Le Spline Cubiche

Le Spline Cubiche
Enrico Bertolazzi
Introduzione
• Motivazioni
• Derivazione delle spline cubiche
• Condizioni al contorno
• Proprietà di approssimazione
Cosa uno si aspetta
D m = {a = x 0m < x1m < ... < x nmm = b}
D m = max x
k
m
k +1
-x
m
k
• Fissiamo un intervallo [a,b]
• Prendiamo una successione di nodi Δm
• Assumiamo che ||Δm|| tenda a 0
E’ vero che pm(x) tende a f(x) puntualmente ?
Un esempio negativo
•
Esistono casi in cui
l’interpolazione
polinomiale fallisce.
•
L’esempio di Runge
f(x) = 1 / (1+x2) con 11
punti di interpolazione
equispaziati nell’intervallo
[-5,5].
E cambiando i nodi ?
f (n +1) (x )
f (x) - p(x) = (x - x 0 )(x - x1 )...(x - x n )
(n + 1)!
•
Usando i nodi di
Tchebichev le cose
migliorano notevolmente
•
Quindi sembrerebbe che
scegliendo bene i nodi si
ottiene la convergenza
Due risultati apparentemente
contrastanti
•
(Bernstein-Weierstrass, 1885) Data una qualunque funzione
f(x) continua su [a,b] esiste successione di polinomi pm(x)
tale che
•
pm - f
Æ
0
•
(Faber, G., 1914) Data una qualuque successione di nodi Δm
con ||Δm|| che tende a 0, esiste una funzione f(x) continua
tale che:
pm - f
Æ
0
•
Cosa possiamo concludere ?
•
I polinomi non sono in generale un buon metodo per
approssimare funzioni continue
•
Perlomeno se pensiamo di utilizzare un singolo polinomio
di grado elevato per approssimare la funzione in tutto
l’intervallo che ci interssa
•
Una possibile soluzione sta nell’utilizzare tanti polinomi di
grado basso su piccoli intervalli.
Proprietà della Spline S(x):
•
•
•
dati i punti di interpolazione pk=(xk,yk) con k=0,1,2,...,n:
•
La spline ristretta nell’intervallo [xk-1,xk] è un polinomio di
La spline deve interpolare i punti dati
La spline deve essere una funzione C2[x0,xn]
grado al più 3.
In generale
Ï S1 (x) per x Œ [x 0 , x1 ],
Ô
Ô S2 (x) per x Œ [x1, x 2 ],
S(x) = Ì
Ô
ÔÓ Sn (x) per x Œ [x n-1, x n ],
Dove
Sk (x) = ak + bk (x - x k-1 ) + c k (x - x k-1 ) 2 + dk (x - x k-1 ) 3
Equazioni per la spline
2n Condizioni di interpolazione
Sk (x k ) = y k ,
Sk (x k-1 ) = y k-1,
k = 1,2,...,n
2n-2 Condizioni di continuità
¢ (x k ), Sk¢¢(x k ) = Sk-1
¢¢ (x k ),
Sk¢ (x k ) = Sk-1
k = 1,2,...,n -1
Totale 4n-2 condizioni
Conteggio delle incognite
Ci sono n polinomi da determinare
Sk (x) = ak + bk (x - x k-1 ) + c k (x - x k-1 ) 2 + dk (x - x k-1 ) 3
ogni polinomio consta di 4 parametri
Totale 4n incognite.
Mancano 2 condizioni per “chiudere” il sistema
Condizioni al contorno
•
•
Per chiudere il sistema basta specificare altre due condizioni
•
Oppure specificando le derivate seconde della spline in x0
•
Ad esempio specificando le derivate prime della spline in x0
e in xn
e in xn. Fissando a 0 le derivate seconde si ottengono le
spline naturali.
Altri tipi di condizioni verranno esaminati in seguito
Il sistema lineare
• Le 4n condizioni prima esposte determinano
un sistema lineare di 4n equazioni in 4n
incognite
• Il sistema ha una struttura complessa ed è
sparso: non è facile da risolvere
• Esiste un modo più furbo di scrivere il
problema ?
Definendo con Mk la derivata seconda in xk della spline e usando le
condizioni di interpolazione, posso eliminare 2 incognite e scrivere le
altre due in funzione di Mk
Sk (x k ) = y k = ak + bk (x k - x k-1 ) + c k (x k - x k-1 ) + dk (x k - x k-1 )
Sk (x k-1 ) = y k-1 = ak
Sk¢¢(x k ) = M k = 2c k + 6dk (x k - x k-1 )
Sk¢¢(x k-1 ) = M k-1 = 2c k
2
Ottenendo:
y k - y k-1
M k + 2M k-1
bk =
- (x k - x k-1 )
,
x k - x k-1
6
M k-1
M k - M k-1
ak = y k-1, c k =
, dk =
.
2
6(x k - x k-1 )
3
L’espressione di Sk(x) ora dipende solo dalle incognite Mk:
hk -1/ 2 = x k - x k -1,
Ê y k - y k -1
M k + 2M k -1 ˆ
Sk (x) = y k -1 + Á
- hk -1/ 2
˜ (x - x k -1 )
6
Ë hk -1/ 2
¯
M k -1
M k - M k -1
2
+
(x - x k -1 ) +
(x - x k -1 ) 3
2
6hk -1/ 2
Rimangono ora solo n+1 ingnite da determinare!
Usando l’espressione di Sk(x) e le condizioni di
continuità sulla derivata prima:
Ê y k - y k-1
M k + 2M k-1 ˆ
M k - M k-1
2
Sk¢ (x) = Á
- hk-1/ 2
+
M
(x
x
)
+
(x
x
)
˜
k-1
k-1
k-1
6
2hk-1/ 2
Ë hk-1/ 2
¯
ottengo n-1 equazioni per le Mk
Ê y k +1 - y k y k - y k -1 ˆ
hk -1/ 2
hk +1/ 2
6
M k -1 + 2M k +
M k +1 =
Á
˜
hk -1/ 2 + hk +1/ 2
hk -1/ 2 + hk +1/ 2
hk -1/ 2 + hk +1/ 2 Ë hk +1/ 2
hk -1/ 2 ¯
Proprietà del sistema lineare nel
caso M0 e Mn assegnate
• La matrice (n-1)x(n-1) è tridiagonale
• La matrice è a diagonale dominante
la matrice è non singolare
Varie condizioni al contorno
(caso punti equispaziati)
• M0=Mn=0, spline rilassate o naturali
M
=M
,
ed
M
=M
,
estrapolazione
0
1
n-1
n
•
parabolica
• M0=2M1-M2, ed Mn=2Mn-1-Mn-2,
estrapolazione cubica (per nodi equispaziati)
Esempio di spline naturale
(punti equispaziati)
Ê4
Á
Á1
Á
Á
Á
Á
Á
ÁÁ
Ë
1
4
1
1
4
1
1
4 1
1 4
1
ˆÊ M1 ˆ
Ê y 0 - 2y1 + y 2 ˆ
˜Á ˜
Á
˜
˜Á M 2 ˜
Á y1 - 2y 2 + y 3 ˜
˜Á M 3 ˜
Á y 2 - 2y 3 + y 4 ˜
˜Á ˜ 6 Á
˜
˜Á M 4 ˜ = h 2 Á y 3 - 2y 4 + y 5 ˜
˜Á M 5 ˜
Á y 4 - 2y 5 + y 6 ˜
1
˜Á ˜
Á
˜
4 1 ˜Á M 6 ˜
y
2y
+
y
5
6
7˜
Á
˜Á ˜
Á
˜
1 4 ¯Ë M 7 ¯
Ë y 6 - 2y 7 + y 8 ¯
Estrapolazione parabolica
Ê5 1
Á
Á1 4
Á 1
Á
Á
Á
Á
ÁÁ
Ë
1
4
1
1
4
1
ˆÊ M1 ˆ
Ê y 0 - 2y1 + y 2 ˆ
˜Á ˜
Á
˜
˜Á M 2 ˜
Á y1 - 2y 2 + y 3 ˜
˜Á M 3 ˜
Á y 2 - 2y 3 + y 4 ˜
˜Á ˜ 6 Á
˜
1
˜Á M 4 ˜ = h 2 Á y 3 - 2y 4 + y 5 ˜
Á y 4 - 2y 5 + y 6 ˜
4 1 ˜Á M 5 ˜
˜Á ˜
Á
˜
1 4 1˜Á M 6 ˜
y 5 - 2y 6 + y 7 ˜
Á
˜Á ˜
Á
˜
1 5¯Ë M 7 ¯
y
2y
+
y
Ë 6
7
8¯
Estrapolazione cubica
Ê6 0
Á
Á1 4
Á 1
Á
Á
Á
Á
ÁÁ
Ë
1
4 1
1 4
1
ˆÊ M1 ˆ
Ê y 0 - 2y1 + y 2 ˆ
˜Á ˜
Á
˜
˜Á M 2 ˜
Á y1 - 2y 2 + y 3 ˜
˜Á M 3 ˜
Á y 2 - 2y 3 + y 4 ˜
˜Á ˜ 6 Á
˜
1
˜Á M 4 ˜ = h 2 Á y 3 - 2y 4 + y 5 ˜
Á y 4 - 2y 5 + y 6 ˜
4 1 ˜Á M 5 ˜
˜Á ˜
Á
˜
1 4 1˜Á M 6 ˜
y 5 - 2y 6 + y 7 ˜
Á
˜Á ˜
Á
˜
0 6¯Ë M 7 ¯
Ë y 6 - 2y 7 + y 8 ¯
Altre condizioni al contorno
• Condizioni cicliche
• Condizioni “one-side”
• Fissare le derivate prime o seconde
• Alcune di queste condizioni distruggono la
tridiagonalità del sistema risolvente
Derivate prime
imposte
Ê2 1
Á
Á1 4 1
Á 1 4
Á
1
Á
Á
Á
ÁÁ
Ë
1
4
1
1
4
1
ˆÊ M 0 ˆ
Ê y1 - y 0 - hy ¢0 ˆ
˜Á ˜
Á
˜
˜Á M1 ˜
Á y 0 - 2y1 + y 2 ˜
˜Á M 2 ˜
Á y1 - 2y 2 + y 3 ˜
˜Á ˜ 6 Á
˜
˜Á M 3 ˜ = h 2 Á y 2 - 2y 3 + y 4 ˜
Á y 3 - 2y 4 + y 5 ˜
1 ˜Á M 4 ˜
˜Á ˜
Á
˜
4 1˜Á M 5 ˜
y
2y
+
y
4
5
6˜
Á
˜Á ˜
Á
˜
1 2¯Ë M 6 ¯
Ë y 5 - y 4 + hy ¢5 ¯
Proprietà di approssimazione
Le spline cubiche hanno migliori proprietà di convergenza
rispetto al singolo polinomio interpolante vale infatti il
teorema:
Sia f(x) funzione C4[a,b] e S(x) spline cubica con
condizioni al contorno S’(a)=f’(a) e S’(b)=f’(b)
allora vale:
f -S
£
Ch
f
•
4
(4 )
•
dove h =||Δ|| e ||Δ||/hk-1/2<C per k=1,2,...,n