Corpi rigidi e Moti rotazionali

Corpi rigidi
e
Moti rotazionali
N. Beverini
Corso di Fisica
Corso di laurea in Scienze
Geologiche
Corpi rigidi
• Si definisce corpo rigido un corpo esteso indeformabile ⟺ La distanza tra due punti qualunque del corpo si mantiene sempre costante.
Rotazioni intorno ad un asse fisso
• Moto di rotazione • Spostamento angolare • Spostamento lineare corrispondente
∆ϑ
Δsi = ri Δϑ
O
Asse di rotazione Oz
Velocità angolare del corpo rigido:
Accelerazione angolare del corpo rigido:
perpendicolare al piano xy
Energia cinetica di rotazione
Momento d’inerzia:
Momento d’inerzia di un corpo esteso omogeneo di densità ρ:
Momenti d’inerzia
Disco (Cilindro):
Anello:
Lastra:
Barra rettilinea incernierata al centro:
L
L
Barra rettilinea incernierata ad un estremo:
Sfera (intorno ad un diametro):
Teorema di Huygens
(degli assi paralleli)
Momento assiale di una forza
Asse di rotazione
Asse di rotazione
Ft è la componente tangenziale della forza
Asse di rotazione
r⊥ è il braccio della forza
Moto di rotazione intorno ad un asse fisso
Corpo di massa m vincolato a ruotare alla distanza r dall’asse fisso
m
r
In un corpo rigido: Lavoro ed energia cinetica:
= τ z dϑ
Se τ è costante: Potenza:
Corpi estesi soggetti alla forza peso
Energia potenziale
Energia potenziale gravitazionale di un cubetto di massa mi , posto in un punto di coordinate :
Energia potenziale gravitazionale totale di un corpo rigido di ∑
massa M
=
m
i :
i
L’energia potenziale gravitazionale di un corpo esteso di massa M è pari all’energia potenziale che avrebbe un corpo puntiforme della stessa massa, posizionato nel centro di massa del corpo esteso.
Corpi estesi soggetti alla forza peso
Momento rispetto ad un asse
Momento rispetto ad un asse orizzontale Oy della forza peso del cubetto di massa mi :
Momento totale rispetto ad Oy della forza peso di un corpo ∑
rigido di massa M
= m
i :
i
Il momento della forza peso gravitazionale agente su un corpo esteso di massa M è pari al momento agente su un corpo puntiforme della stessa massa, posizionato nel centro di massa del corpo esteso.
Statica dei corpi rigidi
Condizione di equilibrio (corpo rigido vincolato a ruotare intorno ad un asse fisso): ∑τ
i
z,i
=0
Il momento, calcolato rispetto all’asse fisso, della forza vincolare deve essere nullo.
Corpi appoggiati: Perché ci sia equilibrio, il momento della forza normale deve opporsi al momento della forza peso ➪ La verticale del centro di massa deve cadere all’interno del perimetro dì appoggio
Moto di rotolamento
vCM
vCM
s=ϑ R
vCM = ω R
Nel moto di rotolamento il punto del corpo in contatto con il suolo ha velocità istantanea nulla.
La condizione di rotolamento viene mantenuta dalla forza d’attrito statica. Il punto in cui è applicata la forza d’attrito ha velocità nulla: ➪ la forza d’attrito non compie lavoro.
Moto di rotolamento
L’energia cinetica di un corpo rigido è data dalla somma dell’energia relativa al moto di traslazione del centro di massa e dell’energia di rotazione intorno al centro di massa 1
1
2
Ecin = M vcm + I cmω 2
2
2
Per un corpo in rotolamento:
vCM = ω R
2
1
1
⎛v ⎞
2
2
Ecin = M vcm
+ M R 2 ⎜ cm ⎟ = M vcm
⎝ R⎠
2
2
Anello: I cm = MR
Cilindro: 1
I cm = MR 2
2
1
1 1
3
⎛v ⎞
2
2
Ecin = M vcm
+ ⋅ M R 2 ⎜ cm ⎟ = M vcm
⎝ R⎠
2
2 2
4
Sfera: 2
I cm = MR 2
5
1
1 2
7
⎛v ⎞
2
2
Ecin = M vcm
+ ⋅ M R 2 ⎜ cm ⎟ = M vcm
⎝ R⎠
2
2 5
10
2
2
2