COORDINATE CURVILINEE ORTOGONALI Un punto dello spazio

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COORDINATE CURVILINEE ORTOGONALI
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COORDINATE CURVILINEE ORTOGONALI
Un punto dello spazio può essere inviduato,
oltre che dalle usuali coordinate cartesiane x = {xi , i = 1, 2, 3} = {x, y, z},
da altre tre variabili q = {qα , α = 1, 2, 3} tali che
xi = xi (q), i = 1, 2, 3,
qα = qα (x), α = 1, 2, 3.
Detta linea coordinata α
la curva che si ottiene variando qα e mantenendo fisse le rimanenti due componenti di q,
considereremo solo variabili q,
tali che le tre linee coordinate si intersechino ortogonalmente in ogni punto dello spazio.
Le variabili q sono dette allora coordinate curvilinee ortogonali .
Definita la matrice
(1)
aiα =
∂xi
∂qα
e considerato il punto di coordinate cartesiane xi (q),
il punto che si ottiene incrementando qα di dqα ha coordinate cartesiane
xi (q, dqα ) = xi (q) +
∂xi
dqα = xi (q) + aiα dqα .
∂qα
Il vettore di coordinate cartesiane
dα xi = xi (q, dqα ) − xi (q) = aiα dqα
è tangente alla linea coordinata α e ha lunghezza λα dqα , dove
r
(2)
X
a2
i iα
λα =
.
Il corrispondente versore eα ha coordinate cartesiane
eαi = tiα ,
dove
(3)
tiα =
aiα
·
λα
L’ortogonalità delle linee coordinate si traduce nella condizione
eα ·eβ =
X
i
tiα tiβ = δαβ .
La matrice tiα è quindi ortogonale, cioè
X
i
tiα tiβ = δαβ ,
X
α
tiα tjα = δij .
nota :
∂
∂
aiα =
aiβ .
∂qβ
∂qα
1
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Componenti lungo le linee coordinate
Dato un vettore v di componenti cartesiane vi , la sua componente vα secondo la linea coordinata α è
X
X
(4)
vα = eα ·v =
eαi vi =
tiα vi ,
i
i
e la relazione inversa è
(5)
vi =
X
α
tiα vα .
Fattori di lunghezza, di superficie e di volume
Come abbiamo già notato, il fattore di lunghezza λα
è tale che λα dqα è la lunghezza dell’elemento infinitesimo di linea
corrispondente all’incremento dqα lungo la linea α.
Possiamo anche definire il fattore di superficie
(6)
(β 6= γ, β 6= α, γ 6= α)
σα = λβ λγ = λ1 λ2 λ3 /λα
tale che σα dqβ dqγ = σα dq1 dq2 dq3 /dqα è la superficie del rettangolo infinitesimo
corrispondente agli incrementi dqβ , dqγ lungo le linee coordinate β, γ.
Ancora, il fattore di volume
(7)
τ = λ1 λ2 λ3
è tale che τ dq1 dq2 dq3 è il volume del parallelepipedo rettangolo infinitesimo
corrispondente agli incrementi dq1 , dq2 , dq3 lungo le linee coordinate 1, 2, 3.
Dall’ortogonalità di tiα segue
1 = |det tiα | =
1
|det aiα |
λ1 λ2 λ3
e quindi
J = |det aiα | = λ1 λ2 λ3 = τ
è lo jacobiano da usare per trasformare un integrale in dx1 dx2 dx3 in un integrale in dq1 dq2 dq3 .
Prodotto scalare
Il prodotto scalare tra due vettori v e w si può scrivere
X
X X
X
v·w =
vi w i =
tiα vα tiβ wβ =
i
i
αβ
αβ
vα
X
i
tiα tiβ wβ =
X
purché sia tiα vα = vα tiα (può non essere vero se v è un vettore operatoriale).
Prodotto vettoriale
Le componenti lungo le linee coordinate del prodotto vettoriale u = v ∧ w,
di componenti cartesiane
ui =
X
jk
εijk vj wk ,
si possono scrivere
uα =
X
=
X
purché sia vβ tkγ = tkγ vβ .
i
tiα
βγ
X
jk
X
ijk
εijk vj wk =
X
X
ijk
tiα tjβ tkγ εijk vβ wγ =
βγ
tiα εijk tjβ vβ tkγ wγ
X
βγ
εαβγ vβ wγ ,
α
vα w α ,
2
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Gradiente
Si ottiene subito
(∇f )α = (∇f )·eα =
X ∂f
1 X ∂f
1 X ∂f ∂xi
1 ∂f ,
tiα =
aiα =
=
i ∂xi
i ∂xi
i ∂xi ∂qα
λα
λα
λα ∂qα
o simbolicamente
∇α =
(8)
1 ∂
·
λα ∂qα
Le componenti cartesiane di ∇ in termini delle coordinate curvilinee e delle derivate rispetto a queste
sono date da
∇i =
(9)
X
α
tiα ∇α =
X
α
tiα
1 ∂
·
λα ∂qα
Divergenza
L’integrale esteso a un volume V della divergenza di un vettore v
è uguale al flusso di v uscente dalla superficie Σ che delimita V , cioè
Z
Z
dV ∇·v = dΣ n·v,
V
Σ
dove n è il versore ortogonale all’elemento di superficie dΣ orientato nel verso uscente.
Applicando il teorema al parallelepipedo rettangolo infinitesimo
corrispondente agli incrementi dq1 , dq2 , dq3 lungo le linee coordinate 1, 2, 3,
il primo membro è dato da
Z
dV ∇·v = ∇·v τ dq1 dq2 dq3 ,
V
mentre il secondo membro risulta
Z
dΣ n·v = v(q + dq1 )·e1 (q + dq1 ) σ1 (q + dq1 ) dq2 dq3 − v(q)·e1 (q) σ1 (q) dq2 dq3
Σ
+ 123 → 231 + 123 → 312 ,
avendo indicato sinteticamente con q + dq1 il punto di coordinate curvilinee q1 + dq1 , q2 , q3 .
Al primo ordine in dq1 si ha
v(q + dq1 )·e1 (q + dq1 ) σ1 (q + dq1 ) = v(q)·e1 (q) σ1 (q) +
∂
v(q)·e1 (q) σ1 (q) dq1
∂q1
e quindi
Z
∂
v(q)·e1 (q) σ1 (q) dq1 dq2 dq3 + 123 → 231 + 123 → 312
∂q1
X ∂
=
v(q)·eα (q) σα (q) dq1 dq2 dq3 .
α ∂qα
dΣ n·v =
Σ
Concludendo, con notazione abbreviata,
(10)
X ∂
∇·v = τ1
σ α vα .
α ∂qα
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Laplaciano
Dalla definizione del laplaciano e dalle espressioni ottenute per il gradiente (9) e la divergenza (10)
risulta
X ∂
X ∂ σα ∂
4f = ∇·∇f = τ1
σα (∇f )α = τ1
f.
α ∂qα
α ∂qα λα ∂qα
(11)
Operatore momento angolare
In meccanica quantistica l’operatore momento angolare (orbitale) è definito da l̂ = x̂ ∧ k̂.
Nella rappresemtazione di Schrödinger le sue componenti cartesiane sono
ˆli = −i
X
jk
εijk xj ∇k .
Se si vogliono esprimere le componenti cartesiane ˆli
in termini delle coordinate curvilinee e delle derivate rispetto a queste,
è conveniente calcolare preliminarmente le componenti ˆlα di l̂ secondo le linee coordinate.
Risulta
(12)
ˆlα = −i
X
= −i
X
i
tiα
X
jk
X
βγ
ijk
εijk xj ∇k = −i
X
ijk
tiα εijk
εijk tiα tjβ tkγ xβ ∇γ = −i
X
β
X
βγ
tjβ xβ
X
γ
tkγ ∇γ = (poiché xβ tkγ = tkγ xβ )
εαβγ xβ ∇γ .
Successivamente si ottengono le componenti cartesiane con la trasformazione
ˆli =
X
α
tiα ˆlα
e da queste, se occorre, il modulo quadrato
l̂ 2 =
X
i
ˆl 2
i
Attenzione
Notiamo che
l̂ 2 =
X
i
ˆl 2 =
i
X X X
i
α
β
tiα ˆlα tiβ ˆlβ 6=
X
α
ˆl 2 ,
α
poiché tiα ˆlα 6= ˆlα tiα .
4
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Coordinate polari sferiche
Le coordinate polari sferiche q1 = r (raggio), q2 = ϑ (colatitudine), q3 = ϕ (longitudine)
sono legate alle coorinate cartesiane x1 = x, x2 = y, x3 = z dalle relazioni
  

x
r sin ϑ cos ϕ
 y  =  r sin ϑ sin ϕ  ·
z
r cos ϑ
(13)
La matrice aiα è data da
 ∂x
∂x
∂ϑ
∂x
∂ϕ

 ∂y
aiα = 
 ∂r
∂y
∂ϑ
∂y
∂ϕ
 
 =  sin ϑ sin ϕ
 
∂z
∂r
∂z
∂ϑ
∂z
∂ϕ
∂r

sin ϑ cos ϕ
r cos ϑ cos ϕ −r sin ϑ sin ϕ

r sin ϑ cos ϕ 
·
r cos ϑ sin ϕ
cos ϑ

−r sin ϑ
0
I fattori di lunghezza, superficie e volume e i rapporti σα /λα risultano


 
λr
1
(14)  λϑ  =  r  ,
r sin ϑ
λϕ


  2
σr
r sin ϑ
 σϑ  =  r sin ϑ  ,
r
σϕ

τ = r2 sin ϑ,

  2
σr /λr
r sin ϑ
 σϑ /λϑ  =  sin ϑ  ·
1/ sin ϑ
σϕ /λϕ
La matrice unitaria tiα = aiα /λα è

(15)
sin ϑ cos ϕ cos ϑ cos ϕ − sin ϕ

tiα = 
 sin ϑ sin ϕ
cos ϑ
cos ϑ sin ϕ
− sin ϑ


cos ϕ 
·
0
Facendo uso dei valori (14) e (15), nonché delle formule generali (8), (9), (10), (11) e (12),
si ottengono subito le espressioni seguenti.
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Gradiente
Le componenti del gradiente lungo le linee coordinate polari sferiche sono

∂
∂r




 1 ∂
,
1 ∂
= r
∇α =

∂ϑ 
λα ∂qα



1
∂
r sin ϑ ∂ϕ

(16)
mentre le sue componenti cartesiane in termini della coordinate polari sferiche sono

sin ϕ ∂
cos ϑ cos ϕ ∂
∂
+
−
r

∂r
∂ϑ r sin ϑ ∂ϕ 


X


cos
ϕ
cos
ϑ
sin
ϕ
∂
∂
∂
·
∇i =
tiα ∇α = 
+
+
sin ϑ sin ϕ

r
α
∂r
∂ϑ r sin ϑ ∂ϕ 




sin ϑ ∂
∂
cos ϑ
− r
∂r
∂ϑ

(17)
sin ϑ cos ϕ
Divergenza
La divergenza di un vettore v(q) in termini delle sue componenti vα (q) è data da
X ∂
1
∂
∂
∂ 2
1
∇·v = τ
σ α vα = 2
r sin ϑ vr +
r sin ϑ vϑ +
rv
α ∂qα
∂ϑ
∂ϕ ϕ
r sin ϑ ∂r
(18)
=
∂
∂
1 ∂ 2
1
1
2 ∂r r vr + r sin ϑ ∂ϑ sin ϑ vϑ + r sin ϑ ∂ϕ vϕ .
r
Laplaciano
Il laplaciano di una funzione f (q) è dato da
(19)
X ∂ σα ∂
∂ 2
∂
∂
∂
∂ 1 ∂
1
1
4f = τ
r sin ϑ
+
sin ϑ
+
f= 2
f
α ∂qα λα ∂qα
∂r ∂ϑ
∂ϑ ∂ϕ sin ϑ ∂ϕ
r sin ϑ ∂r
1
∂
∂
1
∂2
1 ∂ 2 ∂
r
+
sin ϑ
+
f
=
∂ϑ r2 sin2 ϑ ∂ϕ2
r2 ∂r ∂r r2 sin ϑ ∂ϑ
∂2
1
1 ∂
∂
1 ∂2
1
= r 2r + 2
sin ϑ
+
f.
sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ sin2 ϑ ∂ϕ2
∂r
r
6
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Operatore momento angolare
Nella rappresentazione di Schrödinger si ottiene
(20)
x̂α = xα =
 
r

tiα xi = 0  ·
i
0
X
Poiché, secondo la (20), xβ=1 = r è l’unica componente xβ diversa da 0, la (12) diventa
ˆlα = −i
X
βγ
εαβγ xβ ∇γ = −i
X
γ
εα1γ xβ=1 ∇γ = −i
X
γ
εα1γ r ∇γ
e per ogni α la somma su γ contiene al più un termine, e precisamente
(21)


0
ˆ 




0
0
lr
 −1 ∂ 

ˆ 





 lϑ  = −i  ε213 r∇γ=3  = −i  −r∇ϕ  = −i  sin ϑ ∂ϕ ·


ˆlϕ
∂
ε312 r∇γ=2
r∇ϑ
∂ϑ
Da questa, applicando la matrice tiα , si ottengono le componenti cartesiane

∂ 
∂
ˆ 
− cot ϑ cos ϕ
− sin ϕ
lx
∂ϑ
∂ϕ 


ˆ 
∂
∂ 
·
 ly  = −i 
cos
ϕ
−
cot
ϑ
sin
ϕ

∂ϑ
∂ϕ 


ˆlz
∂
∂ϕ
(22)
Infine
(23)
2
l̂ =
X
i
ˆl2
i
=−
1 ∂
∂
1 ∂2
sinϑ
+
sinϑ ∂ϑ
∂ϑ sin2 ϑ ∂ϕ2
.
Nota
Dal confronto della (23) con l’espressione (19) del laplaciano precedentemente ottenuta si ottiene
(24)
4f =
1 ∂ 2 r − 1 l̂ 2 f.
r ∂r2
r2
7