ESPERIMENTI FATTORIALI

1
ESPERIMENTI FATTORIALI
1.
2.
3.
4.
5.
6.
-
-
-
Disegni con 1 solo fattore
Disegni con piu’fattori
Disegni fattoriali del tipo 2k
Disegni fattoriali 3k
Disegni misti
Disegni fattoriali frazionari: aliasing
Terminologia
Chiamiamo fattori cio' di cui vogliamo esaminare gli effetti sulla risposta e livelli le
modalita' di interesse a cui si presentano i fattori.
I livelli di un fattore possono essere qualitativi o quantitativi: ad esempio se ci sono
3 macchinari si dira' che il fattore macchinario si presenta a 3 diversi possibili livelli
(qualitativi).
Se si tratta di livelli che possono variare con continuita' in un dato intervallo si
dicono quantitativi e possiamo denotarli con numeri reali, di solito x1, x2,.... (es.
temperatura e pressione...)
Una particolare combinazione di fattori, ciascuno a un dato livello, si dira' un
trattamento.
2
Disegni con 1 solo fattore a più livelli
Livelli qualitativi
Trattamenti = assegnazione del fattore ai vari livelli
Supponiamo modello lineare omoscedastico
Yij = µ + τi + εij
i = 1,...,v
E(εij) = 0,
Var(εij) = σ2
j = 1,...,ri
Stime O.L.S.:
µˆ =y,
rispettivamente
Var(Y) = σ2/n
τiˆ = yi −y,
Var (yi −y) = σ2/ri + σ2/v
Analisi della varianza per vedere se ci sono differenze significative tra i livelli del
fattore cioè se qualche τi è significativamente diverso da 0.
+ Analisi dei residui per controllare l’adguatezza del modello
+ Test di omoschedasticita’ (stabilizzare la varianza con una trasformazione dei dati?)
3
PIANIFICAZIONE:
Supponendo tutte le unità omogenee, come effettuare la randomizzazione?
a) Assegnazione casuale delle etichette ai trattamenti
b) Assegnazione casuale dell’ordine delle prove
DISEGNO completamente randomizzato
I trattamenti devono essere possibilmente equireplicati
r1 = r2 =…= rv
(disegno
bilanciato)
Livelli quantitativi
x = livello quantitativo di un fattore, in generale in un intervallo [a,b]
MODELLO:
Regressione polinomiale
Yij = α0 + α1xi + α2xi2 +...+ αmxim + εij
Grado del polinomio? Il più basso possibile.
Esempio:
Regressione lineare semplice.
Scelta dei valori di x: Quanti valori distinti? dipende dal grado. Almeno m+1 .
4
Disegni con piu’ fattori
Supponiamo d'ora in poi di avere k fattori di interesse, a piu' livelli.
Fattori A1,...,Ak, e q1,..,qk il numero dei loro rispettivi livelli.
ESPERIMENTO UNO-PER-VOLTA
Un modo di procedere consiste nel condurre serie di prove separate sui singoli
fattori. Ciascuna avrebbe lo scopo di esaminare l'effetto prodotto dal variare dei livelli di
un fattore, tenendo tutti gli altri a un valore costante.
E' poco efficiente, e pericoloso.
Un altro modo di procedere fa variare entrambi i fattori, cioe' ad es. usa tutte le diverse
combinazioni dei livelli di temperatura e di pressione.
5
ESPERIMENTO FATTORIALE
Il numero di tutti i trattamenti distinti e' q1×...×qk. Molto spesso q1 = ...= qk = q.
Se tutti i trattamenti vengono osservati si dice esperimento fattoriale completo q1×...×qk
(Es. Due fattori A1 e A2 rispettivamente a 3 livelli ciascuno: 3x3 o 32).
Un esperimento fattoriale fornisce informazione su come i fattori interagiscono tra loro:
questa informazione non e' ottenibile esaminando i fattori uno per volta.
EFFETTO PRINCIPALE DI UN FATTORE = il cambiamento della risposta media
dovuta al cambiamento del livello del fattore
INTERAZIONE TRA DUE FATTORI = ?
Problema molto importante: possono esistere fattori il cui effetto sulla variabile di
risposta Y viene amplificato se opportunamente combinato con qualche altro fattore.
Oppure si potra' attenuare l'effetto negativo di alcuni fattori agendo su altri che
interagiscono con i primi e che sono piu' facili da controllare.
6
La teoria statistica fornisce:
1.
Stime degli effetti principali e delle interazioni
2.
ANOVA per vedere se gli effetti principali e/o le interazioni sono significative.
7
Disegni fattoriali 2k: k fattori ciascuno a 2 livelli
Ogni fattore ha solo 2 modalita', es. presente o assente, alto e basso. Caso semplice ma
importante.
• Questi due livelli si denotano convenzionalmente con 0 e 1, meglio con -1 e +1.
• Ogni fattore indicato da una lettera maiuscola
• Ogni trattamento indicato con la sequenza delle lettere minuscole corrispondenti ai
fattori che in quel trattamento sono a livello alto. Es la lettera a indica A alto, tutti
gli altri bassi. Il trattamento che ha tutti i fattori a livello basso viene identificato dal
simbolo (1).
Tavola 1
Esempio 2x2 = 22.
trattamento
(1)
a
b
ab
2 fattori A e B
2 livelli (A+, A- e B+, B-)
A
B
-1
+1
-1
+1
-1
-1
+1
+1
8
Interazioni
1 osservazione della risposta Y per ogni combinazione dei livelli di A e B
Y A- A+
B- 50 60
B+ 30 40
Effetto su Y dell'aumento di A = +10 per BEffetto su Y dell'aumento di A = +10 per B+
Effetto su Y dell'aumento di B = -20 per AEffetto su Y dell'aumento di B = -20 per A+
L'effetto del fattore A non dipende dal valore di B
L'effetto del fattore B non dipende dal valore di A
Nessuna interazione tra i fattori A e B
9
Interazioni
2.a)
Y A- A+
B- 30 70
Effetto su Y dell'aumento di A = +40 per B-
B+ 20 40
Effetto su Y dell'aumento di A = +20 per B+
Analogamente per l'effetto dell'aumento di B su Y
2.b)
Y A- A+
Effetto su Y dell'aumento di A = -30 per B-
B- 60 30
Effetto su Y dell'aumento di A = +30 per B+
B+ 40 70
In entrambi i casi il comportamento della variabile di risposta dipende fortemente dalla
combinazione dei fattori.
Interazione presente tra i fattori A e B
10
Stime
Effetto di A:
1
1
(Ya + Yab) – (Yb + Y(1))
2
2
1
1
Effetto di B: (Yb + Yab) – (Ya + Y(1))
2
2
1
1
Interazione AB: (Y(1) + Yab) – (Yb + Ya)
2
2
11
E' possibile aggiungere al piano dell'esperimento una nuova colonna relativa
ad AB, costruita ponendo + in corrispondenza dei trattamenti che contribuiscono
positivamente al contrasto di AB e - per gli altri
Tavola 2
la nuova colonna puo' essere ottenuta calcolando il prodotto tra i singoli
elementi delle colonne di A e B
A
B
AB
(1)
-1
-1
+1
a
+1
-1
-1
b
-1
+1
-1
ab
+1 +1
+1
trattamento
Ogni colonna esprime i coefficienti con cui vanno moltiplicate le osservazioni per
ottenere effetti principali e interazioni.
12
ESEMPIO 2
2x2x2
y101
y110
(−
)
y000
y100
(−)
(+)
Fattore A
(+
Fa
)
tto
re
B
y001
y111
y010
(−)
Fattore C
(+)
y011
tre fattori A, B e C.
Legenda: (−) livello basso
(+) livello alto
Il trattamento che ha il fattore A a livello alto e i restanti fattori a livello basso viene
indicato con 'a', quello che ha A e B a livello alto e C a livello basso viene indicato con
'ab', e cosi' via.
13
Tavola 3 Codifica dei trattamenti e ordinamento delle risposte per un fattoriale 23.
Simboli per le
combinazioni
dei trattamenti
(1)
a
b
ab
c
ac
bc
abc
Livelli dei fattori
A
+
+
+
+
B
+
+
+
+
C
+
+
+
+
Risposte
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
y8
Stime
1
1
1
(
)
(
)
(a − 1)(b + 1)(c + 1)
a
+
ab
+
ac
+
abc
−
(
1
)
+
b
+
c
+
bc
=
Effetto di A: 4
4
4
1
1
1
(
)
(
)
(a + 1)(b −1)(c + 1)
b
+
ab
+
bc
+
abc
−
(
1
)
+
a
+
c
+
ac
=
Effetto di B: 4
4
4
14
1
1
1
(
)
(
)
(a + 1)(b + 1)(c −1)
c
+
ac
+
bc
+
abc
−
(
1
)
+
a
+
b
+
ab
=
Effetto di C: 4
4
4
Sempre utilizzando delle espressioni solamente simboliche, si ha:
Interazione AB:
Interazione BC:
Interazione AC:
1
((1) + c + ab + abc ) − 1 (a + b + ac + bc ) = 1 (a − 1)(b − 1)(c + 1)
4
4
4
1
((1) + a + bc + abc ) − 1 (b + ab + c + ac ) = 1 (a + 1)(b − 1)(c + 1)
4
4
4
1
((1) + b + ac + abc ) − 1 (a + ab + c + bc ) = 1 (a + 1)(b − 1)(c − 1)
4
4
4
L'interazione ABC e' definita come differenza media tra gli effetti dell'interazione AB al
variare di C
{[abc - bc] - [ac - c]} - {[ab - b] - [a - (1)]}
ABC = ----------------------------------4
Nel caso in cui vi siano delle replicazioni, in numero uguale per ogni trattamento, la prima
operazione da compiere è sommare i valori delle risposte ottenute nelle r replicazioni con uno
stesso trattamento e procedere poi come se tale totale fosse la risposta “unica” per quel
trattamento; cambiano i divisori, che saranno tutti moltiplicati per r.
15
Piani fattoriali completi della serie 3n
Se da un lato può sembrare che considerare due soli livelli per ciascun fattore sia
troppo riduttivo, dall’altro il numero delle prove necessarie per l’analisi completa del
piano può diventare improponibile quando il numero dei livelli per ciascun fattore è
superiore a tre, soprattutto se il numero dei fattori coinvolti nell’esperimento è piuttosto
elevato. Quindi è consigliabile, soprattutto quando le conoscenze sul fenomeno
oggetto di studio sono nulle o scarse, pianificare esperimenti in cui i fattori vengono
analizzati per due o tre livelli, Dopo una prima analisi che non ha richiesto grossi sforzi
né dal punto di vista economico né dal punto di vista statistico (ricerca di modelli
sofisticati, tecniche di analisi particolari,…) se sono rimaste ancora delle zone d’ombra
sull’esperimento, si possono pianificare ulteriori prove, investendo anche qualcosa di
più.
Conviene procedere per passi conoscitivi successivi, dei quali il primo è senza dubbio
l’utilizzo dei piani fattoriali della serie 2n. Nel caso in cui si voglia aumentare il livello
conoscitivo sull’esperimento o si sospetti la presenza di termini nel modello tali da
spiegare eventuali curvature nella risposta, e quindi tali da rendere inadeguata
l’approssimazione lineare per la valutazione sia degli effetti singoli che delle interazioni,
vengono di regola impiegati i piani della serie 3n. Il piano più semplice appartenente a
questa classe è quello nel quale sono presenti due fattori, piano 32, del quali ci serviremo
16
per introdurre notazioni tipiche della più ampia classe dei piani fattoriali della serie 3n.
Anche in questo caso si usa rappresentare i fattori con le lettere dell’alfabeto maiuscole,
mentre per i livelli, equispaziati, sono utilizzate le tre cifre 0, 1 e 2 oppure le
corrispondenti lettere minuscole con le stesse cifre come pedice; per esempio a0, a1 e a2
possono essere utilizzate per indicare i tre livelli del fattore. Una notazione alternativa
denota i tre livelli con -1, 0, +1.
Le combinazioni di livelli dei fattori, ovvero i trattamenti, che si possono presentare
per un piano fattoriale 32 sono quelle in Tavola 4.
Tavola 4 Tabella rappresentante i 9 trattamenti corrispondenti a tutte le possibili
combinazioni di due fattori A e B ciascuno a tre livelli denotati con le cifre 0, 1 e 2.
Livello del
fattore A
0
1
2
Livello del fattore B
0
1
2
a0b0
a0b1
a0b2
a1b0
a1b1
a1b2
a2b0
a2b1
a2b2
17
A volte i trattamenti vengono rappresentati solo mediante i pedici, in cui gli
elementi della coppia, sempre riferendoci ad un piano fattoriale 32,
rappresentano nell’ordine i livelli dei fattori (vedi Tavola 5).
Tavola 5 Tabella rappresentante i nove trattamenti corrispondenti a tutte le possibili
combinazioni di due fattori A e B ciascuno a tre livelli denotati con le cifre 0, 1 e 2.
Livello
del
fattore
A
0
1
2
Livello del fattore B
0
1
2
00
10
20
01
11
21
02
12
22
Entrambe le notazioni proposte possono essere facilmente estese al caso in cui
siano presenti nell’esperimento più di due fattori.
La presenza di tre livelli permette di individuare separatamente le componenti
lineari e quadratiche degli effetti dei fattori singoli (AL, AQ, BL, BQ) e le relative
interazioni, ognuna con un grado di libertà; le connotazioni indicate, che hanno
18
strettamente senso nel caso di fattori quantitativi, vengono a volte mantenute
anche in ambito qualitativo.
Tavola 6
Divisori
Trattamenti
Risposte
Effetti
Stima degli effetti totali
00
Y1
Totale
Y1+Y2+Y3+Y4+Y5+ Y6+Y7+Y8+Y9
9r
10
Y2
AL
Y3+ Y6+ Y9− Y1 − Y4 − Y7
6r
20
Y3
AQ
Y1−2×Y2+Y3+ Y4−2×Y5+Y6+ Y7−2×Y8+Y9
18r
01
Y4
BL
Y7+Y8+Y9− (Y1+Y2+Y3)
6r
11
Y5
ALBL
Y9− Y7− (Y3− Y1)
4r
21
Y6
AQBL
Y7−2×Y8+Y9− (Y1−2×Y2+Y3)
12r
02
Y7
BQ
Y1+Y2+Y3−2×(Y3+Y4+Y5)+ Y7+Y8+Y9
18r
12
Y8
ALBQ
Y3− Y1 −2×(Y6− Y4) +Y9− Y7
12r
22
Y9
AQBQ Y1−2×Y2+Y3−2×(Y4−2×Y5+Y6)+ Y7−2×Y8+Y9
36r
19
L’estensione ai piani fattoriali 33
Dei 27 gradi di libertà, uno viene usato per la stima della media, due gradi di
libertà sono usati per ogni effetto singolo (uno spendibile per la componente
lineare e l’altro per la componente quadratica), quattro gradi di libertà per ogni
interazione doppia (uno per la componente lineare nei due fattori coinvolti, due
per le due componenti miste e l’altro per la componente quadratica in entrambi i
fattori) e gli ultimi otto per l’interazione tripla (e quindi la sua somma di
quadrati volendo potrebbe essere scomposta in otto componenti).
Inutile dire che i principali prodotti software per l'analisi di dati sperimentali
dispongono di routine di calcolo degli effetti, e dei termini per l'analisi della
varianza, per i piani fattoriali, oltre che per altri tipi di frequente applicazione.
20
Piani fattoriali misti, in particolare 2q×3p
Col termine piani fattoriali misti si indicano piani fattoriali completi in cui i
vari fattori compaiono a due o più numeri di livelli diversi; un caso frequente è
quello in cui accanto a fattori di tipo quantitativo caratterizzati da effetti non
lineari - e che pertanto richiedono almeno tre livelli – ne sono presenti altri per i
quali due livelli sono sufficienti. Se il numero dei primi è p, e quello dei secondi
è q, la struttura del piano risulta del tipo 2q × 3p; in particolare, nella figura 3
viene fornita una visualizzazione grafica di un piano fattoriale misto 22 × 31.
Figura 3
y110
y011
y012
B
y010
y000
y102
y101
y001
Fattore C
y002
Fa
tto
re
Fattore A
y100
y112
y111
21
Piani fattoriali frazionari
Se si vuole verificare l’influenza di due o più fattori, qualitativi o quantitativi, che
agiscono contemporaneamente sulla risposta (quantitativa) di un esperimento, uno degli
strumenti più efficaci sono i piani fattoriali completi; essi sono stati sviluppati per
consentire in modo sistematico la stima degli effetti dei singoli fattori e degli effetti
dovuti all’azione congiunta dei fattori presenti nell’esperimento, anche con numeri di
livelli diversi fra loro.
I piani fattoriali completi permettono di:
• stimare gli effetti singoli di ogni fattore in modo indipendente l’uno
dall’altro,
• determinare la dipendenza dell’effetto di ciascun fattore dai livelli degli
altri (stima delle interazioni),
• determinare la stima degli effetti col massimo della precisione,
• stimare l’errore sperimentale (repliche);
però c’è una controindicazione dovuta al fatto che all’aumentare del numero dei fattori
controllati, cresce il numero dei parametri incogniti del modello., se il numero dei fattori
22
è grande, il numero delle prove richieste può diventare proibitivo. Ma già quando il
numero di fattori supera le poche unità, il numero delle prove può risultare esorbitante
rispetto alle risorse disponibili; inoltre, insieme al numero dei fattori, cresce anche a
dismisura il numero delle interazioni di ordine superiore, la cui stima spesso riveste
scarso interesse pratico. Ad esempio nel caso di un piano fattoriale con n fattori, il
modello completo prevede n effetti singoli,  n2  interazioni tra coppie di fattori (interazioni
 
doppie o effetti del secondo ordine),
n
 
3 
n
n!
  =
 k  (n − k )! k!
effetti del terzo ordine) e, in generale,
interazioni tra terne di fattori (interazioni triple o
interazioni tra combinazioni di k fattori
(interazioni k-esima o effetti del k-esimo ordine) per un totale, se tutti i fattori hanno lo
stesso numero p di livelli, di pn−1 effetti. Quindi il numero di prove sperimentali da
effettuare, se si vogliono stimare in modo indipendente tutti i parametri più la media,
deve essere almeno uguale a pn (a parte eventuali replicazioni). Ad esempio un piano
fattoriale con 4 fattori ciascuno a tre livelli prevederebbe 34 = 81 prove sperimentali con
una replicazione sola dell’esperimento, il numero delle prove salirebbe a 162! In
generale se si hanno n fattori ciascuno a ki livelli e si vogliono effettuare r replicazioni, il
numero delle prove sperimentali è pari a r× k1× k2 ×…kn.
Se si vogliono contenere costi e tempi di esecuzione di un esperimento, occorre quindi
tenere sotto controllo o il numero dei fattori da introdurre nell’esperimento o il numero
dei livelli dei fattori che si considerano o il numero delle prove utilizzando dei piani
23
fattoriali incompleti.
L’impiego di piani fattoriali frazionari, consistenti in una frazione soltanto del
corrispondente piano fattoriale completo, viene giustificato dalle precedenti e da
altre considerazioni ancora. A volte si deve prendere in esame a livello
esplorativo un numero elevato di fattori, pur sapendo che in realtà solo alcuni si
dimostreranno realmente influenti; un piano fortemente frazionato permette di
selezionare rapidamente i fattori che contano maggiormente, per sottoporli ad
indagini più approfondite secondo le necessità. In presenza di n fattori ciascuno
a due livelli, una frazione ½ prevede l'esecuzione di 2n−1 prove con altrettanti
trattamenti diversi, ed in generale una frazione di ordine 1/2p consta di 2n−p
prove.
Tale riduzione nelle dimensioni dell’esperimento, e quindi nel suo costo,
non è però indolore; viene pagata con la perdita totale di informazione su uno o
più effetti - generalmente interazioni di ordine elevato - costituenti l'identità
fondamentale (Defining Contrasts) mediante la quale viene selezionata la
frazione del piano completo, ed inoltre con la confusione delle stime di ognuno
dei restanti effetti con uno o più alias, oltre evidentemente alla perdita di
24
precisione generalizzata dovuta al minor numero di prove rispetto al piano
completo.
E’ quindi importante prestare la massima attenzione su quali combinazioni di
trattamenti rinunciare, in modo da evidenziare quali sono le interazioni
trascurate in ogni frazione di un piano completo e quali sono le conseguenze nel
caso in cui le interazioni trascurate dovessero essere significative a nostra
insaputa.
Vediamo cosa succede per un piano fattoriale 2n, considerando per primo il caso
più semplice con due fattori. Supponendo che non vi siano interazioni tra i due
fattori A e B, il confronto utilizzato per stimare la loro interazione AB dovrebbe
fornire un valore pari a zero, a parte la variabilità casuale. Puo’ essere assegnata
a un altro fattore C
25
Tavola 7 Piano per tre fattori con quattro osservazioni: è una frazione ½ di un piano
23.
Risposte
y1
y2
y3
y4
Confronti utilizzati per la stima
A
B
C (=AB)
-
+
+
+
+
+
+
Piano 1 (C = AB):
c
a
b
Piano 2 (C = AB):
(1) ac bc ab
trattamenti
c
a
b
abc
abc
Entrambi i piani costituiscono delle frazioni ½ ed insieme esauriscono il piano
completo di 3 fattori a due livelli.
26
Si osservi che la differenza delle medie delle risposte ottenute con i due piani
rappresenta la stima dell’interazione tripla ABC.
Esaminiamo ora il caso dei piani con 4, 5, 6 e 7 fattori con 8 osservazioni
disponibili. Nel caso di 3 fattori ciascuno a due livelli con 8 osservazioni i
confronti indipendenti sono quelli indicati nella Tavola 11 (con la lettera I è stato
indicato il confronto che serve per stimare la media: infatti i segni sono tutti
positivi e quindi è la somma di tutte le osservazioni disponibili).
27
Tavola 8 Piano per tre fattori con 8 osservazioni. I segni + e - nella tabellina
indicano i coefficienti (della combinazione lineare che costituisce il confronto
da utilizzare per stimare l’effetto (totale) del fattore corrispondente.
trattamenti
Confronti utilizzati per la stima
Risposte
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
y8
A
−
+
−
+
−
+
−
+
B
−
−
+
+
−
−
+
+
C AB AC
− + +
− − −
− − +
− + −
+ + −
+ − +
+ − −
+ + +
BC ABC
+
−
+
+
−
+
−
−
−
+
−
−
+
−
+
+
media
+
+
+
+
+
+
+
+
(1)
a
b
ab
c
ac
bc
abc
28
Tavola 9 Piano per quattro fattori con 8 osservazioni.
Fattori
Risposte
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
y8
A
+
+
+
+
B
+
+
+
+
C
+
+
+
+
D
+
+
trattamenti
(1)
ad
bd
ab
cd
ac
bc
abcd
Il piano così ottenuto è una frazione ½ di un piano fattoriale 24 Si
osservino i seguenti particolari:
29
1.
gli effetti delle interazioni triple ABD, ACD e BCD sono confusi
con gli effetti dei fattori, nell’ordine, rispettivamente C, B e A e gli
effetti delle interazioni doppie sono confusi tra loro (AB con CD,
AC con BD e AD con BC)
2. se tutte le interazioni triple e tutte le interazioni del fattore D con i
fattori A, B e C e con le loro interazioni doppie AB, AC e BC sono
nulle o possono ritenersi di entità trascurabile, il piano suddetto
fornisce una stima imparziale degli effetti dei fattori A, B, C e D e
delle interazioni doppie AB, AC e BC
3. eguagliando D a ABC si ottiene un piano simile e le combinazioni dei
trattamenti in questo caso sono:
d a b abd c acd bcd abc
Queste combinazioni rappresentano l’altra metà del piano fattoriale
completo
30
Tavola 10
Piano per cinque fattori con 8 osservazioni.
Confronti per la
Risposte
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
y8
trattamenti
stima
A
−
+
−
+
−
+
−
+
B
−
−
+
+
−
−
+
+
C
−
−
−
−
+
+
+
+
E
+
+
−
−
−
−
+
+
D
−
+
+
−
+
−
−
+
I
+
+
+
+
+
+
+
+
e
ade
bd
ab
cd
ac
bce
abcde
Questo piano fattoriale rappresenta ¼ di un piano fattoriale 25
31
In pratica con un insieme di 8 osservazioni relative a 8 combinazioni di
trattamenti si può:
Stimare gli effetti di 3 fattori e di tutte le loro interazioni di ogni
ordine (piano fattoriale completo)
Stimare gli effetti di 4 fattori e le interazioni doppie tra 3 fattori; tutte
le altre interazioni doppie, triple e la quadrupla sono assunte nulle o
trascurabili
Stimare gli effetti di 5 fattori e 1 interazione di un fattore con
ciascuno degli altri due; tutte le altre interazioni sono assunte nulle o
trascurabili
Stimare gli effetti di 6 fattori e 1 interazione doppia; tutte le altre
interazioni sono assunte nulle o trascurabili
Stimare gli effetti di 7 fattori; tutte le interazioni, di ogni ordine, sono
assunte nulle o trascurabili
32
In definitiva, se la costruzione di un piano fattoriale completo non
presenta particolari difficoltà, non altrettanto può dirsi quella di un piano
fattoriale frazionario, specie quando vi sono numerosi fattori ed il
frazionamento è elevato; si può in tal caso ricorrere sia ad estese
raccolte di piani disponibili per ogni tipologia di pratico impiego, sia
ad algoritmi di generazione di frazioni incorporati in diffusi prodotti
software commerciali.