Rigidit`a di una similitudine

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Istituzioni di matematiche 2
Diego Noja ([email protected])
Rigidità di una similitudine
21 aprile 2009
CDL Scienze della Formazione Primaria
Istituzioni di matematiche 2 – pagina 1
Di fatto siamo in qualche modo legittimati a fare
questa confusione: infatti le similitudini sono qualcosa
di estremamente “rigido”
sapere come una similitudine si comporta su un
pezzo di piano, anche molto piccolo, ci permette
di sapere come questa similitudine si comporta su
tutto il piano.
Abbiamo definito le similitudini come trasformazioni
di tutto il piano. Giocoforza quando le
rappresentiamo, ci limitiamo a considerarne l’azione
solo su una porzione di piano.
Supponiamo di avere tre punti A, B e C non allineati e di
conoscere le immagini A′ , B ′ e C ′ di questi tre punti.
B
A
C′
P
B′
C
A′
k vale
A′ B ′
AB
Conoscendo k e la distanza di P da A, da B e da C, sappiamo
quale deve essere la distanza di P ′ da A′ , da B ′ e da C ′ .
conoscere le immagini A′ , B ′ e C ′ di questi tre punti. Dato un
qualsiasi punto P è possibile determinare univocamente
l’immagine P ′ di P .
conoscere le immagini A′ , B ′ e C ′ di questi tre punti. Dato un
qualsiasi punto P è possibile determinare univocamente
l’immagine P ′ di P .
P′
B
A
C′
P
P′
B
A
P
B′
B′
A′
C
C
C′
A′
I seguenti triangoli sono simili?
C
′
CB
A
′
B
B ′C ′
Quante
similitudini
riuscite a trovare
che mandino il
primo triangolo
nel secondo?
Similitudini e relazioni di
equivalenza
A′
A seconda di come mettiamo le lettere
“corrispondenti” abbiamo similitudini diverse.
Terminologia
Figure simili
A volte nei libri di testo il termine similitudine è utilizzato con
un significato diverso da quello che abbiamo dato fin qui, ad
esempio nella frase
la similitudine è una relazione di equivalenza
ATTENZIONE:
fino ad ora abbiamo definito le similitudini come
“trasformazioni del piano . . . ”, ovvero come “corrispondenze
biunivoche . . . ”
una corrispondenza biunivoca in generale non è una
relazione di equivalenza
Le nostre similitudini non sono relazioni di
equivalenza.
È però vero che le similitudini ci permettono di
definire una relazione di equivalenza nell’insieme delle
figure del piano.
(una figura del piano è un qualsiasi insieme di punti
del piano)
Definizione – Due figure del piano si dicono simili
se è possibile costruire una similitudine del piano che
manda la prima figura nella seconda.
Le nostre similitudini non sono relazioni di equivalenza.
Figure simili
Altre geometrie?
Definizione – Due figure del piano si dicono simili se è
possibile costruire una similitudine del piano che manda la prima
figura nella seconda.
Possiamo “inventarci” una nuova geometria ogniqualvolta
riusciamo ad identificare una relazione di equivalenza.
In altre parole queste geometrie si differenziano nel concetto di
“uguaglianza”, ovvero nel decidere quali figure siano considerate
“uguali”.
(“All’inizio fu lo scriba”, paragrafi “Le molte facce della
geometria” e “Alla ricerca di solide fondamenta”.)
In generale la relazione di equivalenza viene costruita attraverso
quello che si chiama gruppo di trasformazioni.
L’insieme di tutte le similitudini del piano è un primo esempio di
gruppo di trasformazioni.
La geometria delle similitudini studia le proprietà in comune a
due figure simili. La definizione
Definizione – Chiamiamo quadrato un poligono con 4 lati
uguali e 4 angoli retti.
Individua una qualsiasi figura nella classe di similitudine di
questa:
Equivalenze in geometria
Equivalenze in geometria
Vogliamo stabilire una relazione di equivalenza tra le
figure geometriche (per stabilire che cosa significhi
che due figure sono uguali).
Abbiamo visto l’esempio di una relazione di
equivalenza fatta in questo modo
due figure geometriche sono “equivalenti” se
è possibile trovare una similitudine di tutto il
piano che mandi l’una nell’altra
Potremmo però scegliere invece la relazione di equivalenza fatta
in questo modo
due figure geometriche sono “equivalenti” se è possibile
trovare una omotetia del piano che mandi l’una nell’altra
Se queste sono le “regole” del gioco, allora i seguenti quadrati
non sono equivalenti
Se queste sono le “regole” del gioco, ne possiamo
trarre le dovute conseguenze: ad esempio tutti i
quadrati sono equivalenti.
Questioni metriche
Nel momento in cui andiamo a porre delle questioni “metriche”
(misura di lunghezze, misure di aree, . . . ) stiamo passando dalla
geometria delle similitudini alla geometria delle isometrie
La geometria delle isometrie
Ai fini della misurazione dell’area questi due quadrati sono
“diversi” (mentre nella geometria delle similitudini ci eravamo
orientati a studiare le proprietà comuni a questi due quadrati)
Isometrie del piano
Proprietà delle isometrie
Una isometria è una trasformazione f del piano che
lascia invariate le distanze.
Pur non avendo ancora dato esempi, la proprietà
astratta che definisce se una trasformazione sia o
meno un’isometria permette di dedurne alcune
proprietà geometriche
In altre parole, f è una isometria se comunque si
prendano due punti P e Q del piano, allora la distanza
tra P e Q è uguale alla distanza tra f (P ) e f (Q).
Come sono fatte le isometrie del piano?
L’equivalenza determinata dalle isometrie che tipo
di “geometria” mi fa considerare?
–
come sono fatte/come riconosco che due
figure sono equivalenti?
comunque si fissino tre punti A, B e C del piano,
l’angolo da questi individuato è uguale all’angolo
individuato dai loro corrispondenti f (A), f (B) e
f (C)
se tre punti A, B e C sono allineati, allora f (A),
f (B) e f (C) sono allineati
l’immagine di ogni segmento è un segmento,
l’immagine di ogni retta è una retta
Riflessione rispetto ad una retta r
Fissata una retta r, la riflessione corrispondente è quella
trasformazione che manda ogni punto del piano P in quel punto
P ′ che appartiene alla perpendicolare da P a r e tale che la
distanza di P dalla retta r sia uguale alla distanza di P ′ da r
Esempi di isometrie
Q
r
R
P
P′
Q′
Potremmo anche dire che la
riflessione rispetto alla retta r
manda ogni punto P in quel
punto P ′ tale che r risulti essere
l’asse del segmento P P ′ .
Attenzione al punto R
Q′
C
B
Q′
A
Q
P
Q
P′
P
P′
Riflessioni
Le riflessioni sono isometrie.
Q′
P
Q
P′
KSEG
Si può
dimostrare
che,
qualunque sia
la scelta dei
punti P e Q,
si ha che la
distanza tra P
e Q è uguale
alla distanza
tra P ′ e Q′

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