I moti del corpo rigido

I moti del corpo rigido
SI
DICE CORPO RIGIDO UN OGGETTO IDEALE CHE MANTIENE LA STESSA FORMA E LE STESSE
DIMENSIONI QUALUNQUE SIA LA SOLLECITAZIONE CUI LO SI SOTTOPONE
Il corpo rigido può essere pensato come scomponibile in un grande numero di punti materiali, ed i
movimenti di cui esso è capace possono a loro volta essere interpretati come moti d’insieme dei
punti materiali che lo costituiscono. Studieremo il moto di traslazione ed il moto di rotazione di un
corpo rigido e la loro composizione, tralasciando l’analisi di movimenti più complessi come quello
di imperniamento.
SI
DICE CHE UN CORPO RIGIDO COMPIE UN MOTO DI TRASLAZIONE SE TUTTI I SUOI PUNTI SI
MUOVONO CON LO STESSO VETTORE VELOCITÀ.
SI
DICE CHE UN CORPO RIGIDO COMPIE UN MOTO DI ROTAZIONE SE TUTTI I SUOI PUNTI
DESCRIVONO DELLE CIRCONFERENZE CON CENTRO SULLA STESSA RETTA, CHE È DETTA ASSE DI
ROTAZIONE
E’ importante sottolineare che un moto di traslazione non implica necessariamente che i punti
materiali che compongono il corpo rigido si muovano su delle traiettorie rettilinee: essi potranno
compiere anche dei tratti curvi, od al limite delle circonferenze. L’importante è che non siano
concentriche, come si vede in figura:
A
A
r
v
B
B
A
A
B
A
B
B
r
v
r
v
A
B
B
A
B
A
Il corpo a sinistra descrive un moto traslatorio: sebbene le traiettorie che i punti materiali
componenti il corpo rigido seguono siano circolari, le circonferenze lungo cui si dispongono non
hanno i centri su di un’unica retta. Una via alternativa per accorgersi che si tratta di traslazione pura
è verificare che comunque presi due punti A e B sul corpo, la retta che passa per essi si mantiene
parallela a sé stessa. Il corpo a destra invece descrive un moto di rotazione attorno ad un asse: tutti i
punti che lo compongono si spostano su delle circonferenze concentriche: la loro velocità cresce
con la distanza dall’asse di rotazione. Inoltre, come si vede, una retta passante per due suoi punti
qualunque A e B non si mantiene parallela a sé stessa.
P
Lo spostamento di un corpo rigido può sempre essere
scomposto applicando a tutto il corpo dapprima la
traslazione subita da un qualunque suo punto e
successivamente una rotazione attorno ad un asse
passante per tale punto.
P
Consideriamo il seguente esempio di un cilindro che
rotola su di un piano: si tratta di un moto di composto
P
di rototraslazione, ed una possibile scomposizione è
illustrata in figura servendosi di un qualunque suo
punto P.
Nell’esempio si sono scelte due vie alternative per
P
riprodurre un rotolamento pari ad un tratto lungo
quanto la metà della circonferenza perimetrale.
Possiamo prima traslare l’intero cilindro
dello
spostamento che subisce
un punto P qualunque
scelto sul bordo, e poi ruotare di 180° in senso orario
P
attorno ad un asse parallelo al piano di rotolamento e
P
passante per esso. Analogamente si può traslare il
cilindro di un vettore pari a quello che determina lo
C
spostamento del centro C, e poi ruotare di 180° gradi
orari attorno ad un asse che passi per C e sia parallelo
al piano.
Le scelte possibili sono infinite, ma in ogni caso si può dimostrare che la direzione nello spazio
dell’asse di rotazione è la stessa, anche nel caso generale di moti che non avvengono su di un piano
come quello qui considerato. Analogamente, l’ampiezza ed il verso della rotazione che alla fine
eseguiamo sono sempre gli stessi, indipendentemente dal punto P scelto.
Questa importante proprietà delle rototraslazioni di un corpo rigido facilita molto alcuni calcoli: in
un moto di rototraslazione, qualunque sia l’asse che si utilizza per rappresentare la rotazione, si ha
che l’angolo di rotazione è un valore assoluto, indipendente da esso. Se quindi si associa a tale
rotazione l’intervallo di tempo ∆ t in cui avviene, ne consegue che anche la velocità angolare ω e
l’accelerazione angolare α sono dei valori assoluti, indipendenti dall’asse scelto per studiarle.
La velocità di ciascuno dei punti che compongono il corpo in rototraslazione sarà allora data dalla
somma vettoriale delle velocità di
r
r r
traslazione e di rotazione: v = v T + v R .
P
Nel caso particolare di rotolamento di
un cilindro, un disco od una sfera su di
C
un piano, torna utile interpretare il
moto come una rotazione attorno ad un
asse a contatto con il piano e fermo
A
istante per istante. Con tale espediente
è infatti molto semplice calcolare la velocità di qualunque punto del corpo. Se ci raffiguriamo un
perimetro circolare come se fosse un poligono con un numero infinito di lati, il confronto con il
rotolamento di una figura con degli spigoli aiuta l’intuizione. In tal modo è facile capire che un
punto di contatto con il piano, come A, ha in ogni istante velocità zero. Il centro C della
circonferenza perimetrale dell’oggetto che rotola si trova a distanza r dall’asse di rotazione e
quindi la sua velocità sarà v = ωr , dove ω è il valore della velocità angolare, che come si è detto
non dipende dall’asse. Invece un punto sul bordo come P, avrà velocità v = 2ωr , trovandosi a
distanza 2r dall’asse istantaneo di rotazione. Va sottolineato che le curve disegnate in figura
valgono esclusivamente per l’istante in cui il moto è stato per così dire “fotografato”: P e C non
seguono realmente le traiettorie indicate e nell’istante successivo saranno sostituiti da altri punti del
corpo che andranno ad occupare le loro posizioni.