Testi d`esame

 DEGLI STUDI DI ROMA \LA SAPIENZA"
UNIVERSITA
SEDE DISTACCATA DI LATINA
CORSO DI DIPLOMA-LAUREA IN INGEGNERIA per l'AMBIENTE e il TERRITORIO
a.a. 1999/2000 - PROVA SCRITTA DI ANALISI I
04/04/2000
COGNOME ..............................................
NOME ..............................................
1.
Data la funzione
f (x) =
8
2
<e x
x0;
:
x<0
1 + e1=x
determinare
a) l'insieme di denizione;
b) l'insieme di continuita;
c) l'insieme di derivabilita;
d) gli intervalli di crescenza e decrescenza;
e) (fac.) disegnarne il graco.
2.
Calcolare
lim
n!1
n
2
n
3
3.
Calcolare
Z
2
1
px + p1 epx dx:
x
SOLUZIONI 04/04/2000 - ANALISI I
1.
Idef (f ) = Icont (f ) = Ider (f ) = IR
f (x) decrescente in IR ; ( 0 ; 1 ) punto di esso orizzontale:
2.
0
3.
h
2 (5
p
p2
2 2)e
i
2e
DEGLI STUDI DI ROMA \LA SAPIENZA"
UNIVERSITA
SEDE DISTACCATA DI LATINA
CORSO DI DIPLOMA-LAUREA IN INGEGNERIA per l'AMBIENTE e il TERRITORIO
a.a. 1999/2000 - PROVA SCRITTA DI ANALISI II
04/04/2000
COGNOME ..............................................
NOME ..............................................
1.
Risolvere il seguente Problema di Cauchy
8
< y0 +
:
1
x2
1
y = e x arctan x
y(1) = 0:
2.
Determinare un aperto in cui la forma dierenziale
!(x; y) = log y cos x dx +
sin x
y
dy
; 1 = 0 :
risulti esatta. Calcolarne la primitiva F (x; y ) tale che F 12
3.
Determinare tutte le radici quarte del numero complesso
p
z = 2 + 2 3i :
SOLUZIONI 04/04/2000 - ANALISI II
1.
1
y(x) = e x x arctan x
1
1
log( 1 + x2 ) + log 2
2
2
4
2.
Idef = Ies = f (x; y) 2 IR2
j y>0g
F (x; y) = log y sin x
3.
p4
h
z0 = 4 cos
z1 =
p4
z2 =
p4
6
+ i sin
i
6
2
2
4 cos + i sin 3
3
7
7
4 cos + i sin 6
6
3
3
=
p
5
5
z3 = 4 4 cos + i sin =
p
3 i
+
2
2
p
1
3
+
i
2
2
p
3
2
=
=
1
2
i
p
2
3
i
2
DEGLI STUDI DI ROMA \LA SAPIENZA"
UNIVERSITA
SEDE DISTACCATA DI LATINA
CORSO DI DIPLOMA-LAUREA IN INGEGNERIA per l'AMBIENTE e il TERRITORIO
a.a. 1999/2000 - PROVA SCRITTA DI ANALISI II
14/04/2000
COGNOME ..............................................
NOME ..............................................
1.
Calcolare il lavoro compiuto dal campo vettoriale
~ (x; y) = log(x + y) +
V
x
x+y
;
x
x+y
per spostare un corpo di massa unitaria dal punto P (1 ; 0) e fargli compiere l'intero percorso lungo la
circonferenza
x2 4x + y2 + 3 = 0
in senso antiorario.
2.
Costruire l'integrale generale dell'Equazione Dierenziale
2y 000 + y " = e x
yIV
al variare di 2 IR.
Vericare che, per > 1, vi e una sola soluzione y tale che
lim y (x) = 0
x!+1 (fac.: cosa accade per 1 ?).
3.
Calcolare
ZZ
T
dove
jxj + jyj dx dy
x2 + y 2
T = f(x; y) 2 IR2 : 1 x2 + y2 4g :
DEGLI STUDI DI ROMA \LA SAPIENZA"
UNIVERSITA
SEDE DISTACCATA DI LATINA
CORSO DI DIPLOMA-LAUREA IN INGEGNERIA per l'AMBIENTE e il TERRITORIO
a.a. 1999/2000 - PROVA SCRITTA DI ANALISI I
14/04/2000
COGNOME ..............................................
NOME ..............................................
1.
Determinare gli insiemi di denizione, di positivita e negativita, di crescenza e decrescenza della funzione
f (x) =
px1
1
(fac.) studiare il graco di f (x).
2.
Calcolare l'area del sottograco della funzione denita nell'esercizio 1), quando x 2 [ 4 ; 9 ].
3.
Calcolare, se esistono,
lim
x!2
e(x
2)
(x
(x
2)
sin(x
2)
2)
per = 2 e = 3 .
4.
Date le successioni
n!
an = n
2
;
bn = n ;
lim (an
bn ) :
a) vericare se siano monotone;
b) calcolare
n!+1
SOLUZIONI 14/04/2000 - ANALISI I
1.
Idef (f ) = [ 0 ; 1 [ [ ] 1 ; +1 [
f (x) > 0 in ] 1 ; +1 [
f (x) decrescente in
f (x) < 0 in [ 0 ; 1 [ :
;
]0; 1[
e in
] 1 ; +1 [ .
2.
4 + 2 log 2
3.
=2 :
lim f (x) = 1
x!2
=3 :
lim f (x) = +1
x!2+
;
lim f (x) =
x!2
1
4.
a) an ; bn strettamente crescenti;
b)
lim (an
n!+1
bn ) = +1 :
;
6 9 xlim
! f (x)
2
SOLUZIONI 14/04/2000 - ANALISI II
1.
0
2.
Per > 1 si ha
h
p
p
i
y (x) = C1 + C2 x + ex C3 cos( 1x) + C4 sin( 1x) +
y (x) =
1
e x:
3+
Per = 1 si ha
1
e x;
3+
1
y1 (x) = C1 + C2 x + C3 ex + C4 xex + e x ;
4
1
y1 (x) = e x :
4
Per 0 < < 1 si ha
p1 ]x
p
1
+ C4 e[1 1 ]x +
e x;
3+
y (x) = C1 + C2 x + C3 e[1+
y (x) =
1
e x:
3+
Per = 0 si ha
Per < 0 ,
1
y0 (x) = C1 + C2 x + C3 x2 + C4 e2x + e x ;
6= 3 , si ha
3
1
y0 (x) = e x :
3
p
p
1
y (x) = C1 + C2 x + C3 e[1+ 1 ]x + C4 e[1 1 ]x +
e x;
3+
p
1
e x;
y (x) = C4 e[1 1 ]x +
3+
quindi ci sono innite soluzioni.
Per = 3 si ha
y 3(x) = C1 + C2 x + C3 e3x + C4 e x
y 3 (x) = C4 e x
quindi ci sono innite soluzioni.
1
xe x ;
4
3.
8
1
xe x ;
4
DEGLI STUDI DI ROMA \LA SAPIENZA"
UNIVERSITA
SEDE DISTACCATA DI LATINA
CORSO DI DIPLOMA-LAUREA IN INGEGNERIA (SETTORE dell'INFORMAZIONE)
a.a. 1999/2000 - PROVA SCRITTA DI ANALISI I
12/06/2000
COGNOME ..............................................
NOME ..............................................
CORSO DI DIPLOMA-LAUREA IN ...................................................................
1. Data la funzione
f (x) = tan(arcsin x)
a) stabilirne l'insieme di denizione;
b) calcolare i seguenti limiti:
lim f (x)
lim f (x)
x! 1+
;
x!+1
c) studiarne gli intervalli di crescenza e decrescenza, individuando eventuali punti di massimo o minimo
relativo e/o assoluto;
d) (fac.) studiarne il graco
2. Calcolare il seguente limite
lim
x!0
3. Calcolare
Z
tan(arcsin x)
p3=2
=
1 2
x
p x
1
x2
dx :
4. Determinare il carattere della successione
an =
n
n 1
n!
DEGLI STUDI DI ROMA \LA SAPIENZA"
UNIVERSITA
SEDE DISTACCATA DI LATINA
a.a. 1999/2000 - PROVA SCRITTA DI ANALISI I
12/09/2000
COGNOME ..............................................
NOME ..............................................
CORSO DI DIPLOMA-LAUREA IN ...................................................................
1.
Studiare il graco della funzione
f (x) =
x2 + 3x + 2
x 1
(insieme di denizione; limiti; punti di discontinuita; crescenza e decrescenza; punti di minimo, massimo,
esso orizzontale; concavita e convessita; essi obliqui; asintoti).
2.
Calcolare
Z
4
2
Ha senso calcolare
Z
0
2
3.
x2 + 3x + 2
dx :
x 1
x2 + 3x + 2
dx
x 1
?
Determinare il carattere della successione
an =
1
n+2
n
1
n
n 2