Analisi dei sistemi di controllo a segnali campionati
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Analisi dei sistemi di controllo a segnali campionati
Analisi dei sistemi di controllo a segnali campionati Controllo Digitale - A. Bemporad - A.a. 2007/08 Sistemi di controllo (già analizzati) Tempo continuo (trasformata di Laplace / analisi in frequenza) r(t)+ e(t) segnale - di errore uscita desiderata C(s) u(t) ingresso controllore analogico G(s) y(t) uscita impianto + attuatori + sensori Corso Progettazione Sistemi di Controllo t=variabile continua (=tempo) Tempo discreto (trasformata zeta) + r(k) uscita desiderata e(k) segnale - di errore C(z) controllore digitale u(k) ingresso G(z) y(k) uscita processo discreto k=variabile intera (=numero di intervalli di campionamento) Controllo Digitale - A. Bemporad - A.a. 2007/08 Tempo discreto vs. tempo continuo • Il processo da controllare è (quasi sempre) di tipo tempo-continuo: G(s) – Descritto da un modello ad equazioni differenziali (spesso lineari) – I segnali agli attuatori (es: tensioni elettriche ai motori) e le grandezze di uscita (es: temperature, pressioni, posizioni) variano con continuità nel tempo • Il controllore che viene implementato è (quasi sempre) di tipo tempo-discreto: C(z) – Più economico da implementare rispetto alla forma analogica (es. meno costoso delle reti elettriche RC+Op.Amp.) – Più economico da riprogrammare (es: firmware centralina auto) – Possibilità di time-sharing (più controllori, stesso hardware) – Più versatile (es: leggi di controllo non lineari, discontinue, ecc.) Controllo Digitale - A. Bemporad - A.a. 2007/08 Sistemi di controllo a dati campionati (sampled-data control systems) È quindi fondamentale analizzare il comportamento di un processo continuo in anello chiuso con un controllore digitale clock r(t)+ uscita desiderata e(t) segnale - di errore A/D e(k) C(z) u(k) controllore digitale D/A u(t) ingresso G(s) impianto + attuatori + sensori Controllo Digitale - A. Bemporad - A.a. 2007/08 y(t) uscita Legame fra variabili TC/TD clock r(t)+ e(t) uscita desiderata segnale A/D e(k) C(z) u(k) D/A u(t) ingresso - di errore y(t) G(s) uscita impianto + controllore digitale attuatori + sensori Il controllore digitale agisce con un tempo di campionamento T: legame fra le variabili tempo-continue e le variabili tempo-discrete u(t), u(k) e(t), e(k) t t Controllo Digitale - A. Bemporad - A.a. 2007/08 Pro e contro del controllo digitale Controllo a tempo continuo Controllo a tempo discreto r(t)+ e(t) A/D e(k) C(z) u(k) D/A u(t) G(s) r(t)+ y(t) C(s) u(t) G(s) y(t) - - • e(t) • Svantaggi – Segnali di controllo soltanto costanti a tratti – Retroazione dall’uscita soltanto agli istanti di campionamento – Possibile instabilità se T è troppo lungo Vantaggi – Retroazione continua dall’uscita (⇒ reazione tempestiva nei confronti di disturbi sull’uscita) – Segnali di controllo non necessariamente costanti a tratti • Svantaggi • Vantaggi – Economicità, versatilità – Più difficili da implementare, meno versatili Controllo Digitale - A. Bemporad - A.a. 2007/08 Sistemi di controllo a dati campionati (sampled-data control systems) clock r(t)+ uscita desiderata e(t) segnale - di errore A/D e(k) C(z) u(k) u(t) D/A ingresso y(t) G(s) uscita impianto + controllore digitale attuatori + sensori Possibilità di analisi: 1. Trattare il sistema G(s) come fosse un sistema a tempo-discreto, ignorando il comportamento nell’inter-sampling (punto di vista del controllore) Analisi nel discreto 2. Modellare il controllore digitale come controllore a tempo-continuo (punto di vista del processo) Analisi nel continuo 3. Analisi puramente simulativa per via numerica (es: Simulink) (con le dovute cautele nell’interpretazione dei risultati) Controllo Digitale - A. Bemporad - A.a. 2007/08 Analisi nel discreto - Campionamento esatto y(t), y(k) 1 Controllo Digitale - A. Bemporad - A.a. 2007/08 u(t), u(k) Campionamento esatto (Review) Controllo Digitale - A. Bemporad - A.a. 2007/08 Campionamento esatto (Review) In Matlab: sys=ss(A,B,C,D); sysd=c2d(sys,T); [Ab,Bb,Cb,Db]=ssdata(sysd); Controllo Digitale - A. Bemporad - A.a. 2007/08 Analisi a tempo discreto Avendo trasformato il sistema G(s) nel suo equivalente a tempo-discreto G(z) abbiamo ricondotto l’analisi del sistema ad anello chiuso a dati campionati all’analisi di un anello di retroazione a tempo discreto (“modello stroboscopico”): + r(k) uscita desiderata e(k) segnale - di errore u(k) C(z) ingresso controllore digitale y(k) G(z) uscita equivalente a dati campionati del processo NB: l’analisi di stabilità/prestazione/simulazione non tiene conto di cosa accade al processo fra un tempo di campionamento e l’altro (intersampling) Controllo Digitale - A. Bemporad - A.a. 2007/08 Analisi a tempo continuo clock r(t)+ uscita desiderata e(t) segnale A/D e(k) C(z) u(k) - di errore controllore digitale D/A u(t) ingresso G(s) impianto + attuatori + sensori Vogliamo analizzare il comportamento dell’anello chiuso a tempo continuo: • Capire il comportamento anche durante l’intersampling • Analisi nel dominio della frequenza (es: comportamento nei confronti di rumori additivi sull’uscita) Controllo Digitale - A. Bemporad - A.a. 2007/08 y(t) uscita Modello matematico del mantenitore u(t) Mantenitore di ordine zero (Zero Order Holder, ZOH) u(k) GZOH(s) u(t) Consideriamo il mantenimento di un segnale impulsivo unitario: g(t) δ( t ) clock GZOH(s) t t u(k) i(t) R T Campionatore La funzione “impulso rettangolare”di ampiezza T è data da C u(t) la cui trasformata di Laplace risulta essere Controllo Digitale - A. Bemporad - A.a. 2007/08 Risposta in frequenza dello ZOH 1 0.9 Filtro ideale ZOH 0.8 Oltre ad attenuare anche in banda passante, lo ZOH introduce un ritardo di fase 0.7 0.637 0.6 0.5 0.4 Lo ZOH è un filtro passa-basso (non ideale) 0.3 0.2 0.1 0 − 3ω s − 2ω s −ω s − ω 2 s 0 ω 2 s ω s 2ω s 3ω s Controllo Digitale - A. Bemporad - A.a. 2007/08 Modello matematico del mantenitore u(t) Calcoliamo il legame esistente fra i campioni u(k) e u(t): u(k) GZOH(s) u(t) passando alle trasformate di Laplace: dove è la trasformata zeta dei campioni u(k). Essendo , si ottiene: dove è la trasformata zeta dei campioni e(k). Controllo Digitale - A. Bemporad - A.a. 2007/08 Richiami sul teorema di Shannon Segnale originale Segnale ricostruito Segnale campionato e(k) e(t) e(t) Campionatore e(t) ricostruzione di Shannon e(k)=e(kTs) e(t) Claude E. Shannon (1916 – 2001) Controllo Digitale - A. Bemporad - A.a. 2007/08 Effetto del campionamento e(t) e*(t) segnale continuo campionamento Controllo Digitale - A. Bemporad - A.a. 2007/08 Modello matematico del controllore e(t) u(t) e(t) GZOH(s) u(t) Calcoliamo il guadagno in continua dello ZOH: Nel caso in cui e(t) ≡ 1, dovrà essere u(t) ≡ 1, quindi il campionatore dovrà avere guadagno in continua pari a 1/T. In conclusione: (Ricorda: il risultato vale per E(jω)≈0 per ω ≥ π/T) Controllo Digitale - A. Bemporad - A.a. 2007/08 Analisi in frequenza r(t)+ e(t) u(k) u(t) G(s) y(t) controllore digitale processo Possiamo adesso analizzare il sistema a dati campionati mediante strumenti del dominio della frequenza (per studiare ad esempio la sensitività rispetto al rumore). Controllo Digitale - A. Bemporad - A.a. 2007/08 Appendice: Modello matematico ZOH Controllo Digitale - A. Bemporad - A.a. 2007/08 Appendice: Modello matematico ZOH e(t) Segnale originale A/D Segnale ricostruito Segnale campionato e(k) e(t) e(k) e(t) Campionatore e(t) e(k)=e(kT) filtro passa basso ideale e(t) Controllo Digitale - A. Bemporad - A.a. 2007/08 Appendice: Modello matematico ZOH δ*(t) Portante Segnale digitalizzato Segnale modulato e*(t) e(t) e(t) eh(t) e*(t) GZOH(s) eh(t) • Interpretazione: δ(kT) rappresenta la corrente impulsiva che scorre nel circuito elettrico di sampling durante la chiusura dell’interruttore Controllo Digitale - A. Bemporad - A.a. 2007/08 Appendice: Modello matematico ZOH δ*(t) Portante Segnale da campionare Segnale digitalizzato Segnale modulato e*(t) e(t) eh(t) GZOH(s) e*(t) e(t) eh(t) Controllo Digitale - A. Bemporad - A.a. 2007/08 Modello matematico del mantenitore δ*(t) Portante Segnale da campionare Segnale digitalizzato Segnale modulato e*(t) e(t) e(t) eh(t) e*(t) GZOH(s) eh(t) g(t) δ( t ) t GZOH(s) t T Controllo Digitale - A. Bemporad - A.a. 2007/08