Il problema dei ponti di Königsberg: soluzione di Euler

Il problema dei ponti di Königsberg: soluzione di Euler
Giorgio Mainini
Il presente contributo è il "condensato" di un altro,più esteso, che apparirà nel numero 55 del
Bollettino dei docenti di matematica (dicembre 2007), edito dalla Divisione della Scuola e dal
Centro didattico cantonale del Dipartimento dell'educazione, della cultura e dello sport della
Repubblica e Cantone Ticino.
A Königsberg nella Prussia orientale, oggi Kaliningrad in Russia, il fiume Pregel con i suoi
rami divide la città in quattro regioni, di cui una è un'isola. Nel XVIII secolo la situazione era
quella rappresentata nella seguente cartina:
Come si vede, le quattro parti della città erano unite da sette ponti. Si dice che gli abitanti
usassero invitare gli stranieri di passaggio a passeggiare per la città seguendo un percorso che
li facesse transitare su tutti i ponti una sola volta. Del problema venne a sapere Euler che lo
affrontò, scrive, come se fosse un esempio di Geometria situs, un nuovo ramo della geometria
di cui si era occupato Leibniz. Oggi noi quel ramo lo chiamiamo topologia. Si può dunque
affermare che il Problema dei ponti di Königsberg è uno dei primi, se non il primo, problemi
topologici affrontati e risolti.
È interessante mostrare quale fu il metodo adottato da Euler: è quanto farò con questo
contributo1.
Il grande Leonhard scrive che si potrebbe cominciare con l'elencare tutte le passeggiate
possibili: dall'elenco si vedrebbe qual è, o quali sono, quella/e che risolve, o risolvono, il
problema oppure che tale passeggiata non esiste. Ma subito esclude quel metodo, per due
motivi.
Primo, perché i percorsi possibili sono un numero enorme, e la loro elencazione creerebbe
difficoltà che nulla hanno a che vedere con la natura del problema.
1
Il documento, in formato .pdf, cui ho fatto capo è scaricabile da Internet seguendo la seguente procedura:
- andare al sito http://www.math.dartmouth.edu/~euler/
- nella colonna blu a sinistra, cliccare su Subject
- nella tabella Mathematics: cliccare su Combinatorics & Probability
- nella nuova tabella cliccare su 53
- al titolo Documents Available: cliccare su E053
Secondo, perché, così facendo, si risolverebbe sì il problema specifico, che resterebbe però
aperto per altre disposizioni delle regioni, per il loro numero e per il numero dei ponti.
Allora inventa un altro metodo, che si basa essenzialmente su un modo idoneo di
rappresentare i percorsi. Comincia con l'indicare con A, B, C e D le quattro regioni, come si
vede nella cartina precedente. Già che c'è, indica con a, b, c, d, e, f, g i sette ponti, ma delle
lettere minuscole farà un uso estremamente ridotto.
Scrive Euler: se il viaggiatore dovesse partire dalla regione A e, attraverso non importa quale
dei ponti a e b, si reca in B, indicherò il suo percorso con AB; se poi si recasse in D, il nuovo
tratto lo indicherei con BD e tutto il tragitto con ABD. E se poi andasse da D a C, allora
indicherei il percorso complessivo con ABDC2. Le quattro lettere ABDC dicono non solo
qual è stato il percorso, ma dicono anche che sono stati attraversati tre ponti. In generale, il
numero di ponti attraversati è di uno minore del numero di lettere della parola-percorso.
Viceversa, se si transita su un certo numero di ponti, allora il numero di lettere della parolapercorso sarà di uno maggiore di tale numero. Ecco allora la prima considerazione cruciale: il
percorso cercato dovrà essere descritto da una parola-percorso di otto lettere - perché i ponti,
sui quali si deve passare una sola volta, sono sette - scritta usando solo le lettere A, B, C e D.
Quindi, risolvere il problema si riduce a trovare la parola giusta: se la parola non esistesse,
sarebbe inutile cercare il percorso, perché non esisterebbe.
Euler prosegue analizzando che cosa può capitare alla lettera A. Se la regione A fosse
collegata a un'altra regione con un solo ponte, allora la parola conterrebbe una sola volta la
lettera A, sia che si parta da A sia che si parta da un'altra regione. Se la regione A fosse
collegata con altre regioni con tre ponti, allora la parola conterrebbe due volte la lettera A, sia
che si parta da A sia che si parta da un'altra regione (provare per credere). Se la regione A
fosse collegata con altre regioni con cinque ponti, allora la parola conterrebbe tre volte la
lettera A, sia che si parta da A sia che si parta da un'altra regione (riprovare per credere). In
generale, se una regione è collegata ad altre con un numero dispari di ponti, la sua lettera
apparirà tante volte quanto è la metà di quel numero aumentato di uno3. E questa
considerazione è, anche lei, cruciale. Difatti, poiché A è collegata alle altre regioni con cinque
ponti, la lettera A dovrà apparire tre volte nella parola; poiché la regione B è collegata alle
altre con tre ponti, la lettera B dovrà apparire due volte, come, per lo stesso motivo, le lettere
C e D. In totale, nella parola di otto lettere (prima considerazione), dovranno apparire tre A,
due B, due C e due D (seconda considerazione): ma 3+2+2+2=9, e quindi non c'è niente da
fare.
Di conseguenza, gli ospiti dei regiomontani (così Euler chiama gli abitanti di Königsberg, di
cui ha latinizzato il nome in Regiomons) non potranno in nessun modo passeggiare come
richiesto.
Quanto scritto sopra è contenuto nei primi nove paragrafi del lavoro Solutio problematis ad
Geometriam situs pertinentis, pubblicato per la prima volta nei Commentarii academiae
scientiarum Petropolitanae 8, pagg. 128-140, nel 1741, da dove ho ripreso la cartina.
Nei paragrafi 10-21 Euler prosegue la trattazione, generalizzando il problema, come
preannunciato, a un numero qualunque di regioni, comunque definite dai rami del fiume, per
un numero qualunque di ponti. Nel paragrafo 15 enuncia una prima regola in sei punti per
stabilire se la passeggiata generalizzata è possibile o no. Ma non si accontenta: ci ragiona su
nei paragrafi 16-19 e ne ricava un'altra, ben più semplice, nel paragrafo 20. Eccola, con le sue
stesse parole, nella mia traduzione:
2
3
Non si creda che sia io a prendere i lettori per duri di comprendonio: Euler scrive proprio così.
Attenzione al genere dell'aggettivo: se i ponti sono n dispari, la lettera A apparirà (n+1)/2 volte, non n/2+1.
Dato dunque un qualunque caso, si può immediatamente e facilissimamente
riconoscere se la passeggiata, alle solite condizioni, è possibile o no, in forza
della seguente regola. Se sono più di due le regioni alle quali conducono un
numero dispari di ponti, allora si può affermare con certezza che la
passeggiata è impossibile. Se sono solo due le regioni alle quale conducono
un numero dispari di ponti, allora la passeggiata è possibile, a condizione
che si parta da una di esse. Se infine a nessuna regione giunge un numero
dispari di ponti, allora la passeggiata è possibile, qualunque sia la regione
dalla quale si parte. E questa regola è del tutto soddisfacente, qualunque sia
il problema posto.
Resta il paragrafo 21, nel quale si chiede: va bene, possiamo facilmente stabilire se la
passeggiata è possibile o no. Ma, una volta stabilito che c'è, come facciamo a trovarla?
Naturalmente risponde alla domanda, proponendo un metodo veramente semplice ed efficace,
che lascio scoprire dal curioso lettore.
Le ultimissime parole del lavoro sono le seguenti:
E, per la forza stessa della regola, non reputo si debbano dare ulteriori e più
ampie indicazioni per costruire i percorsi.
Qualche osservazione
L'aspetto del lavoro: se un lettore non sapesse che si tratta di matematica, potrebbe
pensare di trovarsi di fronte ad un racconto. L'assenza totale di formule è impressionante. Lo
si confronti con quello di un qualsiasi testo contemporaneo, anche scolastico.
La capacità espositiva dell'Autore è esemplare. Ad esempio, visto che indica sia le
regioni sia i loro nomi con lettere maiuscole, alle stesse fa sempre riferimento precisando se
sono regioni o lettere. Noi, forse, avremmo avuto la tentazione di indicare con A, B, C ecc. le
regioni e con n(A), n(B), n(C) ecc. le lettere che le designano. Avremmo, sempre forse,
guadagnato in "chiarezza" ma avremmo perso in concisione e "pesantezza" dello scritto. Un
altro esempio è dato dai paragrafi 4 e 5, dove spiega in lungo e in largo, correndo un certo
qual rischio di pignoleria, come descriverà i percorsi.
Euler, più di una volta, "tira via", fidandosi dell'evidenza. Ad esempio, dopo aver
descritto ciò che avviene se i ponti che conducono ad una regione sono uno, o tre, o cinque,
generalizza a tutti i numeri dispari. Come si dice: "La dimostrazione, ovvia, è lasciata per
esercizio"… Dal punto di vista della prassi insegnante, il procedimento è da tenere in seria
considerazione: perché dimostrare (sive appesantire con dimostrazioni) ciò che è accettato
senza discussione? Non sto sostenendo che le dimostrazioni sono inutili: sto sostenendo che,
se si fanno, devono esserci "buoni" motivi, tra i quali non pongo il richiederla in un "espe".
Dalla prima regola, che permette di stabilire se la passeggiata è possibile, ne ricava
un'altra, enunciata nel paragrafo 20. Anche qui Euler ci dice che cosa fa (deve fare, dovrebbe
fare) il buon insegnante: non accontentarsi del risultato raggiunto, ma "rilanciare", per vedere
se non si possa ricavare qualcosa di meglio. In questo senso, il paragrafo 21 è un piccolo
capolavoro a sé.
Si noti che, contrariamente a quanto si crede, perché una moltitudine di articoli lo
sostengono, l'Autore non ricorre ai grafi. Il ben noto "disegnino"
non compare da nessuna parte del lavoro di Euler.
Il lavoro sui ponti di Königsberg è di tipo topologico? Bisogna intendersi: lo è nel senso
che si occupa, come dice il suo titolo, di Geometria situs4, e nel senso "storico", poiché ad
esso si usa riferirsi come lavoro fondante il nuovo ramo della matematica. Ma il modo di
condurre la dimostrazione è decisamente combinatorio: e giustamente è così classificato nel
sito del Dartmouth College (v. nota 1). La matematica sembra fatta di atolli sparsi nell'oceano,
ma poi si scoprono ponti (è proprio il caso di dirlo!) che, quando meno te lo aspetti, li
congiungono. Gli "specialisti" se lo tengano per detto.
Una mia curiosità
È ben vero che Euler si è occupato di una quantità spaventosa di argomenti, dalla teoria dei
numeri ai movimenti del sole e della luna, dalle serie infinite alla scienza navale, dal
comportamento dei corpi elastici al modo migliore di costruire lenti, e di altro ancora, "libri di
testo" compresi: ma chi gliel'ha fatto fare di occuparsi di un giochino al quale si
abbandonavano, la domenica pomeriggio, i bravi regiomontani con mogli, figli e ospiti vari?
Vista la grandezza del personaggio, mi piace credere che abbia presentito che, oltre due secoli
dopo, qualcuno avrebbe dovuto organizzare i sistemi viari di metropoli al limite del collasso o
costruire oggettini microscopici da mettere nei cellulari o nelle sonde spaziali. Mah?
Eulero, nel 1736, non diede la dimostrazione della sufficienza della condizione (che un grafo connesso ha un circuito
euleriano se e solo se da ogni nodo esce un numero pari di archi), affermando che ci si poteva arrivare facilmente con un po'
di riflessione. La prima dimostrazione della sufficienza fu data da C. Hierholzer nel 1873; si veda N. L. Biggs, E. K. Lloyd
e R. J. Wilson, Graph Theory 1736-1936, Oxford Univ. Press, Oxford, 1977. A proposito delle possibili dimostrazioni
segnaliamo, di Gabriele Lolli, "Visione e logica in matematica", Lettera Pristem, n.18, dicembre 1995, dossier, pp. X-XX
(nota redazionale).
4
Addirittura come esempio di Geometria situs, come precisa nel paragrafo 1.