Esempi vari di prove - Scuola e formazione

Domande stimolo
1. A quale area di contenuto appartiene la prova considerata?
2. A quale livello di difficoltà appartengono ciascuna delle tre
domande?
3. Cosa devono sapere e saper fare gli studenti per
rispondere ai diversi quesiti?
4. Quale, secondo voi, è risultata, per ciascuna domanda, la
percentuale di risposte esatte fornite dai quindicenni italiani?
5. Qual è, secondo voi, per ciascuna domanda l’errore più
probabile commesso da uno studente quindicenne?
6 Ritenete la prova utilizzabile nella realtà scolastica in cui
operate? (motivare brevemente la risposta)
SKATEBOARD (OCSE)
Enrico è un grande appassionato di skateboard. Visita un negozio che si
chiama SKATER per controllare alcuni prezzi.
In questo negozio puoi comprare uno skateboard completo, oppure puoi
comprare una tavola, un set di 4 rotelle, un set di 2 blocchi e un set di
accessori per montare il tuo skateboard.
I prezzi dei prodotti del negozio sono:
Domande 1A e 1B: SKATEBOARD
Enrico vuole montare da solo il suo
skateboard. In questo negozio, qual
è il prezzo minimo e il prezzo
massimo degli skateboard «fai da
te»?
Domanda 2: SKATEBOARD
Il negozio offre tre tipi diversi di tavole,
due tipi di set di rotelle diversi e due
tipi di set di accessori. C’è solo una
possibilità per il set di blocchi.
Quanti skateboard diversi può
costruire Enrico?
(a) Prezzo minimo:
.................................zed
(b) Prezzo massimo:
..............................zed
A6
B8
C 10
D 12
Domanda 3: SKATEBOARD
Enrico può spendere 120 zed e vuole comprare lo skateboard più costoso che si
può permettere.
Quanto può permettersi di spendere Enrico per ciascuno dei 4 pezzi?
Scrivi la tua risposta nella tabella qui sotto.
Pezzo
Tavola
Rotelle
Blocchi
Accessori
Importo (zed)
Descrizione item quesito 1 Skateboard
Idea chiave: quantità
Livello di difficoltà dell’item: punteggio pieno 496 (Livello 3 sulla scala
complessiva di literacy in matematica)
punteggio parziale 464 (Livello 2 sulla scala complessiva di literacy in
matematica)
Descrizione item quesito 2 Skateboard
Idea chiave: quantità
Livello di difficoltà dell’item: 570 (Livello 4 sulla scala complessiva di
literacy in matematica)
Descrizione item quesiti 3 Skateboard
Idea chiave: quantità
Livello di difficoltà dell’item: 554 (Livello 4 sulla scala complessiva di
literacy in matematica)
2°ipotesi di lavoro:
cambiamo il punto di vista...
Alcune risposte di studenti di una classe prima di Scuola Secondaria
di1°Grado: cosa ci dicono?
OCSE - PISA
Il consiglio comunale ha
deciso di mettere un
lampione in un piccolo
parco triangolare in modo
che l’intero parco sia
illuminato.
Dove dovrebbe essere
collocato il lampione?
AREA DI CONTENUTO:
SPAZIO E FORMA
Quali caratteristiche e quale strategia risolutiva?
1. Partire da un problema reale.
Occorre localizzare il punto di un parco in cui mettere un lampione.
2. Strutturare il problema in base a concetti matematici.
Il parco può essere rappresentato come un triangolo e l’illuminazione di un
lampione come un cerchio con il lampione al centro.
3. Isolare progressivamente il problema ritagliandolo dalla realtà
attraversoprocessi quali il fare supposizioni sulle caratteristiche
essenziali del problema stesso, il generalizzare e il formalizzare
(mettendo così in evidenza gli aspetti matematici della situazione e
trasformando il problema reale in un problema matematico che
rappresenti fedelmente la situazione).
Il problema viene riformulato in: “localizzare il centro del cerchio circoscritto al
triangolo”.
4. Risolvere il problema matematico.
Poiché il centro di un cerchio circoscritto a un triangolo giace nel punto di
incontro degli assi dei lati del triangolo, occorre costruire gli assi di due lati del
triangolo. Il loro punto di intersezione è il centro del cerchio.
5. Infine, tradurre la soluzione matematica nei termini della situazione
reale.
La soluzione trovata viene applicata alla situazione del parco reale. Occorre
ragionare sulla soluzione e riconoscere che se uno dei tre angoli fosse
ottuso, la soluzione non sarebbe appropriata, poiché il lampione dovrebbe
essere collocato fuori dal parco. Occorre anche riconoscere che l’ubicazione
e la dimensione degli alberi nel parco sono altri fattori che influiscono
sull’utilità della soluzione matematica.
OCSE
a scelta multipla
LA FOCA
Una foca deve respirare anche mentre
dorme. Martino ha osservato una foca per
un’ora. All’inizio della sua osservazione, la
foca si è immersa nel fondo del mare e ha
cominciato a dormire.
Durante gli 8 minuti successivi è ritornata
lentamente a galla e ha preso fiato.
Dopo tre minuti era nuovamente sul fondo
del mare e l’intero processo si è ripetuto in
modo molto regolare.
Dopo un’ora, la foca stava:
A. sul fondo del mare.
B. risalendo a galla.
C. prendendo fiato.
D. scendendo sul fondo.
Sulla base dell’esperienza del primo ciclo di PISA (2000), i quesiti a scelta
multipla sono generalmente considerati più adatti per valutare i raggruppamenti
di competenze della riproduzione e delle connessioni.
L’esempio 15 mostra un quesito che riguarda il raggruppamento di competenze
delle connessioni e che ha un numero limitato di alternative.
Per risolvere questo problema gli studenti devono tradurlo in termini matematici,
mettere a punto un modello per rappresentare la scansione periodica descritta
nel contesto e ripetere la sequenza estendendo il modello in modo da far
combaciare il risultato con una delle opzioni proposte.
Esempio di quesito a risposta aperta univoca
Matematica: esempio 16 - MARATONA DI ROTTERDAM
Tepla Loroupe ha vinto la maratona di Rotterdam nel 1998. “È stato
facile”, ha detto, “il percorso era quasi pianeggiante”.Qui è mostrato un
grafico delle variazioni altimetriche del percorso della maratona di
Rotterdam:
Quale era la differenza tra il punto più alto e quello più basso del
percorso?
________________ m
I quesiti a risposta aperta univoca consentono di porre lo stesso tipo di
domande dei quesiti a scelta multipla, ma gli studenti
devono produrre una risposta che può essere facilmente classificata come
corretta o errata. Per i quesiti che hanno questo formato, è più improbabile
che lo studente tiri a indovinare e non è necessario fornire informazioni
plausibili errate (che influenzano il costrutto che si sta valutando). Per esempio,
nel problema presentato nell’esempio 16 c’è una risposta corretta e molte
possibili risposte errate.
In OCSE vengono proposti “problemi autentici”:
È da notare che il termine “autentico” non vuole qui significare che i
quesiti di matematica siano in un certo senso genuini e reali. Nella
matematica dell’OCSE/PISA il termine “autentico” indica che l’uso della
matematica è realmente funzionale alla risoluzione del problema e che
quindi il problema non è una semplice occasione di esercizio
matematico.
Processi di matematizzazione
Il progetto OCSE/PISA esamina la capacità degli studenti di analizzare,
ragionare e comunicare idee matematiche in modo efficace nel momento in
cui pongono, formulano, risolvono problemi matematici e ne interpretano le
soluzioni.
Tale attività di analisi e soluzione di problemi richiede, da parte degli
studenti, l’uso di abilità e competenze acquisite attraverso il percorso
scolastico e l’esperienza.
Nell’indagine OCSE/PISA, si usa il termine “matematizzazione”
per riferirsi a un processo fondamentale del quale gli studenti si servono
per risolvere problemi della vita reale.
IL CICLO DI MATEMATIZZAZIONE
5
Soluzione
reale
5
Soluzione
matematica
4
Problema del
mondo reale
1,2,3
Problema
matematico
1. Si parte dal problema situato nella realtà
2. Si organizza il problema in base a concetti
matematici e si identificano gli strumenti
matematici pertinenti
3) Si ritaglia progressivamente la realtà
attraverso processi quali il fare supposizioni, il
generalizzare e il formalizzare il problema,
che mettono in evidenza le caratteristiche
matematiche della situazione e trasformano il
problema reale in uno matematico che
rappresenti fedelmente la situazione di
partenza.
4) Si risolve il problema matematico.
5) Si interpreta la soluzione matematica nei termini della situazione
reale, individuando anche i limiti della soluzione proposta.
C21 (INValSI)
NUCLEO :
MISURE, DATI E PREVISIONI
Risposte corrette
in E. Romagna =34,9%
Interessante il quesito C21
perché richiedeva di mettere in
movimento rappresentazioni
multiple di un problema:
tabella con numeri, grafico, e
percentuale. Si richiedeva
inoltre di spiegare il
procedimento seguito.
Anche in questo caso erano
possibili strategie di soluzioni
diverse e l'analisi di queste
può essere elemento di
riflessione per gli insegnanti.
in Italia = 30,8%
La prova nazionale di “terza media”
- R. Garuti, A. Orlandoni -
Il quesito valuta la capacità di collegare tra di loro diverse rappresentazioni
dello stesso insieme di dati, e di operare con le percentuali per trovare un
dato mancante.
Dalle Indicazioni per il curricolo 2007:
Calcolare percentuali .
Rappresentare insiemi di dati.
Riconosce e risolve problemi di vario genere analizzando la situazione e
traducendola in termini matematici , spiegando anche in forma
scritta il procedimento seguito .
Dalle Indicazioni Nazionali:
Ricavare informazioni da raccolte di dati e grafici di varie fonti.
Esporre chiaramente un procedimento risolutivo, evidenziando le azioni da
compiere e il loro collegamento.
Dai dati al grafico
“Quanti biglietti della lotteria hai venduto?” questa domanda è stata posta a
un gruppo di alunni dal Presidente del Comitato Genitori di una scuola media
. Le risposte sono state le seguenti:
10,9,8,7,10,8,9,11,10,6,12,13,10,11,12,14,10,10,11,9.
a)Quanti ragazzi hanno venduto i biglietti della lotteria?
b)Compila una tabella di distribuzione di frequenza indicando frequenza assoluta,
relativa e percentuale
c)Rappresenta graficamente i dati attraverso un istogramma
d)Calcola i valori degli indici della tendenza centrale: moda, media e mediana.
e)Qual è la percentuale dei ragazzi che hanno venduto:
•almeno 9 biglietti
•più di 12 biglietti
•tanti biglietti quanti ne indica la moda
•non più di 8 biglietti
Un altro esempio
Sono di seguito riportati i numeri dei giorni di assenza accumulati dagli alunni di
una classe terza nel corso di un quadrimestre:
2, 3, 4, 6, 7, 6, 8, 5, 4, 3, 5, 8, 5, 2, 4, 7, 6, 5, 4, 5, 3, 7
.
•Compila una tabella di distribuzione di frequenza, calcolando frequenza assoluta,
relativa e percentuale.
•Costruisci l'istogramma relativo
•Calcola poi i valori della tendenza centrale: moda, media e mediana.
•Se un dato “8 giorni di assenza” fosse sostituito dal dato “15 giorni di assenza” quale
dei dati della tendenza centrale varierebbe? Perché? Giustifica la tua risposta
Prova 1( Da esame terza media ) COMPLETA
1. In un sistema di riferimento cartesiano con unità di misura uguale ad un cm, disegnate
il quadrilatero ai vertici:
A (5;3), B(8;3), C(8;7), D(5;7).
· Di quale quadrilatero si tratta ?
· Calcolate perimetro ed area del quadrilatero ABCD
· Calcolate la superficie totale, il volume e il peso del solido ottenuto dalla rotazione
completa del quadrilatero attorno al lato BC, nell’ipotesi che il solido sia di vetro ( ps
= 2,5).
2. Avete davanti due urne: nella prima ci sono nove biglie bianche e sei nere e nella
seconda ci sono otto biglie bianche e sette nere. Quale urna scegliete se volete
estrarre più facilmente una biglia bianca ? Perché ?
Calcolate, in percentuale, quante probabilità si hanno di estrarre una biglia nera dalla
prima urna. E dalla seconda ?
3. Un corpo si muove con moto rettilineo uniforme alla velocità di 10 Km/h, quanti km
percorre rispettivamente in 3h, 5h, 7h, 12h e 15h ? Costruite il relativo diagramma
cartesiano, portando i valori del tempo t sull’asse delle ascisse e i valori dello spazio s
sull’asse delle ordinate, Qual è la legge matematica che lega le due grandezze ?
4. Risolvi la seguente equazione con verifica:
12 x – 5 (x-3) = 6x – 4 (3x –11) – 3
...statistica
Quesito 3
La seguente tabella indica i voti riportati da uno
studente universitario negli esami del suo corso di
laurea.
27 30 21 27
27 24 30 21
28
28
27 30
29 27
28 21
27 21
30 24 30
30 27 27
Quanti esami comprendeva quel corso universitario?
Raccogli i dati in una distribuzione di frequenza e calcola
moda, media mediana
Determina quale percentuali di voti è superiore a 28
Proporzionalità….e grafici
Quesito 4
La molla di un dinamometro si allunga di 3 cm per ogni kg/peso.
Appendi successivamente al gancio del dinamometro i seguenti solidi
di vetro ( p.s = 2,5):
un cubo con lo spigolo di 10 cm
un parallelepipedo rettangolo con le dimensioni di 8 cm, 10 cm e
15 cm.
un prisma quadrangolare regolare avente lo spigolo di base lungo 10
cm e l'altezza di 4 cm.
Calcola in ogni caso l'allungamento della molla.
Raccogli i dati ottenuti in una tabella peso in kg ( x) / allungamento della molla
in cm ( y) e traccia il grafico relativo, utilizzando per il peso la seguente unità
di misura: 1 kg = 1 cm (o il lato di un quadretto).
Scrivi la funzione che lega y ad x e indica il tipo di proporzionalità.
Solida……
Quesito
Considera un rettangolo R che ha
le dimensioni rispettivamente di 40
cm e 50 cm e un triangolo
rettangolo T che ha i cateti
rispettivamente di 50 cm e 120 cm.
Esegui una rotazione completa di R
attorno alla dimensione minore e di
T attorno al cateto maggiore.
Descrivi i due solidi così ottenuti e
calcola area della superficie e
volume di ciascuno.
Scrivi le considerazioni sul risultati
del volume ottenuti e indica se i
risultati ottenuti erano prevedibili e
perchè.
Quesito
Osserva i solidi in figura, ciascuno
dei quali è formato da 8 cubetti
congruenti con lo spigolo di 2cm.
Calcola, seguendo quello che ti
sembra il metodo più rapido, l’ area
della loro superficie.
Esprimi le tue considerazioni sul
loro volume, anche senza
calcolarlo.
Kangourou, 2006
I numeri reali relativi
La metà di un centesimo è..
A) 0,5
B) 0,002
C) 0,005
D) 0,02
E) 0,05
Calcolo letterale, monomi, polinomi
Le equazioni di 1°grado
(Rally Matematico Transalpino, 2006)
La predizione
Marco propone questo gioco al suo amico Luca:
- pensa un numero intero qualsiasi,
- aggiungi il numero immediatamente successivo,
- aumenta di 9 la somma precedente,
- dividi il risultato ottenuto per 2,
- sottrai il numero che hai pensato all'inizio.
Il risultato è 5, vero?
Luca è stupefatto, ma non è magia: si tratta solo di
matematica.
Perché si ottiene sempre lo stesso risultato da
qualunque numero parta il gioco?
(Giochi Bocconi Parigi 2001)
Il peso di Anna
Ieri Anna si è pesata con lo zainetto in spalla: la bilancia segnava 45
kg. oggi pesa 53 kg, ma il suo zainetto è tre volte più pesante di quello
del giorno prima.
Quanti chilogrammi pesa Anna (sapendo che il suo peso tra ieri e oggi è
rimasto lo stesso)?
Un primo passo in Algebra
(tratto da Giuseppe Peano, Giochi di aritmetica e problemi interessanti, Paravia, 1925)
Il Maestro, e i piccoli allievi Pietro e Paolo.
MAESTRO: Pietro, pensa un numero.
PIETRO: Pensato.
MAESTRO: Aggiungi uno.
PIETRO: Aggiunto.
MAESTRO: Quanto hai trovato?
PIETRO: Sei.
MAESTRO: Tu Paolo, indovina il numero pensato da
Pietro.
PAOLO: 6 -1 = 5, tale è il numero pensato.
MAESTRO: Bravo Paolo, hai fatto un primo passo in
Algebra.
Come si spiega il calcolo di Paolo?
Un gioco di Leonardo (tratto da Giuseppe Peano, Giochi di aritmetica e problemi interessanti, Paravia,
1925)
Pensa un numero, moltiplica per 2, aggiungi 5, moltiplica per 5,
aggiungi 10, e moltiplica per10, e dimmi il risultato. Se da questo
sottraggo 350, e divido per 100, ho il numero pensato.
Come si spiega questo risultato?
(Gran Premio di Matematica Applicata, 2004)
Cognomi e capelli
Due uomini e una donna di cognome Biondi, Neri e Rossi si
incontrano in un bar.
La donna, che non ha i capelli rossi, osserva: "I nostri cognomi
corrispondono proprio al colore dei nostri capelli!". "Vero," risponde
la persona dai capelli neri "però nessuno di noi ha i capelli che si
accordano col proprio cognome." "Hai proprio ragione!" esclama
Biondi.
Qual è il colore dei capelli di Neri?
"I problemi" numero DUE (Gennaio 2005)(Quesito per alunni scuole medie)
"Ricaricami il pupo..."
Una grande compagnia di produzione di
telefonia cellulare vuole investire su un nuovo
prodotto per giovani acquirenti. A tale scopo ha
realizzato un’indagine per conoscere la
diffusione del cellulare tra i giovanissimi. Il
gruppo dei 173 ragazzi contattati ha dato
queste risposte in merito al possesso di
cellulare:
Sì
No
Maschi
16
80
Femmine
19
58
Totale
96
77
Cosa si può concludere da questi dati?
a) Nel gruppo hanno più cellulari o le ragazze o
i ragazzi?
b) Qual è la percentuale di ragazzi tra coloro
che hanno un cellulare?
c) Come si compone rispetto alle ragazze e ai
ragazzi il gruppo di coloro che non hanno un
cellulare?
d) Qual è la percentuale delle ragazze che non
hanno un cellulare sul totale degli intervistati?
Maschi
Femmine
Sì
16
19
No
80
58
Totale
96
77
Il problema numero CINQUE (Ottobre 2006)
(Fonte: de Lange e Verhage (1992), OECD PISA 2003 Valutazione dei quindicenni, Armando Editore, 2004,
pg. 56)
ISOLANI O ISOLATI?
Riflessioni sulla densità di
popolazione nell’arcipelago
indonesiano
Problema rivolto agli studenti di
Scuola Secondaria di 1°grado
e del primo biennio di Scuola
Secondaria di 2°grado.
INDONESIA
L’Indonesia si trova tra la Malesia e
l’Australia. Nella seguente tabella sono
riportati alcuni dati sulla popolazione
dell’Indonesia e la sua distribuzione
nelle varie isole:
Regione
Estensi
one
(Km2)
Percentuale
dell’estension
e rispetto
all’area totale
Popolazio
ne nel
1980 (in
milioni)
Percentual
e rispetto
all’intera
popolazion
e
Java/Madura
132187
6.95
91.281
61.87
Sumatra
473606
24.86
27.981
18.99
Kalimantan
(Borneo)
539460
28.32
6.721
4.56
Sulawesi
(Celebes)
189216
9.93
10.377
7.04
5561
0.30
2.470
1.68
Irian Java
421981
22.16
1.145
5.02
TOTALE
1905569
100.00
147.384
100.00
Bali
Una delle principali difficoltà
dell’Indonesia è la distribuzione
ineguale della popolazione nelle
varie isole.
RICHIESTE:
Disegna un grafico (o alcuni grafici) che
mostri l’ineguale distribuzione della
popolazione indonesiana.
Affermazione
La maggior parte
degli abitanti
dell’Indonesia si
trova a Java/
Madura
Definisci il concetto di densità di
popolazione
A
Java/Madura gli
abitanti sono
tanti e sono
molto fitti
Secondo te a cosa serve conoscere la
densità di popolazione
L’isola più
grande è
Java/Madura
A Bali la densità
di popolazione è
bassa
Vero/Falso
Perchè