(x,y) ∈ ℜ : g (x,y) ≤ 0

Proprietà
Insiemi CONVESSI
P1 : Se g è una funzione convessa allora
S = { (x,y) ∈ ℜ2 : g (x,y) ≤ 0 }
è un insieme convesso.
P2 : Se Si sono insiemi convessi i=1,..,m allora
S = ∩ Si è un insieme convesso.
P3 : Se gi i =1,...,m sono funzioni convesse allora
S = { (x,y) ∈ ℜ2 : gi(x,y) ≤ 0, i =1,..,m } è convesso.
Si = { (x,y) ∈ ℜ2 : gi(x,y) ≤ 0 } allora S = ∩ Si
Condizioni sufficenti di ottimalità di K-T
Date f: A ⊆ℜ2 →ℜ, f e gi i =1,..,m differenziabili su A
Max / Min f(x,y) (x,y)∈ S
S = { (x,y) ∈ ℜ2: gi(x,y) ≤ 0, i =1,..,m }.
Teorema (Condizione sufficiente di ottimalità di KT)
Data f una funzione CONVESSAe le gi, i =1,...,m funzioni
convesse [cioe’ S e’ un insieme convesso],
se (x0, y0) ∈ S verifica le condizioni di KT con λi ≤ 0,
i =1,..,m allora (x0, y0) è un punto di MINIMO assoluto
per f su S.
Data f una funzione CONCAVA e le gi, i =1,...,m sono
funzioni convesse [cioe’ S e’ un insieme convesso],
se (x0, y0) ∈ S verifica le condizioni di KT con λi ≥0
i =1,..,m allora (x0, y0) è un punto di MASSIMO assoluto
per f su S.
Teorema :
Data f una funzione CONVESSA e le gi, i =1,...,m
funzioni convesse [cioe’ S e’ un insieme convesso],
se (x0, y0) ∈S è un punto di minimo relativo allora
(x0, y0) è un punto di MINIMO assoluto per f sulla S
Dim.
f è CONVESSA su S convesso se e solo se
⎡ x−x ⎤
0
⎥
f(x,y) ≥ f(x0,y0) + [∇f(x0,y0) ]T ⎢
⎢⎣ y − y0 ⎥⎦
∀(x,y)∈S, ∀ (x0,y0) ∈ S insieme convesso.
Per ipotesi, (x0, y0) ∈ S è un punto di minimo relativo per f
su S allora possiamo avere
i) (x0, y0) ∈ S punto interno alla S allora per la
condizione necessaria del I° ordine ∇f(x0, y0) = 0
poichè f è convessa implica (x0, y0) minimo assoluto.
ii) (x0, y0) ∈ S punto di frontiera di S, supponiamo per
assurdo che (x0, y0) sia di minimo relativo ma non
assoluto.
Quindi esiste (x*,y*) ∈S tale f(x*,y*) < f(x0, y0) allora
⎡
⎤
T ⎢ x − x0 ⎥
f(x,y) ≥ f(x0,y0) + [∇f(x0,y0) ]
∀(x,y) ∈ S,
⎢⎣ y − y0 ⎥⎦
⎡
⎤
T ⎢ x * −x0 ⎥
f(x*,y*) ≥ f(x0,y0) + [∇f(x0,y0)]
⎢⎣ y * −y0 ⎥⎦
⎡ x * −x ⎤
0
⎥
f(x*,y*) - f(x0,y0) ≥ [∇f(x0,y0)] ⎢
⎢⎣ y * −y0 ⎥⎦
Poichè f(x*,y*) - f(x0,y0) <0 allora
⎡ x * −x ⎤
0
⎥<0
[∇f(x0,y0)]T ⎢
⎢⎣ y * −y0 ⎥⎦
⎡ x * −x ⎤
0
⎥ è la direzione della retta che passa
ma d = ⎢
⎢⎣ y * −y0 ⎥⎦
per (x*,y*) e (x0,y0),
⎡
⎤
T ⎢ x * −x0 ⎥
e ϕ’d (0) = [∇f(x0,y0)]
<0
y
*
−y
⎢⎣
0 ⎥
⎦
questo significa che d è una direzione ammissibile (in
quanto S è un insieme convesso) di decrescita locale per f
su S uscente dal punto (x0,y0). Assurdo in quanto (x0,y0) è
un punto di minimo relativo.
T
Data f una funzione CONCAVA e le gi, i =1,...,m funzioni
convesse [cioe’ S e’ un insieme convesso],
se (x0,y0) ∈S è un punto di massimo relativo allora (x0,y0)
è un punto di MASSIMO assoluto per f su S