Progetto di Circuiti a microonde

Chapter 3
Progetto di Circuiti a
microonde
’... E se è vero che il progettista ha più confidenza in essa ( nell’opera da lui
progettata, nda) del costruttore potete capire la mia fede illimitata nel Nautilus
perché ne sono al tempo stesso capitano, costruttore e progettista.’ Nemo si
esprimeva con eloquenza irresistibile . Occhi e gesti accesi lo trasfiguravano. Si,
amava davvero la nave come un padre il figlio! Una domanda forse indiscreta,
mi venne però alle labbra e non potei fare a meno di rivolgergliela.
’Capitano, siete ingegnere?’ ’Si professore, Quando ancora abitavo la terra ho
studiato a Londra, Parigi, New York’. - J. Verne Ventimila leghe sotto i mari
3.1
FILTRI
Un filtro ideale è una rete due porte priva di perdite che, dato un segnale al
suo ingresso, consente la trasmissione di alcune sue componenti armoniche e la
reiezione completa delle altre. I filtri possono essere realizzati mediante elementi
passivi o attivi ed essere lineari o non lineari. In queste note tratteremo i filtri
lineari, passivi e reciproci, focalizzando l’attenzione sulla loro realizzazione a
microonde, dove gli effetti di ritardo nella propagazione attraverso le linee non
possono essere trascurati. Il filtro è tipicamente indicato come mostrato in fig.
3.1. l e caratterizzato dai seguenti parametri:
1. estremi della banda passante
2. Return loss minimo in banda passante, LR = 20 log |s111 | , corrispondente
alla massima riflessione accettabile nella banda passante del segnale.
3. Attenuazione minima in banda soppressa LA = 20 log
4. Attenuazione massima in banda passante L = 20 log
35
1
|s12 | .
1
|s12 | .
36
CHAPTER 3. PROGETTO DI CIRCUITI A MICROONDE
~
~
~
Figure 3.1: Rappresentazione tipica di un filtro, l’ondina non barrata a metà
indica che si tratta di un passabanda. Nei casi di passa-basso e passa-alto
non sono barrate le ondine in basso e in alto rispetticamente
5. Massima distorsione di fase in banda passante, tipicamente espressa in
termini di ritardo di gruppo accettabile nella banda τg = dφ(ω)
dω
Dato il valore relativamente alto di LR richiesto, tipicamente compreso tra
14 e 30 dB, l’attenuazione L dipende principalmente da fenomeni dissipativi
ed è dunque fortemente connessa con il tipo di tecnologia (guida, microstriscia,
finline, etc...) impiegata nella costruzione del filtro.
Pertanto in questa prima parte, essendo interessati alle proprietà comuni a tutti
i filtri, tale parametro non verrà considerato. Anche la specifica sul ritardo di
gruppo verrà esaminata soltanto alla fine del capitolo, costituendo tipicamente
una specifica meno stringente.
La progettazione corretta di un filtro si articola nei seguenti punti:
1) individuazione della risposta ottima del filtro in base a criteri di fisica
realizzabilità;
2) sintesi della rete ideale che realizzi la risposta ottima;
3) individuazione delle strutture fisiche i cui modelli si avvicinino il più possibile alle caratteristiche ideali;
4) simulazione di ciascuna struttura fisica mediante il suo modello teorico ed
eventuali aggiustamenti del progetto;
5) valutazione della sensibilità ai parametri tecnologici e operativi delle diverse realizzazioni possibili;
6) confronto delle realizzazioni possibili sul piano del rapporto prestazioni/costi
e scelta delle migliori configurazioni;
7) realizzazione dei prototipi ed analisi sperimentale; verifica del modello
teorico di ciascuna struttura fisica esaminata e, qualora lo scostamento
fosse inaccettabile, correzione del modello e ripetizione del protocollo a
partire dal punto 4).
Per quanto riguarda i primi 2 punti, nel corso di questo secolo sono state
sviluppate tecniche estremamente efficaci per la loro soluzione [?, ?], che sono
oggetto tipico dei corsi di Sintesi delle Reti Lineari. Salteremo a piè pari la
teoria delle funzioni impedenza fisicamente realizzabili e la loro realizzazione
3.1. FILTRI
37
rimandando il lettore interessato alle appendici o, più esaurientemente, ad una
delle voci bibliografiche citate. Qui invece cercheremo di fornire gli elementi
essenziali per eseguire correttamente il progetto di un filtro. In particolare considereremo quali esempi un filtro passa-banda a cavità direttamente accoppiate
in guida d’onda, un passa basso in microstriscia e un passa-banda interdigitale
in microstriscia. Cominciamo, esaminando un filtro di tipo passa basso con
banda passante compresa tra 0 e 1. La risposta ideale di un filtro siffatto è un
gradino, una funzione, ciè che vale 1 in banda passante ed è nulla altrove.
E’ facile intuire e dimostrare che tale risposta non può essere ottenuta da un
filtro vero che in maniera approssimata.
Esiste una letteratura molto ampia sulle funzioni fisicamente realizzabili (che
corrispondono cioè a circuiti costituiti da un numero finito di condensatori, resistori e induttori auto e mutui) che approssimano la risposta ideale.
Nella pratica, tuttavia, se ne considerano un insieme molto limitato. Tra queste,
meritano un’attenzione particolare la risposta massimamente piatta e quella
equiripple.
3.1.1
RISPOSTA MASSIMAMENTE PIATTA
Nel caso di risposta massimamente piatta, la risposta ideale viene approssimata
con un polinomio di Butterworth di ordine N :
|s12 (jω)|2 =
1
1 + ω 2N
(3.1)
Si vede chiaramente che |s12 (0)|2 = 1 e |s12 (1)|2 = 1/2, mentre la funzione tende
a 0 quando ω → ∞. Le prime 2n − 1 derivate della funzione di Butterworth si
annullano in ω = 0 e ω → ∞. In tal senso la funzione è detta massimamente
piatta.
Una delle questioni essenziali che si pone al progettista è determinare il grado
del filtro che realizza certe specifiche, LA , LR . Nel caso di filtro con risposta
massimamente piatta, sia γ = ωωus , delimitando ωs e ωu l’estremo inferiore della
banda soppressa e l’estremo superiore della banda passante, rispettivamente.
Allora le specifiche richiedono che:
10 log
1
= 20 log[1 + ωs2n ] ≥ LA
|s12 (jωs )|2
(3.2)
Sicuramente verificata se 20 log ωs = LA e, contestualmente, deve essere
10 log[
1
1 + (ωs /γ)2n
] = 10 log[
] ≥ LR
2
|s11 (jωs /γ)|
(ωs /γ)2n
(3.3)
La disequazione precedente è sicuramente verificata se trascuriamo (ωs /γ)2n
rispetto all’unità.
In tal caso, troviamo semplicemente:
10 log[
1
] = −20n[log ωs + log γ] ≥ LR
|s11 (jωs /γ)|2
(3.4)
38
CHAPTER 3. PROGETTO DI CIRCUITI A MICROONDE
E, in definitiva,
n≥
LR + LA
20 log γ
(3.5)
Quale esempio consideriamo un filtro passa basso di Butterworth con le seguenti
specifiche: LA = 50 dB, LR = 20 dB, γ = 2, allora il grado minimo del filtro
sarà:
50 + 20
n≥
= 11.7
(3.6)
20 log 2
Dunque n=12.
3.1.2
RISPOSTA EQUIRIPPLE
Molto spesso, il compromesso più favorevole in termini di attenuazione in banda
soppressa e riflessione in banda passante si ottiene approssimando la risposta
ideale con un polinomio di Chebyshev di grado N, TN (ω) = cos N cos−1 ω,
|s12 (jω)|2 =
1
1 + ²2 T2N (ω)
(3.7)
In banda passante (|ω| ≤ 1)il polinomio di Chebyshev oscilla, assumendo
valori compresi tra −1 e +1, mentre per (|ω| ≥ 1 cresce come ω 2N . Corrispon1
dentemente, |s12 (jω)|2 assume valori compresi tra +1 e 1+²
2 , in banda passante.
In banda soppressa, invece, la risposta decresce come 1+²21ω2N ed è pure massimammente piatta, giacché, come ’e facile dimostrare tutte le derivate della
funzione |s12 (jω)|2 si annullano al crescere ω. Il polinomio di Chebyshev garantisce le migliori prestazioni, in termini di riflessione massima in banda passante
e di attenuazione minima in banda soppressa, a parità di grado. Per tale ragione, la stragrande maggioranza dei filtri commerciali realizzano questo tipo di
risposta.
Il grado del filtro di Chebishev che soddisfa certe specifiche (LR in banda passante e LA in banda soppressa (|ω| ≥ ωs ) si determina sulla base delle seguenti
considerazioni: Il massimo valore in banda viene assunto, fra l’altro, proprio alle
estremità della banda passante per ω = ±1, pertanto,
LR = 10 log
1
1
1 + ²2
1
=
10
log
=
10
log
≈ 10 log 2
2
2
2
|s11 (1)|
1 − |s12 (1)|
²
²
(3.8)
dalla quale è immediato calcolare l’espressione di ²2 in funzione di LR :
² ≈ 10−LR /20
(3.9)
D’altro canto, l’attenuazione minima in banda soppressa si ha proprio alla pulsazione ωs = γ che ne delimita l’estremo inferiore e dunque:
LA ≤ 10 log
1
= 10 log[1 + ²2 T2N (γ)] ≈ 10 log[²2 T2N (γ)]
|s12 (γ)|2
(3.10)
3.1. FILTRI
39
Esplicitando la funzione cosh−1 si ottiene:
LA ≤ 20 log(²) + 20 log
(γ +
p
γ 2 − 1)N
2
(3.11)
Sostituendo l’espressione di ² trovata sopra si ottiene infine:
N≥
LA + LR + 6
p
20 log(γ + γ 2 − 1)
(3.12)
Se, come nell’esempio precedente, LA = 50 dB, LR = 20 dB, γ = 2, troviamo
N ≥ 6.6 dunque N = 7.
Quindi un filtro di tipo Chebyshev a parità di specifiche, in termini di massima
riflessione in banda passante e minima attenuazione in banda soppressa, richiede
un grado consistentemente minore di un filtro di Butterworth.
Questo risultato può essere apprezzato confrontando la risposta di due filtri di
Data 2 11:20:23
AM 28-10-1999
grado 4 di tipo Chebyshev e Butterworth,
mostrata
in fig. ?? .
50
1/|S1 2| [dB]
40
30
Chebyshev
20
10
Butterworth
0
0
0.5
1
2
1.5
2.5
3
3.5
4
ω
A
Figure 3.2: Confronto fra le perdite di inserzione di un filtro Chebyshev e
e di un Butterworth, entrambi di grado 4 e caratterizzati dallo stesso LR
minimo in banda passante
La sintesi di una rete elettrica avente una delle risposte mostrate è un argomento classico della teoria dei circuiti. La soluzione è una rete a scala, come
quella mostrata in fig.3.4
I parametri gk del prototipo per le risposte viste sono ricavabili dalle seguenti
formule:
40
CHAPTER 3. PROGETTO DI CIRCUITI A MICROONDE
Data 2 11:20:23 AM 28-10-1999
50
1/|S1 1| [dB]
40
30
20
Butterworth
10
Chebyshev
0
0
1
0.5
2
1.5
ω
A
Figure 3.3: Il valore minimo di LR è il medesimo per i due filtri di grado
4. Si noti che in banda passante la visualizzazione di LR è più significativa
g2
g1
g4
g3
r
Figure 3.4: Prototipo di un filtro passabasso a 4 elementi
3.1. FILTRI
3.1.3
41
Trasformazione di frequenza
E’ immediato modificare la rete in modo da trasformarla in un filtro passabanda, di banda passante compresa tra le pusazioni ω1 e ω2 attravero la trasformazione di variabile:
µ
¶
ω
ω0
ω0
−
(3.13)
ω0 =
ω2 − ω1 ω0
ω
essendo
ω0 =
√
ω1 ω2
(3.14)
0
E’ facile verificare che il filtro passabasso originario (in ω ) viene trasformato
in un filtro passabanda (in ω). Naturalmente, effettuato il cambiamento di
variabile, le induttanze serie originarie L si trasformano nei risonatori serie L0 ,
C 0,
L0 =
C0 =
L
ω2 − ω1
ω2 − ω1
Lω02
(3.15)
(3.16)
Analogamente, le capacità parallelo C diventano risonatori parallelo L00 , C 00 di
valore:
C 00 =
L00 =
C
ω2 − ω1
ω2 − ω1
Cω02
(3.17)
(3.18)
Si
√ noti che tutti i risonatori hanno la medesima frequenza di risonanza ω0 =
LC, mentre il rapporto L/C cambia da risonatore a risonatore. Il nuovo
prototipo passabanda è mostrato in fig. 3.5
L 2 C2
L1
C1
L 4 C4
L3
C3
r
Figure 3.5: Filtro prototipo passa-banda
3.1.4
il filtro prototipo
L’implementazione della rete di fig. 3.5 a microonde pone, tuttavia, alcuni
problemi.
a) la realizzazione dei risonatori;
42
CHAPTER 3. PROGETTO DI CIRCUITI A MICROONDE
b) seppure si fosse in grado di reperire tali aggeggi, la loro connessione non
può avvenire in un unico punto fisico, come avviene nel prototipo illustrato, alterandone irrimediabilmente le caratteristiche;
b) impiegando strutture guidanti vere, è difficile collegare elementi in serie e
parallelo ;
La realtà è che il circuito ottenuto non corrisponde ancora a una rete a parametri
distribuiti e che, pertanto, va modificato.
In primo luogo, trasformiamo i risonatori in modo tale da renderli tutti serie
o parallelo. Questa operazione, la trasformazione cioè di una reattanza serie
in una suscettanza parallelo, e viceversa, è resa possibile mediante l’impiego di
invertitori di impedenza. Ricordiamo che un invertitore di impedenza è una rete
due porte la cui matrice di trasmissione vale:
·
¸
0
jK
(3.19)
j/K 0
dove K è detta impedenza caratteristica dell’invertitore. E’ facile allora
mostrare l’equivalenza tra una suscettanza parallelo ed una reattanza serie compresa tra due invertitori uguali come mostrato in fig.??.
L' C'
L
K
C
K
Figure 3.6: Circuito risonante LC parallelo e suo equivalente serie L’ C’,
compreso tra due invertitori di impedenza K
·
Infatti,
¸ ·
0
1
0
=
j/K
jB 1
jK
0
¸·
1 jX
0 1
¸·
0
j/K
jK
0
¸
·
=
1
j KX2
0
1
¸·
−1 0
0
−1
(3.20)
q
L’uguaglianza sussiste purché K = X
B.
L’ultima matrice rappresenta un trasformatore 1 : −1, che non ha alcun
effetto sulla risposta della rete e può dunque essere tralasciato.
0
0
Se B = ωC − 1/ωL e X = ωL − 1/ωC allora deve essere:
L
C
0
0
=
=
CK 2
L
K2
Si osservi che, dopo la trasformazione, il risonatore serie X conserva la medesima
frequenza di risonanza del risonatore parallelo B,
ω02 =
1
1
= 0 0
LC
LC
(3.21)
¸
3.1. FILTRI
43
Si noti sopratutto come l’impiego degli invertitori di impedenza aumenti
la flessibilità nella scelta dei parametri circuitali, restando vincolata la sola
frequenza di risonanza dei risonatori impiegati. Inoltre, anche i parametri di
risonatori serie X possono essere modificati impiegando l’equivalenza con un
0
altro risonatore X compreso tra due trasformatori n : 1 e 1 : n (fig.3.7),
z=trasformatore Gli invertitori di impedenza possono pertanto essere scelti in
Z
1: n
Z'
n:1
Figure 3.7: Anche un circuito risonante LC serie è equivalente serie L’ C’,
compreso tra due trasformatori, il primo 1:n e il secondo n:1
modo tale che tutti i risonatori serie risultanti siano uguali tra loro. In questa
fase, il circuito è costituito dalla cascata di invertitori, trasfomatori e invertitori
di impedenza. Questi ultimi sono tutti uguali e, pur non sapendo ancora come
verranno realizzati a microonde, possiamo essere certi del fatto che il prenderli
tutti eguali costituisca una semplificazione notevole.
In aggiunta, la cascata di un invertitore K e di un trasformatore n : 1
è ancora un invertitore di impedenza caratteristica K/n, e, analogamente, la
cascata di un trasformatore 1 : n e di un invertitore K produce un invertitore
di impedenza nK .
Cosı̀ la rete prototipo diventa una cascata di risonatori serie tutti eguali
alternati ad invertitori di impedenza, come mostrato nella figura 3.8.
L C
K1
L C
K2
L C
K3
L C
K4
K5
Figure 3.8: Prototipo di filtro passa-banda costituito da risonatori LC serie
alternati a invertitori di impedenza
L’introduzione degli invertitori comporta un aumento dei gradi di libertà del
sistema. Pertanto, mentre la frequenza di risonanza dei risonatori è fissata, il
rapporto Li /Ci è al momento del tutto arbitrario.
Tale arbitrarietà è comunque apparente, giacché è stato introdotto un elemento in più , l’invertitore, il cui valore è dato univocamente dalla ().
Una scelta possibile e particolarmente significativa dei parametri Li eCi , si
ottiene prendendo tutti eguali, Li = L, Ci = C. In questa maniera il circuito
prototipo di partenza si trasforma in un circuito costituito dalla cascata di
risonatori serie tutti eguali alternati ad invertitori di impedenza di impedenza
opportuna.
Vedremo ora quale tipo di struttura fisica possa realizzare approssimativamente un siffatto circuito. Tratteremo dapprima la realizzazione del risonatore
LC, quindi quella dell’invertitore.
44
CHAPTER 3. PROGETTO DI CIRCUITI A MICROONDE
Un tratto di linea trasmissione di impedenza caratteristica unitaria e di lunghezza
φ ammette il circuito equivalente a parametri concentrati mostrato in fig. 3.9,
nel quale i parametri valgono, X = − sin φ,B = − cot φ2
Zb
Z
Ya
0
Yc
φ
Figure 3.9: Un tratto di linea di trasmissione di lunghezza φ e il corrispondente circuito a π
Se la lunghezza elettrica φ del tratto di linea è pari a π alla frequenza di
risonanza ω0 , allora nell’intorno di tale frequenza:
X(ω) = φ(ω) − π
(3.22)
Ora, perché il tratto di linea sia equivalente al risonatore serie in un intorno non
nullo della frequenza ω0 , è necessario che X 0 (ω0 ) = φ0 (ω0 ):
dX
d
1
=
(ωL −
)
dω
dω
ωC
(3.23)
Per quanto concerne le suscettanze parallelo B, esse possono essere, in prima
istanza, trascurate, poiché nominalmente nulle alla frequenza di centrobanda ω0
e comunque poste in parallelo con invertitori di impedenza, caratterizzati da una
suscettanza di ingresso molto più grande (di valore K12 con K ≤ 1). Il trasformatore 1:-1 può infine essere tralasciato non producendo alcun effetto sulla risposta
del sistema a parte un ininfluente sfasamento di π.
Si è dunque mostrata l’equivalenza dei tratti di linea di trasmissione di lunghezza
π alla pulsazione di risonanza dei risonatori ω0 , con i risonatori stessi, in un intorno della frequenza di centrobanda del filtro.
Si comprende, inoltre, l’importanza del grado di libertà nella determinazione del
rapporto L/C dei risuonatori. Infatti la funzione φ(ω) = βl dipende essenzialmente dal tipo di struttura guidante effettivamente considerata. Conseguentemente, anche i valori finali degli invertitori di impedenza dipenderanno anche
dalle caratteristiche della guida impiegata.
Per fare un esempio, si considerino i due casi seguenti. Nel primo si deve realizzare un filtro in coassiale (² = 2.08, teflon) che lavori a una √
frequenza di
centrobanda di 2 GHz. Il risonatore LC avrà lunghezza pari a 7.5/ 2.08 ≈ cm.
Veniamo ora alla realizzazione dell’invertitore di impedenza. Diversi sono
gli elementi di circuito, realizzabili facilmente a microonde, la cui combinazione
produca un due porte simile, in un certo intorno della frequenza ω0 , ad un
invertitore di impedenza. Trattandosi comunque di un due porte reciproco e
privo di perdite (almeno idealmente), caratterizzato dunque da una riflettenza
|s11 | e dalle due fasi φ11 e φ22 , una scelta semplice consiste nel realizzarlo con una
3.1. FILTRI
45
discontinuità di eguale riflettenza compresa tra due tratti di linea di trasmissione
di lunghezze l1 e l2 , che consentano di ottenere le medesime fasi.
1. In guida d’onda rettangolare, ad esempio, discontinuità di riflettenza arbitraria possono essere facilmente ottenute mediante diaframmi trasversali.
In tal caso la riflettenza vale 1 quando il diaframma è chiuso, è nulla
quando il diaframma è completamente aperto
2. In microstiscia, come in coassiale, la discontinuità può realizzarsi con un
gap, la cui riflettenza può essere modulata variandone l’ampiezza. Un’altra
tecnica è quella di variare bruscamente la larghezza della striscia (o del
conduttore interno nel coassiale).
3. In finline, discontinuità tipiche si ottengono da inserti metallici posti a
cavallo della fessura.
Si osservi, in conclusione il metodo contiene due approssimazioni, la prima
relativa alla realizzazione dei ciascun risonatore mediante un tratto di linea di
lunghezza elettrica π alla frequenza di centrobanda ω0 ; la seconda alla realizzazione dell’invertitore di impedenza mediante un circuito la cui risposta, invero,
varia con la frequenza. Tali approssimazioni comportano una limitazione sulla
banda dei filtri sintetizzabili, come è stato stimato da Young.
Esempio Allo scopo di chiarire quanto esposto, verrà di seguito illustrato un
esempio di sintesi di un filtro a banda passante in guida d’onda rettangolare con
le seguenti specifiche:
• Banda 37-37.300 GHz
• LR = 20 dB
• LA = 50 dB per f ≥ 37.750 GHz
Le perdite di inserimento in banda passante meritano una discussione a parte
e, comunque, non vengono considerate nell’algoritmo di progetto. Impiegheremo una guida d’onda che lavori in quell’intervallo di frequenze. Come è noto,
le dimensioni delle guide d’onda sono standardizzate; abbiamo pertanto due
possibilità, o la guida WR28 (26.5-40) o la WR22 (33-50). Una scelta oculata
deve ovviamente tener conto dell’inserimento del nostro filtro in un sistema. In
questo caso possiamo arbitrariamente scegliere di lavorare con una guide WR
28 di dimensioni 7.112x3.556 mm che sicuramente consente, rispetto alla più
piccola WR22, tolleranze più lasche. Non solo, come abbiamo osservato nel
capitolo dedicato alle cavità, tale scelta sicuramente comporterà perdite minori.
Il primo passo da compiere sta nella determinazione del grado del filtro.
Definita una pulsazione normalizzata ω = βa
π calcoliamo le pulsazioni corrispondenti alle frequenze 37, 37.3 e 37.75 GHz, rispettivamente ω1 = 1.4424, ω2 =
√
1.4597 e ω3 = 1.4855, nonché la pulsazione di centrobanda ω0 = ω1 ω2 = 1.451.
Per determinare il grado del filtro, effettuiamo la trasformazione di variabile