’argento): nome scelto dagli Oxford Dictionaries per distinguerlo dal più famoso
rettangolo aureo. Con procedimenti simili e/o conseguenti si ottengono il pentagono, l’esagono, l’ottagono e qualsiasi altro
poligono.
Più divertente, interessante e gratificante è piegare figure tridimensionali anche se più complesse quali i
solidi platonici, archimedei e stellati, i flexagoni modulari, i prismi ad n numero di lati ecc.
Alcuni modelli tridimensionali realizzati col silver.
Gli schemi di piegatura saranno disponibili durante i giorni del convegno
BIBLIOGRAFIA ORIGAMI E GEOMETRIA
Sull’argomento Origami e Geometria poco è stato pubblicato in Italia, ecco un elenco di testi utili anche se
probabilmente ormai difficili da reperire in libreria, si consiglia di provare nelle biblioteche.
Bascetta Paolo
Betti Mamino Silvana
Canovi Luisa
Canovi Luisa
Canovi Luisa
Canovi Luisa
Cecconi Donatella
Dray Enrica
Fietta Natale
Fuse Tomoko
Jackson Paul
Macchi Pietro
Macchi Pietro
Pavarin Franco
Origami
Dodecaedri e dintorni
Il libro dei rompicapo
Origami e geometria
Origami e magia
Contro Mossa (Raccolta di articoli
sull’origami geometrico)
Libroggetto Origami modulari
Modulandia
Modelli di Natale Fietta
Origami modulare
Foglio e Forma
Nuovi origami
Variazioni sul modulo
Decorazioni modulari
Ed. Sigem Modena 2010
Centro Diffusione Origami 2006
Sansoni Firenze 1984
La Casa Verde Verona 1987
La Casa Verde Verona 1987
Centro Diffusione Origami 1987
Il Castello Milano 1989
Centro Diffusione Origami 2011
Centro Diffusione origami 1986
Il Castello Milano 1988
Logos Modena 2011
De Vecchi Milano 1997
Centro Diffusione Origami 2002
Il Castello Milano 1989
Per trovare testi internazionali si consiglia di contattare il Centro Diffusione Origami che mette a
disposizione dei propri soci un vastissimo catalogo di libri, in particolare, sull’argomento Origami e
Geometria ecco un elenco di autori (di cui per motivi di spazio non si elencano i singoli titoli) da cercare
nel catalogo del CDO.
www.origami-do.it
Arnstein Bennett – Bascetta Paolo – Brill David – Canovi Luisa – Dray Enrica – Fietta Natale –
Fujimoto Shuzo – Fuse Tomoko – Gjerde Eric – Gurkewitz Rona – Hull Thomas – Huzita Humiaki –
Jackson Paul – Kasahara Kunihiko – Kawamura Miyuki – Kawasaki Toshikazu – Lewis Simon – Macchi
Pietro – Maekawa Jun – Mitchell David – Momotani Yoshihide – Montroll John – Neale Robert –
O’Rourke Joseph – Pedersen Mette – Shen Philip – Sundara Row
Alcuni testi utili alla geometria della carta, anche se non espressamente origami
Beutelspacher e Wagner
Cundy e Rollet
Gardner Martin
Rinaldi Carini Rosa
Scarpa Giorgio
Schattscheider e Walker
Piega e spiega la matematica
I modelli matematici
Enigmi e giochi matematici
Geometria operativa
Modelli di geometria rotatoria
M. C. Escher Kaleidocycles
Ponte alle Grazie Milano 2009
Feltrinelli Milano 1974
Sansoni Firenze 1969
Arti grafiche Stiben Urbania 1995
Zanichelli Bologna 1978
Taschen 1992