Esempio di moto rototraslatorio:

ESEMPIO DI MOTO ROTOTRASLATORIO
Moto di rotolamento senza strisciamento:
il corpo trasla con velocità vCM ,
ruota con velocità angolare ω attorno ad un
asse passante per CM ⊥ al piano del disegno,
il punto di contatto è istantaneamente fermo
A
ω
B
r
B
CM
vCM
r
C
C punto di contatto all’ istante t: vC = 0
La forza di attrito statico impedisce lo
strisciamento
vC = vCM + ω×r = 0 ⇒ vCM = − ω×r
ω vettore ⊥ al piano del disegno, entrante
ω×r = − ωr i opposto a vCM
vCM= ωr aCM = α r
Moto di rotolamento senza strisciamento ≡
moto di rotazione attorno ad un asse
istantaneamente fisso passante per C
Energia cinetica del cilindro:
per il teorema di Konig
1 2
1
2
E K = mvCM + ICM ω =
2
2
1 2 2 1
2
= mr ω + ICM ω =
2
2
1
2
2 1
2
= ICM + mr ω = ICω
2
2
1
2
ICω energia cinetica di rotazione attorno
2
(
)
all’ asse passante per C
Velocità del punto A
vA = vCM + ω×rA = vCM +ωr i =
2ωr i
vA ⊥ al vettore che congiunge A con il punto
di contatto C, |vA| = ω ⋅ CA
Velocità di un generico punto B
vB = vCM + ω×rB
Velocità di B relativa a C:
vB − vC = ω×rB − ω×r = ω×(rB − r)
Essendo vC = 0 ⇒
vB = ω× CB
vB ⊥ al vettore che congiunge B con il punto
di contatto C, |vB| = ω CB
Il moto può essere considerato come un moto
di pura rotazione rispetto ad un asse passante
per C
Esempio:
un cilindro rotola senza strisciare su un piano
scabro XZ sotto l’ azione di una forza F
costante diretta lungo X e di un momento M
diretto lungo Z, applicato all’ asse passante
per CM
ω
M
Y
F
f
X
Z
f reazione esercitata dal piano
1 2
ICM = mr
2
L’ = I CM ω
Equazioni del moto
E
R = m aCM
dL'
M =
dt
E
⇔F
⇔
+ f +mg = maCM
d L'
M+r×f=
dt
Lungo gli assi X, Y
F + fX = m aCM
fY = mg
(*)
Lungo l’asse Z
1 2
−Mk + rfXk = − mr α k
2
1
M − rfX = mra CM
(* *)
2
a CM
da
(*) e (* *) ⇒
2 rF + M
=
3 mr
2M − rF
fX =
3r
Perché non ci sia strisciamento:
fX = forza di attrito statico
fX ≤ µS fY = µS mg
fX
fX
µS ≥
µSMIN =
fY
fY
Casi particolari:
1) M = 0
2F
F
a CM =
fX = −
3m
3
fX i opposta ad F
momento di f responsabile della rotazione
2) F = 0
2M
2M
a CM =
fX =
3 mr
3r
fX positiva determina il moto di CM
momento di f opposto ad M
3) M = 0 F = 0
il cilindro è in quiete oppure
vCM = costante
ω = costante
1 2
1
2
E K = mvCM + ICM ω = costante
2
2
Lavoro della forza di attrito nel moto di puro
rotolamento
fX = forza di attrito statico, vC = 0
dW = fX i ⋅ ds = fX i ⋅ vC dt = 0