Sistemi di coordinate.

Parte I
Sistemi di coordinate.
Coordinate sferiche.
Trasformazioni.
p
x2 + y 2 + z 2
µ p
¶
³z ´
1
2
2
ϑ = arccos
= arcsin
x +y
r
r
³y´
φ = arctan
x
r =
x = r sin ϑ cos φ
y = r sin ϑ sin φ
z = r cos ϑ
r ∈ [0, ∞) ϑ ∈ [0, π] φ ∈ [0, 2π)
Elementi di linea, supercie e volume.
dl = dr r̂ + r dϑθ̂ + r sin ϑdφφ̂
ds = r2 sin ϑ dϑ dφr̂
dV
= r2 sin ϑ dϑ dφ dr
Vettori e versori.

 

x
r sin ϑ cos φ
r =  y  =  r sin ϑ sin φ 
z
r cos ϑ


cos ϑ cos φ
dr/dϑ
=  cos ϑ sin φ 
θ̂ =
|dr/dϑ|
− sin ϑ


sin ϑ cos φ
dr/dr
=  sin ϑ sin φ 
r̂ =
|dr/dr|
cos ϑ


− sin φ
dr/dφ
φ̂ =
=  cos φ 
|dr/dφ|
0
Derivate parziali dei versori.

cos ϑ cos φ
∂r̂
=  cos ϑ sin φ  = θ̂
∂ϑ
− sin ϑ


− sin ϑ sin φ
∂r̂
=  sin ϑ cos φ  = sin ϑφ̂
∂φ
0


− sin ϑ cos φ
∂ θ̂ 
− sin ϑ sin φ  = −r̂
=
∂ϑ
− cos ϑ


− cos ϑ sin φ
∂ θ̂ 
cos ϑ cos φ  = cos ϑφ̂
=
∂φ
0

1


− cos φ
∂ φ̂ 
− sin φ  = − sin ϑ r̂ − cos ϑθ̂
=
∂φ
0
∂r̂
=0
∂r
∂ θ̂
=0
∂r
∂ φ̂
=0
∂r
∂ φ̂
=0
∂ϑ
Derivate temporali.
ṙ = ṙ r̂ + r sin ϑφ̇φ̂ + rϑ̇θ̂
r̂˙ = sin ϑφ̇φ̂ + ϑ̇θ̂
˙
θ̂ = cos ϑφ̇φ̂ − ϑ̇r̂
³
´
˙
φ̂ = − sin ϑ r̂ + cos ϑθ̂ ϑ̇
2
Coordinate cilindriche.
Trasformazioni.
p
x2 + y 2
³y´
ϑ = arctan
x
z = z
r =
x = r cos ϑ
y = r sin ϑ
z = z
r ∈ [0, ∞) ϑ ∈ [0, 2π) z ∈ (−∞, ∞)
Elementi di linea, supercie e volume.
dl = dr r̂ + r dϑθ̂ + dz ẑ
ds = r dϑ dz r̂
dV
= r drdϑdz
Vettori e versori.
 

x
r cos ϑ
r =  y  =  r sin ϑ 
z
z


− sin ϑ
dr/dϑ
=  cos ϑ 
θ̂ =
|dr/dϑ|
0


cos ϑ
dr/dr
=  sin ϑ 
r̂ =
|dr/dr|
0
 
0
dr/dz
ẑ =
= 0 
|dr/dz|
1

Derivate parziali dei versori.
∂r̂
=0
∂r
∂r̂
=0
∂z
∂ θ̂
=0
∂r
∂ θ̂
=0
∂z

∂ẑ
=0
∂r

− sin ϑ
∂r̂
=  cos ϑ  = θ̂
∂ϑ
0
∂ẑ
=0
∂z


− cos ϑ
∂ θ̂ 
− sin ϑ  = −r̂
=
∂ϑ
0
∂ẑ
=0
∂ϑ
3
Derivate temporali.
ṙ
r̂˙
˙
θ̂
ẑ˙
˙
= ṙ r̂ + rϑ̇θ̂ + zẑ
= ϑ̇θ̂
= −ϑ̇r̂
= 0
4
Parte II
Operatori dierenziali.
Rappresentazione in dierenti sistemi di ccordinate.
Coordinate cartesiane.
∂f
∂f
∂f
x̂ +
ŷ +
ẑ
∂x
∂y
∂z
∂Ax ∂Ay
∂Az
∇·A =
+
+
∂x
∂y
∂z
µ
¶
µ
¶
µ
¶
∂Ay
∂Ay
∂Az
∂Ax ∂Az
∂Ax
∇×A =
−
x̂ +
−
ŷ +
−
ẑ
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
¯
¯
¯ x̂
ŷ
ẑ ¯¯
¯ ∂
∂
∂ ¯
¯
= ¯ ∂x ∂y ∂z
¯
¯ A A A ¯
∇f
=
x
2
∂ f
y
∂2f
z
∂2f
∂x2
∂y 2
∂z 2
2
∂ A ∂2A ∂2A
∇2 A = 4A =
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
∇2 f
=
+
+
Coordinate sferiche.
∇f
=
∇·A =
=
∇×A =
∇2 f
=
1 ∂f
1 ∂f
∂f
r̂ +
θ̂ +
φ̂
∂r
r ∂ϑ
r sin ϑ ∂φ
2Ar
1 ∂Aϑ
Aϑ
1 ∂Aφ
∂Ar
+
+
+
+
∂r
r
r ∂ϑ
r tan ϑ r sin ϑ ∂φ
1
1 ∂ ¡ 2 ¢
∂
1 ∂Aφ
r Ar +
(sin ϑAϑ ) +
2
r ∂r
r sin ϑ ∂ϑ
r sin ϑ ∂φ
µ
¶
µ
¶
Aφ
∂Aφ Aφ
1 ∂Aφ
1 ∂Aϑ
1 ∂Ar
+
−
r̂ +
−
−
θ̂ +
r ∂ϑ
r tan ϑ r sin ϑ ∂φ
r sin ϑ ∂φ
∂r
r
µ
¶
∂Aϑ Aϑ 1 ∂Ar
+
+
−
φ̂
∂r
r
r ∂ϑ
2 ∂f
1 ∂2f
1
∂f
1
∂2f
∂2f
+
+ 2 2+ 2
+ 2 2
2
∂r
r ∂r
r ∂ϑ
r tan ϑ ∂ϑ r sin ϑ ∂φ2
5
Coordinate cilindriche.
∂f
∂f
1 ∂f
θ̂ +
r̂ +
ẑ
∂r
r ∂ϑ
∂z
Ar
1 ∂Aϑ ∂Az
∂Ar
+
+
+
∇·A =
r
r¶
∂ϑ µ ∂z
¶
µ∂r
∂Aϑ
∂Ar
∂Az
1 ∂Az
−
r̂ +
−
θ̂ +
∇×A =
r ∂ϑ
∂z
∂z
∂r
µ
¶
∂Aϑ Aϑ 1 ∂Ar
+
+
−
ẑ
∂r
r
r ∂ϑ
∂2f
1 ∂f
1 ∂2f
∂2f
∇2 f =
+
+
+
∂r2
r ∂r
r2 ∂ϑ2
∂z 2
∇f
=
Identità.
Vettori. nota: r = (x, y, z), da non confondere con la coordinata cilindrica
omonima.
∇r = r̂
∇
µ ¶
1
r
=− 3
r
r
∇×r=0
∇ · r̂ =
2
r
∇ × r̂ = 0
∇ · r = 3 ∇ × r = 0 ∇r = r̂
Gradiente.
∇ (f g) = g∇f + f ∇g
∇ (A · B) = A × (∇ × B) − (∇ × A) × B + (B · ∇) A + (A · ∇) B
Divergenza.
∇ · (f A) = (∇f ) · A + f (∇ · A)
∇ · (A × B) = (∇ × A) · B − A · (∇ × B)
∇ · (∇ × A) = 0
Rotore.
∇ × (A × B) = A (∇ · B) − (∇ · A) B + (B · ∇) A − (A · ∇) B
∇ × (∇ × A) = ∇ (∇ · A) − ∇2 A
∇ × (f A) = (∇f ) × A + f (∇ × A)
∇ × (∇f ) = 0
6