STANDARDIZZAZIONE - Facoltà di Medicina e Psicologia

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Psicometria (8 CFU)
Corso di Laurea triennale
STANDARDIZZAZIONE
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STANDARDIZZAZIONE
Un punteggio all’interno di una distribuzione è
in realtà privo di significato se preso da solo.
Sapere che un soggetto ha ottenuto un
punteggio x=52 in una scala di aggressività
dice abbastanza poco sulla caratteristica del
soggetto
Non si sa, cioè, se è poco o molto aggressivo o
se la sua aggressività è nella media.
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STANDARDIZZAZIONE
Per variabili misurate su scale a rapporti un
singolo valore è già più informativo
Sappiamo ad esempio cosa vuol dire avere 18
anni
Tuttavia anche con variabili di questo tipo
conoscere un punteggio potrebbe non essere
informativo delle caratteristiche del soggetto
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STANDARDIZZAZIONE
Esempio
Se si sa che un soggetto è alto 1.80 m
Questa informazione assume un
significato ben diverso se il soggetto è
un pigmeo o uno svedese
Nel primo caso sarebbe “molto alto”
mentre nel secondo sarebbe “nella
media”
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STANDARDIZZAZIONE
Per avere un’idea chiara del significato di un
dato valore dobbiamo riferire il valore stesso
alla distribuzione di punteggi del gruppo di cui
fa parte
Gli aspetti da considerare sono due:
la scala di misura utilizzata
il confronto tra punteggi in test diversi
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STANDARDIZZAZIONE
• la scala di misura
i punteggi di un test sono
su scale a intervalli
equivalenti prive dello zero
(utilizzabile come
riferimento); i punteggi
vengono quindi riferiti alla
media e alla varianza di un
gruppo
• confronto tra punteggi in
test diversi
per confrontare misure
ottenute con strumenti
diversi è necessario
riferirle ad una scala
comune o standard
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STANDARDIZZAZIONE
• Questa operazione consente di definire la
posizione di un soggetto all’interno di una
distribuzione di frequenza e, dunque, di:
a) confrontare due prestazioni dello stesso
soggetto entro due diverse distribuzioni
b) confrontare le prestazioni
diversi in differenti distribuzioni
di
soggetti
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STANDARDIZZAZIONE
Standardizzare significa riferire la
misura ad una scala standard di cui sono
noti i parametri (media e varianza)
Gli indicatori di tendenza centrale e di
dispersione (media e deviazione
standard) possono essere utilizzati per
ottenere la standardizzazione delle
misure
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STANDARDIZZAZIONE
Una delle scale più comunemente
utilizzate è detta “standard” o “z” e ha
media = 0 e varianza = 1
Questa scala si ottiene trasformando i
punteggi xi di una distribuzione in
punteggi zi tramite la formula
PUNTI z
X−X
z=
s
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STANDARDIZZAZIONE
PUNTI zeta
Consentono riferire una misura ad una
scala standard con media uguale a zero
e deviazione standard uguale a 1
La trasformazione dei valori Xi in valori zi
significa esprimere i valori come
distanza dalla media in termini di
deviazioni standard
(cioè, usare la deviazione standard come
unità di misura)
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STANDARDIZZAZIONE - PUNTI Z
Esempio
In un test di percezione visiva la media è
21.25 e la deviazione standard di 6.74.
Trasformare in punti z i seguenti punteggi
ottenuti da 6 soggetti dislessici.
Ss
xi
1
8
2 3 4 5 6
15 17 20 25 28
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STANDARDIZZAZIONE - PUNTI Z
Si standardizzano i punteggi:
8 − 21.25
z1 =
= −1.97
6.74
z2 =
14 − 21.25
= −1.10
6.74
20 − 21.25
= −0.18
6.74
17 − 21.25
z3 =
= −0.63
6.74
z4 =
25 − 21.25
z5 =
= 0.56
6.74
28 − 21.25
z6 =
= 1.00
6.74
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xi
zi
STANDARDIZZAZIONE - PUNTI Z
8
14
17
20
21.25
-1.97 -1.10 -0.63 -0.18
0
25
0.56
28
1.00
MEDIA
Il soggetto n°2 con 14 è una deviazione standard
sotto alla media (21.25 - 6.74 ≅ 14)
Il soggetto n°6 con 28 è una deviazione
standard sopra alla media (21.25 + 6.74 = 28)
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xi
zi
STANDARDIZZAZIONE - PUNTI Z
8
14
17
20
-1 .9 7 -1 .1 0 -0 .6 3 -0 .1 8
2 1 .2 5
0
25
0 .5 6
28
1 .0 0
MEDIA
Il soggetto n°5 con 25 è circa mezza deviazione
standard sopra la media e, ad esempio, dista
dalla media la metà rispetto al soggetto n°6
Il soggetto n°1 con 8 è due deviazioni standard
sotto la media e, ad esempio, dista dalla media il
doppio rispetto al soggetto n°2.
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STANDARDIZZAZIONE - PUNTI Z
ESEMPIO
Un soggetto ha ottenuto il punteggio di 30 sia
in un test che misura l’ansia sia in uno che
misura l’introversione; come è possibile
sapere se in certe situazioni il soggetto si
dimostra più introverso o più ansioso?
E’ necessario utilizzare una scala comune sulla
quale “leggere” i punteggi dei due test
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STANDARDIZZAZIONE - PUNTI Z
ESEMPIO
Sapendo che la media dei punteggi al test di
ansia è 36,6 e la deviazione standard 5.97 il
punteggio 30 del nostro soggetto potrà
essere trasformato in
30 − 36 .6
z=
= −1 .07
5 .97
Sapere che ha ottenuto un punto zeta di -1.05
significa che si trova al di sotto della media
(segno negativo) di circa 1 dev st
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STANDARDIZZAZIONE - PUNTI Z
ESEMPIO
Il nostro soggetto ha un uguale punteggio (30)
anche alla scala di introversione;
affermare che le due caratteristiche sono
presenti in ugual misura è un errore, poiché si
deve tener conto del fatto che le due scale
possono essere diverse
Per poter confrontare le due misure occorre
standardizzarle, cioe’ fare riferimento ad una
scala comune
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STANDARDIZZAZIONE - PUNTI Z
ESEMPIO
La media dei punteggi al test di introversione è
31.2 e la deviazione standard 5.62; di
conseguenza il punteggio 30 diviene
30 − 31.2
z=
= −0.21
5.62
Quindi z ansia= -1.05 e z introversione= -0.21
Su questa base si può affermare che il nostro
soggetto è molto meno ansioso che introverso
anche se in ambedue le caratteristiche si
colloca al di sotto della media
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STANDARDIZZAZIONE - PUNTI Z
Naturalmente può essere effettuato il percorso
inverso nel caso in cui si voglia conoscere il
valore di x a partire dal valore di z
corrispondente. Basta trasformare la formula
X−X
z=
s
Risolvendo l’equazione con incognita X
X = X + zs
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STANDARDIZZAZIONE - PUNTI Z
ESEMPIO
In un test attitudinale la media dei punteggi è
72 con s=4
Se si volesse conoscere il punteggio di uno
soggetto di cui si conosce z= -.25
X = X + zs
X = 72 + (−0.25)x4 = 72 − 1 = 71
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STANDARDIZZAZIONE
ALTRE SCALE
Oltre alla scala in punti z, nei manuali dei
test psicologici si incontrano altre scale
che sono trasformazioni lineari della
scala z:
- Scala in punti T
- Scala stanine (standard nine)
- Scala sten (standard ten)
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STANDARDIZZAZIONE
Scala in punti T
Si tratta di una scala con M= 50 e s=10
Si ottiene applicando la formula:
T = 50 + 10z
Varia tra 0 e 100
Non prevede valori negativi
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STANDARDIZZAZIONE
Scala stanine (standard nine)
La scala ha M = 5 e s = 2
s tanine = 5 + 2z
Divide la distribuzione in 9 categorie
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STANDARDIZZAZIONE
Scala sten (standard ten)
La scala ha M = 5.5 e s = 2
sten = 5.5 + 2z
Divide la distribuzione in 10 categorie
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STANDARDIZZAZIONE
RANGO PERCENTILE
DEFINIZIONE
Il rango percentile di un punteggio X,
RP(x)
può essere definito come la percentuale di
dati che assumono valore
minore o uguale a X
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STANDARDIZZAZIONE
RANGO PERCENTILE
ESEMPIO
Se un soggetto ha un punteggio Xi,
dire che RP(Xi) = 35
significa che nella distribuzione ordinata
dei dati il punteggio Xi
lascia alla sua sinistra il 35% dei dati
della distribuzione
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STANDARDIZZAZIONE
CALCOLO DEL RANGO PERCENTILE
Dati non raggruppati in classi
-si dispongono i dati in ordine crescente
-si individua la posizione (POS) del punteggio che
interessa
- si applica la formula
POS
RP (X ) =
⋅ 100
N +1
Se N è > o = a 30
POS
RP (X ) =
⋅ 100
N
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STANDARDIZZAZIONE
CALCOLO DEL RANGO PERCENTILE
ESEMPIO
Supponiamo di aver ottenuto i seguenti punteggi:
25 43 34 58 48 38 54
Vogliamo conoscere il RP del punteggio 38
Ordino i dati: 25 34 38 43 48 54 58
38 occupa la terza posizione
POS
RP(X) =
⋅ 100
N+1
3
RP(X) =
⋅ 100 = 37.5
7 +1
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STANDARDIZZAZIONE
CALCOLO DEL RANGO PERCENTILE
Dati raggruppati in classi (distribuzione di frequenza)
-si dispongono le classi in ordine crescente
-si individua la posizione (POS) del punteggio Xi che
interessa con la formula
POS = f cum 0
X − X0
+
fi
i
fcumo= frequenza cumulata immediatamente inferiore al
valore Xi
fi = frequenza della classe che include il valore Xi
i = ampiezza della classe che include il valore Xi
X0= limite reale inferiore della classe che include il valore
Xi
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STANDARDIZZAZIONE
ESEMPIO
Classi
f
fcum
i
Limiti reali
18-20
15
15
3
17.5-20.5
21-22
18
33
2
20.5-22.5
23-24
20
53
2
22.5-24.5
25-26
16
69
2
24.5-26.5
27-30
13
82
4
26.5-30.5
82
Calcoliamo il RP del punteggio 28
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STANDARDIZZAZIONE
CALCOLO DEL RANGO PERCENTILE
ESEMPIO
- si individua la posizione (POS) del punteggio 28 con
la
formula
POS = f cum 0
X − X0
+
fi
i
28 − 26.5
POS = 69 +
13 ≅ 74
4
74
RP (X ) =
⋅ 100 ≅ 90
82
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STANDARDIZZAZIONE
ESERCIZIO
Nella classe di Giulio i voti all’ultimo
compito di Matematica sono stati i
seguenti
xi 3
f 3
4 5
10 6
6
4
7
3
8
2
9
1
10
1
Giulio ha preso 6 al compito di matematica.
Come valuto la sua prova?
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STANDARDIZZAZIONE
ESERCIZIO (Soluzione)
Si calcola il rango percentile del voto 6
xi
f
fc
3
3
3
POS = f cum 0
4
5
6
7
8
9
10
10 6
4
3
2
1
1
13 19 23 26 28 29 30
X − X0
+
fi
i
POS = 19 +
21
RP (6 ) =
⋅ 100 = 70
30
6 − 5 .5
4 = 21
1
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STANDARDIZZAZIONE
CALCOLO DEL RANGO PERCENTILE
Se le classi hanno ampiezza unitaria si può
usare la formula abbreviata:
fi 

 f cum 0 +

2

RP ( X ) =
⋅ 100
N
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STANDARDIZZAZIONE
ESERCIZIO
Giulio ha preso 6 anche al compito di
Italiano. I voti della classe sono i
seguenti
xi
f
4
2
5
3
6
4
7 8
12 7
9
1
10
1
Come valuto la sua prova? Avendo preso sia
a Matematica che a Italiano 6, posso dire che
Giulio è ugualmente bravo nelle due materie
rispetto alla sua classe?
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STANDARDIZZAZIONE
ESERCIZIO (Soluzione)
Si calcola il rango percentile del voto 6
xi
f
fc
4
2
2
5
2
4
6
4
8
f 

 fcum 0 + i 
2
RP ( X ) = 
⋅ 100
n
7 8 9 10
13 7 1 1
21 28 29 30
4

4 + 
2

RP(6) =
⋅100 = 20
30
Ψ
STANDARDIZZAZIONE
ESERCIZIO (Soluzione)
• Il voto 6 in Italiano corrisponde al 20°
percentile Giulio lascia dietro di sé
soltanto il 20% dei compagni.
• Sebbene il voto sia lo stesso, la sua
prova è peggiore rispetto a quella di
matematica relativamente alla classe Giulio non è particolarmente bravo in
Italiano, mentre è abbastanza bravo in
Matematica (RP=70).
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STANDARDIZZAZIONE
ESERCIZIO
Marta ha preso 6 al compito di
Matematica. I voti della sua classe
sono i seguenti:
xi 3 4 5 6 7 8 9 10
f
1 5 5 8 7 2 1 1
Come valuto la sua prova? Posso dire che Giulio
e Marta sono ugualmente bravi in Matematica,
tenendo conto dei risultati delle rispettive
classi di appartenenza?
Ψ
STANDARDIZZAZIONE
ESERCIZIO (Soluzione)
Si calcola il rango percentile del voto 6 di Marta
xi
f
fc
3
1
1
4
5
6
5 6 7 8 9 10
5 8 7 2 1 1
11 19 26 28 29 30
f 

 fcum 0 + i 
2
RP ( X ) = 
⋅ 100
n
8

 11 +

2
RP ( 6 ) = 
⋅ 100 = 50
30
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STANDARDIZZAZIONE
ESERCIZIO (Soluzione)
Il voto 6 in matematica corrisponde al
50° percentile Marta lascia dietro di
sé il 50% dei compagni.
Sebbene il voto sia lo stesso di Giulio,
relativamente alle classi di
appartenenza, la sua prestazione è
peggiore rispetto a quella Giulio
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STANDARDIZZAZIONE
PERCENTILE E RANGO PERCENTILE
NOTA BENE
Il percentile è un valore
Il rango percentile è una posizione
Il 20° percentile è 6
valore
Il rango percentile di 6 è 20
posizione