L`integrale della funzione di Planck per la radiazione di corpo nero
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L`integrale della funzione di Planck per la radiazione di corpo nero
L'integrale della funzione di Planck per la radiazione di corpo nero 1 Il problema Studiando il corpo nero con l'approccio di Planck si ottiene che la densità di energia per unità di volume è ℏ 3 1 dU =u d = e ℏ KT −1 2 c 3 d o anche, definendo =ℏ / KT si può riscrivere il dU dU =u d = KT 4 1 3 d 2 3 3 c ℏ e −1 Ovviamente integrando il dU su tutte le frequenze si deve ottenere la formula di Wien U = T 4 Vediamo come arrivarvi analiticamente. 2 L'integrale A meno di costanti particolari il problema si riduce al calcolo dell'integrale ∞ 3 I 3=∫ d e −1 0 Questo integrale si può calcolare facendo un'integrazione nel piano complesso sul percorso indicato in figura: iπ R E' tuttavia opportuno fare dapprima alcune notazioni: zk è analitica ∀ k≥1 e quindi l'integrale sul percorso in figura sarà nullo per il • La funzione e z −1 teorema di CauchyGoursat • Si dimostra l'utile identità ∞ Infatti: ∫ dx 0 ∞ ∞ xn xn ∫ dx e x 1 =1−2−n ∫ dx e x −1 (*) 0 0 ∞ n ∞ 2x xn xn yn −n − = dx =2 dy ∫ e2 x −1 ∫ e y −1 e x −1 e x 1 0 0 ove per ottenere l'ultima uguaglianza è stato fatto il cambio di variabile y=2x. Poiché y è semplicemente una variabile di integrazione possiamo facilmente combinare il primo ed il terzo membro dell'equazione scritta ottenendo la relazione voluta. ∞ Procediamo ora con il calcolare il valore dell'integrale I 1=∫ dx x per analizzare la procedura x e −1 0 con cui poi affrontare l'integrale della funzione di Planck. Integrando sul cammino in figura si ottiene: 0 ∞ 0 xi x iy ∫ dx e x −1 O e−R ∫ dx e xi −1 ∫ idy eiy−1 =0 0 ∞ ∞ ∞ xi x iy ∫ dx e x −1 ∫ dx e x 1 =∫ idy eiy−1 0 0 0 Consideriamo ora il termine a secondo membro e moltiplichiamo dentro l'integrale sia a numeratore che a denominatore per la quantità (eiy1). In tal modo al denominatore otteniamo la quantità 2(1cos(y)). Poiché il risultato dell'integrale sarà un numero complesso avremo che le parti reali e immaginarie dovranno essere uguali a destra e sinistra del segno di uguaglianza. In particolare studiamo la parte reale: ∞ ∞ 2 y 1−cos y x x ∫ dx e x −1 ∫ dx e x 1 =∫ dy 2 1−cos y = 4 0 0 0 ∞ sfruttando al relazione (*) si ottiene: I 1=∫ dx 0 2 x = x e −1 6 ∞ 3 In maniera del tutto analoga calcoliamo I 3=∫ dx x : x e −1 0 0 ∞ 3 0 xi x3 iy3 −R dx O e dx idy ∫ e x −1 ∫ e xi −1 ∫ eiy−1 =0 0 ∞ ∞ ∞ 3 xi x3 iy3 ∫ dx e x −1 ∫ dx e x 1 =∫ idy eiy−1 0 0 0 procedendo come prima (e considerando la sola parte reale) si avrà ∞ ∞ x 3−32 x 4 x3 y3 ∫ dx e x −1 ∫ dx e x 1 =−∫ dy 2 =− 8 0 0 0 e sfruttando le relazioni (*) e I 1= 2 posso ottenere 6 ∞ I 3=∫ dx 0 4 x3 = x e −1 15 3 Conclusione Una volta calcolato l'integrale possiamo quindi giungere alla formula per l'energia totale del corpo nero. Tale relazione è del tutto in accordo con la legge di Wien. In particolare: K 4 2 4 U= T = T 4 3 3 15 c ℏ 4 2 K e pertanto = , relazione facilmente verificabile sostituendo i valori numerici delle varie 15 c 3 ℏ 3 costanti in gioco.