CALCOLARE... COME UNA VOLTA l`aritmografo, il regolo

CALCOLARE... COME UNA VOLTA
l’aritmografo, il regolo calcolatore,
le calcolatrici meccaniche tascabili, e altro
Un grazie a L. Preziosi, L. Pandolfi, S. Berrone, F. Ceragioli,
P. Valabrega, G. Beccari e altri ancora ...
EVOLUZIONE DEL CALCOLO
calcolo aritmetico
calcolo algebrico
calcolo differenziale e integrale
calcolo vettoriale
calcolo matriciale
calcolo tensoriale
calcolo combinatorio
calcolo delle probabilità
......................
CALCOLO ARITMETICO
somme e sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni, potenze e radici
Si evolve sulla spinta di impellenti necessità di ordine pratico:
•
•
•
•
•
trattare numeri sempre più grandi
eseguire calcoli sempre più lunghi e complicati
velocizzare l’esecuzione
assicurare una sempre maggior precisione
garantire l’immunità da errori
=⇒ sviluppo di tecniche:
1) per la rappresentazione simbolica dei numeri (basi
numeriche, notazione posizionale) e per il calcolo (algoritmi e
regole, stima degli errori di arrotondamento)
2) per la realizzazione di dispositivi che permettano di
automatizzare l’esecuzione delle operazioni.
L’ABACO
già noto agli antichi egizi, ancora in uso in Cina fino alla metà
del secolo scorso
• Abaco “modello base” (pallottoliere)
• Abaco cinese del tipo (2, 5)
• Addiator (aritmografo a cremagliera)
Principale produttore:
Addiator Gesellschaft, Berlino (dal 1920 al 1982)
IL REGOLO CALCOLATORE
Nella sua versione più semplice, il regolo calcolatore è
composto da due sbarrette, una fissa e l’altra scorrevole, su
ciascuna delle quali è riportata una scala logaritmica.
Edmund Gunter (Londra, 1620)
William Oughtred (Cambridge, 1630)
Amédée Mannheim (Parigi, 1851)
(aggiunge nuove scale per altri calcoli)
Quintino Sella (Torino, 1859)
Max Rietz (1902)
Alwin Walther (Università di Darmstadt, “log log”) (1934)
Prodotto e commercializzato a partire dalla fine dell’ottocento
e fino al 1978 (Faber-Castell, Pickett, Aristo, Nestler)
I logaritmi costituiscono il fondamento teorico del regolo
calcolatore.
Definizione (moderna) di logaritmo (Eulero, 1730 circa):
X = logb x ⇐⇒ bX = x
b > 0(b 6= 1), x > 0
Basi frequentemente usate:
• base e (logaritmi naturali, scopi scientifici)
notazione ISO: ln x
• base 10 (logaritmi comuni, usi tecnici e commerciali)
notazione ISO: lg x
Proprietà dei logaritmi:
logb xy = logbx + logb y
logb xy = logbx − logb y
logb xk = k logb x
(x > 0, y > 0)
(x > 0, y > 0)
(x > 0, k ∈ R)
loga x = loga b · logb x (cambiamento di base)
in particolare:
logb x = − log 1 x = − logb 1
x
b
loge 10 = 2.302584
loga b = 1/ logb a
Grafico della funzione logaritmo (base 2 e 3)
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
SCALA LOGARITMICA
Se X = log x, si usa x per denotare il punto di ascissa X
Su una scala logaritmica, due intervalli [a, b] e [c, d] sono
“uguali” se
d
b
=
a
c
Infatti
B − A = log
b
,
a
D − C = log
d
c
Operazioni col regolo
Moltiplicazione: grazie alla prima proprietà dei logaritmi, con
l’utilizzo delle scale C e D
moltiplicazione → somma → traslazione
• i numeri vanno rappresentati in virgola mobile x = M · 10E
• l’ordine di grandezza E deve essere calcolato a parte.
• la precisione dipende dall’esperienza e dall’abilità
dell’operatore
17 × 23 = 391
5738 × 7239 = 41537382
0.5738 · 104 × .7238 · 104 = 0.4152.... · 108
Scale aggiuntive:
A scala fissa dei quadrati
B scala mobile dei quadrati
CI scala dei reciproci
K scala dei cubi
L, LL1 ... scale di logaritmi
S scala dei seni e coseni
T scala delle tangenti
..........
Altre operazioni:
Calcolo di percentuali, risoluzione di certe equazioni di secondo
grado, area e diametro del cerchio, potenze e radici, funzioni
trigonometriche
Altri tipi di regolo:
regoli circolari
regoli cilindrici
regoli concepiti per attività specifiche (Calcolo del fattore di
potenza e delle curve di carico degli impianti elettrici, calcolo
della sezione di un cavo, rendimento di una dinamo o di un
motore, calcoli statistici, regoli per usi militari)
Regoli didattici
Altri strumenti per l’esecuzione di calcoli particolari
(nomogrammi)
I LOGARITMI
John Napier (1614)
Siano date due semirette, di origine rispettivamente O e O0, e
sia A un punto sulla prima semiretta, di ascissa 107. Un punto
P , di ascissa x, si muove a partire da A verso l’origine, con
velocità che decresce in maniera proporzionale alla distanza
che gli rimane da percorrere. Simultaneamente, un punto Q, di
ascissa X, si muove sulla seconda semiretta con velocità
costante uguale a 107, partendo dall’origine.
O
P
A
x
O’
Q
X
X è il logaritmo “neperiano” di x.

ẋ = −x
x(0) = 107

Ẋ = 107
X(0) = 0
Integrando, (con notazione moderna)
x = 107e−t ,
X = 107t
Eliminando t, con semplici passaggi, si ottiene
X = 107 log 1
e
x
107
Differenze rispetto alla definizione attuale:
• la base (si riduce a uno scambio di segni)
• i fattori di scala
=⇒
• il logaritmo neperiano di uno non è zero
• il logaritmo neperiano della base non è uno
Sembra che Napier sia arrivato a formulare la sua definizione
sviluppando due idee:
1) l’uso di formule di prostaferesi per i calcoli astronomici
(Tycho Brahe)
2) l’uso di progressioni geometriche, combinate col metodo
dell’interpolazione lineare, per ridurre la complessità dei calcoli
(Stifel, 1544)
1, b, b2, b3, . . . , bN , . . .
Progressione geometrica di base 2
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Napier si chiede come scegliere b per rendere il più possibile
efficiente questo metodo, e decide di scegliere
b=1−
1
= 0.9999999
7
10
In questo modo però la curva risulta troppo schiacciata, e
allora aggiunge un fattore correttivo pari a 107, e afferma che
X è il logaritmo di x se
X
1
x = 107 1 −
107
Si noti che
1
1−
107
X
1
= 1−
107
107X
107

= 1−
1
107
107
 X
107

il numero in parentesi quadra è molto vicino a 1/e
1 k
= e = 2.7182818284
lim 1 +
k→∞
k
7
1 −10
1−
= 2.718281962
107
corretto fino alla sesta cifra! (Non si conoscevano ancora le
derivate, le serie, e nemmeno la notazione esponenziale)
I primi logaritmi calcolati da Napier erano logaritmi di seni di
angoli del primo quadrante (di minuto in minuto). Per
calcolare la sua tavola impiegò 20 anni. L’invenzione di Napier
si diffonde e si sviluppa rapidamente tra i suoi contemporanei:
J. Speidell (1619, 1622), E. Wright (1618) e all’uso che ne fa
Keplero.
Jobst Bürgi (1620) pubblica una sua teoria dei logaritmi,
usando come base
1
b=1+
104
(fornisce un valore di e corretto fino alla quarta cifra)
Henry Briggs nel 1617 pubblica una tavola dei logaritmi dei
numeri da 1 a 1000, calcolati fino alla quattordicesima cifra
dopo la virgola, in base 10 (logaritmi comuni), e tali che
log 1 = 0 e log 10 = 1.
TAVOLE DEI LOGARITMI
Sembra che Briggs si sia servito di almeno tre metodi per
comporre le sue tavole. Il procedimento più semplice si basa
sull’estrazione di radici e l’interpolazione lineare.
x=
p
10 2n
=
q
√
... 10p ⇐⇒ 2pn = log10 x
Nel 1624 Briggs pubblica tavole di logaritmi di numeri a cinque
cifre, da 1 a 20000 e da 90000 a 100000. I logaritmi dei
numeri da 20000 a 90000 furono pubblicati pochi anni dopo da
Adrian Vlacq (con 10 decimali). Le tavole di Vlacq contengono
circa 2100000 cifre stampate, di cui 603 si sono poi rivelate
sbagliate: una percentuale inferiore allo 0.003%!
Nel 1668 viene pubblicata la serie di Mercator
x2
x3 x4
log(1 + x) = x −
+
−
+ ...
2
3
4
Cambia il modo di calcolare i logaritmi.
• È sufficiente calcolare i logaritmi dei numeri primi
• Noti i logaritmi dei numeri primi fino a P (con P abbastanza
grande), se ne possono ottenere altri con lo sviluppo
(J. Gregory, 1668)
log(Q − 1) + log(Q + 1)
+
2
"
#
1
1
1
+
+
+
+ ...
2
2
3
2
5
2Q − 1
3(2Q − 1)
5(2Q − 1)
log Q =
Nuove tavole appaiono verso la fine del ’700.
J.H. Lambert (1770)
J.K. Schulze (1778): tavole di Wolfram (un ufficiale di
artiglieria olandese) di logaritmi naturali (fino a 2200) e di
numeri primi fino a 10009.
De Prony (1792) Table du Cadastre (ri-edite a cura del
Governo Francese nel 1891)
Jurij Vega nel 1794 rivede le tavole di Vlacq eliminando parte
degli errori.
Istituto geografico-militare di Firenze (1889)
Nel secolo scorso, molti governi hanno finanziato la produzione
di tavole matematiche. Negli Stati Uniti esiste un’agenzia con
queste finalità: NIST (National Institute for Standardization
and Technology, già National Bureau for Standardization)
• Tavole per uso scolastico e commerciale (logaritmi comuni)
• Tavole per uso scientifico (logaritmi naturali)
USO DELLE TAVOLE
Come col regolo, mediante le tavole si trova solo la mantissa,
cioè la parte dopo la virgola. La caratteristica, cioè la parte
intera, dipende dall’ordine di grandezza e va calcolata a parte.
Esempio. 320 = 3.20 · 102
log10 320 = 2 + log10 3.2 = 2 + 0.50515 = 2.50515
LE CALCOLATRICI MECCANICHE
Wilhelm Schikard (1623): Orologio calcolatore
Blaise Pascal (1645): Pascalina (solo addizioni)
Gottfried Leibniz (1673): Stepped Reckoner (inventa il
“traspositore”, in grado di eseguire moltiplicazioni e divisioni)
Curt Herzstark: CURTA
Prodotta dalla Contina Ltd Mauren (Liechtenstein) e
commercializzata dal 1948 al 1970 (circa 1400000 esemplari al
costo di 125 dollari)
Charles Babbage (1837): macchina analitica
Douglas Hartree (1934): analizzatore differenziale (usa pezzi
del ”Meccano”)
LE CALCOLATRICI ELETTRONICHE
SR10 Texas Instruments (1970)
HP35 (1972) Calcolatrice scientifica
TI59 (1977) Programmabile
Casio PB100 (1982) Linguaggio Basic
BIBLIOGRAFIA
Capelo, Ferrari, Padovan: Numeri, aspetti storici, linguistici e
teorici dei sistemi di numerazione, 1990 Zanichelli
Boyer, Storia della matematica, 1968 Mondadori
Cajori, History of Mathematics, 1985 Chelsea
Geymonat, Lezioni di matematica 1, 1981 Levrotto e Bella
Table of natural logarithms, conducted under the sponsorship
of the National Bureau of Standards, 1941
MAP museo archivio politecnico
http://areeweb.polito.it/strutture/
Museo degli strumenti per il calcolo di Torino
http://museostrumenticalcolo.altervista.org/joomla
Museo degli strumenti scientifici per il calcolo (Pisa)
http://www.fondazionegalileogalilei.it
Mateureka (Pennabilli, Rimini)
http://www.mateureka.it