Serie 7: Fenomeni ondulatori VII Esercizio 3

FAM
Serie 7: Fenomeni ondulatori VII
C. Ferrari
Esercizio 1 Riflessione totale
Se un raggio di luce si propaga da un mezzo 1 ad un mezzo 2 con n1 > n2 a partire
da che angolo di incidenza θ1 si il raggio rifratto scompare (si parla in questo caso
di riflessione totale)? Ciò è possibile se n1 < n2 ?
Esercizio 2 Dispersione cromatica
1. Visto che l’indice di rifrazione dipende dalla lunghezza d’onda, cosa ti aspetti
durante una rifrazione della luce bianca (=insieme di tutti i colori)?
2. Calcola l’angolo rifratto nella la situazione mezzo 1 = vuoto (nvuoto = 1) e
mezzo 2 = acqua, per il rosso (n2 (rosso) = 1,32), il giallo (n2 (giallo) = 1,33)
e il blu (n2 (blu) = 1,34); se l’angolo di incidenza è 30◦ . Cosa osservi? (Questo
fenomeno è noto come dispersione cromatica).
Esercizio 3 Interferenza
Due onde onde luminose in aria, di lunghezza d’onda pari 600 nm, sono inizialmente
in fase. Si muovono poi attraverso degli strati di plastica come indicato in figura,
con L1 = 4 µm, L2 = 3,5 µm, n1 = 1,4 e n2 = 1,6.
L2
n2
n1
L1
1. Qual è la loro fase relativa quando entrambe hanno percorso la distanza L1
dai mezzi 1 e 2?
2. Se le onde arrivano in un punto comune, che tipo di interferenza subiscono?
1
Esercizio 4 Interferenza per riflessione
1. Un cuneo d’aria è formato ponendo un capello tra due lastre di vetro, a un
estremo, e lasciando che le lastre si tocchino all’altro estremo. Se si illumina
questo cuneo con luce rossa (λ = 771 nm) si osservano 179 frange luminose.
Quanto è spesso il capello?
Indicazione: Considera il cuneo d’aria come lamina sottile, ossia considera
unicamente le riflessioni sulle due superfici del cuneo.
2. La figura qui sotto mostra una lente con raggio di curvatura R posta su una
lastra di vetro piana e illuminata dall’alto con luce di lunghezza d’onda λ.
Si osservano delle frange di interferenza circolari (chiamate anelli di Newton)
associate allo spessore variabile d della pellicola d’aria tra la lente e la lastra.
Trova i raggi r dei massimi di interferenza circolare assumendo che r/R ≪ 1.
Indicazione: se x ≪ 1 allora
una lamina sottile.
√
1 − x ≈ 1 − 12 x. Utilizza l’ipotesi che l’aria è
3. La luce bianca riflessa, per incidenza perpendicolare, da una bolla di sapone
sospesa in aria, ha un massimo di interferenza per 600 nm e un solo minimo per
450 nm. Se per la pellicola n = 1,33 calcola il suo spessore supposto uniforme.
Esercizio 5 Interferometro di Michelson
Considera l’interferometro di Michelson (vedi esercizio 11, serie 5).
1. Quanto vale la differenza di cammino ottico se il beamsplitter è composto da
una lamina di vetro con il rivestimento dielettrico verso la sorgente?
2. Cosa ti aspetti per la figura d’interferenza?
2
M2
1111
0000
0000
1111
Ly
Laser
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
M1
Lx
D
Esercizio 6 Equazione di D’Alembert o equazione delle onde
Per definizione un qualsiasi fenomeno fisico1 che si propaga è un onda quando la
perturbazione soddisfa l’equazione di D’Alembert o equazione delle onde
1 ∂ 2 ξ(x, t)
∂ 2 ξ(x, t)
− 2
=0
∂x2
u
∂t2
dove u è la velocità dell’onda.
∂ξ(x, t)
∂x
è la derivata parziale di ξ(x, t) rispetto a x, ossia la derivata di ξ(x, t) consit)
derando t come costante; e ∂ξ(x,
è la derivata parziale di ξ(x, t) rispetto a t, ossia
∂t
la derivata di ξ(x, t) considerando x come costante.
1. Utilizzando le regole di derivazione seguenti
d sin(ax)
= a cos(ax)
dx
d cos(ax)
= −a sin(ax)
dx
dimostra che ξ(x, t) = ξ0 sin(kx − ωt) soddisfa l’equazione di D’Alembert se
u = ωk .
2. Dimostra che se ξ1 (x, t) e ξ2 (x, t) soddisfano l’equazione di D’Alembert con
stesso parametro u (sono quindi delle onde di velocità u) allora anche la somma
ξ(x, t) = ξ1 (x, t) + ξ2 (x, t)
soddisfa l’equazione di D’Alembert ed è quindi un’onda (ciò che “dimostra” il
principio di superposizione lineare).
Esercizio 7 Intensità, attenuazione e decibel
La propagazione delle onde sonore si accompagna normalmente ad una perdita di
energia. L’esperienza mostra che, per un un’onda piana, la differenza di intensità tra
due strati immediatamente vicini è proporzionale all’intensità e allo spessore h
I(x) − I(x + h) = 2αI(x)h
il coefficiente α si chiama coefficiente di attenuazione dell’onda e dipende dal
mezzo di propagazione e dalla frequenza.
1
Qui considerato ad una sola dimensione spaziale.
3
1. Dimostra che, nel limite h → 0 si ottiene l’equazione
−
dI
= 2αI(x)
dx
2. Verifica che la soluzione di questa equazione è
I(x) = I(x0 )e−2α(x−x0 )
e rappresenta, in modo qualitativo ma accurato, l’andamento dell’intensità in
funzione di x.
Si definisce il volume sonoro di un onda nel modo seguente
Volume dB = 10 log10 I
I0
dove l’unità di misura è il decibel e I0 è un intensità di riferimento che vale
I0 = 10−12 W/m2 e corrisponde alla soglia di udibilità.
3. Se l’intensità raddoppia di quanto varia il volume sonoro?
4. Per una frequenza di 4000 Hz, una temperatura di 20 ◦ C ed un’umidità relativa
del 60% per l’aria α = 2,8 · 10−3 m−1 . Determina la distanza d alla quale deve
trovarsi un’osservatore rispetto ad una sorgente affiché il volume sonoro sia
ridotto di 3 dB.
5. Determina il volume sonoro delle onde acustiche dell’esercizio 1. (punto 2.)
della serie 5.
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