Esercizi aggiuntivi

Esercizio 1 Considerate la seguente scommessa: con probabilità p = 14 si
vincono 300 mentre con probabilità 1 − p = 43 si perdono 51. Supponete
che
√
un soggetto avverso al rischio, con la funzione di utilità u(x) = x, dove x
rappresenta la ricchezza complessiva, ha una ricchezza iniziale w0 = 100.
a) Se il soggetto è il proprietario della scommessa, quale è il minimo prezzo in
cambio del quale questi è disposto a “vendere” la scommessa?
b) Se lindividuo non è il proprietario della scommessa quale è lammontare massimo di denaro che sarebbe disposto a pagare per acquistare la scommessa?
c) Comparate i due risultati e commentate.
d) In quali condizioni il prezzo di vendita e il prezzo di acquisto sono uguali?
Esercizio 2 Ipotizzate che la vostra ricchezza attuale, w0 , sia pari a 100 e
che la vostra funzione di utilità sia u(x) = x2 , dove x rappresenta la ricchezza
complessiva. Avete un biglietto di lotteria che pagherà 44 con una probabilità
di 0,25 e pagherà 0 con probabilità 0,75. a) Calcolate il valore atteso di questa
lotteria.
b) Qualè la cifra minima per la quale sareste disposti a vendere questo biglietto?
Interpretate il risultato.
Esercizio 3 Bianchi ha unopportunità di investimento con una prospettiva di
guadagno di 42 con probabilità pari a 0,5 e con una prospettiva di perdita di 21
con probabilità 0,5.
√
a) Se la sua ricchezza iniziale è w0 = 102 e la sua funzione di utilità è u(x) = x
effettuerà linvestimento?
b) Lo effettuerebbe se fosse in società con altre due persone, ognuno prendendo
un terzo della scommessa (supponete che i soci hanno la stessa funzione di utilità
e ricchezza iniziale di Bianchi)?
Esercizio 4. In un dato sistema economico, tutte le case di proprietà sono
identiche e valgono 80000 euro l’una. Queste abitazioni rischiano di essere completamente distrutte da un’incendio, ma esiste una compagnia assicurativa che
offre polizze contro questo rischio. La probabilità che una data abitazione venga
colpita da un’incendio è p, un valore noto al proprietario della casa ma non
all’assicurazione. I valori di p variano da 0 a 0,4, ma si tratta di valori dati che
i proprietari non possono controllare. Per esempio, il signor Rossi ha una casa
nelle vicinanze di una foresta e per la sua abitazione p = 0, 1. Il signor Bianchi
inveceha una casa in periferia e per la sua abitazione p = 0, 03. La compagnia
assicurativa è neutrale al rischio e offre due tipi diversi di polizze. Il primo
prevede copertura completa, rimborsando al proprietario della casa 80000 euro
in caso di incendio contro un premio di assicurazione di 11600. Il secondo tipo
offre copertura parziale; il rimborso in caso di incendio ammonta a 58400 e il
premio è 5900. Ciò significa che un cliente che acquista questa polizza e non
subisce gli effetti di alcun incendio perde 5900 euro; in caso di incendio ottiene
invece 58400-5900=52500 euro. In questo sistema sociale tutti i proprietari delle
abitazioni massimizzano la loro utilità attesa e sono caratterizzati dalla stessa
1
funzione di utilità:
U (x) =
√
x + 10000
dove x è il guadagno netto della situazione, compreso il valore della casa qualora
non venga distrutta dall’incendio. Per esempio, un’agente
√ che acquista la seconda
polizza
e
non
subisce
i
danni
dell’incendio
ha
l’utilità
10000 + 80000 − 5900 =
√
√
84100
=
290
mentre
in
caso
di
incendio
ha
l’utilità
10000
+ 58400 − 5900 =
√
62500 = 250.
a) Tra le soluzioni disponibili (nessuna assicurazione, assicurazione totale, assicurazione parziale), quale sceglierebbe signor Bianchi?
b) Per quali valori di p i consumatori sceglierebbero di non assicurarsi? Per quali
valori di p sceglierebbero la copertura parziale? Per quali valori di p sceglierebbero la copertura completa? In base alle vostre risposte dovremmo essere in
grado di sapere quale sarebbe la scelta del consumatore per qualsiasi valore di p
compreso tra zero e uno. Non preoccupatevi per i valori di p per i quali esistono
dei vincoli.
c) Gli attuari della compagnia assicurativa basandosi sull’esprienza storica,
prevedono di vendere 100.000 polizze con copertura parziale, realizzando un
profitto medio di 1.228 euro e 5.000 polizze con copertura completa, realizzando
una perdita media di 12.400 euro. Il loro profitto netto derivante da questa
attività ammonterebbe quindi a
100.000 · 1.228 + 5.000 · (−12.400) = 60, 8 milioni di euro
Quale sarebbe il profitto netto se la compagnia offrisse solamente le polizze con
copertura parziale?
√
Esercizio 5 Ad un soggetto con la funzione di utilità u(x) = 100000 + x,
(x?100000) e ricchezza iniziale pari a 20000, viene offerta la possibilità di scegliere
tra le seguenti due lotterie:
1
Lotteria A: Il biglietto di lotteria costa 10000 euro e con probabilità 10
si vincono 90000 euro.
Lotteria B : Il biglietto di lotteria costa 80000 euro e con probabilità 41 si vincono
500000 euro.
a) Acquisterà questa persona un biglietto di lotteria? Se si, quale?
b) Se il soggetto potesse acquistare un biglietto di lotteria e vendere metà di
questo (cioé dividere con unaltra persona sia il costo che il guadagno) ad una
persona con la stessa ricchezza e funzione di utilità, quale’è il massimo prezzo
che potrebbe chiedere in cambio di metà della lotteria A? E per la lotteria B?
c) Senza effettuare calcoli supplementari spiegate se lutilità del soggetto iniziale
è maggiore quando: (i) non acquista alcuna lotteria; (ii) acquista una delle lotterie (quale?) e la tiene tutta per se stesso o (iii) acquista una delle lotterie
(quale?) e vende parti (“azioni”) di questa (senza pagamenti aggiuntivi, eccetto
per il costo corrispondente alla parte del biglietto acquistata). Spiegate le vostre
conclusioni.
2
Esercizio 6. Un imprenditore ha bisogno di un interprete per una traduzione
importante. L’unica persona in grado di farla può essere di due tipi: veloce
o lenta. Se è veloce, l’interprete riesce a tradurre 2 pagine all’ora. Se è lento
invece riesce a tradurre solo una pagina all’ora. Un’ora di traduzione implica
un costo pari a 10 per l’interprete a prescindere dal
√ suo tipo.
L’utilità che l’imprenditore ha dalla traduzione è n − w, dove n rappresenta il
numero di pagine tradotte e w rappresenta il compenso che l’imprenditore paga
all’interprete. L’utilità dell’agente è data dalla differenza tra la paga che riceve
per il suo lavoro è la sua disutilità dal lavoro. a) Supponiamo che l’imprenditore
è in grado di riconoscere il tipo di interprete. L’imprenditore propone i seguenti
contratti: se l’interprete è lento deve tradurre 50 pagine per una paga di 500
euro, mentre se l’interprete è veloce deve tradurre 80 pagine per una paga di
400 euro. Spiegate perché questo contratto è raggionevole.
b) Quale sarebbe il contratto ottimale in condizioni di informazione asimmetrica?
(N. B. Per poter risolvere questo esercizio si devono esprimere prima le utilità
di entrambe le parti in funzione delle stesse variabili, cioè esprimere l’utilità in
funzione di w e n. Cosi si possono distinguere i due tipi di agenti.)
Esercizio 7. Un fattore ha come sola fonte di reddito le proprie galline che
fanno 1000 uova al giorno; le uova vengono
√ vendute a 10 centesimi l’una. La
funzione di utilità del fattore è U (x) = x, dove x è il suo reddito giornaliero.
Ogni volta che trasporta le uova fuori dal pollaio egli ha il 50% di probabilità
di cadere e di romperle tutte. Ipotizzando che non dia alcun valore al proprio
tempo, il fattore godrà di un maggior benessere portandone 500 per volta in
due viaggi o tutte le uova in un solo viaggio?
Esercizio 8 . La casa di George vale 100.000 euro. Con probabilità With
probability 0,1% la casa sarà completamente distrutta dal fuoco.
(a) Se il premio di assicurazione è equo, qual’è il premio complessivo per assicurare la casa? (b) Se George non ha altri
√ beni e le sue preferenze sono
descritte dalla funzione di utilità u(x) = x, dove x è la ricchezza complessiva, qual’è il massimo ammontare di denaro che sarebbe disposto a pagare
per un’assicurazione completa? Spiegate perché i valori trovati ai punti (a) e
(b) sono diversi. (c) Supponete ora che la funzione di utilità di George sia
u(x) = x0.3 . Senza effettuare calcoli aggiuntivi, dite se la differenza tra il valore
trovato al punto b) e quello trovato al punto a) sarà maggiore o minore rispetto
alla situazione iniziale. Giustificate la vostra risposta. (d) Se la compagnia di
assicurazioni richiede
un premio unitario pari a 0.005 e George ha la funzione di
√
utilità u(x) = x, qual’è l’ammontare di assicurazione che George acquisterà?
Esercizio 8. Un soggetto deve prendere la seguente decisione in condizioni di
incertezza. Egli possiede beni per un milione di euro; la maggior parte, ossia
750.000 euro, sono costituiti da diritti nella propria casa; i rimanenti 250.000
euro sono assolutamente sicuri. Sfortunatamente esiste il rischio che l’abitazione
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venga distrutta in un incendio, con la conseguente perdita di tutti i 750.000
euro. Questa persona può tuttavia assicurare la propria abitazione contro il
rischio di incendio. Il premio dell’assicurazione ammonta a 40.000 euro e la
copertura assicurativa è completa; ciò significa che, se il soggetto sceglie di acquistare questa polizza assicurativa, la sua proprietà ammonterà a 960.000, a
prescindere dall’eventualità che scoppi l’incendio (la casa non è ipotecata, pertanto l’assicurazione pagherebbe la somma complessiva di 750.000 euro). La
probabilità di occorrenza dell’incendio è pari a 0,05.
a) Quale è il guadagno netto atteso di questa polizza per la compagnia assicurativa, ossia la differenza tra il premio e l’ammontare atteso da versare al cliente?
b) Se l’individuo in questione fosse neutrale nei confronti del rischio, egli acquisterebbe questa polizza assicurativa?
c) Se egli massimizzasse
l’utilità attesa e fosse caratterizzato dalla funzione di
√
utilità U (x) = x, dove x è la sua proprietà complessiva, egli acquisterebbe
l’assicurazione?
d) Supponete che la persona con le caratteristiche menzionate nella parte c)
possa acquistare un’assicurazione parziale, che funziona in questo modo: se acquista per esempio α assicurazione, dove α è una costante compresa tra 0 e 1,
egli deve pagare in anticipo il premio α × 40.000; quindi, in caso di incendio,
egli ottiene un pagamento dalla società assicurativa pari a α volte la perdita,
ossia in questo problema α × 750.000. Se può assicurare parzialmente la propria
abitazione, e in particolare, può scegliere il livello di assicurazione da acquistare,
quale livello sceglierebbe?
Esercizio 10 Considerate il seguente problema di selezione avversa. Il costo
marginale costante di un imprenditore per produrre il bene A è pari a 1 e il
√
payoff del consumatore dal consumare una quantit à q dello stesso bene è θ q.
Pertanto, se il consumatore acquista e consuma una quantità q del bene A e
√
paga t al venditore, i payoff sono di u(q, t) = θ q − t per il consumatore e
di Π(t, q) = t − q per il venditore. Il parametro θ è informazione privata del
compratore e può prendere uno tra due valori: θL = 6 e θH = 8. Il venditore
associa una probabilità pari a p = 21 all’evento θ = θL . L’utilità di riserva del
compratore è pari a 0.
∗
∗ ∗
, t∗H ) con informazione simmetrica
a) Trovare i contratti ottimali (qL
, tL ), (qH
(quando il valore del parametro θ è osservata anche dal venditore).
b) Trovare i contratti ottimali (qL , tL ), (qH , tH ) con informazione asimmetrica.
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