un percorso semplificato lungo gli sviluppi della teoria del rischio

UN PERCORSO SEMPLIFICATO LUNGO GLI
SVILUPPI DELLA TEORIA DEL RISCHIO
•
•
•
•
•
Rendimento del capitale, rischio e costo del capitale
La selezione di un singolo titolo
La selezione di un portafoglio
La frontiera efficiente
La selezione del portafoglio “soggettivamente” ottimo
• Il teorema della separazione: il portafoglio “oggettivamente”ottimo
• La scomposizione del rischio: rischio diversificabile e rischio
sistematico
• Il C.A.P.M. e l’indice beta
• L’indice beta e la quantificazione del costo del capitale di rischio
1
PROGETTO DI INVESTIMENTO : - IMPORTO 3.000.000
- REDDITIVITA’ 15%
COPERTURA FINANZIARIA :
N° AZIONI
PAY OUT RATIO
UTILI
UTILI PER AZIONE
UTILI ATTESI
VALORE DELLE AZIONI
PREZZO DI EMISSIONE
- AUMENTO DI CAPITALE
1.000.000
100 %
2.000.000 (in assenza dell’investimento)
2
2.450.000 (2 ml + 0,15 * 3 ml)
10 (valore di mercato)
10
IL PROGETTO E’ CONVENIENTE ?
LA REALIZZAZIONE DEL PROGETTO FAREBBE
DIMINUIRE IL VALORE DI MERCATO DELLE AZIONI
(= distruggerebbe valore )
CAPITALE NECESSARIO
3.000.000
AZIONI DA EMETTERE
N° TOTALE AZIONI
UTILI ATTESI
UTILI PER AZIONE
300.000
1.300.000
2.450.000
1,88
IL REDDITO PRODOTTO DAL NUOVO INVESTIMENTO
NON E’ SUFFICIENTE A GARANTIRE ALLE NUOVE
300.000 AZIONI LO STESSO REDDITO CHE L’ATTUALE
CAPITALE INVESTITO OFFRE ALLE VECCHIE AZIONI
1
L’ AUMENTO DI CAPITALE SAREBBE
CONVENIENTE SOLTANTO SE IL NUOVO
INVESTIMENTO RENDESSE ALMENO IL 20 %
U/P = Ke
P = U/Ke
2 /10 = 0,20
1,88 / 10 = 0,18
1,88 / X = 0,20
X = 9,40
1,88 / 9,40 = 0,20
Perché gli investitori dell’esempio pretendono il 20% ?
Perché è il loro costo di opportunità: il mercato finanziario
quota al 20% gli investimenti finanziari che hanno quel livello
di rischio.
20% è il tasso di equilibrio che remunera il valore finanziario
del tempo (ip. rischio zero) ed, in aggiunta, il rischio assunto.
Nel sistema finanziario si trovano (in condizioni di equilibrio)
solo investimenti che pagano tempo e rischio, niente di più, (p er
effetto della concorrenza che tende ad aggiustare gli squilibri).
Le imprese hanno opportunità di investimento che rendono più
di quanto spiegato dal rischio, perché non tutti sono in grado
di replicare gli investimenti di impresa (vantaggi competitivi).
Non è evidentemente il caso dell’esempio. L’impresa propone
un investimento che rende meno del tasso-soglia.
INDICATORI
DI RISCHIO E DI RENDIMENTO
la Modern Portfolio Theory (MPT)
e
il Capital Asset Pricing Model (CAPM)
2
I CONCETTI - CHIAVE
DELLA LEZIONE
• La relazione RischioRischio-Rendimento
• La misurazione del rischio
• Dal singolo titolo al portafoglio
• Come ottimizzare le scelte di
portafoglio
• Il modello di Markowitz
Markowitz:: le formule
• Il modello a due indici
• La costruzione del portafoglio
efficiente per N titoli
La Relazione Rischio Rendimento
• Ipotesi fondamentale della MPT: gli investitori
sono avversi al rischio.
rischio
• la MPT ipotizza pertanto che esista una
relazione positiva tra rendimento atteso di
un investimento e rischio dell’investimento.
• Sono disponibili numerose conferme
empiriche
TITOLO A
rendimenti attesi
Rma
r1
r2
r3
r4
r5
0,14
0,13
0,12
0,11
0,10
probabilità
p
p
p
p
p
1
2
3
4
5
0,10
0,20
0,40
0,20
0,10
σσ
= 0,011
σσ
= 0,095
TITOLO B
rendimenti attesi
r1
r2
Rma r 3
r4
r5
0,30
0,20
0,12
0,04
- 0,06
probabilità
p
p
p
p
p
1
2
3
4
5
0,10
0,20
0,40
0,20
0,10
9
3
La Relazione Rischio Rendimento
Come selezionare singole attività
40%
Rendimento
(Media aritmetica dei tassi annui di
rendimento)
• a parità di rischio
scelgo quella con il
rendimento più alto
– A è preferibile a B
• a parità di
rendimento, scelgo
quella con il rischio
più basso
– C è preferibile a B
35%
30%
25%
20%
A
15%
10%
C
B
5%
0%
0%
5%
10%
15%
Rischio
(Dev.standard dei tassi di rendimento)
20%
Non sempre la scelta è possibile: come mi comporto
se le due attività hanno rischio e rendimento più elevato?
Tra A e C, cosa scelgo ?
Rma
σσ
Titolo A
0,12
0,011
Titolo B
0,12
0,095
Titolo C
0,14
0,110
Titolo D
0,10
0,008
Dominato da A
Non è più possibile scegliere tra A C D senza conoscere
la funzione di preferenza dell’investitore.
In realtà, il problema è più complesso: nessuno
investirebbe in un solo titolo !!
11
Cosa conviene fare ?
a) il titolo B non lo compra nessuno?
b) cosa succede se investo in una combinazione AB ?
esaminiamo l’ipotesi b) data la seguente situazione:
Titolo A
Titolo B
r = 12%
r = 12%
sigma = 1,1%
sigma = 9,5%
combiniamo un portafoglio con : 90% A e 10% B
4
• Il rendimento atteso del portafoglio è pari
alla media ponderata dei rendimenti, cioè
12%
• Il rischio dipende dal coefficiente di
correlazione esistente tra i rendimenti
La correlazione tra i rendimenti
ρ = +1
ρ= 0
ρ = -1
sigmaport = 1,94% (= media ponderata σa e σb )
sigmaport = 1,37%
sigmaport = 0,0004%
ê sempre a parità di rendimento atteso
L'EFFETTO CORRELAZIONE
25,00%
ATTIVITA' "B"
20,00%
RENDIMENTO
coeff.
correlazione
pari a -1
coeff.
correlazione
pari a 1
15,00%
correlazione
pari a 0
10,00%
ATTIVITA' "A"
5,00%
0,00%
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
VOLATILITA'
5
Dal singolo titolo al portafoglio
• Il rendimento di portafoglio è
sempre
uguale
alla
media
ponderata dei rendimenti delle
attività inserite
• Il rischio di portafoglio è minore
o
uguale
al
rischio
medio
ponderato delle attività inserite
Dal singolo titolo al portafoglio
In una logica di portafoglio, i criteri di
selezione cambiano: il portafoglio migliore
non è quello costituito dai titoli
singolarmente meno rischiosi o più redditizi.
Bisogna valutare la correlazione tra i
rendimenti dei diversi titoli.
17
Dal singolo titolo al portafoglio
(un altro esempio)
• 3 titoli: A, B, C
• 3 anni: 1, 2, 3
• I titoli hanno il seguente rendimento:
Titolo
A
B
C
Anno 1
5
0
30
Anno 2
10
10
5
Anno 3
15
20
-5
• Qual e’ il titolo migliore?
6
Dal singolo titolo al portafoglio
• Devo calcolare rendimento medio e
rischio dei tre titoli:
Titolo
A
B
C
Rendimento medio
10,0
10,0
10,0
Rendim. min. max.
tra 5,0 e 15,0
tra 0 e 20,0
tra 30,0 e -5,0
• Il rischio è intuitivamente rappresentato
dall’intervallo tra i possibili rendimenti
nei tre anni
» Il titolo A domina il titolo B
» Il titolo B domina il titolo C
Dal singolo titolo al portafoglio
Qual e’ il portafoglio migliore?
(NB. coppie di 2 titoli con il medesimo peso: 50%)
Rendimento
Portafogli
AB
BC
AC
Anno 1
2,5
15,0
17,5
Anno 2
10,0
7,5
7,5
Portafogli
Rischio
AB
BC
AC
Anno 3
17,5
7,5
5,0
Rendimento
medio
10,0
10,0
10,0
Rendimento massimo e
minimo
2,5 – 17,5
7,5 – 15,0
5,0 – 17,5
Dal singolo titolo al portafoglio
• Considerando rischio e rendimento dei
tre portafogli:
Titolo
AB
BC
AC
Rendimento medio
10,0
10,0
10,0
Diff. tra mass. e min.
15,0
7,5
12,5
1) Il portafoglio BC domina tutti gli altri, nonostante il titolo
A, il migliore tra i tre, non venga selezionato;
2) L’investitore ha convenienza a selezionare il portafoglio
BC rispetto all’acquisto del solo titolo A, nonostante il titolo
A domini entrambi gli altri titoli.
Verifica la correlazione tra BC e confrontala con AB e AC
(v. slide 19)
7
Dal singolo titolo al portafoglio
• La combinazione di due azioni i cui rendimenti
presentano una correlazione pari a +1 non
comporta alcun beneficio a livello di portafoglio:
il rischio rimane pari alla media ponderata.
• Per minimizzare il rischio di un investimento è
sufficiente detenere due titoli con rendimenti fra
loro indipendenti o correlati negativamente
La diversificazione di
portafoglio
Modalità
• Selezione ed immissione in portafoglio
di titoli caratterizzati da una
correlazione reciproca diversa dall’unità
Effetto
• In tal caso, il rischio del un portafoglio è
inferiore alla media dei rischi dei singoli
titoli considerati
La diversificazione di
portafoglio
Rischio = R sistematico + R specifico
• Rischio sistematico (di mercato) ⇒
Componente di rischio spiegata dalla
sensibilità del prezzo del titolo alle oscillazioni
di mercato
• Rischio specifico (diversificabile) ⇒
Componente di rischio spiegata da fattori
specifici dell’azienda emittente (investimenti,
dividendi, vicende aziendali, tassi di impiego)
8
La diversificazione di
portafoglio
Rischio
di
portaf.
Rischio specifico
-eliminabile-
Rischio totale
Rischio sistematico – non eliminabile-
0
Numerosità titoli
Come ottimizzare le scelte
di portafoglio
Obiettivo
Determinare la
composizione
ottima del
portafoglio titoli
Presupposti:
• conoscenza del grado di avversione al
rischio dell’investitore
• selezione dei titoli da immettere nel
portafoglio
Il modello di Markowitz
Scopo del modello:
• Definire il portafoglio ottimale in grado
di offrire il massimo rendimento atteso
per un dato livello di rischio o,
viceversa, il minimo rischio per un dato
valore di rendimento atteso
9
Il modello di Markowitz
Gli input del modello
Rendimento atteso titoli
Correlazione
lineare titoli
Rischio
titoli ( σ²)
Il modello a due indici
Posto...
X i à quota
di capitale destinata al titolo i-esimo
(Vincolo di budget à
∑i X i =1 con i=1, 2,...n)
Dato…
un portafoglio P composto dai due titoli A e B con
rendimenti attesi rispettivamente pari a E(RA) e
E(RB) e con quote di portafoglio rispettive pari a
(X) e (1- X),
Il modello a due indici
– Il rendimento complessivo di portafoglio µp:
µµ p =
E(Rp ) = X · E(R A) + (1-X) · E(RB)
– Il rischio indicato dalla varianza σ²p:
σσ ² p
= X²· σσ ² A+(1-X)²·σσ ² B+2·X·(1-X)) ·σσ A·σσ B·ρρ AB
dove
σ ²A : v a r i a n z a d e i r e n d i m e n t i d e l t i t o l o A
σ ²B v a r i a n z a d e i r e n d i m e n t i d e l t i t o l o B
σ A: deviazione standard del titolo A
σ B : deviazione standard del titolo B
ρ A B : correlazione tra i rendimenti RA e
R B.
10
Il modello a due indici
• Al variare della quota di
portafoglio del titolo A (X)
si ottiene una serie di punti
P(µ , σ) sul piano µ , σ
(media varianza), che
definisce la regione delle
opportunità di mercato.
Rendimento
Titolo A
µA
•
P* : portafoglio con
varianza minima.
P*
µ*
•
µB
0
•Titolo
σ ²*
σA
• Il contorno superiore di
tale insieme definisce la
frontiera efficiente
B
σB
Rischio ( σ )
La composizione di portafogli
efficienti con 3 titoli
Ipotesi : tre titoli A, B, C
AB: Frontiera efficiente titoli A e B.
BC: Frontiera efficiente titoli B e C.
La composizione di portafogli
efficienti con 3 titoli
µ
•
•
•
C
B
A
σ
11
La composizione di portafogli
efficienti con 3 titoli
• Se si considera il portafoglio D del tratto
AB, è possibile costruire un’altra
frontiera efficiente DC tra i titoli C e D.
La composizione di portafogli
efficienti con 3 titoli
µ
•
•
•
D
•
C
B
A
σ
La composizione di portafogli
efficienti con 3 titoli
• Gli archi di curva costruiti in base a tutte
le possibili ripartizioni tra titoli e
portafogli danno vita alla frontiera AC
relativa ai tre titoli.
12
La composizione di portafogli
efficienti con 3 titoli
µ
•
•
•
D
•
C
B
A
σ
La composizione di portafogli
efficienti con N titoli
Iterando
il
precedente
processo
di
costruzione N volte, si ottiene la frontiera
efficiente della regione delle opportunità ad
N titoli, i cui punti hanno coordinate (µ, σ ²)
individuate dalle seguenti formule.
E(R p) = ∑i E(R i) · X i
σ ²p= ∑ i X i²· σ ²(R i)+ ∑ i ∑ j X i·X j· σ(R i)· σ (R j)· ρi,j
con i,j=1, 2, …..n
La composizione di portafogli
efficienti con N titoli
Rendimento
Nel caso di più
titoli, il
procedimento è
complesso perché
vanno ricalcolate
tutte le coppie del
coefficiente di
correlazione
µ
0
P
σ
Rischio (σ )
13
La composizione di portafogli
efficienti con N titoli
Rendimento
Ora si pone un
altro problema:
quale portafoglio è
conveniente
scegliere tra quelli
efficienti ?
µ
0
P
Rischio (σ )
σ
La composizione di portafogli
efficienti con N titoli
Rendimento
A questo punto
dell’analisi, la
scelta può essere
soltanto
soggettiva:
dipende da quanto
rischio in più si è
disposti ad
accettare in cambio
di una unità di
rendimento in più
µ
0
P
Rischio (σ )
σ
Le curve soggettive di indifferenza
rischio/rendimento
E (R)
=
b
=
a
σσ
42
14