Modulo F1 - Hoepli Scuola

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Modulo F
Sistemi di
comunicazione
Obiettivi
Prerequisiti
Contenuti
• F1 Comunicazioni in banda base
• F2 Tecniche di modulazione
Esercitazioni
• Esercizi di verifica
• Test di verifica
2
Modulo F • Sistemi di comunicazione
Obiettivi
Al termine di questo modulo gli alunni dovranno:
1. conoscere gli aspetti principali delle tecniche di codifica DPCM e DM,
confrontandole tra loro;
2. conoscere l’architettura di un sistema di trasmissione PAM;
3. conoscere l’architettura di un sistema di trasmissione PAM TDM;
4. conoscere il problema dell’interferenza intersimbolica e le sue possibili
soluzioni;
5. conoscere il concetto di filtro adattato e il suo legame con la probabilità di
errore sul bit;
6. saper dimensionare un semplice sistema di trasmissione PAM binario;
7. conoscere il concetto di modulazione analogica;
8. conoscere la rappresentazione nel dominio del tempo e della frequenza di
un segnale AM e la struttura di modulatori e demodulatori AM;
9. conoscere le tecniche di modulazione AM DSBSC, SSB e VSB;
10. conoscere la rappresentazione nel dominio del tempo e della frequenza di
un segnale FM nel caso di modulante sinusoidale e la struttura di modulatori e demodulatori FM;
11. conoscere il concetto di multiplazione a divisione di frequenza FDM;
12. conoscere il concetto di modulazione digitale;
13. conoscere la struttura fondamentale e i principi di funzionamento di un sistema di modulazione digitale di ampiezza ASK;
14. conoscere la struttura fondamentale e i principi di funzionamento di un sistema di modulazione digitale di fase PSK;
15. conoscere la struttura fondamentale e i principi di funzionamento di un sistema di modulazione digitale di frequenza FSK.
Prerequisiti
Per una spedita comprensione degli argomenti di questo modulo sono richiesti:
•
•
•
la conoscenza del teorema del campionamento;
la conoscenza delle tecniche di rappresentazione in frequenza dei segnali e
dei sistemi;
una conoscenza di base del calcolo differenziale (derivate e integrali elementari).
3
Comunicazioni
in banda base
F1
In questa unità verrà affrontato il problema della trasmissione in banda base di un segnale digitale. L’espressione banda base si riferisce al fatto che il segnale che trasporta la sequenza di bit
da trasmettere viene inviato al ricevitore attraverso un canale di tipo passa basso, senza quindi
la necessità di traslare lo spettro del segnale stesso in un intervallo di frequenze diverso da
quello che possiede in origine. La trattazione è divisa in tre sezioni.
• Il problema della conversione da analogico a digitale dei segnali informativi, al fine di determinare la sequenza di bit da trasmettere. In particolare verranno presentate tre tecniche
fondamentali: PCM, DPCM e Delta Modulation.
• Il problema della scelta della forma degli impulsi utilizzati per trasmettere sul canale il singolo bit, legato all’interferenza che si produce sul canale tra impulsi adiacenti.
• Il problema della presenza sul canale di rumore, con la conseguente possibilità di equivocare
in ricezione i bit trasmessi.
F1.1 Tecniche di conversione A/D
Pulse-Code
Modulation
Differential
Pulse-Code
Modulation
Complessita' circuitale
Delta
Modulation
Bit rate prodotto
In una precedente unità di questo volume è stato affrontato lo studio del processo di conversione di un segnale
analogico in forma digitale. In particolare è stata presentata una particolare tecnica di conversione nota
come PCM (Pulse-Code Modulation). Nel corso di questo paragrafo tale tecnica verrà confrontata con due tecniche alternative particolarmente diffuse nell’ambito
delle telecomunicazioni: DPCM (Differential PCM) e
DM (Delta Modulation). Come si vedrà, queste tecniche tentano di ottimizzare il processo di conversione
nella direzione della semplicità circuitale (DM) o della
diminuzione del bit rate (DPCM). Da questo punto di
vista la tecnica PCM viene spesso utilizzata come termine di riferimento per effettuare confronti, come mostrato schematicamente nella figura F1.1.
PCM
La tecnica PCM prevede che venga trasmessa in corrispondenza di ogni intervallo di
campionamento la codifica binaria del valore di un campione del segnale quantizzato.
La codifica può essere effettuata scegliendo diverse tecniche sia per la codifica di sorgente che per quella di canale. In ogni caso vengono trasmessi, opportunamente codificati, i valori di tutti i campioni del segnale quantizzato. Una discussione approfondita
della tecnica PCM è di fatto già stata svolta nell’unità dedicata alla teoria del campionamento dei segnali analogici, alla quale si rimanda senz’altro.
Figura F1.1
Tecniche di
conversione A/D.
4
DPCM
Quando si campiona un segnale informativo ottenuto da una sorgente analogica standard (per esempio un segnale audio o video), i valori di campioni adiacenti del segnale
mostrano in genere un alto grado di correlazione tra loro. In altri termini, il valore di un
campione è generalmente piuttosto simile al valore del campione che lo precede immediatamente. La correlazione diminuisce progressivamente mano a mano che si considerano campioni sempre più distanti da quello in esame: in generale però è possibile
prevedere con una certa confidenza il valore di un campione a partire dai valori di un
certo numero di campioni che lo hanno preceduto. Un’operazione di questo genere
prende il nome di predizione, e viene effettuata da opportuni dispositivi detti filtri predittori. Lo schema di un possibile predittore che utilizza in ingresso il segnale quantizzato è mostrato nella figura F1.2.
Figura F1.2
Schema a blocchi
di un predittore
lineare.
mq(nTC)
M1
w1
M2
MP
w2
wP-1
wP
Σ
m(nTC)
I blocchi Mi rappresentano delle memorie in grado di memorizzare ciascuna un
campione del segnale quantizzato. Dopo ogni periodo di campionamento gli elementi
memorizzati scorrono verso destra. In tal modo le P memorie contengono in ogni
istante i P campioni quantizzati precedenti a quello attuale. Formalmente si può scri–(nT ), vale:
vere che la predizione dell’ennesimo campione del segnale, m
C
P
m ( nTC ) = ∑ wk mq ( nTC − kTC )
k =1
[F1.1]
dove mq(nTC) indica il segnale quantizzato. Un predittore come quello della figura F1.2
viene detto lineare, perché effettua la predizione di un campione operando una combinazione lineare dei campioni quantizzati a esso precedenti. Il valore P viene detto ordine del predittore.
Naturalmente il grado di correlazione tra campioni aumenta all’aumentare della frequenza di campionamento, ma si constata come per certe categorie di segnale esso rimanga elevato anche se il campionamento viene effettuato a frequenza appena superiore al limite posto dal teorema del campionamento.
Se i campioni di un segnale di questo tipo vengono convertiti in digitale e quindi
trasmessi utilizzando una tecnica di tipo PCM, si ottiene un flusso dati dal contenuto informativo ridondante, ovvero contenente bit che potrebbero anche non essere trasmessi
senza che questo pregiudichi la possibilità di ricostruire il segnale di partenza.
La tecnica di conversione DPCM si propone di eliminare o quanto meno ridurre in
modo significativo la ridondanza informativa del segnale codificato, codificando non il
valore dei singoli campioni del segnale quantizzato, bensì la differenza tra un campione
e la predizione del suo valore ottenuta da un predittore:
–(nT )
e(nTC) = m(nTC) – m
C
Lo schema di un codificatore DPCM è mostrato nella figura F1.3.
[F1.2]
5
F1 • Comunicazioni in banda base
m(nTC)
e(nTC)
m(nTC)
Quantizzatore
Filtro predittore
eq(nTC)
Codificatore
DPCM
Figura F1.3
Codificatore DPCM.
mq(nTC)
È facile mostrare come per trasmettere il segnale eq(nTC) si possano utilizzare meno
bit di quelli richiesti per la trasmissione del segnale quantizzato mq(nTC), a parità di
massimo errore di quantizzazione.
Verificare che un sistema DPCM consente, nel caso di forte correlazione tra i campioni di un segnale PCM, di ridurre il numero di bit utilizzati in codifica a parità di errore di quantizzazione.
ESEMPIO
Si ipotizzi che un segnale campionato m(nTC) possa assumere valori nell’intervallo [VL, VH].
Se si quantizza il segnale utilizzando 28 = 256 livelli si ottiene una dimensione dei quanti pari a
S=
VH − VL VH − VL , ovvero una dinamica del segnale campionato pari a V – V = 256 · S
=
H
L
28
256
L’errore di quantizzazione massimo sarà pari a
1
S
2
I campioni del segnale quantizzato possono quindi essere codificati utilizzando 8 bit per
campione.
Si ipotizzi ora che la differenza tra due campioni successivi del segnale m(nTC) possa assumere valori nell’intervallo [–2S, 2S], ovvero che risulti Δm = |m((n + 1)TC) – m(nTC)| ≤ 2S. Se la
correlazione tra campioni adiacenti è molto elevata questa ipotesi è senz’altro ragionevole, ed è
altrettanto ragionevole utilizzare come stima del valore di un campione il valore del campione
precedente:
–(nT ) = m((n – 1)T )
m
C
C
qe( max ) = m ( nTC ) − mq ( nTC )
( max )
=
ovvero un predittore di ordine 1 con coefficiente w1 = 1 (si veda la [F1.1]). Se si quantizza il segnale e(nTC) = m(nTC) – m–(nTC) = m(nTC) – m((n – 1) TC) utilizzando 22 = 4 livelli posti a
1
1
3
± S e ± S si ottiene un errore di quantizzazione massimo pari ancora a qe(max) = S , ma
2
2
2
questa volta i campioni del segnale quantizzato possono essere codificati utilizzando solo 2 bit
per campione, invece che 8.
In ricezione il segnale quantizzato di partenza può essere ricostruito, trascurando gli errori introdotti dal canale di trasmissione, a partire dal segnale eq(nTC) decodificato,
come mostrato nella figura F1.4.
DPCM
mq(nTC)
Decodificatore
eq(nTC)
m(nTC)
Filtro predittore
Output
Figura F1.4
Decodificatore
DPCM.
1
6
ESEMPIO
Figura F1.5
Errore di
predizione.
Predittore
di ordine 1.
2
Esistono diverse tecniche per determinare i coefficienti di un predittore per un sistema DPCM.
Queste tecniche si basano sulla conoscenza delle caratteristiche del segnale da convertire e presuppongono, per essere comprese, una conoscenza avanzate delle metodologie proprie della
statistica. Per questo motivo non verranno affrontate in questo testo. Qui si propone solo un
esempio di come la predizione possa ridurre notevolmente la dinamica del segnale originale.
–
Si consideri un segnale s(t) composto da una sinusoide di frequenza f = 45 Hz, campionata alla
⎛
f ⎞
n . Utilizzando le tecniche opportune è
frequenza fC = 500 Hz. Si ha cioè s ( nTC ) = sin ⎜ 2π
fC ⎟⎠
⎝
possibile stabilire che i predittori di ordine uno e due che minimizzano l’errore di predizione per
questo segnale sono i seguenti:
–s (nT ) = 0.8443 · s((n – 1)T )
1
C
C
–s (nT ) = 1.6853 · s((n – 1)T ) – 0.996 · s((n – 2) T )
2
C
C
C
La figura F1.5 e la figura F1.6 mostrano l’errore di predizione ottenuto per i diversi campioni del segnale originale utilizzando il predittore di ordine uno e quello di ordine due, rispettivamente. Come si vede, il predittore di ordine uno consente una riduzione della dinamica del segnale, se pur modesta, mentre il predittore di ordine due riesce a effettuare una stima molto accurata. Fanno eccezione il primo e (in misura minore) il secondo campione, che non possono essere stimati in maniera accurata in quanto il predittore non ha due campioni antecedenti da utilizzare per la stima.
Figura F1.6
Errore di
predizione.
Predittore
di ordine 2.
La valutazione delle prestazioni di un sistema DPCM rispetto a un sistema PCM può
essere effettuata utilizzando un particolare parametro di merito, detto guadagno di predizione.
Se si considera un segnale campionato da convertire m(nTC) composto da N campioni, la potenza media del segnale è data dalla relazione
Pm =
1
N
N −1
∑ m 2 ( nTC )
k =0
La potenza media del segnale DPCM quantizzato eq(nTC) si può invece esprimere
come
1 N −1 2
Pe =
∑ eq ( nTC )
N k =0
Infine, la potenza media dell’errore di quantizzazione introdotto quantizzando il segnale e(nTC) vale:
1 N −1 2
Pq =
∑ qe ( nTC )
N k =0
dove ovviamente si ha e(nTC) = eq(nTC) + qe(nTC)
Il rapporto segnale-rumore di quantizzazione complessivo di un sistema DPCM ha
quindi la seguente espressione:
( SNR )DPCM (tot ) =
Pm
Pq
[F1.3]
mentre il rapporto segnale-rumore di quantizzazione relativo al solo errore di stima ha
la seguente:
( SNR )DPCM (e) =
Pe
Pq
[F1.4]
Si definisce guadagno di predizione del sistema DPCM la quantità:
GP =
( SNR )DPCM (tot )
( SNR )DPCM (e)
=
Pm
Pe
[F1.5]
Essa esprime il guadagno, in termini di rapporto segnale rumore, introdotto dallo schema
DPCM rispetto a un sistema PCM.
Dal momento che per un dato segnale da trasmettere la potenza media Pm è fissata, la
massimizzazione di GP richiede la minimizzazione di Pe, obiettivo che come si è visto
può essere raggiunto utilizzando opportune tecniche di ottimizzazione dei coefficienti
del predittore.
DM – Delta Modulation
Il sistema DPCM sfrutta la correlazione tra campioni adiacenti di un segnale per ridurre
la dinamica dei valori da trasmettere, riducendo così il numero di bit necessari alla co-
7
8
difica. Per alcune categorie di segnali questa correlazione è molto forte, anche quando
la frequenza di campionamento supera di poco il limite imposto dal teorema di
Shannon.
In generale però, aumentando la frequenza di campionamento è possibile aumentare
il grado di correlazione tra i campioni di un qualsiasi segnale. Al limite, se si utilizza
una frequenza di campionamento molto superiore a quella imposta dal teorema del
campionamento, diventa possibile ridurre a 1 il numero di bit utilizzato per ciascun
campione, utilizzando come stima di ciascun campione il campione immediatamente
precedente. Un sistema DPCM di questo genere realizza quella che viene detta Delta
Modulation (DM).
Si definisce Delta Modulation una tecnica di conversione dei segnali di tipo DPCM che
utilizza un quantizzatore a 2 livelli, un codificatore a 1 bit e un predittore di ordine 1 con
coefficiente w1 = 1.
Lo schema di un codificatore DM è mostrato nella figura F1.7.
Figura F1.7
Codificatore DM.
m(nTC)
eq(nTC) = δ sgn(e(nTC))
+δ
e(nTC)
Codificatore
DM
−δ
Accumulatore
m(nTC) = mq((n-1)TC)
TC
mq(nTC)
Il funzionamento del sistema può essere schematizzato come segue.
•
Ciascun campione m(nTC) del segnale campionato da codificare viene confrontato
con il campione precedente quantizzato mq((n – 1) TC).
•
La differenza e(nTC) tra i due valori viene quindi quantizzata attraverso un dispositivo a 2 livelli che essenzialmente ne discrimina il segno:
⎪⎧+δ
eq ( nTC ) = ⎨
⎩⎪ –δ
•
e ( nTC ) > 0
e ( nTC ) ≤ 0
Il segnale errore quantizzato può quindi essere codificato utilizzando un codificatore a 1 bit.
⎧⎪1 eq ( nTC ) = +δ
DM = ⎨
⎪⎩0 eq ( nTC ) = –δ
•
[F1.6]
[F1.7]
Il predittore si riduce essenzialmente a un elemento di memoria che introduce nel
–(nT ) di
segnale quantizzato un ritardo pari a TC. In pratica si utilizza come stima m
C
un campione il valore quantizzato del campione precedente, mq((n – 1)TC). La stima
9
risulta tanto migliore quanto più è alta la correlazione tra campioni adiacenti. La
correlazione come si è detto può essere aumentata utilizzando una frequenza di
campionamento molto superiore al limite imposto dal teorema del campionamento.
•
Il segnale quantizzato mq(nTC) si ottiene sommando progressivamente i valori del
segnale eq(nTC). Risulta cioè mq ( nTC ) = ∑ in= 0 eq ( iTC ) .
Per questo il blocco di predizione prende il nome complessivo di accumulatore. La
figura F1.8 mostra l’andamento del segnale mq(nTC), confrontandolo con il segnale
campionato m(nTC). Mostra inoltre l’andamento dell’uscita del quantizzatore,
eq(nTC), e del segnale DM codificato.
m(nTC)
Figura F1.8
Segnali di un
sistema DM.
mq(nTC)
δ
TC
t
+δ
eq(nTC)
t
−δ
DM
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
La figura F1.9 mostra lo schema del decodificatore, che ricalca quello di un generico
sistema DPCM mostrato nella figura F1.4.
eq(nTC)
DM
Decodificatore
Figura F1.9
Decodificatore DM.
mq(nTC)
m(nTC) = mq(nTC)
LPF
Output
TC
Un filtro passa basso (LPF), eliminando le brusche transizioni di ampiezza δ dal segnale decodificato, permette la ricostruzione del segnale analogico di partenza.
Rumore di quantizzazione nei sistemi DM
Il rumore di quantizzazione in un sistema DM presenta caratteristiche peculiari che meritano di essere analizzate nel dettaglio. Si faccia riferimento a tal proposito alla figura
F1.10. Dal suo esame si possono trarre le seguenti considerazioni.
•
Il segnale quantizzato mq(nTC) è in grado di incrementarsi o decrementarsi di una
quantità pari a δ ogni TC secondi. Se m(t) è il segnale analogico di partenza, il se-
10
gnale quantizzato riuscirà a seguire in modo accurato l’andamento di m(t) solo se la
δ
pendenza di m(t) non supera in modulo il valore
:
TC
dm ( t )
δ
≥ max
TC
dt
[F1.8]
Se questa condizione non è verificata si assiste a un fenomeno detto slope-overload,
per cui il segnale mq(nTC) mostra una pendenza inferiore a quella del segnale analogico di partenza. La differenza tra m(t) e mq(nTC) prende il nome di slope-overload noise.
•
Il segnale quantizzato mq(nTC) non può rimanere costante, come risulta chiaro dalla
[F1.6] e dalla figura F1.10. Se il segnale analogico di partenza m(t) e di conseguenza il segnale campionato m(nTC) assumono un valore costante per un determinato intervallo di tempo, il segnale mq(nTC) durante lo stesso intervallo continuano
a oscillare intorno a tale valore. Questo fenomeno dà origine a una seconda forma
di rumore di quantizzazione tipica dei sistemi DM, detta granular noise.
Figura F1.10
Rumore di
quantizzazione in
un sistema DM.
Granular
noise
δ
Slope-overload
noise
TC
È importante osservare come per diminuire l’incidenza dello slope-overload sia necessario scegliere un valore di δ sufficiente grande, mentre per ridurre l’ampiezza del granular noise sia necessario scegliere un valore di δ sufficientemente piccolo. Occorre
naturalmente arrivare a una scelta di compromesso che cerchi di minimizzare nel complesso il rumore di quantizzazione del sistema.
ESEMPIO
3
Un segnale sinusoidale di ampiezza Am e frequenza fm = 3 kHz viene posto in ingresso a un sistema DM caratterizzato da δ = 10 mV e frequenza di campionamento TC = 1.25 μs.
Determinare il massimo valore che può assumere l’ampiezza della sinusoide affinché si eviti il
fenomeno di slope overload.
Il segnale sinusoidale ha la seguente espressione:
m(t) = Amsin(2πfmt + ϕm)
dove è possibile senza perdere in generalità considerare nulla la fase iniziale: ϕm = 0.
Affinché non si verifichi il fenomeno dello slope overload deve risultare, secondo la [F1.8]:
dm ( t )
δ
≥ max
TC
dt
Nel caso in esame risulta quindi:
dm ( t )
= Am 2π fm cos ( 2π fm t )
dt
11
e dal momento che si ha 0 ≤ |cos(2πfmt)| ≤ 1, si ottiene:
max
dm ( t )
= Am 2π fm
dt
per cui la [F1.8] assume la seguente forma:
δ
≥ Am 2π fm
TC
e quindi, isolando Am:
Am ≤
10 ⋅10 −3
δ
=
= 0.42 V
2π fm TC 2π ⋅ 3 ⋅10 3 ⋅1.25 ⋅10 −6
Convertitori A/D di tipo Sigma-Delta
I principi della Delta Modulation sono alla base di una categoria abbastanza diffusa di
convertitori A/D, detti ADC Sigma-Delta (Σ-Δ ADC). Lo schema di un ADC Σ-Δ è mostrato nella figura F1.11.
fC
Figura F1.11
ADC Σ-Δ.
KfC
Integratore
vin
Filtro digitale
Decimatore
ADC 1 bit
N bit (fC)
Vref
1 bit (KfC)
DAC 1 bit
-Vref
Come si vede, la struttura è quella di una Delta Modulation in cui però l’accumulatore (che in estrema sintesi è un circuito integratore) viene posto sulla linea di andata
dell’ADC anziché su quella di retroazione. L’uscita digitale del modulatore viene
quindi inviata a un filtro passa-basso digitale (che opera cioè sui valori di un segnale
digitale anziché su un segnale analogico) seguito da un decimatore, ovvero un dispositivo che riduce la frequenza di campionamento del sistema di un fattore pari a K, mantenendo solo un campione ogni K di quelli prodotti dal modulatore ed eliminando i restanti. Il filtro digitale produce un’uscita a N bit, dove N è la risoluzione dell’ADC nel
suo complesso.
Una trattazione approfondita del funzionamento di un convertitore Σ-Δ esula dagli
scopi di questo testo. È possibile tuttavia comprenderne i principi generali a partire
dalla figura F1.12.
•
Un ADC che opera alla frequenza fC introduce nel segnale campionato un rumore
di quantizzazione uniformemente distribuito. L’integrale del quadrato del modulo
dello spettro di tale rumore è pari alla sua potenza media. Risulta cioè:
Pq =
∫
fC
2
0
Qe ( f ) df =
2
q2
12
12
e quindi Qe ( f ) =
•
q
f
con 0 ≤ f ≤ C .
2
3 fC
Se si sovracampiona il segnale analogico di partenza a una frequenza KfC, la potenza di rumore di quantizzazione si distribuisce su una banda più ampia e, a parità
di potenza media Pq, si ottiene uno spettro di rumore
Qe ( f ) =
1
K
q
3 fC
0≤ f ≤
KfC
con Pq =
2
∫
fC
2
0
Qe ( f ) df =
2
q2
.
12
Dal momento che il segnale analogico di partenza è stato sovracampionato, è possibile eliminare buona parte del rumore di quantizzazione filtrando con un filtro passa
basso numerico tutto il contenuto che cade al di fuori della banda del segnale di partenza. A questo punto si può decimare il segnale ottenuto di un fattore K senza perdita di informazione, in quanto grazie al filtraggio appena effettuato non si introduce aliasing.
fC
Figura F1.12
Principio
di funzionamento
di un ADC Σ-Δ.
|Qe|
q
12
ADC
KfC
fC
f
fC/2
|Qe|
LPF
ADC
LPF
KfC
DEC
fC
fC/2
|Qe|
KfC/2
f
KfC/2
f
LPF
ΣΔ
LPF
DEC
fC/2
Rumore
di quantizzazione
•
Figura F1.13
Modello
equivalente
analogico di un
modulatore Σ-Δ.
Funzione di
trasferimento tra
vin e vout (traccia
blu) e tra qe e vout
(traccia nera).
Rumore mantenuto
Rumore rimosso
L’utilizzo di uno schema Σ-Δ permette di migliorare ulteriormente le prestazioni
del sistema. Si consideri a tal proposito la figura F1.13. In essa viene presentato un
modello equivalente analogico del modulatore Σ-Δ (senza filtro numerico e decimatore). Come si vede il rumore di quantizzazione qe viene inserito nel sistema a
valle dell’integratore.
qe
vin
vout
1/s
1
0 dB
20
ω
-20
13
È facile dimostrare che risulta:
vout =
1
s
vin +
qe
1+ s
1+ s
I diagrammi di Bode del modulo della risposta in frequenza sono mostrati sempre
nella figura F1.13. Il segnale di ingresso vin subisce un filtraggio passa basso, mentre il
rumore di quantizzazione qe un filtraggio passa-alto. Il rumore di quantizzazione viene
quindi spostato nella parte superiore dello spettro (questa operazione viene detta noiseshaping) e il successivo filtraggio numerico passa-basso lo elimina quasi completamente dal sistema.
I convertitori A/D di tipo Σ-Δ sono dispositivi ad alta precisione e bassa velocità di
conversione. Al momento sono i convertitori di precisione più diffusi dopo gli ADC di
tipo SAR.
Conclusioni
Da quanto fin qui detto si possono trarre le seguenti conclusioni.
•
La tecnica DPCM permette di ridurre il bit rate di un sistema di conversione A/D rispetto a un sistema PCM. D’altra parte l’architettura circuitale del sistema è piuttosto complessa, in particolare per la presenza del predittore.
•
La tecnica DM mostra d’altro canto una complessità circuitale molto minore, sia rispetto alla tecnica DPCM che a quella PCM. Il quantizzatore infatti si riduce a un
comparatore e il predittore a un elemento di ritardo. Il prezzo da pagare è la necessità di utilizzare frequenze di campionamento molto elevate, il che si traduce in un
bit rate decisamente maggiore rispetto a quello che si ottiene con le altre tecniche.
F1.2 Trasmissione in banda base
di segnali digitali
Una volta convertiti in digitale i campioni del segnale da trasmettere utilizzando una
delle tecniche sopra descritte, è necessario produrre un segnale che possa veicolare il
flusso di bit attraverso il canale nella maniera più efficiente possibile. Di fatto questo
segnale è costituito da una serie di impulsi di forma opportuna, la cui ampiezza massima è legata al contenuto informativo che si desidera trasmettere attraverso il canale.
Nel seguito di questa unità si descriveranno le problematiche relative alla realizzazione
di un sistema di trasmissione in banda base: con questa espressione si intende il fatto
che lo spettro del segnale impulsivo da trasmettere non viene traslato a frequenze superiori a quelle che possiede in origine. Nell’unità successiva verranno descritte invece
le principali tecniche di traslazione dello spettro, che realizzano le cosiddette modulazioni analogiche o numeriche.
Per comprendere la struttura generale di un sistema di trasmissione in banda base di
segnali digitali si faccia riferimento alla figura F1.14.
Clock
Figura F1.14
Schema di un
sistema di
trasmissione in
banda base.
Soglia
Campionamento
( t = nTB )
Dati
binari
{bk}
Generatore
di impulsi
x(t)
Filtro di
trasmissione
HT(f)
Trasmettitore
Canale
Filtro di
ricezione
HC(f)
HR(f)
Canale
y(t)
y(nTB)
Ricevitore
Decisore
Dati
binari
14
Il segnale applicato in ingresso al sistema è costituito da una sequenza di bit {bk},
(k = –∞, ..., –1,0,1, ..., +∞) che rappresenta il contenuto informativo da trasmettere. La
sequenza è definita inoltre da un tempo di durata del bit Tb che definisce l’intervallo
temporale che intercorre tra un valore della sequenza e il successivo.
Il segnale digitale {bk} viene applicato a un generatore di impulsi, che produce per
ogni bit bk un impulso unitario di forma g(t) e ampiezza Ak determinata dal valore di bk.
La forma d’onda impulsiva complessiva ha la seguente espressione:
x (t ) =
+∞
∑
k =−∞
Ak g ( t − kTb )
[F1.9]
dove g(t – kTb) non è altro che l’impulso base g(t) traslato verso destra sull’asse temporale di un tempo pari a kTb secondi. L’impulso g(t) viene detto unitario perché si ha
g(0) = 1. Per quanto riguarda le ampiezze Ak si pone invece:
⎧+ a bk = 1
Ak = ⎨
⎩ – a bk = 0
[F1.10]
Il segnale impulsivo x(t) passa attraverso un filtro di trasmissione avente risposta in
frequenza HT (f). L’uscita del filtro determina il segnale trasmesso attraverso il canale,
che possiede risposta in frequenza HC (f). In ricezione il segnale ricevuto attraverso il
canale attraversa un filtro di ricezione HR (f). Se si ipotizza che il sistema non sia affetto
da rumore, il segnale y(t) che si ottiene in uscita al filtro di ricezione ha il seguente spettro:
Y(f) = X(f) HT (f) HC (f) HR (f)
[F1.11]
mentre nel dominio del tempo si può scrivere:
+∞
y ( t ) = μ ∑ Ak p ( t − kTb )
–∞
[F1.12]
dove μ è un opportuno fattore di scala. L’impulso p(t) ha una forma diversa da g(t), ed
è sostanzialmente ottenuto dal passaggio degli impulsi g(t) attraverso HT (f), HC (f) e
HR (f). Anche per p(t) si ha p(0) = 1.
Il segnale y(t) viene quindi campionato in maniera sincrona con il segnale x(t). Gli
istanti di campionamento sono determinati attraverso un segnale di temporizzazione
che viene in genere estratto dall’uscita del filtro di ricezione.
Infine il segnale campionato y(nTb) viene confrontato, campione per campione, con
un opportuno valore di soglia. Se il valore del campione eccede il valore della soglia si
stabilisce che il bit trasmesso aveva valore 1, diversamente si opta per il valore 0. In
questo modo è possibile ricostruire il segnale informativo digitale di partenza {bk}.
Un sistema di comunicazione così strutturato prende il nome di sistema PAM (Pulse
Amplitude Modulation), in quanto l’informazione viene trasmessa attraverso l’ampiezza dell’impulso g(t).
15
F1.3 Interferenza intersimbolica
In questo paragrafo si fa riferimento a quanto illustrato nel paragrafo precedente, mostrando una realizzazione pratica. Si ponga per esempio nella [F1.10] a = 1 e si utilizzi
nella [F1.9] un impulso g(t) rettangolare, di durata pari al periodo di campionamento
Tb:
T
⎧
1 t ≤ b
⎛ t ⎞ ⎪⎪
2
g ( t ) = rect ⎜ ⎟ = ⎨
T
⎝ Tb ⎠ ⎪
0 t > b
⎪⎩
2
[F1.13]
L’andamento della funzione g(t) è mostrato nella figura F1.15. Sempre nella figura
F1.15 è mostrato l’andamento dello spettro del modulo dell’impulso, normalizzato
rispetto alla frequenza di campionamento fb =
1
.
Tb
Si ponga quindi, nella [F1.11], HT (f) = HR (f) = 1. Si ipotizzi infine che il canale di
trasmissione abbia una caratteristica di trasferimento di tipo passa-basso, per cui tutte
le componenti del segnale x(t) al di sotto di una certa soglia di frequenza giungono inalterate al ricevitore (fatta salva l’attenuazione lungo il canale), mentre quelle al di sopra
vengono sostanzialmente eliminate.
Figura F1.15
Impulso
rettangolare
di durata Tb.
Andamento
nel tempo (grafico
a sinistra) e spettro
di ampiezza
(grafico a destra).
La figura F1.16 mostra l’effetto di un canale di trasmissione di tipo passa-basso su
una sequenza di simboli trasmessi attraverso impulsi rettangolari (Tb = 1 ms).
Nella figura F1.16, i valori della sequenza Ak sono indicati da pallini neri, mentre la
traccia nera rappresenta la sequenza sagomata con impulsi rettangolari. La traccia blu
invece mostra il segnale che giunge al ricevitore attraverso il canale a banda limitata.
Per comprendere appieno il significato del grafico, si osservi quanto mostrato nella figura F1.17.
Come si vede, il canale ha l’effetto di deformare la forma dell’impulso, allargandolo. In questo modo, se si trasmette una sequenza di impulsi ravvicinati tra di loro, il
canale li deformerà tutti facendo in modo che si sovrappongano tra loro. Un esempio
16
Figura F1.16
Trasmissione di
impulsi rettangolari
su un canale a
banda limitata.
Segnale trasmesso
(traccia nera) e
segnale ricevuto
(traccia blu).
di questa sovrapposizione è mostrato nella figura F1.17. In essa si mostra una sequenza di impulsi rettangolari (tracce nere punteggiate) che rappresentano la sequenza
di bit 00100. Gli impulsi vengono deformati dal canale e si allargano sovrapponendosi
(tracce blu punteggiate). La traccia blu continua riporta il segnale complessivo ricevuto
a valle del canale di trasmissione.
Figura F1.17
Effetto di un canale
di tipo passa-basso
su un singolo
impulso
rettangolare.
Quando il ricevitore campiona il segnale che giunge dal canale di trasmissione, il
valore campionato è formato dal simbolo trasmesso cui si sovrappongono le code degli impulsi adiacenti. Questo fenomeno prende il nome di Interferenza Intersimbolica
(ISI – InterSymbol Interference).
Da un punto di vista matematico, il segnale y(t) che giunge in ingresso al campionatore del ricevitore ha l’espressione riportata nella [F1.12]. L’i-esimo campione ottenuto a valle del campionatore nell’istante ti = iTb avrà quindi la seguente espressione:
y ( ti ) = μ
= μ Ai +
+∞
∑
k=–∞
+∞
∑
k=–∞
k ≠i
Ak p ( ti − kTb ) = μ
Ak p (( i − k ) Tb )
+∞
∑
k=–∞
Ak p (( i − k ) Tb ) =
[F1.14]
17
Figura F1.18
Sequenza di
(tracce nere),
impulsi deformati
dal canale (tracce
blu punteggiate) e
segnale
complessivo
ricevuto (traccia blu
continua).
Nell’ultimo membro dell’[F1.14] il termine μ Ai rappresenta l’i-esimo simbolo trasmesso, mentre la sommatoria rappresenta le code di tutti gli altri simboli, e quindi il
termine di interferenza intersimbolica. In assenza di interferenza intersimbolica (e di
rumore) tale termine si annulla e risulta y(ti) = μ Ai. Un eccesso di interferenza intersimbolica può portare a errori di ricezione, in quanto il decisore non è in grado di determinare l’entità del contributo di interferenza presente in un campione che gli giunge
dal campionatore.
Diagrammi a occhio
Una tecnica empirica che permette di valutare il grado di interferenza intersimbolica
presente in un sistema di trasmissione dati è quella dell’analisi del cosiddetto diagramma a occhio (eye pattern). Questa tecnica consiste nell’utilizzo di un oscilloscopio in modalità XY. Al canale Y viene applicato il segnale che giunge dal canale di trasmissione, mentre al canale X si applica un segnale a dente di sega di frequenza pari al
periodo di campionamento Tb, sincronizzato con il ricevitore.
Il risultato è la visualizzazione sovrapposta dei simboli ricevuti, ed è mostrato nella
figura F1.19, che fa riferimento alla sequenza della figura F1.16.
Figura F1.19
Diagramma a
occhio del segnale
della figura F1.16.
18
Figura F1.20
Trasmissione di
su un canale a
banda limitata.
Segnale trasmesso
(traccia nera) e
segnale ricevuto
(traccia blu).
Per comprendere il significato di questo grafico è bene considerare l’aspetto che
esso assume nel caso di sistemi poco affetti da interferenza intersimbolica. A questo
proposito, la figura F1.20 mostra la stessa sequenza di simboli della figura F1.16, trasmessa però su un canale a banda maggiore e quindi meno affetto dal problema
dell’ISI. Il corrispondente diagramma a occhio è mostrato nella figura F1.21.
Figura F1.21
Diagramma a
occhio del segnale
della figura F1.20.
La differenza tra la figura F1.19 e la figura F1.21 è evidente: nel secondo caso il
diagramma assume la forma di un occhio (aperto), mentre occorre una certa dose di
fantasia per vedere un occhio nella prima. Si dirà quindi che la figura F1.21 mostra un
occhio aperto, mentre la figura F1.19 mostra sempre un occhio, ma questa volta chiuso.
Soluzione ideale al problema dell’interferenza intersimbolica
Per risolvere il problema dell’interferenza intersimbolica occorre trovare il modo di
annullare il termine Σ Akp((i – k)Tb) nella [F1.14]. Dal momento che nella sommatoria
deve essere k ≠ i, per annullare tale termine occorre trovare una forma d’onda p(t) che
si annulli a multipli interi dell’intervallo di campionamento: in tal modo infatti si avrà
p((i – k)Tb) = 0. ∀ i, k: i ≠ k.
Esistono diverse forme d’onda che rispondono allo scopo, ma quella che permette
a parità di banda di garantire la massima velocità di trasmissione è rappresentata nella
figura F1.23. Si tratta di un impulso la cui rappresentazione in frequenza è costituita
da un rettangolo:
19
f > B0
⎧0
⎪
P( f ) = ⎨ 1
⎪2B
⎩ 0
0 ≤ f ≤ B0
[F1.15]
L’andamento di P(f), per le sole frequenze positive e normalizzato rispetto a B0, è
mostrato nella figura F1.22.
Figura F1.22
Spettro
dell’impulso a seno
cardinale.
Nel dominio del tempo questo impulso assume la forma cosiddetta di un seno cardinale, e ha la seguente espressione:
p ( t ) = sinc ( t ) =
sin ( 2π B0 t )
2π B0 t
[F1.16]
che presenta una discontinuità nell’origine, eliminabile ponendo p(0) = 1, dal momento
che si ha lim p(t) = lim p(t) = 1. La funzione p(t) si annulla in tutti gli istanti
t→0+
t→0–
in cui risulta 2πB0t = kπ, con k = 1,2,3,..., ovvero negli istanti t =
Tb =
1
2 B0
k
. Se dunque si pone:
2 B0
[F1.17]
sin ( kπ )
= 0 ∀k > 0 .
kπ
Se quindi si utilizza un impulso a seno cardinale soddisfacendo la condizione posta
nella [F1.17], l’interferenza intersimbolica si elimina, perché tutte le code dei simboli
già ricevuti si annullano in corrispondenza degli istanti di campionamento.
La figura F1.23 mostra l’andamento del seno cardinale normalizzato rispetto a Tb,
una volta che sia soddisfatta la [F1.17]. Come si vede in istanti multipli di Tb il segnale
si annulla.
L’[F1.17] è chiamata condizione di Nyquist. Essa permette di ottenere la massima
velocità di trasmissione (o bit-rate) possibile su un canale a banda limitata senza avere
interferenza intersimbolica:
si ottiene p ( kTb ) =
Rmax =
1
⎡ bit ⎤
= 2 B0 ⎢ ⎥
TB
⎣ s ⎦
[F1.18]
20
Figura F1.23
Seno cardinale
normalizzato
rispetto a Tb
nel rispetto della
condizione di
Nyquist.
Infatti in assenza di rumore, se si devono trasmettere impulsi su un canale a banda
limitata, è sufficiente scegliere una forma d’onda a seno cardinale con B = B0 per far sì
che gli impulsi giungano al ricevitore privi di interferenza.
ESEMPIO
4
Si desidera trasmettere una sequenza di bit su un canale passa-basso privo di rumore avente
banda passante B = 3 kHz. Determinare il massimo bit-rate ottenibile senza interferenza intersimbolica.
Scegliendo degli impulsi a seno cardinale aventi B0 = B = 3 kHz è possibile, in base alla condizione di Nyquist e dalla [F1.18], ottenere il bit-rate massimo:
Rmax = 2 B0 = 2 ⋅ 3 ⋅ 10 3 = 6
ESEMPIO
5
Figura F1.24
Schema di un
sistema PAM TDM.
1
2
Multiplazione nel dominio del tempo
Il teorema del campionamento, se rispettato, consente di trasformare un segnale analogico in
una sequenza di campioni senza perdita di informazione (fatta salva la perdita associata alla
quantizzazione, che però può essere, almeno in linea teorica, ridotta a piacere, aumentando il
numero di bit utilizzati per la codifica). Questo fa sì che, per trasmettere l’informazione associata a un segnale analogico, sia sufficiente inviare al ricevitore una sequenza di suoi campioni.
ADC
ADC
DAC
n bit
n bit
n bit
ADC
1
n bit
n bit
modulatore
PAM
M
k bit
s
Timing
canale
DAC
2
demodulatore
PAM
Timing
n bit
DAC
M
Il canale utilizzato per la trasmissione, di conseguenza, non viene impegnato dal segnale trasmesso per tutta la durata del segnale stesso, ma solo per una frazione di tempo, quella necessaria per inviare a intervalli regolari la codifica binaria dei singoli campioni. Tra un campione
e l’altro, il canale rimane allora libero e può essere utilizzato per inviare campioni di altri segnali, realizzando quella che viene detta una multiplazione a divisione di tempo (TDM – Time
Division Multiplexing).
21
Lo schema semplificato di un sistema TDM è mostrato nella figura F1.24, mentre la figura
F1.25 mostra la suddivisione temporale del canale di trasmissione tra i vari segnali da trasmettere.
Trama 1
Trama 2
n bit
1o campione
segnale 1
TC
1o campione
segnale 2
1o campione
segnale M
2o campione
segnale 1
2o campione
segnale 2
2o campione
segnale M
t
TC
TC
Nella figura F1.24, M segnali di ingresso vengono convertiti in parole di n bit. Un selettore
invia ciclicamente ciascuna di queste parole a un modulatore PAM, che produce la corrispondente sequenza di impulsi sul canale. In ricezione, il demodulatore estrae l’ampiezza degli impulsi ricostruendo le parole di bit trasmesse, che possono così essere riconvertite nei corrispondenti valori analogici. Nella figura F1.25 si vede la successione dei campioni dei vari segnali nel
tempo: una successione completa di un campione per ciascun segnale prende il nome di trama,
e ha durata pari al periodo di campionamento dei segnali, TC. All’interno di una trama, ogni
campione viene codificato con parole da n bit.
Un aspetto fondamentale di un sistema TDM riguarda la banda passante richiesta al canale,
che a parità di periodo di campionamento TC e di numero di bit di codifica (n) è maggiore rispetto al caso di trasmissione di un singolo segnale.
Infatti, nel caso di segnale singolo risulta:
Tb =
TC
1
n
=
→ B0 =
n
2 B0
2TC
Figura F1.25
Multiplazione a
divisione di tempo:
trama, campioni
e bit.
[F1.19]
mentre nel caso di M segnali multiplati si ottiene:
Tb =
TC
1
Mn
=
→ B0 =
Mn 2 B0
2TC
[F1.20]
che come si vede è M volte maggiore.
Ricavare il numero massimo di segnali, aventi tutti frequenza massima fmax = 4 kHz e codificati a 8 bit, che si possono multiplare su un canale passa-basso con banda passante
B = 1 MHz.
Per poter campionare senza perdita di informazione i segnali di ingresso occorre porre TC ≤
1
2 fmax
Naturalmente per poter massimizzare il numero di canali multiplabili si deve scegliere TC =
1
,
2 fmax
anche se in fase di realizzazione pratica sarà indispensabile mantenere un margine di sicurezza
rispetto al minimo previsto dal teorema del campionamento.
A questo punto è possibile ricavare il periodo di bit, che deve essere, secondo la [F1.20]:
Tb =
TC
1
=
Mn 2 fmax Mn
A questo punto, ricordando che per ottenere il massimo bit rate senza interferenza intersimbolica
ESEMPIO
6
22
occorre porre B = B0 e Tb =
1
, si può scrivere:
2 B0
1
2 fmax Mn
=
1
2B
[F1.21]
da cui si ricava:
M=
B
fmax n
=
1 ⋅ 10 6
= ⎢⎣ 32.25 ⎥⎦ = 31
4 ⋅ 10 3 ⋅ 8
dove ovviamente si è approssimato il valore all’intero immediatamente inferiore.
Impulsi con spettro a coseno rialzato
La soluzione del seno cardinale presenta due gravi inconvenienti.
•
Uno spettro come quello rappresentato nella figura non è fisicamente realizzabile,
ed è anche molto difficile da approssimare.
•
La funzione sinc(t) decresce asintoticamente come 1/|t|, quindi a un ritmo piuttosto
blando. L’interferenza intersimbolica si annulla solo se gli istanti di campionamento
sono determinati con assoluta precisione.
Per ovviare a questi inconvenienti è possibile utilizzare impulsi di forma diversa. In
particolare, una soluzione molto valida è rappresentata dagli impulsi con spettro a coseno rialzato.
L’espressione dello spettro è la seguente:
⎧ 1
0 ≤ f ≤ fa
⎪2B
0
⎪
⎪⎪ 1 ⎛
⎛ 1 f − fa ⎞ ⎞
P( f ) = ⎨
1 + cos ⎜
fa < f ≤ 2 B0 − fa
⎜
⎝ 2 B0 − fa ⎟⎠ ⎟⎠
⎪ 4 B0 ⎝
⎪0
f > 2 B0 − fa
⎪
⎪⎩
[F1.22]
La frequenza fa, oltre la quale lo spettro P(f) non è più costante ma assume l’andamento
di un coseno rialzato (1 + cos(...)) è legata a B0 attraverso un parametro detto Roll-Off
e indicato in genere con la lettera α:
α = 1−
fa
B0
[F1.23]
α può assumere valori compresi tra 0 (fa = B0, nel qual caso si ottiene nuovamente il
seno cardinale) e 1 (fa = 0). È importante notare che per qualsiasi valore di α ≠ 0 lo spettro del segnale si estende oltre B0, arrivando ad annullarsi solo per f = 2B0 – fa > B0. Gli
impulsi a coseno rialzato occupano quindi più banda rispetto a un seno cardinale. La figura F1.26 mostra la forma spettrale, per le sole frequenze positive, degli impulsi a coseno rialzato per diversi valori di α, normalizzata rispetto a B0.
La tabella F1.1 riporta la legenda della figura F1.26. È possibile verificare graficamente come le curve soddisfino la [F1.23].
23
Figura F1.26
Spettro di
ampiezza di impulsi
a coseno rialzato
per diversi valori di
Roll-Off.
La figura F1.27 mostra invece l’andamento nel tempo degli impulsi corrispondenti
agli spettri della figura F1.26, normalizzato rispetto a Tb. La legenda da utilizzare è
sempre quella riportata nella tabella F1.1.
Colore
Valore di α
Nero
0
Marrone
0.25
Blu scuro
0.5
Rosso
0.75
Blu
1
Tabella F1.1
Legenda della figura F1.26.
Da un’analisi qualitativa della forma degli impulsi a coseno rialzato emerge chiaramente il principale pregio che essi presentano rispetto al seno cardinale.
•
Le code di questi impulsi sono più smorzate rispetto al seno cardinale, e questo fa sì
che anche in presenza di imprecisioni nel campionamento da parte del ricevitore,
l’interferenza intersimbolica si mantenga estremamente limitata.
•
Inoltre, impulsi di questo genere sono facilmente realizzabili, dal momento che non
presentano quella brusca transizione nello spettro in corrispondenza di B0 che invece si riscontra nell’impulso a seno cardinale.
1
D’altra parte, a parità di bit rate R =
, gli impulsi a coseno rialzato utilizzano una
Tb
banda maggiore sul canale:
•
Ba = 2B0 – fa = (1 + α)B0
[F1.24]
e quindi a parità di banda disponibile permettono una velocità di trasmissione minore rispetto a quanto espresso dalla condizione di Nyquist.
Figura F1.27
Andamento nel
tempo degli
impulsi con spettro
a coseno rialzato.
24
La figura F1.28 mostra le forme d’onda che si ottengono quando si trasmette la sequenza di bit 11011, utilizzando impulsi a seno cardinale oppure impulsi a coseno rialzato con Roll-Off α = 1. Come si vede, negli istanti di campionamento tk = kTb l’interferenza intersimbolica è sempre nulla (il valore delle forme d’onda è sempre pari a 1 o
a –1).
Nell’intorno di tali istanti, invece, gli impulsi a coseno rialzato si discostano meno
dal valore del campione rispetto al seno cardinale, garantendo così una maggiore robustezza rispetto agli errori di temporizzazione del campionamento in ricezione.
Figura F1.28
Sequenza di bit
11011 trasmessa
con impulsi a
coseno rialzato
(grafici in alto), e
con seni cardinali
(grafici in basso).
A destra si vedono i
singoli impulsi,
mentre a sinistra il
segnale
complessivo. L’asse
dei tempi è
normalizzato
rispetto a Tb.
ESEMPIO
7
Determinare la banda passante che dovrebbe avere il canale per multiplare gli stessi 31 segnali
dell’esempio 6 utilizzando impulsi a coseno rialzato con α = 0.4.
Il valore di TC =
1
, è lo stesso del caso precedente, mentre gli impulsi utilizzati per
2 fmax
trasmettere il singolo bit occuperanno una banda pari a B = (1 + α)B0, per cui la [F1.21] diventa:
1
1+ α
=
2 fmax Mn
2B
da cui si ricava:
B = fmaxMn(1 + α) = 4 · 103 · 31 · 8 · (1 + 0.4) ≅ 1.39 MHz
F1.4 Rumore e probabilità di errore
Per condurre l’analisi fin qui svolta si è ipotizzato che i sistemi di trasmissione fossero
esenti da rumore. Si tratta ovviamente di un’ipotesi irrealistica. In effetti la presenza di
rumore sul canale influenza in maniera decisiva le prestazioni del ricevitore, in quanto
altera l’ampiezza dei segnali ricevuti in maniera casuale e può portare il decisore a
equivocare il valore di un bit ricevuto.
25
In questo paragrafo si studierà l’effetto del rumore sulla trasmissione in banda base
di segnali digitali, affrontando due questioni fondamentali.
•
Che caratteristiche deve avere il filtro in ricezione HR (f) (si veda la figura F1.14)
per minimizzare l’effetto del rumore sulla decisione del simbolo trasmesso, e
quindi per minimizzare la probabilità di errore in ricezione, definita come:
Pe = lim
be
[F1.25]
br →∞ br
dove br è il numero di bit ricevuti e be il numero di bit errati in fase di decisione.
•
Quanto vale la probabilità di errore Pe di un sistema PAM date le caratteristiche degli impulsi utilizzati in trasmissione e del rumore presente sul canale.
Il filtro adattato
Il problema del ricevitore in un sistema di comunicazione digitale può essere così definito:
Problema della ricezione di un segnale digitale
Individuare la presenza di un impulso trasmesso su un canale affetto da rumore additivo.
Naturalmente occorre tenere conto anche delle fonti di rumore presenti negli apparati
elettronici che compongono il ricevitore stesso, ma nel nostro contesto è possibile ipotizzare che la principale fonte di rumore sia il canale. Si ipotizzerà inoltre che il rumore
sia un rumore bianco.
Se si considera il modello di ricevitore mostrato nella figura F1.29, che riprende
quanto mostrato nella figura F1.14, è possibile esprimere il segnale in ingresso al filtro
di ricezione come somma di un impulso g(t), di cui si conosce la forma, e di un rumore
bianco w(t):
x(t) = g(t) + w(t)
0≤t≤T
dove T è un intervallo di osservazione arbitrario.
g(t)
x(t)
HR(f)
hR(t)
y(t)
Tb
y(Tb)
w(t)
Affinché sia possibile individuare il ricevitore ottimale è necessario caratterizzare
il rumore attraverso la sua densità spettrale di potenza, SN(f), che descrive la distribuzione della potenza di rumore alle varie frequenze su cui il rumore insiste. Per un rumore bianco si ha
SN ( f ) = W ( f ) =
2
N0
2
costante a tutte le frequenze1.
1
Questa espressione per la densità spettrale di rumore si riferisce alla trasformata di Fourier bilatera,
che include cioè anche le frequenze negative. Qualora si utilizzi una notazione monolatera, si scrive
invece SN(f) = N0.
Figura F1.29
Schema di un
ricevitore PAM
(senza decisore).
26
Il segnale prodotto dal filtro di ricezione, nell’ipotesi che tale filtro sia un sistema
lineare e tempo invariante, ha la seguente espressione:
y(t) = go(t) + n(t)
0≤t≤T
dove go(t) è il contributo all’uscita del filtro dovuto a g(t), mentre n(t) è quello dovuto
a w(t).
Rapporto segnale rumore di picco
Per ottimizzare il processo di ricezione si cercherà di progettare un filtro che massimizzi
il cosiddetto rapporto segnale rumore di picco dell’impulso trasmesso, definito come segue:
η=
go (T )
2
[F1.26]
PN
dove PN è la potenza media del rumore n(t), mentre |go(T)|2 è la potenza istantanea dell’impulso go(t) prodotto dal filtro di ricezione, misurata all’istante del campionamento.
È possibile allora dimostrare il seguente fondamentale risultato. La dimostrazione, se
pur non complessa, va al di là degli scopi di questo testo, e verrà quindi omessa.
Teorema 1
Il massimo valore per il rapporto segnale rumore di picco è, nel caso di rumore
bianco:
ηmax =
2 Eg
[F1.27]
N0
dove Eg è l’energia dell’impulso g(t) utilizzato in trasmissione:
Eg =
∞
∞
∫−∞ g 2 (t ) dt = ∫−∞ G ( f )
2
df
[F1.28]
Il valore ηmax si ottiene a condizione che la risposta all’impulso del filtro in ricezione abbia la seguente espressione:
hR(t) = kg(T – t)
[F1.29]
dove k è una costante arbitraria. Il filtro hR(t) viene detto filtro adattato, e rappresenta la scelta ottimale per minimizzare la probabilità di errore in ricezione in
un sistema PAM.
Si noti come la forma della risposta impulsiva del filtro adattato, a parte il fattore di
scala k, è quella dell’impulso utilizzato in trasmissione, g(t), ribaltato rispetto all’asse
dei tempi, g(–t), e quindi traslato verso destra di un tempo pari a T.
Si noti infine come in un sistema PAM sia ovvio porre T = Tb.
ESEMPIO
8
Filtro adattato per impulsi rettangolari
Nel caso semplice di impulsi rettangolari di ampiezza A (che pure non sono generalmente utilizzati in quanto affetti come si è visto da interferenza intersimbolica), la forma del filtro adattato, hR(t), coincide, a meno del fattore di scala k, con quella dell’impulso stesso, g(t). Questo
risultato è mostrato nella figura F1.30, in cui si è posto per comodità k = 1. Determinare la
forma d’onda go(t) e il valore go(Tb).
27
Figura F1.30
Forma del filtro
adattato in un
sistema PAM a
impulsi
rettangolari.
g(t)
Tb
g(-t)
-Tb
t
t
g(Tb-t)=g(t)
Tb
t
La funzione go(t) rappresenta il contributo all’uscita del filtro adattato dovuto all’impulso
g(t) utilizzato in trasmissione. Si trascura quindi nel calcolo di go(t) la presenza di rumore sul canale.
Per il calcolo dell’uscita del filtro adattato si può ragionare come segue.
Nel dominio del tempo l’uscita di un filtro si ottiene svolgendo il cosiddetto integrale di
convoluzione tra il segnale di ingresso e la risposta all’impulso del filtro:
y (t ) =
∞
∫−∞ x (τ ) h (t − τ ) dτ
[F1.30]
Nel nostro caso (hR(t) = g(t)) possiamo dunque scrivere:
go ( t ) =
∞
∫−∞ g (τ ) g (t − τ ) dτ
Si tratta dunque di determinare l’integrale del prodotto di due rettangoli di ampiezza A: uno
dei due rettangoli, g(τ) rimane fisso sull’asse di integrazione τ, mentre il secondo, g(t – τ), dopo
essere stato ribaltato rispetto all’asse delle ordinate, viene traslato in una quantità pari a t. Si
consideri quindi la figura F1.31.
g(τ)
g(t-τ)
A
t<0
τ
t
Tb
g(τ)
g(t-τ)
A
0<=t<Tb
t
g(τ)
τ
Tb
g(t-τ)
A
Tb<=t<2Tb
t
g(τ)
τ
Tb
g(t-τ)
A
t>2Tb
t
τ
Tb
2Tb
Figura F1.31
Calcolo
dell’integrale di
convoluzione del
filtro adattato.
28
•
•
Per t < 0 i due rettangoli g(τ) e g(t – τ) non si sovrappongono, e quindi il loro prodotto è
nullo su tutto l’asse τ. Di conseguenza sarà nullo l’integrale di convoluzione.
Per 0 ≤ t < Tb i due rettangoli si sovrappongono per una porzione di asse pari proprio a t. In
tale porzione di asse il prodotto dei due rettangoli vale A2. Ne consegue che risulta:
go ( t ) =
•
e quindi go(Tb) = A2Tb.
Per Tb ≤ t < 2Tb i due rettangoli si sovrappongono per una porzione di asse che va da t – Tb
a Tb, di ampiezza pari a 2Tb – t. Si ottiene dunque:
go ( t ) =
•
t
∫0 A2 dτ = A2 t
Tb
∫t −T
b
A 2 dτ = A 2 ( 2Tb − t )
Per t ≥ 2Tb i rettangoli non si sovrappongono più e l’integrale di convoluzione torna a essere
nullo.
Quanto appena illustrato è riassunto nella tabella F1.2. La rappresentazione grafica del segnale go(t) è invece riportata nella figura F1.32.
go(t)
Figura F1.32
Uscita del filtro
adattato.
A2Tb
Tb
Tabella F1.2
Uscita del filtro
adattato.
2Tb
t
Intervallo temporale
Uscita del filtro adottato
t<0
0
0 ≤ t < Tb
A2t
Tb ≤ t < 2Tb
A2(2Tb – t)
t ≥ 2Tb
0
Da un punto di vista pratico l’uscita del filtro adattato presenta il difetto di avere risposta diversa da 0 anche nel tratto che va da Tb a 2Tb. Questa coda di g0(t) si sovrapporrebbe all’impulso
successivo. Nel caso di impulsi rettangolari è possibile utilizzare un particolare circuito detto
Integrate and Dump, il cui schema è riportato nella figura F1.33. Il circuito si comporta come
un integratore (e quindi come il filtro adattato, a meno di un trascurabile fattore di scala) nell’intervallo di tempo che va da 0 a Tb, con il condensatore C che si carica linearmente attraverso
il diodo D. Subito dopo il campionamento del segnale g0(t), che avviene all’istante Tb, il transistor
Q scarica il condensatore C riportando l’uscita del filtro adattato a zero.
Figura F1.33
Circuito Integrate
and Dump.
−
x(t)
D
y(t)
OA
R
+
RQ
carica
C
Q
Dump
scarica
29
Probabilità di errore nei sistemi PAM
Per concludere l’analisi di un sistema PAM occorre ora determinare una relazione che
ci permetta di ricavare la probabilità di errore sul singolo bit, una volta che si sia scelta
la forma degli impulsi e che siano note le caratteristiche del rumore sul canale. Si dà
naturalmente per scontato che si utilizzi un filtro adattato in ricezione, in modo da massimizzare il rapporto segnale rumore di picco del sistema.
Il calcolo della probabilità di errore implica l’utilizzo di strumenti statistici che non
sono immediatamente alla portata del pubblico cui è prevalentemente rivolto questo testo. Si è dunque ritenuto opportuno illustrare i risultati principali dell’analisi relativi all’utilizzo di impulsi rettangolari omettendo di dimostrarli. Si tratta in ogni caso di dimostrazioni facilmente reperibili su qualsiasi testo di comunicazioni digitali.
•
In ricezione, per un sistema PAM binario, è possibile utilizzare un decisore a soglia,
come quello riportato nello schema della figura F1.34. Il decisore confronta l’uscita campionata del filtro adattato con un valore di riferimento λ e, se risulta
y(Tb) > λ opta per la ricezione di un bit 1, mentre se risulta y(Tb) < λ opta per la ricezione di un bit 0. Si noti come nel caso risulti esattamente y(Tb) = λ sia possibile
decidere di optare indifferentemente per il bit 1 o per il bit 0 senza modificare la
probabilità di errore media del sistema.
x(t)
y(t)
Tb
dt
Tb
y(Tb)
Decisore
Figura F1.34
Decisore a soglia
per un ricevitore
PAM binario a
impulsi
rettangolari.
0/1
0
λ
w(t)
•
Una volta che siano note le probabilità a priori che sia stato trasmesso un bit 1, p1,
o che sia stato trasmesso un bit 0, p0, è possibile determinare il valore ottimale per
la soglia λ, λopt:
λopt ( t ) =
⎛p ⎞
N0
log10 ⎜ 0 ⎟
4 ATb
⎝ p1 ⎠
Nel caso in cui i bit 0 e 1 siano equiprobabili si ha p0 = p1 =
[F1.31]
1
e si ottiene:
2
λopt = 0
•
Si definiscono probabilità di errore condizionate le quantità p10 e p01 che indicano
rispettivamente la probabilità che il decisore opti per la trasmissione di un bit 1 dato
che sia stato trasmesso un bit 0 e, viceversa, che che il decisore opti per un bit 1
dato che sia stato trasmesso un bit 0.
•
L’espressione generale per la probabilità di errore media vale allora:
Pe = p0p10 + p1p01
[F1.32]
Se le probabilità a priori p0 e p1 sono uguali, si può dimostrare che lo sono anche le
probabilità di errore condizionate p10 e p01. In tal caso il canale si dice simmetrico
binario e si può determinare un limite superiore per la probabilità di errore complessiva media:
Pe <
e
−
Eb
N0
E
2 π b
N0
−
η
e 2
=
2πη
[F1.33]
30
La probabilità di errore massima dipende quindi solamente dal rapporto segnale rumore di picco η. Il grafico della [F1.33] è riportato nella figura F1.35, dove il rapporto segnale rumore di picco è espresso in dB (10log10(η)). Si può notare come all’aumentare anche di pochi dB del valore di η la massima probabilità di errore diminuisca in maniera molto rapida.
Figura F1.35
Probabilità di
errore massimo in
funzione di η.
ESEMPIO
9
Determinare l’ampiezza A che devono avere degli impulsi rettangolari di durata Tb = 1.25 μs tra-
μW
smessi su un canale affetto da rumore bianco con densità spettrale di potenza SN ( f ) = 1
Hz
affinché per la probabilità di errore si abbia Pe < 10–9.
Da un’analisi grafica della figura F1.35 si evince che affinché risulti Pe < 10–9 si deve avere
η > 15.5 dB. In scala lineare si ottiene quindi:
15.5
η > 10 10 ≅ 35.48
N
μW
è possibile ricavare il valore di energia del singolo imDal valore di η, essendo 0 = 1
2
Hz
pulso:
Eb = η
N0
> 35.48 ⋅ 1 ⋅ 10 −6 = 35.48 μ J
2
Gli impulsi utilizzati sono rettangolari di ampiezza A, quindi la loro energia vale:
Eb = A2Tb
relazione da cui si ricava
A>
ESEMPIO
10
Tb
=
Eb
1.25 ⋅ 10 −6
≅ 0.188 V
35.48 ⋅ 10 −6
Si ponga, nel sistema dell’esempio 8, A = 0.2 V. Determinare il valore ottimale per la soglia del
decisore posto che si abbia p0 =
2
1
e p1 = .
3
3
Dalla [F1.31] si ottiene:
λopt
⎛
1 ⋅ 10 −6
=
log10 ⎜
⎜
2 ⋅ 0.2 ⋅ 1.25 ⋅ 10 −6
⎜⎝
2
3
⎞
⎟
1 ⎟ ≅ 1.39 V
⎟
3 ⎠
F1.5 Conclusioni
In questa unità si sono affrontati i principali problemi relativi alla realizzazione di un
sistema di trasmissione in banda base di un segnale digitale. In particolare sono stati
approfonditi tre aspetti significativi.
•
•
•
Il problema della conversione del segnale analogico di partenza in una sequenza di
bit. Le tre tecniche presentate, PCM, DPCM e Delta Modulation, permettono di
prediligere la semplicità circuitale (massima nel caso della DM) oppure la riduzione del bit-rate prodotto (minimo nel caso di sistemi DPCM).
Il problema della scelta della forma degli impulsi da utilizzare per trasmettere i bit
ottenuti attraverso la tecnica di conversione scelta. In particolare si è visto come è
possibile utilizzare impulsi dalla forma particolare che riducano al minimo il problema dell’interferenza intersimbolica tra bit adiacenti.
Il problema della presenza di rumore sul canale, che porta inevitabilmente il decisore a commettere degli errori in ricezione. L’utilizzo di un filtro adattato in ricezione minimizza la probabilità di errore, che dipende solo dal rapporto tra l’uscita
del filtro adattato, campionata a ogni periodo di bit, e dalla densità spettrale di potenza del rumore bianco presente sul canale.
Naturalmente, anche se l’analisi è stata condotta prendendo in esame i tre aspetti separatamente, i sistemi di tramissione reali devono risolvere tutti e tre i problemi contemporaneamente. Questo porta alla necessità di trovare il giusto compromesso tra tutti i
vincoli progettuali, globalmente considerati. In particolare, i canali normalmente utilizzati nei sistemi PAM ricadono in genere in uno dei seguenti casi.
•
•
•
L’interferenza intersimbolica è trascurabile rispetto al rumore additivo presente sul canale. In questo caso occorre utilizzare un filtro adattato per massimizzare il rapporto segnale rumore di picco.
Il rapporto segnale rumore di picco è elevato, per cui la probabilità di errore è
sufficientemente piccola anche senza l’utilizzo di un filtro adattato. In questo caso
ci si concentra sul contenimento dell’interferenza intersimbolica, ricorrendo a impulsi a coseno rialzato oppure a tecniche più sofisticate (che non sono state trattate
in questo testo) che permettono di immettere nel sistema una certa dose di interferenza intersimbolica in maniera controllata.
Il rumore sul canale e l’interferenza intersimbolica sono entrambi rilevanti. In
questo caso occorre minimizzare l’effetto complessivo di rumore e ISI. In genere
questo si ottiene utilizzando in ricezione il collegamento in cascata di un filtro adattato e di un filtro equalizzatore. L’analisi e le tecniche di progettazione del filtro
equalizzatore non sono state affrontate, in quanto richiedono la conoscenza di strumenti statistici di tipo avanzato.
Infine, occorre tenere conto del fatto che le caratteristiche dei canali di trasmissione
reali sono in genere tempo-varianti. Questo fa sì che un ricevitore progettato per essere
ottimale per un canale con determinate caratteristiche si riveli invece inadeguato di
fronte alla variazione nel tempo di tali caratteristiche. Per ovviare a questo problema è
possibile progettare dei ricevitori adattativi, in grado cioè di variare i propri parametri
al variare delle caratteristiche del canale di trasmissione. Anche in questo caso si è
omessa l’analisi di tali dispositivi, in quanto esula dagli scopi di questo testo.
31
Esercitazioni
32
Esercizi di verifica
Esercizio 1
A un sistema DM viene applicato un segnale a rampa m(t) = at. Il sistema è caratterizzato da frequenza di campionamento fC = 1 MHz e ampiezza del quanto δ = 4 mV. Determinare il massimo valore che può assumere il
parametro a senza che si verifichi slope overload.
[Risultati: amax = 4 · 103]
Esercizio 2
Si consideri un segnale telefonico, con frequenza massima ft,max = 3.4 kHz e ampiezza massima At,max = 1 V. Tale
segnale viene inviato in ingresso a un sistema DM caratterizzato da frequenza di campionamento fC = 40 kHz. Si
determini un possibile valore di δ appropriato per il sistema.
(Suggerimento: per la determinazione dello slope overload si ricordi che un segnale è scomponibile nella somma
di sinusoidi. A questo punto si veda l’esempio 3, cercando però di tenere conto anche del granular noise)
Esercizio 3
Si desidera trasmettere una sequenza di bit su un canale passa-basso privo di rumore avente banda passante
B = 4 kHz. Determinare il massimo bit-rate ottenibile senza interferenza intersimbolica.
[Risultati: Rmax = 8 · kbit ]
s
Esercizio 4
Un sistema di trasmissione in banda base di tipo PAM binario utilizza impulsi a coseno rialzato con α = 0.3.
Determinare la massima velocità di trasmissione su un canale avente banda passante Bch = 700 kHz.
[Risultati: Rmax = 1.077 · Mb ]
s
Esercizio 5
Un sistema PAM binario e simmetrico utilizza in trasmissione un canale avente banda passante Bch = 1.5 MHz.
Determinare il massimo Roll-Off α accettabile affinché la velocità di trasmissione risulti maggiore di
Rmin = 2 Mb .
s
[Risultati: αmax = 0.5]
Esercizio 6
Ricavare il numero massimo di segnali, aventi tutti frequenza massima fmax = 20 kHz e codificati a 20 bit, che si
possono multiplare su un canale passa-basso con banda passante B = 1.5 MHz.
[Risultati: n = 3]
Esercizio 7
Determinare la banda passante che dovrebbe avere il canale dell’esercizio 6 per multiplare gli stessi 3 segnali
utilizzando impulsi a coseno rialzato con α = 0.4.
[Risultati: Bch = 1.68 MHZ]
33
Si consideri l’impulso g(t) mostrato nella figura F1.36.
• Determinare la risposta all’impulso del corrispondente filtro adattato, hr(t), disegnandola.
• Determinare inoltre l’andamento dell’uscita del filtro, ipotizzando di utilizzare un integratore di tipo integrate
and dump, disegnandola.
• Calcolare infine il valore di picco dell’uscita del filtro, go(Tb).
g(t)
A/2
( hr (t ) = g ( −t );
Tb/2
go ( t ) = −
t
Tb
≤ t ≤ Tb , go ( t ) = 0 altrove;
2
A2
go (Tb ) =
Tb )
4
Tb
Figura F1.36
Esercizio 8.
T
A2
A2
t per 0 ≤ t ≤ b , g0 ( t ) =
( 3t − 2Tb )
4
2
4
per
-A/2
Esercizio 9
Si considerino gli impulsi g1(t) e g2(t) rappresentati nella figura F1.37.
• Determinare la risposta all’impulso dei corrispondenti filtri adattati, hr1(t) e hr2(t), disegnandole.
• Calcolare il valore di picco dell’uscita del filtro hr1(t), go1(Tb), quando a tale filtro si applica l’impulso g1(t) e
quando si applica l’impulso g2(t).
• Calcolare il valore di picco dell’uscita del filtro hr2(t), go2(t), quando a tale filtro si applica l’impulso g1(t) e
quando si applica l’impulso g2(t).
g1(t)
g2(t)
A/2
A/2
Tb/4
Tb/2
(3/4)Tb
t
t
Tb
-A/2
Figura F1.37
Esercizio 9.
Tb
-A/2
( hr1 (t ) = g1 ( −t ) , hr 2 (t ) = g2 (t );
A2
go1 (Tb ) g1 (t ) =
Tb , g01 (Tb )
= 0;
4
g2 ( t )
A2
go 2 (Tb ) g1 (t ) = 0, go 2 (Tb )
=
Tb )
g2 ( t )
4
Esercizio 10
Un sistema di trasmissione PAM binario utilizza un canale affetto da un rumore bianco avente densità spettrale
di potenza SN ( f ) =
N0
mW
, e trasmette su di esso impulsi rettangolari equiprobabili. Ipotizzando che la
= 0.4
2
Hz
kb
probabilità di errore debba risultare Pe < 10–7 e la velocità di trasmissione R = 4
determinare l’ampiezza mis
nima Amin che devono avere gli impulsi.
[Risultati: Amin = 6,7 V]
Esercitazioni
Esercizio 8
34
Esercitazioni
Esercizio 11
Un sistema di trasmissione PAM binario deve trasmettere su un canale affetto da rumore una sequenza di bit al
ritmo di R = 1.2
Mb
. Posto che gli impulsi devono essere rettangolari di ampiezza A = 5 V e che i bit 1 e 0 sono
s
equiprobabili, determinare la massima densità spettrale di rumore tollerabile sul canale affinchè la probabilità
di errore risulti inferiore a Pe(max) = 10–9.
N0
μW ⎞
⎛
≤ 0.2
⎟
⎜⎝ SN ( f ) =
2
Hz ⎠
Esercizio 12
Si desidera progettare un sistema di trasmissione PAM binario simmetrico a divisione di tempo (TDM) per la trasmissione di 24 canali telefonici campionati alla frequenza TC = 8 kHz e codificati a 8 bit. Il canale di trasmissione è affetto da rumore bianco con densità spettrale di potenza SN ( f ) =
N0
μW
= 0.4
. Determinare il valore
2
Hz
minimo per l’ampiezza degli impulsi, ipotizzati rettangolari, per avere Pe(max) = 10–8. Determinare inoltre la
banda passante che il canale deve possedere se si decide di utilizzare, al posto di quelli rettangolari, impulsi a
coseno rialzato con Roll-Off α = 0.8.
[Risultati: Amin = 4; Bch = 1.38 MHz]
Esercizio 13
Un sistema di trasmissione PAM binario non simmetrico trasmette R = 100
kb
utilizzando impulsi rettangolari di
s
N
μW
energia Eg = 90 μJ su un canale affetto da rumore bianco nella misura di SN ( f ) = 0 = 1.2
. La probabilità
2
Hz
che venga trasmesso un bit 0 è pari a p0 = 0.35.
Determinare il valore ottimale per la soglia del decisore.
[Risultati: λopt = –0.54 V]
Test di verifica
Quesiti a risposta aperta
1. Disegnare lo schema di un predittore di ordine 2 per codifica DPCM, scrivendone la relazione ingresso uscita.
2. Disegnare lo schema di un codificatore DPCM, commentandolo opportunamente.
3. Disegnare lo schema di un decodificatore DPCM, commentandolo opportunamente.
4. Ricavare l’espressione del rapporto segnale-rumore di quantizzazione complessivo per un sistema DPCM.
5. Definire il guadagno di predizione di un sistema DPCM.
6. Disegnare lo schema di un codificatore DM, mostrando come non sia altro che un caso limite di codifica
DPCM.
35
8. Descrivere i tipi di rumore caratteristici di un sistema DM, slope overload noise e granular noise.
9. Ricavare la condizioni di assenza di slope overload noise per un sistema DM.
10. Disegnare lo schema e descrivere il principio di funzionamento di un ADC di tipo Sigma-Delta.
11. Disegnare lo schema di un sistema di trasmissione in banda base, commentandolo opportunamente e scrivendo la sua funzione di trasferimento.
12. Definire il problema dell’interferenza intersimbolica, ricavandone l’espressione per un sistema di trasmissione che utilizzi impulsi rettangolari.
13. Spiegare come si possono utilizzare i diagrammi a occhio per valutare graficamente il grado di interferenza
intersimbolica presente in un sistema di trasmissione.
14. Disegnare i grafici nei tempi e nelle frequenze di un impulso a seno cardinale, mostrando come esso rappresenti la soluzione a banda minima per il problema dell’interferenza intersimbolica.
15. Scrivere la condizione di Nyquist per la trasmissione binaria senza interferenza intersimbolica, commentandola opportunamente.
16. Per quale motivo l’utilizzo di impulsi a seno cardinale non costituisce una soluzione pratica al problema dell’interferenza intersimbolica?
17. Tracciare i grafici nei tempi e nelle frequenze di un impulso con spettro a coseno rialzato, commentandoli opportunamente
18. Illustrare pregi e difetti degli impulsi con spettro a coseno rialzato rispetto agli impulsi a seno cardinale.
19. Disegnare lo schema di un sistema PAM TDM, ricavandone l’occupazione di banda rispetto a un sistema a
canale non multiplato.
20. Definire il rapporto segnale rumore di picco per un sistema PAM binario.
21. Enunciare il teorema del filtro adattato.
22. Disegnare lo schema di un circuito integrate and dump, mostrando come esso rappresenti una soluzione pratica per realizzare un filtro adatto a impulsi rettangolari.
23. Scrivere l’espressione della massima probabilità di errore in un sistema PAM binario simmetrico, disegnandone l’andamento approssimativo.
24. Scrivere l’espressione della soglia ottimale di decisione per un sistema PAM binario.
Quesiti a scelta multipla
Scegliere la risposta corretta tra quelle proposte.
1. La codifica DPCM, rispetto a quella PCM:
a permette di aumentare il numero di bit utilizzabili in codifica a parità di errore di quantizzazione;
b permette di diminuire l’errore di quantizzazione a patto di aumentare il numero di bit utilizzati in codifica;
c permette di diminuire i bit utilizzati in codifica mantenendo costante l’errore di quantizzazione;
d permette di diminuire sia il numero di bit utilizzati in codifica che il rumore di quantizzazione.
Esercitazioni
7. Disegnare lo schema di un decodificatore DM, commentandolo opportunamente.
Esercitazioni
36
2. La codifica DM:
a è una codifica DPCM a 1 bit che utilizza un predittore di ordine 1;
b è una codifica DPCM con una frequenza di campionamento ridotta;
c è una codifica PCM con una frequenza di campionamento elevata;
d nessuna delle precedenti.
3. Il valore δ di un sistema DM:
a deve essere il più elevato possibile per ridurre il granular noise;
b deve essere il più ridotto possibile per ridurre lo slope overload;
c deve essere estremamente piccolo se confrontato con l’ampiezza massima del segnale da convertire;
4. Un ADC di tipo Sigma-Delta:
a permette di effettuare conversioni ad alta velocità, anche se a bassa precisione;
b permette di rimuovere buona parte del rumore di quantizzazione dallo spettro del segnale campionato;
c permette di ridurre il rumore di quantizzazione solo a patto di aumentare di molto la frequenza di campionamento complessiva del sistema;
d utilizza un filtro passivo RC per ridurre il numero di campioni posti in uscita.
5. L’interferenza intersimbolica:
a aumenta in genere all’aumentare della banda passante del canale, se non si usano impulsi rettangolari;
b può essere completamente eliminata da un sistema utilizzando una tecnica di codifica DPCM;
c diminuisce in genere all’aumentare della banda passante;
d non si presenta se si utilizzano impulsi rettangolari.
6. L’utilizzo di impulsi con spettro a coseno rialzato:
a permette di ridurre l’interferenza intersimbolica e di diminuire la banda occupata sul canale;
b permette di diminuire la banda occupata sul canale a patto di aumentare l’interferenza intersimbolica;
c permette di ridurre l’interferenza intersimbolica a patto di aumentare la banda occupata sul canale o di ridurre
la velocità di trasmissione;
7. La multiplazione a divisione di tempo di M canali che trasmettono R
bit
utilizzando una banda B:
s
a permette di trasmettere a velocità MR utilizzando sul canale una banda pari a B;
b permette di trasmettere a velocità R utilizzando sul canale una banda pari a B ;
M
c permette di trasmettere a velocità R utilizzando sul canale una banda pari a MB;
d permette di trasmettere a velocità MR utilizzando sul canale una banda pari a MB.
8. Il filtro adattato:
a minimizza la probabilità di errore di un sistema PAM solo se utilizzano impulsi rettangolari;
b massimizza il rapporto segnale rumore di picco del ricevitore negli istanti di campionamento;
c massimizza il rapporto segnale rumore di picco del ricevitore solo nel caso di utilizzo di impulsi a coseno rialzato;
9. La probabilità di errore in un sistema PAM:
a diminuisce, a parità di rumore, all’aumentare dell’energia dell’impulso utilizzato;
b diminuisce, a parità di rumore, all’aumentare dell’interferenza intersimbolica sul canale;
c aumenta, a parità di energia dell’impulso utilizzato, al diminuire dell’interferenza intersimbolica;
d aumenta, a parità di energia dell’impulso utilizzato, al diminuire della densità spettrale di rumore sul canale.
10. In un sistema PAM simmetrico binario:
a la probabilità di errore è minore, a parità di condizioni, rispetto a un sistema asimmetrico;
b la probabilità di errore è identica, a parità di condizioni, rispetto a un sistema asimmetrico;
c la soglia di decisione ottima λ è sempre pari a 0;
opt
37
Esercitazioni

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