Simulazione Test d`Ingresso all`Università

. 1) Siano x e y due numeri reali tali che 2 <i; < 3 e 6 < y < 8. Allora
a)l<~<~·
3
y
8 )
O
o
b) l4 <
~
O
e) l2 <
~y
o
d) i<~<
.
y
< }2 .
< ~8)
1
2) Il polinomio a 4
O
O
O
O
-
tb4 + 2ab(a 2
-
b2 ) si fattorizza in
a) (a-b) 3 (a+b)
b) (a3 - b3 )(a - b) ;
e) (a+b) 3 (a-b);
d) (a - b) 2 (a + b) 2 .
3) Dividendo un nùmero formato da due cifre per la cifra delle decine si ottiene per quoziente 14 e rest o l.
Sapendo che la somma delle cifre è 11 il numero dato è
O
o
O
o
a)
b)
e)
d)
92 ;
15;
29;
38.
4) Disporre in ordine decrescente i seguenti numeri reali: cos ( ~ ), log 1 ./2, :;f, 30, (1 ,002)
2
O
a) 30, :;f , log~ ./2, (1, 002)
O
b) 30, (1,002)
3
,
(1,002)
i, 30,
(1, 002)
e) 30,
O
d)
,
cos (~)
i, cos (~) , log1 ./2 ;
i,
O
3
3
2
3
,
cos ( ~) , log1
2
3
,
./2 ;
cos (~), log1 ./2
2
.
5) Siano a e b due nwneri reali. Quale delle seguenti uguaglianze è vera?
o
a)M = a3 ../b ;
b) M = lal3 ../b;
D
e)
o
dJM=a 3 b.
O
M
= a.Jctrb;
.
1
-- .... -
6) La disequazione
1 + lxl >O
l+x
è verificata
O
O
O
O
a} da tutti i numeri reali x tali che x > - 1 ;
b) da tutti i numeri reali x tali che -1 < x < 1 ;
e) da tutti i numeri reali x tali che x
> 1;
d) da tutti i numeri reali.
7) La disequazione
è verificata per
0
o
O
O
a) X= 0 i
b) X> O;
e) x < O;
d) nessun numero reale.
8) La disequazione irrazionale
Jx
2
-
5x <
x -3
è verificata p er
0
0
0
0
a)
b)
e)
d)
X< 9;
5 :S: X< 9 i
3 :S: X < 9;
X> 3.
9} La disequazione
1
-> 1
cos2 x -
è verificata
O
O
a) per ogni valore di x;
b) solo per x = 7f /4;
e) solo per x = 2k7f, k intero;
O
d) per ogni x
O
i- 7f/2 + k1f,
k intero.
ta) Sia x un numero reale negativo. Il log 2 (4x 2 ) è uguale a
O
a}2log 2 (4x) ;
O
b) 2log2 (2x);
e) 2+2log2 (-x);
d} 2 + 2log2 (x).
O
O
2
11) La disequazione
Vx 2 -
5x:::; O
è verificata per
0
0
O
O
a) Q '.S X '.S 5 j
b} X '.S 0, X 2". 5 j
e) nessun valore dix;
d) solo per x = O e x = 5.
12) Uno studente universitario ha superato 4 esami ed ha la media di 24. Qual è il voto minimo che lo studente
dovrà prendere all'esame successivo a:ffinchè la media diventi almeno 25.
O
o
O
O
a)26;
b}29 ;
e) 30;
d) nessuna delle risposte precedenti è corretta.
13) Le rette di equazioni 3x + 4y = O e 4x - 3y + 1 =O sono
O
a) parallele e distinte;
O
O
b)coincidenti ;
e)perpendicolari ;
O
d)passano entrambe per l'origine degli assi .
14) Sia f(x) = sx . Allora f(x
O
a) 5;
o b) 5. sx;
O
e) l;
O
+ 1) -
J(x) è uguale a
d}4 · 5x .
15) Sia R la famiglia di rette di equazione 3y - 6m + mx + 3
affermazioni è falsa. Quale?
= O,
con m parametro reale. Solo una delle seguenti
D
O
a)Tutte le rette di R passano per il punto (6, -1) ;
b) esiste una sola retta di. R passante per il punto (1, 1) ;
e) la retta di R che passa per l'origine si ottiene per m = O;
O
d) la retta di R parallela all'asse delle ascisse si ottiene p er m = O..
O
3
l 6) Il numero
sin 72° + cos 162°
è uguale a
a)
b}
e)
d}
O
O
O
O
l;
O;
1/2;
è irrazionale.
l 7) Il sistema
a)
b)
e)
d)
O
O
O
O
3x + y =O
{ 3J2x + J2y = J2
è indeterminato;
non ha soluzioni; .
(O, O) è l'unica soluzione;
(1, -3) è l'unica soluzione.
l 8) Un rettangolo di lati 8a e 4a è inscritto in una circonferenza. Quanto vale la lunghezza della circonferenza?
a) SJ21ra;
b) 4./57ra;
O
O
e) 8./57ra;
d} v'207ra.
O
O
l 9) Dato il quadrato ABCD sia P un punto ad esso interno. Se il triangolo AP D è equilatero qual è la misura in
radianti dell'angolo convesso BPC?
a)
b}
e)
d}
D
o
O
O
2/37r;
5/67r;
7/67r;
dipende dalla misura del lato del quadrato.
W) Un'urna contiene 300 palline di tre colori: rosso, verde e giallo. Le palline gialle sono 54, il numero di palline
rosse supera di 26 il numero di palline verdL.Quante sono le palline verdi?
o
a)l37;
·D
b) 111;
e) 136;
d) 110.
o
o
J
4
.1) Tre motociclisti partono contemporaneamente. Per percorrere l'intero circuito il primo motociclista impiega
90 secondi, il secondo 75 secondi e il terzo 60 secondi.
Quando passeranno insieme la prossima volta dal punto di partenza?
O
O
O
O
· a) dopo 90 secondi;
b) dopo 225 secondi;
e) dopo 15 minuti;
d} dopo 30 minuti.
Spiega come hai ragionato.
2} Un'aiuola ha la forma di due cerchi che si intersecano.Sapendo che i due cerchi hanno raggi 1e3 rispettivamente
e che l'area della regione comune ai due cerchi
l07r;
o
a)
b}
O
e)
19 7r .
2
)
o
d}
87r.
O
è~,
qual è l'area dell'aiuola?
177r.
2
)
··Spiega come hai ragionato.
5
3) In una stanza ci sono 77 persone. Di queste, 45 parlano inglese e 60 sono ragazze. Determinare, sulla base di
questa sola informazione, quale delle seguenti situazioni è impossiblle.
O
O
O
O
a)le ragazze che parlano inglese sono esattamente 20 ;
b) nessuno dei ragazzi parla inglese ;
e) tutti i ragazzi parlano inglese;
d) il numero delle ragazze che parlano inglese è maggiore del numero dei ragazzi che parlano inglese .
Spiega come hai ragionato.
4) In una scuola elementare, composta da 250 alunni, sono stati attivati due corsi pomeridiani, u:µo di spagnolo
e uno di nuoto . Si sa che 200 alunni frequentano il corso di spagnolo, 199 il corso di nuoto, 21 nessuno dei due
corsi. Quanti alunni frequentano entrambi i corsi?
o
o
o
o
a)229 ;
b)l 70 ;
e) 199;
d) 30.
Spiega come hai ragionato.
5) Sia n un numero naturale, 2 ~ n
~
6 verificante una ed una sola delle seguenti affermazioni: .
n e'. divisibile per 6
n e )''divisibile per 2
n e) divisore proprio di 6.
•r
Qual e' il valore di n?
O
o
O
o
a) 2;
b) 5 ;
e) 6;
d) 4.
Spiega come hai ragionat o.
6
6) Sia f (x) la funzione che ha il grafico indicato in figura
f(x)
1
=
~
----1
I
I
I
1
-1
Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
O
O
O
O
a) Comunque si scelga M >O esiste un c5 >O tale che f(x) > M se O < .x <o ;
b}Comunque si scelga M <O esiste un c5 <O tale che f(x) < M se o< x <O ;
e) Esiste M > O tale che - M :'.S f(x) :'.S M per ogni x =I= O;
d} Esistono M, o> O tali che f(x) :'.S M per ogni x > c5 .
Spiega come hai ragionato.
7
1) Giovanni si prepara all'ultimo compito in classe di matematica. Se prend~rà 10 avrà la media del 9, se prenderà
5 avrà la media dell'8. Quanti compiti, compreso l'ultimo, farà Giovarlni.
O
o
O
o
a)
b}
e}
d}
2;
3;
4;
5.
Spiega come h ai ragionato.
8} Dati gli insiemi A= { x E JR: x 2 - 4x + 3 2: O}, B = {x E JR: 2x + 1 > O} e C = {x E JR: lx+ li < 3}, quale
delle seguenti affermazioni è falsa?
O
a) AUB =lR;
o
bJ B
O
O
c)AnBnC={xEJR:-~ <x< l};
u e = {x E JR : x >
-4} ;
d}AUC={x E IR:x < 2o x2: 3}.
Spiega come hai ragionato .
8
9) Una scala apribile a pioli chiusa è alta 2 m. Quando è aperta è inclinata di 30° rispetto al pavimento. Quanto
dista il perno dal pavimenta?
O
O
D
D
a) 2 rh;
b) 1 m;
e) circa 1,73 m;
d} nessuna delle precedenti risposte è corretta.
Spiega come hai ragionato.
10} L'equazione
vx=-1 -
k 2 + 2k -1 =O nell'incognita x, con k parametro reale ha soluzioni
O
a) per ogni valore di k;
O
b) solo per valori di k non negativi; ·
O
e) solo per valori positivi di k;
O
d} solo per k
= 1.
Spiega come hai ragionato.
9
1. COMPRENDERE UNA DEFINIZIONE
n questa sezione si pone una definizione e si chiede di portare esempi di oggetti che la verificano e esempi di oggetti
non la verificano.
finizioile 1. Un sottoinsieme X del piano si dice convesso se comunque si scelgono due punti distinti di X il
che li congiunge è contenuto in X.
~mento
(1) Portare almeno un esempio di insieme convesso.
(2) Stabilire, motivando la risposta, quali tra i seguenti insiemi sono non convessi.
10
o
11
.
(3) Completare la seguente definizione: Un insieme è non convesso se .. . .. .
( 4) Stabilire, giustificando la risposta, se le seguenti affermazioni sono vere o false.
• l'unione .di due insiemi convessi è sempre un insieme convesso
O
• l'intersezione di due insiemi convessi è sempre un insieme convesso
• Il complementare di un insieme convesso è sempre un insieme convesso .
o
O
12
2. DIMOSTRARE UN TEOREMA
Dimostrare i seguenti fatti :
~orema
1. La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale ad un angolo piatto.
mrema 2 . La somma degli angoli interni di un poligono convesso con n lati è uguale ad (n - 2) angoli piatti.
13
--
__ -
_.
--.. .....
-
tabilire, motivando la risposta, se le seguenti affermazioni sono vere o false:
(1) La somma degli angoli interni di un esagono è uguale a 720°.
O
Motiva la risposta data
(2) Se la somma degli angoli interni di un poligono convesso è 900° allora
il poligono è un ottagono.
O
Motiva la risposta data
(3) Esiste un poligono convesso in cui la somma degli angoli interni è 980°.
o
Motiva la risposta data
(4) Sia P un poligo'no convesso.
La condizione
La somma degli angoli interni di P è Uguale a 180°
è necessaria affinchè
P è un triangolo
O
Motiva la risposta data
(5) Sia P un poligono convesso.
La condizione
La somma degli angoli interni di P è uguale a 180°
è sufficiente affinchè
P è un triangolo .
o
Motiva la risposta data
14
)blema 2. Determinare l'insieme delle soluzioni della disequazione
X
- x- 1
>
Q
Usoluzione.
chè -x - 1 è sempre negativo si ha:
X
-X_
l > 0 {=::?-
X
< 0.
tanto, l'insieme delle soluzioni è
{xEIR. :x< O}.
)blema 3. Determinare l'insieme delle soluzioni della disequazione
x 2 - 2x - 3
- - - - >0
~
lisoluzione.
chè ~ è sempre maggiore di O si ha:
x 2 - 2x - 3
- - - - -vf':c -1
tanto, l'insieme delle soluzioni
e
> 0 {=::?- X 2 -
2x - 3
>0
.
{x E JR. : x < - 1 o x > 3} .
15
3. CORREGGERE UN RAGIONAMENTO SBAGLIATO
Nella risoluzione dei seguenti esercizi sono stati commessi degli errori. Individuali e proponi la risoluzione corretta.
:oblema 1. Determinare l'insieme delle soluzioni della disequazione
Vx
2 -
3x S -2
Risoluzione.
evando al quadrato ambo i membri della disequazione si ottiene:
Vx 2 -
3x S -2 {=::=:;> x 2
-
3x S 4
{=::=:;>
x2
-
3x - 4 S O.
:rtanto, l'insieme delle soluzioni é
{xElR:xS-1 o x2:4}.
-·-·---
--- ----16
--