Ezio Raddi`s Slide Rules - Regoli calcolatori di Ezio Raddi

TUTORIAL SUL REGOLO CALCOLATORE - 3
Il regolo calcolatore
Non più di trenta anni fa, i regoli calcolatori erano dovunque. Diversamente da molti altri strumenti, invece di
essere migliorati dalla emergente tecnologia elettronica, furono completamente sostituiti, condividendo il
destino dei registratori di cassa meccanici e degli orologi meccanici (che però hanno ancora una produzione
limita e di pregio). Oggi pochi sanno usare il regolo calcolatore e la maggior parte dei miei coetanei che
avevano imparato ad usarlo a scuola ormai l'anno dimenticato.
Ho posseduto il mio primo regolo a undici anni, compratomi da mio padre che spesso rimaneva con me a
giocherellarci; poi ne ho avuti parecchi durante il periodo scolastico ed universitario. Come tutti, comprai una
calcolatrice elettronica appena il suo prezzo divenne abbordabile nei primi anni '70, che divenne da allora il
mio strumento di lavoro; ma rimase il fascino del vecchio, semplice, metodo di calcolo e porto ancora un
regolo calcolatore che occasionalmente utilizzo.
Mettiamo un regolo calcolatore accanto ad una moderna calcolatrice scientifica portatile. Il primo consiste di
una mezza dozzina di pezzi di plastica opportunamente segnati, l'altra contiene l'equivalente di milioni di
transistor, qualche interruttore elettrico, una sorgente d'energia basata su principi chimici, uno schermo di
visualizzazione e almeno altrettanti pezzi di plastica segnati. Inoltre la calcolatrice è più veloce, più precisa,
più facile da usare e a buon prezzo. E' sorprendente cosa possa fare la tecnologia, ma i regoli calcolatori
furono sempre estremamente più economici: addirittura è possibile fabbricarsi il proprio regolo calcolatore e
questo non è certo facile con una calcolatrice scientifica!
Quando i regoli calcolatori erano un mezzo ragionevole per eseguire calcoli velocemente e a basso prezzo,
molti studenti di materie scientifiche ebbero occasione d'imparare ad usarne uno. Molti, credo, impararono
giusto ciò che bastava per eseguire i calcoli di base, non i metodi di calcolo più efficienti ed avanzati e
neanche molto impararono sui principi di funzionamento e quindi come sviluppare tecniche di calcolo. In
questa nota voglio fissare ciò che ho imparato allora, prima che anch'io me ne dimentichi!
Le basi
Un regolo calcolatore è un semplice dispositivo meccanico per eseguire moltiplicazioni e divisioni.
Come funziona
Il funzionamento del regolo calcolatore è basato sulle proprietà matematiche dei logaritmi, per le quali la
moltiplicazione è:
log(a) + log(b) = log(a*b)
ovvero trovare il prodotto di due numeri equivale a trovare il numero il cui logaritmo è la somma dei logaritmi
dei due numeri.
Di seguito si esemplifica come impostare il regolo calcolatore per moltiplicare per due (scale D e C):
C
D
La scala D (sotto) va da "1" a "2" e poi a "9" e quindi indietro da "9" a "1". Si deve considerare l'intervallo fra
i due "1" come un intervallo unitario; dentro questo intervallo ogni numero è riportato in una posizione
proporzionale al suo logaritmo. Per esempio, "1", il cui logaritmo è 0, è disegnato proprio all'inizio
dell'intervallo; "2" (log 2 = 0,3) è disegnato a circa un terzo dell'intervallo; "3" (log 3 = 0,48) è vicino alla metà,
e "10", il cui logaritmo è 1, è alla fine dell'intervallo ("10" è scritto come "1" per ragioni che saranno chiarite
più avanti). Con log 2 = x dove con x si intende il logaritmo decimale di 2 ovvero l'esponente che si deve
assegnare a 10 per ottenere 2, 10x = 2.
La scala C (sopra) è identica alla scala D, ma è spostata a destra di 0,3 (log 2). Con le due scale posizionate
in questo modo, è possibile vedere quanto semplice è eseguire una moltiplicazione. Si noti che l'"1" sulla
scala sopra è allineato con il "2" della scala sotto, metre il "2" della scala sopra è allineato con il "4" della
scala sotto, mostrando che 2 per 2 dà 4. Dalle definizioni sulle scale, la distanza dall"1" più a sinistra al "2"
su entrambe le scale è log 2 = 0,3 e si vede come la somma delle due distanze è 0,6 ed è sul quel punto che
troviamo il numero il cui logaritmo è 0,6 ovvero 4.
Lasciando le scale posizionate in questo modo, possiamo calcolare gli altri numeri moltiplicati per 2,
semplicemente trovando il numero da moltiplicare desiderato sulla scala superiore (per esempio 3 o 4,5) e
leggendo sulla scala sotto il risultato (rispettivamente 6 sotto il 3 e 9 sotto il 4,5) ottendendo per esempio
2*3=6 oppure 2*4,5=9.
Aspetto del regolo
Il regolo consiste di tre parti: il corpo, lo scorrevole ed il corsoio (o cursore).
Il corpo è normalmente fatto di due aste separate giunte alle estremità con parti a ponte (vedi immagine),
oppure di una singola asta con un taglio ricavato nel mezzo affinché vi si possa inserire lo scorrevole. In ogni
caso, lo scorrevole scorre dentro il corpo; linguette sullo scorrevole si inseriscono in scalanature sul corpo
per mantenerlo in linea. Il corsoio scorre lungo il corpo, ed ha una finestra trasparente con una linea sottile
impressa perpendicolarmente al movimento del corsoio stesso. Esso è usato per registrare risultati
intermedi, oppure per collimare una scala con un'altra quando le stesse non sono adiacenti. Il regolo
mostrato sopra in figura è a doppio lato, con un corsoio anche a doppio lato, ma molti regoli sono a lato
singolo.
Il materiale usato è comunemente plastica di alta qualità, ma spesso i regoli più vecchi sono di legno, e i tipi
più cari possono essere anche di metallo. Il legno è quasi sempre ricoperto con un sottile strato di plastica
dove vengono ricavate le scale. Le scale di plastica sono incise e riempite di inchiostro; i regoli di metallo
possono essere dipinti di bianco con le scale stampate o protette con vernice trasparente.
Questo è un vecchio regolo della Faber a singolo lato, di legno e con due corsoi:
E' una convenzione mettere le scale che abbiamo già visto, con l'intervallo unitario occupante l'intera
lunghezza del regolo, sulla parte scorrevole più bassa e sul lato anteriore del regolo, cioè la scala scorrevole
è sulla parte inferiore dello scorrevole, e la scala fissa sulla parte superiore del corpo. Queste scale sono
convenzionalmente note come "C" e "D" rispettivamente:
Nel regolo ci sono anche altre due scale, "A" e "B", sulla parte superiore dello scorrevole. Queste scale sono
disegnate con mezza unità d'intervallo, cosicché le scale vadano da 1 a 100 nella stessa lunghezza in cui le
scale C e D vanno da 1 a 10. Esistono poi dozzine di altre possibili scale, come vedremo più avanti.
I regoli calcolatori esistono in varie dimensioni, e la dimensione si riferisce alla lunghezza dell'intervallo
unitario delle scale C e D. La lunghezza è tipicamente 125 mm per i regoli tascabili, 250 mm per la
maggioranza dei regoli e, raramente, 500 mm o altre dimensioni. Le due dimensioni più comuni sono riferite
di solito come regoli di 12 centimetri (o 5 pollici) e regoli di 25 centimetri (o 10 pollici). Alcuni regoli, non
necessariamente americani, hanno lunghezze tipiche del mondo anglosassone come 254 mm per i regoli di
10 pollici. Come si vedrà più avanti, la lunghezza gioca un ruolo importante nella precisione di calcolo. I
regoli più accurati abbandonano la struttura lineare e usano scale elicoidali per raggiungere lunghezze
sull'ordine dei metri.
Moltiplicazione
Abbiamo già visto un esempio di moltiplicazione, ma conviene per prima cosa definire alcune convenzioni
per descrivere come impostare il regolo. La forma C:4 viene usata per indicare la posizione 4 sulla scala C.
C:I indica l'indice della scala C, che può essere sul segno 1 o 10. In questi termini, il processo di moltiplicare
3 per 2 già visto può essere descritto come: metti C:I su D:2, la risposta si trova su D opposta a C:2.
Abbiamo visto come moltiplicare 2 per 2, ma cosa dire circa 20 per 200? La risposta è che si procede nello
stesso modo. Eccetto certi casi speciali, i calcoli con il regolo calcolatore ignorano le potenze di 10.
Naturalmente, la corretta potenza di 10 è richiesta nella risposta, e usualmente ciò si ottiene dalla
conoscenza di una risposta approssimata, oppure lavorando sulla risposta molto grossolanamente sulla
carta e usando poi il regolo per ottenere una accuratezza migliore. Nel caso 20 per 200 si procede così:
20 * 200 =
(2,0 * 10) * (2.0 * 10²) =
(2,0 * 2.0) * (10¹ * 10²) =
4,0 * 10³ = 4000
usando il regolo calcolatore per le cifre significative e l'aritmetica mentale per le potenze di 10.
Come moltiplicare 3 per 5? Proviamo la stessa procedura di prima, mettendo C:1 su D:3. Ciò implica C:5 e
se cerchiamo la risposta osserviamo che si è andati fuori scala su D. In questo caso, si deve usare il fatto
che la potenza di 10 non è inclusa nella risposta. Non c'è nulla sotto C:5, ma se guardiamo esattamente una
lunghezza unitaria a sinistra di C:5, troviamo il risultato per 5 * 3 / 10, perché sottrarre di una lunghezza
unitaria equivale proprio a dividere per 10. Questo procedimento è realizzato in pratica usando C:10 invece
di C:1, ovvero muovendo lo scorrevole di una unità a sinistra (si usa l'espressione "invertendo lo
scorrevole"). Mettendo C:10 sopra D:3 si legge la risposta 1,5 sotto D:5.
Ci sono regoli che possono essere usati per ricavare la potenza di dieci della risposta dando le potenze dei
fattori sempre spostando lo scorrevole a destra, ma la mia opinione è che ciò non sia di molto aiuto salvo
pochi semplici casi. Per esempio, prendiamo il prodotto 25 * 600. Per prima cosa riduciamo gli argomenti
all'intervallo 1...10 estraendo le potenze di 10, così:
25 * 600 =
2,5 * 6.0 * 10¹ * 10² =
2,5 * 6.0 * 10³
Poi procediamo con le cifre significative sul regolo calcolatore. La regola della moltiplicazione è: la potenza
di 10 della risposta + la somma della potenza degli argomenti, più uno ogni volta che usiamo C:10 per
effettuare la moltiplicazione. Qui dobbiamo usare il segno C:10 sopra D:2,5 per trovare 1,5 su D come
risposta sotto C:6. Così la potenza di 10 è 4, ed il risultato finale è 1,5 * 104 = 15000.
Esiste una regola simile per la divisione (come vedremo più avanti) dove la potenza di 10 della risposta è
decrementata di uno ogni volta che il risultato è trovato sotto C:10 invece che sotto C:1. Credo che il
procedimento più semplice sia approssimare il risultato finale e di tener traccia del numero di inversioni dello
scorrevole.
Siccome le scale sono logaritmiche, la dimensione delle divisioni cambia lungo la scala. Tipicamente, un
regolo di 25 cm può avere divisioni ogni 0,01 fra 1 e 2, ogni 0,02 fra 2 e 4 e infine di 0,05 fra 4 e 10, Ciò
richiede un po' di pratica prima di essere in grado di leggere rapidamente. Poi, per aggiungere confusione, le
etichette sono spesso abbreviate. Per esempio, la suddivisione tra 1 e 2 sono spesso etichettate da 1 a 9
anche se in realtà rappresentano i valori da 1,1 a 1,9. In ogni caso, si deve stimare ad occhio circa un quinto
di divisione. Quasi tutte le scale hanno un segno speciale per pi, e spesso spesso esistono segni speciali
anche di altre costanti.
Vuoi provare alcuni esempi? Calcola 1,91 * 2,42 (=4,62); 5,13 * pi (=16,12); 1,01 * 1,01 (=1,02).
Divisione
La divisione è basata sulla formula:
log(a) - log(b) = log(a/b)
così essa utilizza la sottrazione di distanze piuttosto che la loro somma come nel caso della moltiplicazione.
Possiamo vedere questo con la stessa impostazione che abbiamo utilizzato per moltiplicare per 2, che ad
esempio, mostra che 6 diviso 3 dà 2. Si può vedere come la distanza 1...3 su C, che è log 3 = 0,48, è
sottratta dalla distanza 1...6 su D, che è log 6 = 0,78, per lasciare la distanza 1...3 su D, che è 0,3 = log 2.
La regola di base per la divisione è: allineare il divisore (il numero per cui si deve dividere) su C con il
dividendo (il numero da dividere) su D, e leggere il risultato sotto l'indice di C. Per esempio, sposta lo
scorrevole C:3 su D:6 e leggi la risposta 2 sotto C:1.
Come con la moltiplicazione, per certe coppie di numeri, C:1 sarà fuori della scala D; la risposta deve allora
essere cercata sotto C:10. Il numero ricavato è dieci volte la risposta, infatti si sta leggendo un intervallo
unitario a destra, ma come al solito, non ci curiamo delle potenze di 10.
Una altro esempio: 365/12. Impostiamo C:1,2 sopra 3,65 e leggiamo la risposta 30,4 sotto C:1. In questo
caso poiché stiamo lavorando con la media di dei giorni di un mese, ci aspettiamo una potenza di 10! Per
verifica: 365 / 12 = (3,65 * 102) / (1,2 * 10) = (3,65 / 1,2) * 10.
Altri esempi: 1,6 / 3,5 (=0,457); 150000000 / 1,61 (=93200000); 64 / 5 (=12,8).
Quando si allineano due numeri, entrambi non posizionati su una divisione, può essere d'aiuto porre il
corsoio sul dividendo su D, poi posizionare il divisore in C sotto la linea del corsoio. Se invece uno dei due
numeri è su un segno (su una divisione della scala), può essere più preciso non utilizzare il corsoio, ma
anche in questo caso può essere d'aiuto per non affaticarsi a tener d'occhio il dividendo mentre si imposta il
divisore.
Calcoli concatenati
Per calcolo concatenato s'intende qualscosa come a*b*c, or a*b/c.
Quando si hanno moltiplicazioni ripetute, il corsoio viene utilizzato per memorizzare il risultato di un calcolo
su D, mentre l'indice su C viene portato sul prossimo numero. Per esempio, supponiamo di calcolare
2*3*4*5. Poniamo C:1 sopra D:2, poi portiamo il corsoio su C:3, otteniamo così il primo risultato intermedio
(2*3=6). Poi portiamo C:10 sotto la linea del corsoio e spostiamo il cursore su C4, ottenendo il secondo
risultato intermedio (2*3*4=24). Poi si porta C:10 di nuovo sotto la linea del corsoio, per leggere infine il
risultato sotto C:5 (2*3*4*5=120). La regola delle potenze di dieci ci conduce ad osservare che a due
inversioni dello scorrevole corrispondono due potenze in più, così si ha 1,2*10² = 120. Notiamo che ogni
moltiplicazione coinvolge un movimento dello scorrevole e un movimento del corsoio.
Le divisioni concatenate funzionano circa nello stesso modo. Calcoliamo 1/(2*3*4). Prima allineiamo D:1 con
C:2, ottenendo il primo risultato intermedio (1/2 = 0,5) su D. Poi portiamo C:3 sotto il corsoio e spostiamo il
corsoio su C:1, che è il secondo risultato intermedio (1/6 = 0,167). Finalmente, portiamo C:4 sotto il corsoio e
leggiamo il risultato 0,0417 sotto C:10. La regola dice che C:10 è stato utilizzato due volte, così abbiamo
diminuito di due ordini di potenza, ovvero 4,17*10-2 = 0,0417. Notiamo di nuovo che ogni passo richiede un
movimento dello scorrevole ed un movimento del corsoio.
Alternare moltiplicazione e divisione è il la sequenza più efficiente quando si dispone soltanto delle scale C e
D. Per rendersene conto, proviamo a calcolare (4*5)/(8*0,125). Se si calcola nell'ordine con cui è scritta
l'espressione si deve: C:10 sopra D:4, corsoio su C:5, C:8 sotto il corsoio, corsoio a C:10; C:1,25 sotto il
corsoio, risultato D:2 sotto C:1. Si hanno 6 movimenti, inclusa la lettura del risultato. In alternativa si può
procedere così: C:8 sopra D:4, corsoio a C:5, C:1,25 sotto il corsoio, risultato sotto C:1 = D:2. Si hanno così
soltanto 4 movimenti, inclusa la lettura del risultato.
L'efficienza di alternare moltiplicazione e divisione nasce dal fatto che la divisione lascia il risultato
intermedio sotto C:I, che è il posto necessario alla moltiplicazione successiva senza che sia necessario
segnare la posizione col corsoio. Analogamente, la moltiplicazione lascia il risultato segnato con corsoio su
D, che è il posto necessario alla successiva divisione. Naturalmente, se si va fuori scala servono nella
pratica più mosse riducendo il vantaggio della tecnica "alternante". Altre scale, come CF e DF aiutano a
ridurre quest'ultimo problema. Inoltre, altre tecniche usano scale inverse per rendere moltiplicazioni e
divisioni concatenate efficienti come la tecnica alternante.
Qualche esempio da provare: (2,5 * 4,6 * 1,7) / (0,125 * 456 * pi) (=0,109); (2/3) * (11/13) (=0,564).
Scale quadratiche (A, B)
Prima di considerare altre scale, una considerazione sui nomi. Non ho ancora mai visto un regolo che non
abbia le scale C e D sulla parte bassa della parte anteriore del regolo. Similmente si hanno le scale A e B
sulla parte alta della parte anteriore del regolo. Queste quattro scale sono quasi universalmente etichettate
con le lettere A, B, C e D sul lato sinistro di ciascuna scala. Oltre a queste, ci possono essere altre
combinazioni di scale e molte di queste scale hanno nomi che denotano la loro funzione, come S per seno,
oppure la loro relazione con C o D, come CI per C inversa. Anche questi ultimi nomi sembrano essere
abbastanza universali. Il vecchio regolo in legno della prima figura ha soltanto le scale ABCD sul fronte, nelle
posizioni convenzionali ma senza etichette, sebbene le scale S,T ed L sul retro siano etichettate. Il regolo
Nestler della seconda figura possiede invece molte più scale sia sul fronte che sul retro.
Oltre ai nomi sulla parte sinistra di ciascuna scala, molti regoli hanno il legame di ciascuna scala, con le
scale di base CD, mostrata da una formula sulla estremità destra del regolo. In queste formule, le scale C e
D sono rappresentate da x, così esse hanno entrambe x sulla parte destra. Le scale A e B, con metà
dell'intervallo unitario, sono entrambe etichettate con x² (x al quadrato). Per verificarlo, andiamo a circa metà
della scala A, che rappresenta 10. Questo punto è verticalmente sopra il punto di mezzo della scala D, su un
qualche x. Ora, siccome questo è il punto di mezzo, abbiamo log(x) = 0,5 ovvero x=sqrt(10). Leggendo
all'indietro, sqrt(10) su D si legge su A come 10. Questo è vero per ogni posizione su D, così ogni numero su
D è visto su A come il suo quadrato. Ragionando in un altro modo, il fattore delle due scale cambia in modo
lineare in termini di distanza tra A e D e rappresenta una radice per mezzo dell'equazione:
log(a) * 2 = log(a²).
Oltre che per il calcolo di quadrati e radici quadrate, le scale A e B possono essere usate per moltiplicazioni
e divisioni allo stesso modo delle scale C e D, ma naturalmente con accuratezza ridotta, anche se ciò è
compensato da una minore necessità di invertire lo scorrevole. Per esempio, per calcolare il precedente
esempio 2*3*4*5 con le scale A e B possiamo procedere così: B:1 su A:2; corsoio su B:3; B:1 sotto il
corsoio; corsoio su B:4; B:100 (l'ultimo 1 a destra della scala B) sul corsoio; risposta su B:5 = A:120.
Nel cercare le radici quadrate leggendo da A a D, è importante pensare accuratamente alle potenze di 10,
siccome una differenza di una potenza sulla scala A si traduce in sqrt(10) su D, che non è proprio la giusta
maniera di addizionare uno zero! La regola consiste nel ridurre il numero ad un valore fra 1...100 ed una
potenza pari di 10, calcolare la radice e poi rimettere la metà della potenza pari di 10 considerata. Alcuni
esempi:
sqrt(16000) =
sqrt(1,6 * 10000) =
sqrt(1,6) * sqrt(10000) =
1,265 * 100 =
126,5
sqrt(160000) =
sqrt(16 * 10000) =
sqrt(16) * sqrt(10000) =
4 * 100 =
400
sqrt(0,00025) =
sqrt(2,5 * 10-4) =
sqrt(2,5) * sqrt(10-4) =
1,58 * 10-2 =
0,0158.
La lettura da A a D è fatta, naturalmente, col corsoio. Nei calcoli che richiedono un quadrato o una radice
quadrata, è spesso possibile ottimizzare eseguendo una parte del calcolo con AB ed una parte con CD,
incrociando le scale quando è richiesta l'operazione di potenza al quadrato. Per esempio, per calcolare 8 *
(.2*16)² si procede così: C:1 su D:2, corsoio a C:1,6; B:1 sotto il corsoio, corsoio a B:8 e si legge il risultato
su A:82. Naturalmente, è necessaria grande cura se deve essere calcolata una radice quadrata, per
assicurarsi che esista la potenza di dieci richiesta.
Scale cubiche (K)
Solitamente c'è una sola scala K, sul corpo, segnata x³ (x al cubo), con tre cicli logaritmici in corrispondenza
all'unico presente sulla scala C, cicli che vanno da 1 a 1000. Leggendo da D a K si ottiene il cubo. Come con
le radici quadrate, bisogna tenere sotto controllo la potenza di dieci. Con le radici cubiche, il numero deve
essere tra 1...1000, e la potenza di dieci un multiplo di 3. Per esempio:
radice-cubica(10-16) =
radice-cubica(100 * 10-18) =
radice-cubica(100) * radice-cubica(10-18) =
4,64 * 10-6 =
0,000 004 64.
Possiedo uno strano regolo che ha due scale K (K e K') sulla parte alta del retro dello scorrevole, in modo
che il calcolo possa continuare dopo aver ottenuto il cubo. Non vedo perché qualcuno debba volerlo fare.
Scale reciproche (CI, DI)
CI è spesso presente; DI è inusuale. Le scale sono segnate 10/x o, a volte, 10:x sulla parte destra del
regolo. Esse sono disegnate con lo stesso intervallo unitario di C, ma i segni sono marcati a 1-log(a) invece
che a log(a) come per C, così somigliano a C e D ma scorrono all'indietro da 10 a 1. CI è sullo scorrevole, DI
è sul corpo. La loro formula è:
1-log(x) = log(10)-log(x) = log(10/x)
e leggere C da CI o CI da C significa leggere il reciproco, ignorando le potenze di dieci.
Il principale uso di CI non è quello di calcolare i reciproci in sè, ma di accelerare i calcoli concatenati.
Ricordiamoci che la moltiplicazione per x equivale alla divisione per 1/x e quindi è possibile trasformare una
moltiplicazione, dove C:I è posizionato, in una similare divisione, dove l'operando è posizionato (se ciò
risulta conveniente in un calcolo concatenato). Calcoliamo di nuovo 2*3*4*5 utilizzando questa tecnica:
mettiamo il corsoio su D:2; mettiamo CI:3 sotto il corsoio; spostiamo il corsoio su C:4; mettiamo C:5 sotto il
corsoio; leggiamo il risultato su C:1 (=120). Risultato ottenuto con solo cinque movimenti, inclusa la lettura
del risultato, in opposizione ai sei dell'altro metodo, e non c'è nessuna necessità di invertire lo scorrevole.
Quando ci si pone il problema d'eseguire un calcolo, ad ogni suo stadio si deve prendere una decisione
tattica su quale sia il miglior modo di procedere, moltiplicando o dividendo, ovvero se usare la scala CI con
la sua operazione opposta, riflettendo sulla convenienza di come posizionarsi per la prossima operazione.
Non vedo alcun uso per la scala DI.
Scale sfalsate Pi (CF, DF, CFI, DFI)
Queste scale sono segnate pi-x, e se presenti sono spesso sulla parte superiore dello scorrevole o sul retro.
Normalmente sono scale a lunghezza unitaria, ma sfalsate verso destra di log(pi), così, poniamo, passare da
D a DF equivale a moltiplicare per pi, mentre passare da DF a D dà la divisione per pi. Questo è in sé utile,
ma il principale scopo di queste scale è di facilitare i calcoli concatenati e le tabelle. Poiché pi è prossimo a
sqrt(10), queste scale sono spostate di circa metà dell'unità base; ciò significa che quando lo scorrevole è
più della metà fuori, c'è spesso almeno una incidenza di ciascun valore su C o CF che è allineato con D o
con DF, e riportando durante il calcolo la coppia appropriata si può eliminare di invertire il movimento dello
scorrevole.
Ciò è particolarmente utile quando si imposta una tabella. Supponiamo di voler convertire alcuni prezzi da
sterline a euro, con un fattore di conversione di 2,7 (nessun riferimento alla realtà di cambio). Impostiamo il
regolo in modo che C:1 sia su D:2,7, quindi muovendo il corsoio ogni prezzo in sterline su C può essere
convertito in euro su D, così 3 sterline equivalgono a 8,1 euro. Tuttavia i valori delle sterline da 3,8 a 10 sulla
scala C sono oltre la fine della scala D, così normalmente dovremmo invertire il regolo per mettere C:10
sopra D:2,7 per poter calcolare questi valori. Ma, senza muovere lo scorrevole, osserviamo che le quantità
CF da circa 3,2 a 11 sterline sono sopra DF, così possiamo convertire 7 sterline su CF a 18,9 euro su DF.
Proviamo di nuovo (2/3) * (11/13), il calcolo è più facile con CF e DF: C:3 sopra D:2; corsoio a CF:1,1;
CF:1,3 sotto il corsoio; risposta CF:1 (=0,564).
Quando si lavora con le scale CF e DF, è importante ricordare se o no il corsoio è impostato al valore su D o
DF. Quando si sta guardando per un valore su C, si può utilizzare altrettanto proficuamente la scala CF, ma
una volta scelto quale scala e dove posizionare il corsoio, bisogna usare la scala corrispondente per la
prossima operazione. Se si è letto da CF un valore su DF, salvando il valore di DF col corsoio, allora si deve
porre il prossimo operatore di divisione su CF sotto il corsoio, e non C. Analogamente, se la prossima
operazione è una moltiplicazione, si deve usare l'indice della scala CF. Se tutto questo suona complicato,
probabilmente è perché lo è. Tutti coloro che non usano frequentemente il regolo calcolatore, non si
prendono il disturbo di usare le scale CF e DF se non per le tabelle.
Scale logaritmiche (L)
La scala dei logaritmi appare diversa dalle altre scale perché è una scala lineare, come un righello. Essa è
etichettata log x. Normalmente è segnata da 0,0 a 1,0 lungo l'intervallo unitario, così la lettura da C a L
fornisce la parte frazionaria del logaritmo, come da definizione della scala C. La parte intera del logaritmo
deve essere recuperata come potenza di 10. Per esempio, log 400: C:4 su L:0,602; 400 è 4 * 10²; così log
400 è 2,602. Similarmente, leggendo in altro modo si ha 10x, così per 102,3: 102,3 = 100 *100,3; L:0,3
corrisponde a C:1,995; così 102,3 è 199,5.
Se un regolo ha due scale L, uno sullo scorrevole ed una sul corpo, è possibile eseguire una semplice
addizione, che però è pressoché inutile (troppo piccolo l'intervallo di numeri sommabili).
Scale trigonometriche (S, T, ST, T2, P)
Queste scale sono fondamentalmente nient'altro che tabelle di ricerca per le comuni funzioni
trigonometriche. Di solito sono segnate in gradi, o in alcuni casi gradi e minuti. Il loro intervallo è piuttosto
ristretto. Queste scale sono le prime che incontriamo che non fanno aritmetica in sé, ma semplicemente
tabelle, e che non sono invarianti per i fattori di dieci. Ciascuna scala corrisponde proprio ad un valore sulla
scala corrispondente di lettura, così per coprire un intervallo più grande di angoli, si deve disporre di più
scale.
L'insieme di scale trigonometriche più diffuso è probabilmente ST, S e T, definite come arc(0,01x) (ST),
arcsin(0,1x) (S) e arctan(0,1x) (T). Di solito queste scale sono sul corpo e l'x delle formule è il valore sulla
scala D. Con arc si intende sia arcseno che arctangente quando l'angolo è così piccolo da renderli
indistinguibili alla risoluzione del regolo calcolatore. La scala ST mostra gli angoli i cui seni sono
nell'intervallo 0,01 (opposto a D:1) a 0,1 (opposto a D:10), approssimativamente da 0,6 gradi a 6 gradi. La
scala S va da 6 gradi a 90 gradi (seni nell'intervallo da 0,1 a 1) e la scala T va da circa 6 gradi a 45 gradi
(tangenti nell'intervallo da 0,1 a 1). Qualche volta T è chiamata T1, e una scala estesa per le tangenti, T2, è
aggiunta per angoli da 45 a circa 84 gradi; la formula corrispondente è arctan(x). Spesso le scale sono
anche segnate con numeri rossi crescenti in senso opposto, per ricordare all'utilizzatore che cos(x) = sin(90x) e cot(x) = tan(90-x).
Le scale sono per lo più usate per guardare le funzioni trigonometriche, ma esse possono anche essere
incorporate nei calcoli; per ricavare 5*sin(25) si mette C:I sopra S:25 (usando il corsoio); si legge il risultato
su D opposto a C:5 (=2,115). Lo strafalcione da evitare quando si calcola con gli angoli: le scale
trigonometriche non sono in sè stesse logaritmiche, non si può calcolare 2*arcsin(0,5) direttamente. Si deve
prima calcolare arcsin(0,5), leggere S:30, trasferire manualmente questo valore su D:3 (per 30); poi si
moltiplica per 2 nel solito modo con C e D.
Un altro modello comune nei regoli è di avere solo due scale trig, sul retro dello scorrevole (di un regolo ad
una sola faccia ovvero simplex); si possono utilizzare sfilando completamente lo scorrevole e inserendolo
girando sopra il lato posteriore. In questo caso la scala superiore, di solito S, è segnata con riferimento alla
scala B che momentaneamente sostituisce, e la scala inferiore, T, è segnata con riferimento alla scala C che
va a sostituire. Così la scala T rimane quella che abbiamo già visto, mentre la scala S va da 0,6 gradi a 90
gradi, con i 6 gradi nel mezzo, e la metà a sinistra di essa lavora come una una scala ST per tangenti di
piccoli angoli. Questa disposizione è a volte comoda per i calcoli, poiché elimina la necessità di riportare con
il corsoio, ma si ha una perdita di accuratezza per S e normalmente tale modello si trova su regoli con basse
specifiche. Questi regoli hanno spesso piccole finestre sul retro che permette la lettura di seni e tangenti
senza la necessità di ruotare lo scorrevole; per esempio se si allinea la scala S sul segno della finestra allora
si può leggere il corrispondente seno sul fronte sotto A:100.
Per angoli minori di 0,6 gradi, il seno e la tangente sono così prossimi al valore dell'angolo in radianti che la
conversione può essere fatta moltiplicando per pi/180. C'è spesso un segno a C:1,745 oppure sul suo
reciproco C:5,73 per rendere l'operazione più facile. A volte esistono altri segni per gli angoli in minuti e
secondi.
Un'altra possibilità è la scala P, per Pitagora, che è scalata di sqrt(1-(0,1x)²). Essa può essere usata per
convertire il seno di un angolo al suo coseno senza passare attraverso l'angolo (nell'intervallo da 0,1 a 1
soltanto), ma non ho mai avuto la necessità di utilizzarla.
Le scale log-log (LL1..., LL01...)
Le scale log-log costituiscono un altro insieme di scale che non è invariante con la potenza di 10, così
nuovamente si ha per esse un'intera famiglia, quante più ci sono, più elegante è il regolo, anche se non ho
mai visto più di otto di esse su un regolo. La formule base sono: a LL0 corrisponde e0,001x, quindi LL1 per
e0,01x, LL2 per e0,1x e LL3 per ex. Abbiamo poi LL00 per e-0,001x, LL01 per e-0,01x, LL02 per e-0,1x e LL03 per e-x.
L'insieme più comune è proprio LL2 ed LL3, e in generale quelle con esponente positivo sono più comuni di
quelle con esponente negativo.
Queste scale sono utilizzate per calcolare potenze e radici di numeri, e per calcolare logaritmi di altre basi.
Esse hanno lo svantaggio che, eccetto per un limitato intervallo di numeri, sono orribilmente approssimative,
man mano che le scale si comprimono per più grandi valori di x.
Le scale LL come semplici tabelle, per trovare i logaritmi naturali e le potenze di e. Per esempio, per ricavare
ln(pi): si usa il corsoio per proiettare LL3:3,14 su D (=1,14).
Diversamente dalle scale trig, non ha alcun senso fare aritmetica con i valori delle scale log-log. I numeri
sulle scale LL sono disegnati sulla loro posizione logaritmica, su una scala logaritmica, così usare la scala C
a logaritmo singolo lungo le scale LL a doppio logaritmo equivale a moltiplicare i logaritmi dei numeri sulle
scale LL, che significa eseguire l'esponente. La formula è:
log(ln(x)) + log(a) = log(a*ln(x)) = log(ln(xa))
(dove 'x' è la lettura sulla scala LL ed 'a' la lettura su C) così per ricavare 32,5: impostare C:1 sopra LL3:3 e
leggere il risultato (=15,6) su LL3 opposto a C:2,5. Per ricavare 29: impostare il corsoio su LL2:2; impostare
C:10 sotto il corsoio; leggere il risultato su LL3 sotto C:9 (=~500). Notiamo che, siccome si usa C:10 invece
di C:1 e così fa perdere una potenza di 10, si deve leggere il risultato dal successivo più alto valore della
scala log-log per ricavare di nuovo la potenza di dieci.
Un altro calcolo possibile sulle scale LL è d'ottenere il log di un numero su una base qualsiasi. Ricordando
che, esemplifichiamo, con log2(6) si intende la potenza alla quale si deve elevare 2 per ottenere 6, e che
l'elevazione a potenza sulla scala LL equivale a moltiplicare la scala LL per la scala C, porre C:10 su LL2:2 e
quindi spostando il corsoio su LL3:6 ci permette di trovare il risultato su C a 2,58. Di nuovo abbiamo usato
C:10 invece di di C:1 e quindi abbiamo dovuto compensare spostando la lettura da LL2 ad LL3. Un altro
esempio: log5(20) = 1,86 può essere ottenuto usando direttamente i valori su C, ed interamente sulla scala
LL3, e un altro: log2(1,2) = 0,263 può essere fatto interamente su LL2, ma l'uso di C:10 invece di C:1 ci dice
che il risultato è un decimo di quello letto sulla scala C.
Le serie di scale LL0x fanno la stessa cosa, però per i numeri minori di uno. Se non si dispone di esse, al
loro posto si utilizzano le scale LLx, prendendo il reciproco dei numeri. Così per ricavare e-2 si può leggere
da D:2 ad LL03 per trovare 0,135, oppure leggere su LL3 il valore 7,4 e quindi il risultato è il reciproco 1/7,4
=0,135.
Accuratezza e scale a doppia lunghezza (W1, W1', W2, W2')
Queste scale sono piuttosto esoteriche. Il loro scopo è quello di ottenere maggiore precisione per
moltiplicazione e divisione, a spese di una considerevole ulteriore complessità. Tipicamente, esse occupano
entrambe le estremità dello scorrevole, estendendo un singolo intervallo 1...10 alla lunghezza totale di
entrambe. Le scale in basso sono chiamate W1 (al posto di D) e W1' (al posto di C); le scale più in alto sono
W2 (invece di A) e W2' (invece di B). Le loro formule sono sqrt(x) per W1 e W1'; sqrt(10x) per W2 e W2'.
Una digressione sul concetto di precisione. Abbiamo visto che le scale logaritmiche hanno la proprietà che
per ogni data distanza lineare corrisponde sulle scale un moltiplicatore costante, ciò permette d'eseguire
appunto moltiplicazioni. Ma in questo modo, a ogni errore di lettura, che è assimilabile alla stessa distanza
fisica dovunque si sia posizionati sulle scale, corrisponde un rapporto d'errore di lettura costante e una
percentuale d'errore costante. Ciò significa che la precisione di un regolo calcolatore, pur dipendendo
principalmente dalla lettura dell'occhio umano e dalla sua capacità di stima fra due segni incisi, è migliore
quanto più lungo è l'intervallo unitario. Supponiamo che l'errore di lettura sia di 0,1 mm, valore che possiamo
considerare piuttosto buono, allora su un regolo di 250 mm ciò rappresenta un rapporto d'errore di 100,1/250 =
1,00092 (si può fare questo calcolo col regolo calcolatore se esso dispone delle scale LL3 ed LL0!) ovvero
circa lo 0,1%. Per un regolo di 125 mm si ottiene 0,2%, e per un regolo di 500 mm si ha 0,05%. Questo
fattore si applica per ogni operazione dello scorrevole o del corsoio, così per 6 operazioni ci si aspetta al
massimo uno 0,6% per un regolo di 250 mm. Una più grande accuratezza si può ottenere solo con scale più
lunghe o divisioni più fini, e presumibilmente un microscopio per vederle.
Così, un modo conveniente per raddoppiare la precisione è quello di raddoppiare la lunghezza delle scale,
ma lo svantaggio di un ingombro maggiore, e di un calcolo poco pratico a causa della maggior lunghezza
dello scorrevole, non ci porta lontano. Si è pervenuti di conseguenza al compromesso delle scale sfasate di
doppia lunghezza.
Le scale W non sono troppo cattive se si usano con intelligenza. e scale più basse W1 iniziano da 1 e si
fermano a 1 su un segno rosso corrispondente a dove si ha il 10 sulla scala D; chiamiamo questo punto
W1:R. Le scale più in alto W2 iniziano su un segno rosso che chiamiamo W2:R e vanno fino a 10. I segni
rossi sono importanti, poiché essi vengono usati come gli indici delle normali scale. Pensiamo ad essi come
indicanti sqrt(10), così quando vengono utilizzati essi producono fattori illegittimi di sqrt(10). Tuttavia,
siccome le scale W2 hanno un offset di sqrt(10) rispetto a W1 (ricordiamo che l'offset è metà della lunghezza
unitaria) i fattori illegittimi di sqrt(10) possono essere ripresi "attraversando" il regolo. Così ricaviamo un
principio base: se il calcolo usa un indice normale la risposta va letta sullo stesso lato; se si usa un segno
rosso rosso allora il regolo va "attraversato".
Proviamo con un esempio: 2*2. Se si imposta W1':1 su W1:2, W1':2 è oltre la fine. Così, si imposta allora
W1':R su W1:2 e si sposta il corsoio a W1':2. Ora, siccome si è utilizzato un segno rosso, non si deve
leggere il risultato su W1, ma attraversare il regolo su W2 e trovare il risultato 4. Funziona!
Se non si vuole utilizzare i segni rossi, allora si utilizza l'appropriato indice sul lato opposto e l'allineamento
mediante il corsoio, è quindi anche più evidente che come si attraversa per impostare l'indice allora si deve
attraversare di nuovo per leggere il risultato. Penso che le linee rosse siano più facili da usare.
Proviamo una divisione, per esempio 2/6. 2 è su W1 e 6 è su W2, così impostiamo il corsoio a W1:2 e
portiamo W2':6 sotto la linea rossa; si legge il risultato 0,333 su W2 opposto a W2':R. Si è usato il segno
rosso quando si sono attraversati i lati impostando la divisione.
Non c'è altro su questo tipo di scale, non ci sono scorciatoie, scale equivalenti a CF, DF o CI; inoltre non ci
sono funzioni trig o altre elaborate scale basate sulle scale W. Con le scale W si eseguono moltiplicazioni e
divisioni più accurate e questo è tutto.
Scale radici quadrate e cubiche
Le ho viste soltanto sul regolo americano Pickett. Esse sono scale a doppia o tripla lunghezza, solo sul
corpo e non possono essere utilizzate per moltiplicazioni e divisioni ad alta precisione. Però permettono
calcoli di quadrati, radici quadrate, cubi e radici cubiche più accurati rispetto ad un regolo normale.
Altre scale
Le sole scale non ancora menzionate che ho sui miei regoli sono quelle ad uso elettrico. Esse operano con
speciali segni sulle scale ABCD per calcolare la caduta di tensione nel rame e il rendimento di un motore o
di un generatore elettrico. Esse sono così specialistiche che senza le istruzioni è più facile eseguire i calcoli
con le scale normali, a meno che non siano operazioni che si fanno ogni giorno.
Linee sul corsoio
Alcuni fabbricanti di regoli incidono sul corsoio linee extra. Siccome lo spazio fisso fra due linee sulla stessa
scala corrispondono ad un fattore moltiplicativo, possono essere impostate semplici conversioni, purché il
fattore moltiplicativo sia stretto abbastanza per trovar posto sul corsoio. Un caso comune è la conversione
da chilowatt a cavalli di potenza, a 735 watt o 746 watt in dipendenza del paese di origine.
Un altra linea, quasi universale, consente di leggere da 2 su D a pi su A; ciò combina due fattori e una radice
per calcolare pi*(x/2)², ovvero l'area di un cerchio di diametro x.
Materiale originale di:
Nigel Bromley, traduzione di Ezio Raddi permessa dall'autore