Selezione avversa

Dispensa 4∗
June 11, 2009
1
Il mercato dei bidoni
Il problema della selezione avversa è dovuto al fatto che l’agente detiene informazioni private (delle quali il principale non è a conoscenza) prima della firma
del contratto. Per esempio: gli azionisti o il datore di lavoro non conoscono le
caratteristiche professionali di un manager o un lavoratore che assumono per
svolgere delle mansioni. Le società di assicurazioni non conoscono il tempo che
un’assicurato stà alla guida della macchina e neanche che tipo di persona questo
è (prudente, che ama la guida veloce, ecc.). Certamente l’agente potrebbe approfittare delle informazioni private che ha per incrementare il suo profitto a
discapito del principale. Pertanto il problema del principale è di trovare una
possibilità, una strada (di redigere un contratto in modo da) per limitare, per
ridurre il suo svantaggio informazionale.
L’esempio classico utilizzato per illustrare le conseguenze della selezione avversa
è quello analizzato da Akerlof (1970) nel suo articolo riguardando il mercato delle
auto usate. Questo modello è chiamato (riferito come) il mercato dei bidoni.
L’esempio di Akerlof è estremamente intuitivo. Sul mercato delle automobili
usate ci sono auto delle più diverse qualità: da automobili che sono in ottimo
stato, vendute dai loro proprietari solo perché questi desiderano acquistare un
modello più sofisticato o più grande fino ad auto di scarsissima qualità vendute
in seguito a grossi incidenti. Il problema che un compratore (principale) deve
affrontare su questo mercato: è molto difficile (se non impossibile) distinguere
la qualità delle macchine presenti sul mercato e questo ha conseguenze negative
sulle transazioni che si effetuano sul mercato.
Supponiamo che sul mercato ci sono tre categorie di auto: di qualità buona, di
qualità media e di qualità scarsa, nelle stesse proporzioni, 13 , 13 , 13 (cioè la probabilità di trovare una macchina buona è pari alla probabilità di trovare un’auto
di qualità media ed è pari alla probabilita di prendere un’auto di qualità scarsa
e sono pari a 13 ). Un’auto buona dà un’utilità pari a 1 al compratore, mentre se
l’auto è di qualità media li dà un’utilità pari a 12 e un utilità pari a 0 se l’auto
è di scarsa qualità. Allo stesso modo supponiamo che il valore che il venditore
∗ Integrazione basata su I. Macho-Stadler, D. Perez-Castrillo, “An Introduction to the Economics of Information”
1
(l’agente) dà alle auto è 43 per le auto buone, 12 per le auto di qualità media e 0
per le auto di scarsa qualità. Perché una compra-vendita avvenga, il prezzo che
il compratore offre deve essere maggiore del prezzo di riserva del venditore. Il
compratore (principale) non può distinguere la qualità delle macchine che ha di
fronte. Pertanto, lui sarà disposto a pagare un prezzo al massimo pari al valore
medio delle auto sul mercato cioè:
1
1
1
1+ +0 =
pc =
3
2
2
Ma a questo prezzo i proprietari di auto buone non sono disposti a vendere in
quanto la loro valutazione per le auto buone è 34 > 12 . Questo significa che sul
mercato rimangono solo macchine di qualità scarsa e media. Perció, anticipando
questo, il compratore rivede le sue aspettative e sarà diposto a pagare al massimo
un prezzo pari al valore medio delle auto nelle nuove condizioni del mercato, cioè:
1
1 1
+0 =
pc =
2 2
4
Ma questo nuovo prezzo è inferiore al valore che i venditori (proprietari) danno
alle auto di qualità media perció anche questi non saranno disposti a vendere. Di
conseguenza, sul mercato o non avviene alcuna transazione o saranno vendute
solo macchine di scarsa qualità (solo bidoni).
In realtà, anche se l’informazione asimmetrica implica un costo, qualchevolta è
possibile discriminare tra i prodotti sul mercato.
2
Un modello di selezione avversa
Supponiamo che un principale neutrale al rischio vuole assumere un’agente (neutrale o avverso al rischio) per svolgere alcune mansioni. Un livello di impegno
lavorativo e è associato (conduce) ad un risultato (livello di produzione) R(e).
Supponiamo che R0 (e) > 0 e R00 (e) ≤ 0, cioè il risultato è una funzione
crescente è concava del’impegno lavorativo del’agente. Assumiamo che in questo
caso l’impegno del’agente è verificabile ma l’agente può essere di uno tra due tipi
diversi tra i quali il principale non riesce a distinguere. I due tipi differiscono solo
attraverso la disutilità indotta dal’impegno lavorativo. Questa è v(e) per il tipo 1
(chiamiamolo tipo “buono”: per esempio una persona con esperienza nel campo
delle vendite la quale per presentare bene i vantaggi del prodotto non ha bisogno
di prepararsi in più) ed è kv(e) per il tipo 2 (chiamiamo questo tipo di agente
“cattivo”: per esempio una persona senza esperienza nel campo delle vendite
la quale per presentare bene il prodotto deve lavorare e prepararsi a casa), con
k > 1. Cioè per il tipo 2 è più costoso effettuare lo stesso sforzo lavorativo.
L’implicazione di questo fatto è che un lavoratore del tipo 2 deve essere pagato
di più rispetto ad un lavoratore di tipo 1 per lo stesso sforzo. Supponiamo che
l’utilità del’agente è data dalla differenza tra l’utilità del reddito e il costo del
impegno lavorativo. Perció un’agente del tipo 1 avrà un’utilità pari a:
U1 (w, e) = u(w) − v(e)
2
mentre un’agente del tipo 2:
U2 (w, e) = u(w) − kv(e) k > 1
Supponiamo che l’utilità del principale è data dal profitto dell’attività:
Π = R(e) − w
Innanzitutto analizziamo il caso in cui non c’è informazione asimmetrica e il
principale può distinguere il tipo di agente che ha di fronte.
1) Ad un agente di tipo 1 offrirebbe il contratto che è la soluzione del seguente
problema:
max R(e) − w
e,w
s.v. u(w) − v(e) ≥ U
Tenendo presente che il vincolo di partecipazione è soddisfato con uguaglianza,
possiamo scrivere dal vincolo:
w = u−1 (U + v(e))
e sostituendo nella funzione obiettivo il nostro problema diventa un problema
di ottimizzazione non vincolata:
max R(e) − u−1 (U + v(e))
e
Dalla condizione di primo ordine troviamo:
0
R0 (e) − u−1 (U + v(e)) · v 0 (e) = 0
Dalla regola di derivazione delle funzioni inverse possiamo scrivere:
1
0
u−1 =
u0 (w)
e sostituendo questo nella condizione di primo ordine otteniamo:
R0 (e) −
1
u0 (w)
e da qui risulta:
R0 (e) =
· v 0 (e) = 0
v 0 (e)
u0 (w)
Il sistema di equazioni:
(
u(w) = U + v(e)
0
(e)
R0 (e) = uv0 (w)
(1)
ci dà il contratto ottimale per un agente di tipo 1, (e∗1 , w1∗ ), quando il principale
e l’agente hanno informazione simmetrica.
3
In modo del tutto simile troviamo il contratto ottimale per un’agente di tipo
2 dal problema di massimizzazione:
max R(e) − w
e,w
s.v. u(w) − kv(e) ≥ U
Il contratto ottimale in condizioni di informazione simmetrica per un agente del
tipo 2 è dato dalla coppia (e∗2 , w2∗ ) che soddisfa le equazioni:
(
u(w) = U + kv(e)
0
(2)
(e)
R0 (e) = kv
u0 (w)
La seconda condizione si chiama condizione di efficienza in quanto stabilisce che
il tasso marginale di sostituzione tra impegno e stipendio deve essere uguale per
entrambe le parti contrattuali nel punto di ottimo.
Supponiamo ora che vi è informazione asimmetrica, cioè il principale non può
distinguere il tipo di agente che ha di fronte. Supponiamo che il principale
conosce la probabilità q che l’agente sia di tipo 1 (“buono”). Allora con probabilità (1 − q) l’agente è di tipo “cattivo”.
Il problema che nasce in condizioni di informazione asimmetrica è dovuta al
fatto che, mentre l’agente di tipo 2 (cattivo) sceglierà comunque il contratto
destinato a lui, l’agente del tipo 1 (efficiente) preferirà mentire se il principale
chiede di che tipo è, e scegliere il contratto destinato al tipo cattivo. Questo
perché, mentre il contratto destinato a se li dà un utilità pari al’utilità di riserva,
il contratto (e∗2 , w2∗ ) li dà un utilità pari a:
U 1 (w2∗ , e∗2 ) = u(w2∗ ) − v(e∗2 ) > u(w2∗ ) − kv(e∗2 ) = U
e quindi maggiore dell’utilità di riserva.
In queste condizioni, se la probabilità che un’agente sia del tipo 1 è pari a q
mentre 1 − q è la probabilità che l’agente sia “cattivo”, allora il problema del
principale è redigere, disegnare un menu di contratti con la caratteristica che
questi siano seletivi, cioè che ogni tipo di agente scelga il contratto che è stato
pensato per se. Formalmente scriviamo questo:
max
w1 ,e1 ,w2 ,e2
q · [R(e1 ) − w1 ] + (1 − q) [R(e2 ) − w2 ]
u(w1 ) − v(e1 ) ≥ U
(V P1 )
u(w2 ) − kv(e2 ) ≥ U
(V P2 )
s.v.
u(w1 ) − v(e1 ) ≥ u(w2 ) − v(e2 ) (CI1 )
u(w2 ) − kv(e2 ) ≥ u(w1 ) − kv(e1 ) (CI2 )
I primi due vincoli sono vincoli di partecipazione i quali assicurano la partecipazione del’agente alla relazione contrattuale a prescindere dal suo tipo. Gli
ultimi due vincoli sono vincoli di compatibilità degli incentivi i quali assicurano
che ogni tipo di agente seglie il contratto che il principale li ha destinato. Proponendo questo menu di contratti, il principale riesce a capire, attraverso la
4
scelta del’agente, quale è il suo tipo. La scelta del’agente rivela l’informazione
privata di quest’ultimo. Possiamo dimostrare che nel risolvere questo problema
è sufficiente che il principale utilizzi il vincolo di partecipazione del tipo “cattivo” di agente ed il vincolo di partecipazione del tipo “buono”. Se questi due
vincoli sono soddisfatti gli altri due sono soddisfatti automaticamente.
Dal vincolo di compatibilità degli incentivi del’agente di tipo 1 abbiamo che:
U (w1 , e1 ) = u(w1 ) − v(e1 ) ≥ u(w2 ) − v(e2 )
ma dato che k > 1 abbiamo anche che:
u(w2 ) − v(e2 ) > u(w2 ) − kv(e2 ) ≥ U
dove l’ultima disuguaglianza segue dal vincolo di partecipazione del tipo “cattivo”. Per transitività possiamo trovare che:
u(w1 ) − v(e1 ) > U
dimostrando che se i vincoli (V P2 ) e (CI1 ) sono soddisfatti allora è automaticamente soddisfatto anche il vincolo di partecipazione (V P1 ). In più il vincolo
di partecipazione del tipo “buono” è soddisfatto con disuguaglianza stretta.
Dai vincoli di compatibilità degli incentivi possiamo dimostrare che e2 ≤ e1 .
Dal vincolo (CI1 ) abbiamo:
v(e2 ) − v(e1 ) ≥ u(w2 ) − u(w1 )
mentre dal vincolo (CI2 ), riordinando i termini, troviamo:
u(w2 ) − u(w1 ) ≥ k [v(e2 ) − v(e1 )]
Riassumendo, abbiamo quindi:
v(e2 ) − v(e1 ) ≥ u(w2 ) − u(w1 ) ≥ k [v(e2 ) − v(e1 )]
da dove risulta:
v(e2 ) − v(e1 ) ≥ k [v(e2 ) − v(e1 )] ⇒ 0 ≥ (k − 1) [v(e2 ) − v(e1 )]
e quindi:
v(e1 ) ≥ v(e2 )
Sotto l’ipotesi che v 0 > 0, cioè che la funzione v(e) è crescente, questo significa
che e1 ≥ e2 . È intuitivo il fatto che il principale ha maggiore interesse nel
chiedere un impegno maggiore dal tipo di agente efficiente (meno costoso).
Dimostreremo ora che entrambi i vincoli V P2 e CI1 sono soddisfatti con uguaglianza
nel punto di ottimo del principale.
Supponiamo per contradizione che il vincolo di partecipazione del tipo “cattivo”
sia soddidfatto con disuguaglianza stretta. Allora, dato che il vincolo di partecipazione del tipo “buono” è sempre soddisfatto con disuguaglianza stretta, il
5
principale potrebbe ridurre entrambi i stipendi (w1 , w2 ) di una quantità molto
piccola, aumentando cosi il suo profitto e continuando a soddisfare anche i vincoli di compatibilità degli incentivi. Perció un contratto che soddisfa con disuguaglianza stretta il vincolo di partecipazione del tipo “cattivo” non può essere
un contratto ottimale per il principale, in quanto vi sarebbero possibilità di
miglioramento. Pertanto, nel punto di ottimo il vincolo di partecipazione
del tipo “cattivo” di agente deve essere soddisfatto con uguaglianza. In modo
del tutto simile possiamo dimostrare che anche il vincolo di compatibilità degli
incentivi del tipo “buono” di agente deve essere soddisfatto con uguaglianza.
Il problema di ottimizzazione del principale diventerà:
max
w1 ,e1 ,w2 ,e2
s.v.
q · [R(e1 ) − w1 ] + (1 − q) [R(e2 ) − w2 ]
u(w2 ) − kv(e2 ) = U
u(w1 ) − v(e1 ) = u(w2 ) − v(e2 )
Risolveremo questo problema per sostituzione: Dal primo vincolo possiamo scrivere:
u(w2 ) = U + kv(e2 ) ⇒ w2 = u−1 (U + kv(e2 ))
e sostituendo u(w2 ) per la sua espressione nel secondo vincolo otteniamo:
u(w1 ) − v(e1 ) = U + (k − 1)v(e2 ) ⇒ w1 = u−1 [U + (k − 1)v(e2 ) + v(e1 )]
Sostituendo w1 e w2 per le loro espressioni nella funzione obiettivo il problema
del principale diventa un problema di ottimizzazione non vincolata in e1 e e2 :
max q R(e1 ) − u−1 [U + (k − 1)v(e2 ) + v(e1 )] +(1−q) R(e2 ) − u−1 [U + kv(e2 )]
e1 ,e2
e le condizioni di primo ordine rispetto a e1 e e2 sono:






0 



q · R0 (e1 ) − qu−1 U + (k − 1)v(e2 ) + v(e1 ) · v 0 (e1 ) = 0


|
{z
}



u(w1 ) 







0 

−q · u−1 U + (k − 1)v(e2 ) + v(e1 ) · (k − 1)v 0 (e2 ) + (1 − q) · R0 (e2 )−
|
{z
}




u(w1 )








0 



−(1 − q) · u−1 U + kv(e2 ) · k · v 0 (e2 ) = 0



| {z }

u(w2 )
Tenendo presente la regola di derivazione delle funzioni inverse in base alla quale
0
1
possiamo scrivere u−1 = u0 (w)
, le condizioni di primo ordine diventano:
(
0
(e1 )
q · R0 (e1 ) − q uv0 (w
=0
1)
0
(e2 )
−q (k−1)v
+ (1 − q) · R0 (e2 ) − (1 − q) ·
u0 (w1 )
6
k·v 0 (e2 )
u0 (w2 )
=0
e da qui, riordinando e semplificando otteniamo:
(
0
(e1 )
R0 (e1 ) = uv0 (w
1)
R0 (e2 ) =
q(k−1)v 0 (e2 )
(1−q)u0 (w1 )
+
k·v 0 (e2 )
u0 (w2 )
Pertanto, possiamo affermare che il contratto ottimale in condizioni di informazione asimmetrica è caratterizzato dai vincoli (V P2 ), (CI1 ) e dalle due equazioni
qui sopra.
Il menu ottimale di contratti in condizioni di informazione asimmetrica ha le
seguenti caratteristiche. Innanzitutto il vincolo di partecipazione è soddisfatto
con uguaglianza solo pe il tipo “cattivo” di agente (l’agente con costi maggiori)
mentre il tipo buono riceve un guadagno “informazionale” pari a (k − 1)v(e2 ).
Cioè l’agente più efficiente riceve attraverso il contratto un’utilità superiore alla
sua utilità di riserva a causa della sua informazione privata.
Questo lo possiamo vedere subito utilizzando i vincoli V P2 e IC1 . Da IC1
abbiamo:
U (e1 , w1 ) = u(w1 ) − v(e1 ) = u(w2 ) − v(e2 )
ma dal V P2 possiamo scrivere:
u(w2 ) − v(e2 ) = U + (k − 1)v(e2 )
Pertanto possiamo scrivere che:
U (e1 , w1 ) = u(w1 ) − v(e1 ) = U + (k − 1)v(e2 )
Un’altra caratteristica importante è che il vincolo di compatibilità degli incentivi
è soddisfatto con uguaglianza per il tipo efficiente di agente mentre rimane una
disuguaglianza per il tipo “cattivo”.
Terzo, la condizione di efficienza (che pone uguaglianza tra il tasso marginale di
sostituzione del principale e del’agente) è soddisfata solo per il tipo efficiente.
Questa proprietà indica che in condizioni di informazione asimmetrica l’unico
contratto efficiente è quello indirizato al’agente “buono”.
Una distorsione è introdotta nel contratto indirizzato al tipo di agente “cattivo”:
il tasso marginale di sostituzione tra sforzo e salario è maggiore nel ottimo per il
principale rispetto al’agente. Questa distorsione è introdotta con il preciso scopo
di fare il contratto per il tipo cattivo meno attraente per gli agenti efficienti. Il
principale perde efficienza nel contratto per il tipo di agente “cattivo” ma paga
meno “guadagno informazionale” al agente di tipo “buono”. L’ammontare della
distorsione ottimale dipende dalla probabilità che l’agente sia di tipo “buono”.
Minore è questa probabilità, cioè maggiore è la probabilità che l’agente sia di
tipo “cattivo”, meno profitabile è distorcere (cambiare) il contratto per il tipo
“cattivo” di agente e più profitabile diventa pagare una “rendita informazionale”
all’agente di tipo efficiente (situazione rara sotto questa ipotesi).
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Esercizio 1. Un’imprenditore vuole assumere un operaio ma ci sono aspetti
riguardanti il lavoratore che non sono a conoscenza del principale. Più precisamente, il lavoratore può essere di due tipi: la sua disutilità del impegno
lavorativo è e2 oppure 2e2 . Cioè il tipo 2 ha una disutilità maggiore dallo
stesso livello di sforzo lavorativo. Perció le funzioni di utilità dell’agente sono:
U1 (w, e) = w − e2 per il tipo 1 e U2 (w, e) = w − 2e2 per l’agente di tipo 2. La
probabilità che il lavoratore sia del tipo 1 è pari a q. Entrambi i tipi di lavoratore
hanno la stessa utilità di riserva, pari a U = 0. L’imprenditore, che è neutrale al
rischio, valuta l’impegno lavorativo del agente in base alla funzione R(e) = ke,
dove k è una costante abbastanza alta da determinare il principale ad essere
interessato nell’assumere il lavoratore indipendentemente dal suo tipo. Perció
per ogni unità di sforzo lavorativo dell’agente l’imprenditore riceve k unità di
ricavo.
(a) Formulare e risolvere il problema dell’imprenditore se questo avesse informazione perfetta riguardando il tipo del lavoratore. Quali sono i livelli di sforzo
richiesti e quali sono i salari pagati?
(b) Formulate il problema del principale quando vi è un problema di selezione
avversa.
(c) Risolvete il problema trovando il contratto ottimale.
(d) Comparate i casi di informazione simmetrica e asimmetrica.
Soluzione:
(a) Il problema del imprenditore è di redigere due contratti, uno per ogni tipo
di agente, in modo da massimizzare il suo profitto. Le variabili con le quali può
agire in questo senso, i strumenti a sua disposizione sono rappresentati dalle
variabili che possono essre stipulate nel contratto, cioè, livello di impegno
lavorativo, e, e stipendio, w.
max ke1 − w1
e1 ,w1
s.v. w1 − e21 ≥ U
Tenendo presente che il vincolo di partecipazione è soddisfatto con uguaglianza
nel punto di ottimo, e sostituendo U con il suo valore, possiamo esplicitare w1
in funzione di e1 :
w1 = e21
e sostituendo nella funzione obbiettivo, il problema si riduce a:
max ke1 − e21
e1
La condizione di primo ordine:
k − 2e1 = 0
ci conduce al livello di sforzo ottimale per l’agente di tipo 1:
e1 =
8
k
2
Pertanto il contratto ottimale per l’agente di tipo 1 è:
k k2
∗
∗
(e1 , w1 ) =
,
2 4
I profitti del principale da un tale contratto sono:
Π1 = k
k k2
k2
−
=
2
4
4
Il contratto per l’agente del tipo 2 si trova in modo del tutto simile. Il problema
del principale è:
max ke2 − w2
e2 ,w2
s.v. w2 − 2e22 ≥ U
Tenendo presente che il vincolo di partecipazione è soddisfatto con uguaglianza
nel punto di ottimo, e sostituendo U con il suo valore, possiamo esplicitare w2
in funzione di e2 :
w2 = 2e22
e sostituendo nella funzione obbiettivo, il problema si riduce a:
max ke2 − 2e22
e2
La condizione di primo ordine:
k − 4e2 = 0
ci conduce al livello di sforzo ottimale per l’agente di tipo 2:
e2 =
k
4
Pertanto il contratto ottimale per l’agente di tipo 2 è:
k k2
(e∗2 , w2∗ ) =
,
4 8
ed i profitti del principale sono:
Π2 = k
k k2
k2
−
=
4
8
8
(b) Con informazione asimmetrica il problema del principale diventa:
max
e1 ,w1 ,e2 ,w2
q(ke1 − w1 ) + (1 − q)(ke2 − w2 )
w1 − e21 ≥ U
w2 − 2e22 ≥ U
s.v.
w1 − e21 ≥ w2 − e22
w2 − 2e22 ≥ w1 − 2e21
9
(c) Per risolvere questo problema ricordiamo che il vincolo di partecipazione del
tipo “cattivo” (con costi maggiori, il tipo 2 qui) e il vincolo di compatibilità
degli incentivi dell’agente di tipo “buono” (con costi minori, del tipo 1 nel problema) sono soddisfatti con uguaglianza mentre gli altri due vincoli li possiamo
ignorare in quanto sono automaticamente soddisfatti quando i sudetti vincoli si
verificano. Pertanto il secondo e il terzo vincolo sono:
w2 − 2e22 = 0
w1 − e21 ≥ w2 − e22
e da qui possiamo esplicitare:
w2 = 2e22
w1 = e21 + w2 − e22 = e21 + e22
Il problema di ottimizzazione diventa:
max q[ke1 − (e21 + e22 )] + (1 − q)(ke2 − 2e22 )
e1 ,e2
Dalle condizioni di primo ordine:
q(k − 2e1 ) = 0
q(−2e2 ) + (1 − q)(k − 4e2 ) = 0
e da qui troviamo:
e1 =
k(1 − q)
k
, e2 =
2
2(2 − q)
e sostituendo questi valori nelle espressioni degli salari troviamo:
w1 =
k2
k 2 (1 − q)2
k 2 (1 − q)2
+
,
w
=
2
4
4(2 − q)2
2(2 − q)2
I profitti attesi del principale sono:
2
k
k
k 2 (1 − q)2
k(1 − q) k 2 (1 − q)2
k2
EΠ = q k −
+
+(1−q)
k
−
=
2
2
2
4
4(2 − q)
2(2 − q)
2(2 − q)
4(2 − q)
Esercizio 2. (a) Risolvere l’esercizio precedente per il caso in cui k = 1 e
q = 12 .
(b) Considerate l’altra possibilità che l’imprenditore ha: di assumere un lavoratore solo se questo è del tipo 1.
(c) Comparate le situazioni (a) e (b) con informazione asimmetrica. Quale è il
contratto ottimale?
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