Polinomi di Taylor: illustrazioni
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Polinomi di Taylor: illustrazioni
Taylor.nb 1 Polinomi di Taylor: illustrazioni Gianluca Gorni, Università di Udine 1. L'esponenziale ãx n=4 n=3 2.5 n=2 2 n=1 1.5 n=0 n=0 1 n=2 0.5 n=4 ãx n=3 -1.5 x -1 -0.5 0.5 n=1 1 -0.5 La funzione esponenziale x # ex (tratteggiata) ha come polinomio di MaLlaurin di ordine n 2 3 n x x x €€ + €€€€ €€ + º + €€€€ €€ . pn,0 HxL = 1 + x + €€€€ 2! 3! n! Al crescere dell'ordine n i grafici dei polinomi (non tratteggiati) si "adagiano" sempre di più e su una regione sempre più vasta sul grafico della funzione esponenziale. Quella dell'esponenziale è una delle situazioni in cui i polinomi di Taylor hanno pieno successo nell'opera di approssimare una funzione. Taylor.nb 2 2. Il Seno n=1 3 n=3 2 1 n=5 sen x -p p - €€€€€€ 2 p €€€€€€ 2 x p sen x n=5 -1 -2 n=3 -3 n=1 La funzione x # sen x (tratteggiata) ha come polinomio di MaLlaurin di ordine n = 2 k + 1 3 5 7 9 2 k+1 x x x x x €€ + €€€€ €€ - €€€€ €€ + €€€€ €€ - º + H-1Ln €€€€€€€€ €€€€€€€€€€ . p2 k+1,0 HxL = x - €€€€ 3! 5! 7! 9! H2 n+1L! Al crescere dell'ordine n i grafici dei polinomi (non tratteggiati) si "adagiano" sempre di più e su una regione sempre più vasta sul grafico della funzione seno. Quella del seno è un'altra delle situazioni in cui i polinomi di Taylor hanno pieno successo nell'opera di approssimare una funzione. Taylor.nb 3 3. Il coseno n=0 n=0 1 0.5 n=4 n=4 x p €€€€€€ 2 p - €€€€€€ 2 -p p -0.5 cos x cos x -1 n=6 n=6 -1.5 n=2 n=2 -2 La funzione x # cos x (tratteggiata) ha come polinomio di MaLlaurin di ordine n = 2 k 2 4 6 8 10 2k x x x x x x €€ + €€€€ €€ - €€€€ €€ + €€€€ €€ - €€€€ €€€€€ + º + H-1Ln €€€€€€€€ €€€€€ p2 k,0 HxL = 1 - €€€€ 2! 4! 6! 8! 10! H2 nL! Al crescere dell'ordine n i grafici dei polinomi (non tratteggiati) si "adagiano" sempre di più e su una regione sempre più vasta sul grafico della funzione coseno. Quella del coseno è un'altra ancora delle situazioni in cui i polinomi di Taylor hanno pieno successo nell'opera di approssimare una funzione. Taylor.nb 4 1 4. La funzione x # €€€€€€€€ €€€€€ 1+x 2 n=0 n=8 n=4 n=4 n=8 1.5 n=0 1 0.5 1 €€€€€€€€ €€€€€€€€€€€€ 2 x +1 1 €€€€€€€€ €€€€€€€€€€€€ 2 x +1 x -1 -0.5 0.5 1 -0.5 1.5 2 n=6 n=2 -1.5 n=2 n=6 -2 1 La funzione x # €€€€€€€€ €€€€€ (tratteggiata) ha come polinomio di MacLaurin di ordine n = 2 k 1+x2 p2 k,0 HxL = 1 - x2 + x4 - x6 + x8 - x10 + º + H-1Ln x2 k . Al crescere dell'ordine n i grafici dei polinomi (non tratteggiati) si "adagiano" sempre di più sul grafico della funzione, e la regione di adagiamento è sempre più vasta, ma non a dismisura: invade lentamente l'intervallo ]-1, 1 [, ma non si spinge oltre. Fuori da quell'intervallo i grafici dei polinomi di Taylor in effetti si allontanano da quello della funzione, e tendono a divergere (positivamente o negativamente a seconda se si prendono gli n pari o dispari). Questo è un esempio in cui i polinomi di Taylor hanno successo solo parziale nell'opera di approssimare una funzione. Taylor.nb 5 5. La funzione x # ã x - 3 ã -1•x 2 n=4 n=3 2.5 n=2 2 n=1 1 ãx - 3 ã- €€€€x2€€ € 1.5 n=0 n=0 1 n=2 0.5 n=4 n=3 -1.5 n=1 x -1 1 ãx - 3 ã- €€€€x2€€ € -0.5 0.5 1 -0.5 2 l o ã x - 3 ã-1•x per x ¹ 0 (tratteggiata) è derivabile infinite volte su tutto R (omettiamo la dimostraziLa funzione x # m o 0 per x = 0 n one) e il suo polinomio di MacLaurin di ordine n è 2 3 n x x x pn,0 HxL = 1 + x + €€€€ €€ + €€€€ €€ + º + €€€€ €€ . 2! 3! n! Già visti da qualche parte questi polinomi? Sì: sono identici ai polinomi di MacLaurin dell'esponenziale ã x . Al crescere dell'ordine n i grafici dei polinomi (non tratteggiati) si "adagiano" sempre di più sul grafico della funzione esponenziale, che però non è la funzione da cui siamo partiti. Questo è un esempio in cui i polinomi di Taylor falliscono completamente nell'opera di approssimare una funzione. Taylor.nb 6 n=3 ât n=5 n=9 n = 17 1 1 €€€€ 4 €x€€€€ 4 t 2 Ù0 ã n = 129 n = 65 n = 33 6. La funzione x # 2 ã 1 - €€€€€€€€ €€€€ 4 x2 0.5 - €€€€€1€€€2€€ € 2ã 4x à 1 €€€€ 4 €x€ € 2 ã4 t â t 0 x -1 - €€€€ €1€€€€€ € 4 x2 2ã -0.5 à 1 €€€€ 4 €x€ € 0.5 1 2 ã4 t â t 0 -1 n = 33 n = 65 n = 129 n = 17 n=9 n=5 n=3 -0.5 1 €€€€1€€€€ 2 l o o 2 ã- €€€€4€x€€€2€€€€ Ù 4 x ã4 t â t per x ¹ 0 0 La funzione x # m (tratteggiata) è derivabile infinite volte su tutto R (omettiamo la o o per x = 0 n0 dimostrazione) e il suo polinomio di MacLaurin di ordine n = 2 k + 1 è H2 kL! 2 k+1 0! 2! 3 4! 5 6! 7 € x + €€€€ € x + €€€€ € x + €€€€ € x + º + €€€€€€€€ €€€€ x . p2 k+1,0 HxL = €€€€ 0! 1! 2! 3! k! Al crescere dell'ordine n i grafici dei polinomi (non tratteggiati) si "adagiano" sul grafico della funzione su una regione che via via si restringe. I polinomi tendono all'infinito, eccetto nel caso banale di x = 0 . Questo è un altro esempio in cui i polinomi di Taylor falliscono miseramente nell'opera di approssimare una funzione.