CAPITOLO 8 Piani fattoriali frazionari a due livelli

Douglas C. Montgomery
Progettazione e analisi degli esperimenti
© 2006 McGraw-Hill
CAPITOLO 8
Piani fattoriali frazionari a due livelli
Metodi statistici e probabilistici per l’ingegneria
Corso di Laurea in Ingegneria Civile
A.A. 2009-10
Facoltà di Ingegneria, Università di Padova
Docente: Dott. L. Corain
Introduzione e sommario
• Capitolo di riferimento 8
• Motivazioni per l’uso di fattoriali frazionari è
evidente; dato che il numero di fattori diventa
sufficientemente grande per essere “interessante”, il
numero di piani cresce molto velocemente
• Evidente è la selezione di fattori: identificare
efficientemente i fattori con maggiori effetti
• Ci possono essere alcune variabili (spesso perchè noi
non conosciamo molto del sistema)
• Quasi sempre prova come fattoriale non replicato,
ma spesso con punti centrali
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Perché usare i piani fattoriali frazionari?
• Principio della rarità degli effetti
– Ci possono essere molti fattori, ma solo alcuni
sono importanti
– Il processo è sostanzialmente governato da
qualcuno soltanto degli effetti principali, e da
qualche interazione di basso ordine
• Proprietà di proiezione
– Qualunque piano fattoriale frazionario contiene
piani fattoriali completi in meno fattori
• Sperimentazione Sequenziale
– Possono combinare le prove di fattoriali
frazionari per risolvere difficoltà (o ambiguità) di
interpretazione
La Frazione un Mezzo del Piano2k
• Paragrafo 8-2, pagina 338
• Notazione: il piano ha 2k/2 prove, perché è riferito
a 2k-1
• Considerare un semplice caso reale, il 23-1
• Nota: scegliendo le prime 4 combinazioni I =ABC
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La Frazione ½
del Piano 2k
Per la frazione principale,
considera quel contrasto per
stimare l’effetto principale
A è esattamente lo stesso
come il contrasto usato per
stimare l’interazione BC.
Questo fenomeno è
chiamato alias e avviene in
tutti piani fattoriali
Gli Alias si possono trovare
direttamente dalla colonna
nella tabella dei segni + e -
Effetti sovrapposti nella frazione
un mezzo del Piano 23
A = BC, B = AC, C = AB (o me = 2fi)
Effetti sovrapposti (o alias) si possono trovare dalla
relazione definitoria I = ABC dalla moltiplicazione:
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI = B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
Notazione del testo per effetti alias:
l A → A + BC , l B → B + AC , l C → C + AB
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La Frazione Alternativa del Piano 23-1
• I = -ABC è la relazione definitoria
• Implica leggere differenze di alias: A = -BC,
B= -AC, e C = -AB
• Alcuni piani diventano della stessa famiglia,
definiti da
I = ± ABC
• Supponiamo che dopo aver provato la frazione
principale, venga eseguita anche l’altra
• I due gruppi di prove possono essere combinati
per forma a fattoriali pieni – un esempio di
esperimento sequenziale
Risoluzione del Piano
• Piani di Risoluzione III: nessun effetto principale
è sovrapposto ad un altro, ma gli effetti principali
sono sovrapposti alle interazioni doppie e le
interazioni doppie possono essere sovrapposte
l’una con l’altra
• Piani di Risoluzione IV: nessun effetto principale
è sovrapposto né ad un altro né ad una interazione
doppia, ma le interazioni doppie possono essere
sovrapposte l’una con l’altra
• Piani di Risoluzione V: nessun effetto principale
o interazione doppia è sovrapposto ad alcun
effetto principale o interazione doppia, ma le
interazioni doppie possono essere sovrapposte alle
interazioni triple
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Costruzione delle Frazioni un mezzo
Il piano base; Il piano generatore
Proiezione di Frazioni in Fattoriali
Qualunque piano
fattoriale frazionario
contiene piani
fattoriali completi in
meno fattori
L’analogia
“lampeggiamento”
Una frazione un
mezzo sarà
proiettato in un
fattoriale completo
in alcuni k – 1 di
fattori significativi
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Esempio 8.2 A
Esempio 8.2 A
Interpretazione dei
risultati spesso
richiede la creazione
di alcune assunzioni
Rasoio di Ockham
La Convalida di
esperimenti può
essere importante
Vedere la proiezione
di questo piano in 3
fattori, pagina 344
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Possibilità per un
secondo stadio di
sperimentazione
dopo un primo
esperimento
fattoriale
frazionario
Frazione un quarto del piano 2k
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Frazione un quarto del piano 26-2
Relazione definitoria completa: I = ABCE = BCDF = ADEF
Frazione un quarto del piano 26-2
• Usare le frazioni alternative
E = ± ABC , F = ± BCD
• Proiezione del piano in alternativa delle sei variabili
originali
• Alcuni subset delle sei variabili originali che non
sono una parola della relazione completa definitoria
risulteranno in un piano fattoriale completo
– Considerare ABCD (fattoriale completo)
– Considerare ABCE (replicato frazionario un mezzo)
– Considerare ABCF (fattoriale completo)
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Frazione un quarto del piano 26-2:
Esempio 8.3 A, Pagina 355
• Processo di stampaggio ad iniezione con sei fattori
• Progettare la matrice, pagina 355
• Calcolo degli effetti, grafico della probabilità normale
degli effetti
• Due fattori(A,B) e l’interazione AB sono importanti
• Analisi residui indica che ci sono dispersioni degli
effetti (vedere pagine 355 - 359)
Il Piano Generale Fattoriale
Frazionario 2k-p
•
•
•
•
Paragrafo 8.4, pagina 359
2k-1 = frazione un mezzo, 2k-2 = frazione un quarto,
2k-3 = frazione un ottavo, …, 2k-p = 1/2p frazione
Aggiungere p colonne al piano base; scelta p
generatori indipendenti
• Importante selezionare generatori tali da
massimizzare la risoluzione, vedere Tabella 8-14
pagina 363
• Proiezione (pagina 366) – un piano di risoluzione R
contiene fattoriali completi in alcuni R – 1 dei fattori
• Blocchi nei fattoriali frazionari (pagina 366)
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Il piano Generale 2k-p: Risoluzione non
potrebbe essere Sufficiente
• Piano ad aberrazione minima
Piani di Risoluzione III:
Paragrafo 8-5, pagina 337
• Piani con effetti principali sovrapposti con
interazioni a due-fattori
• Usati per selezionare (5 – 7 variabili in 8
prove, 9 - 15 variabili in 16 prove, per
esempio)
• Un piano k = N – 1 variabili si dice saturo
• Vedere Tabella 8.19, pagina 372 per un 27III− 4
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Piani di Risoluzione III
Piani di Risoluzione III
• Assemblaggio sequenziale di frazioni per separare
gli effetti sovrapposti (pagina 375)
• Cambiare i segni in una colonna fornisce la stima
di quel fattore e di tutte le sue interazioni a duefattori
• Cambiare i segni in tutte le colonne non
sovrappone tutti gli effetti principali dalla sua
interazione a due-fattori (fold-over completo)
• Definire relazione per un piano fold-over. Stare
attenti – queste regole solo per lavorare con piani
di Risoluzione III
• Ci sono altre regole per piani di Risoluzione IV, e
altri metodi per aggiungere prove a frazioni per
non sovrapporre effetti di interesse
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Piani Plackett-Burman
• Questi sono una diversa classe di piani risoluzione III
• Il numero di prove, N, bisogna che sia un multiplo di
quattro
• N = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, …
• I piani dove N = 12, 20, 24, etc. sono chiamati piani non
geometrici PB
• Vedere libro, pagina 378 per commenti sulla costruzione
di piani Plackett-Burman
Piani Plackett-Burman
Vedere l’analisi di questi dati, pagina 381.
Alcuni effetti sono grandi.
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Piani PlackettBurman
Proiezione di un
piano 12 prove in
piano a 3 e 4
fattori
Tutti i piani PB
hanno proiettività
3 (contrasto con
altri piani
risoluzione III
frazionari)
Piani Plackett-Burman
• La struttura alias è complessa nei piani PB
• Per esempio, con N = 12 e k = 11, ogni effetto
principale è confuso con ogni interazione doppia
(2FI) che non lo coinvolge direttamente
• Ogni 2FI alias principale ha 45 interazioni doppie
• Parzialmente sovrapposto può avere un
interpretazione molto complicata
• Interazioni possono essere particolarmente
distruttive
• Usare molta, molta cautela (forse mai)
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